Resoluções de Exercícios

Transcrição

1 Resoluções de Exercícios MATEMÁTICA I 04 D Conhecimentos Numéricos Capítulo 04 Porcentagem e Juros Seja p o preço de custo do televisor para o comerciante. O comerciante deseja vender por p + 40% p = 1,4 p Com o desconto de % a TV foi vendida por 90% de 1,4 p. Segue que 1,4 p 0,90 = p = R$ 000,00. Portanto, a porcentagem de lucro do comerciante nessa transação foi de = 6%. 000 BLOCO A O número de pessoas com 1 anos ou mais que são alfabetizadas é igual a (1 0,08) = Logo, sabendo que o número de pessoas alfabetizadas com menos de 1 anos é igual a 0, podemos concluir que a resposta é $ % = 761, % B Considerando-se as três parcelas e seus respectivos percentuais de cálculo, tem-se: R$1.900,00 " Isento R$900,00$ 7,% = R$67,0 R$00,00$ 1% = R$30,00 Total = 67,0+ 30,00 = 97,0, R$98,00 BLOCO 03 0 Y 1 o ) Aumento acumulado: 0% + % + ( Y % ) = 3% YY o ) Se as mercadorias valiam V reais, após os aumentos passaram a valer (1,3) V. 3 o ) Para que o desconto x satisfaça ao problema, devemos ter: 03, 3 x (1,3) VY = (0,3) VY x = = 0,44 13, 13 x 4,4% BLOCO 0 A variação percentual no preço da peça foi de 00 $ % = 0%, 00 o que corresponde a um desconto de 0%. 0 C O reajuste foi de $ % = 0% D V: preço de venda L: Lucro C: Custo V = C + L V = ( ) + 0,V 0,8V = ( 4) 0,V = A 03 A Preço: x e consumo y faturamento: xy Novo preço: x % de x = 90% de x = 0,9x Novo consumo: y+0% de y = 1,y Novo faturamento: 0,9x 1,y = 1,08 xy Aumento de 8%. Supondo preço da cesta: Alimentos: x 1,41% de x = 1,03% de 141, x 3, = YY YY 1,41x = 1,03 3, x = 0,73 141, x = 73% MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 03 01

2 BLOCO B De acordo com os dados do problema e considerando x a fortuna do empresário, temos: A empresa C lucrou 3x. A empresa B lucrou (1 0,1) x = 0,9 3x =,7x A empresa A lucrou 3,7x = 8,1x Logo, A foi a empresa que mais lucrou e B a empresa que menos lucrou. 0 D Se M é o montante, C é o capital, i é a taxa e n é o prazo, então M = C(1+ in). Logo, = C(1+ 0,1 $ 1) & C =. 11 Por outro lado, os juros (J) são dados por: J = M C = 00 = b R$909, B Seja i a taxa média e P o valor da produção. 1 a parte: Janeiro = 1% P(jan.) = (1,1) P Fevereiro = 8% P(fev.) = (1,08) (1,1) P = (1,3068) P a parte: Supondo que, nos dois meses, a taxa de aumento seja igual a i, temos: P(jan.) = (1 + i) P P(fev.) = (1 + i) (1 + i). P = (1 + i) P logo, (1 + i) PY = (1,3068) PY 1 + i = 13068, i = 13068, 1 BLOCO A Preço à vista: 0, = Preço a prazo : 1, = 1 30,00 $ 130 Preço a prazo sem atraso de parcelas = = Seja r a renda do trabalhador em 008. Sabemos que a renda em 009 foi de 1,1r e que a renda em 0 foi de 1,1 1,1r = 1,1r. Além disso, temos que r + 1,1r + 1,1r = ,31r = r = R$ 0 000,00. Portanto, o total de rendimentos do trabalhador em 0 foi de 1, = R$ 4 00,00. BLOCO 0 O montante produzido por um capital de R$ 000,00, aplicado a juros compostos de 1,% = 0,01 ao mês, durante 1 ano e 8 meses, isto é, 0 meses, é dado por $ (1+ 0,01) = 00 $ (1,01) = 000 $ [(1,01) ], 000 $ (1,16) = 000$ 1,346 R$ 1346, 00. BLOCO 01 O ponto de sustentação central receberá 0,6 1 = 7,t, enquanto que os outros dois pontos de sustentação receberão 0, 1 =,4t cada um. 0 D 80 O percentual pedido é igual a $ %, 9, 4 % C Sabendo que são gastos, em média, 00 litros por dia, e que para as atividades que não estão relacionadas na tabela o gasto é de 0,1 00 = 30 litros, segue-se que o resultado pedido é dado por 170 ( , +,4 + ) = ,6 =,4. 04 A Tem-se que 0, 70% = 3% e 0,7 90% = 63%. Por conseguinte, concluímos que P [3, 63]. 0 B 0,18 (0,4 + 0,16) 61 = 0,16 16 = 7,686 7,6 BLOCO E = 0,4 = 4% BLOCO 0 01 B 1 a parte: Cálculo dos juros: J = 400 YY 3 6 = 7 reais YY a parte: Montante a Pagar: M = c + j = = 47 0 C 4 Valor emprestado com juros: 600+ $ $ 600 = 648 reais. Desconto concedido pelo sorteio: ,64 = 4,36 reais. 4,36 Em porcentagem: = 0,07, ou seja um desconto de 7% A % $ (1 + 0,1), 8%. 06 D 1,8 06 = 1, A 77, 8 737, Taxa de aumento: = 0,0. 73, 7 Pessoas que acessarão em 01 (em milhões): 73, 1,0 = 8,1. 08 C Vemos pelos gráficos, que a quantidade de embalagens PET recicladas destinadas à produção de tecidos e malhas, em ton é: 37,8%(têxteis) 30%(tecidos e malhas) 8(quant. PET reciclado) = = 31,97 quantidade = 3 09 B Seja V o volume de esgoto gerado, em bilhões de litros. Como % 36% = 64% de V são lançados todos os dias nas águas, sem tratamento, temos 0,64 V = 8 V = 1,. 1, 4 Portanto, a taxa percentual pedida é dada por $ % = 68%. 1, C O valor total da conta de energia elétrica para o consumo de 10 Wh é igual a 0, , = R$ 79,0. Assim, reduzindo em % o valor da conta, ele pagará 0,9 79, = R$ 71,. Seja x o número máximo de Wh que deverão ser consumidos para que o objetivo do morador seja alcançado. Observando que < x < 140, temos 0, x + 3 = 71, x = 137,1 Wh. 0 MATEMÁTICA Volume 03 MATEMÁTICA i

3 BLOCO 0 01 A) Eraldo ganha R$ 400,00 e obteve dois aumentos sucessivos; a saber: Em maio/009 0% e Em junho/009 30%. Qual o aumento percentual acumulado pelo funcionário no 1 o semestre/009? Seja S o salário inicial. Novo salário = ( S+ 0% $ S) + 30% $ ( S+ 0% S) = Sal. após o o 1 aumeto = S+ ( 0% + 30% + 30% $ 0%) $ S Aumentoacumulado o aumento Então, o aumento acumulado = = 0% + 30% + 30% 0% = 0% + 6% = 6% Resp.: 6% B) Entrei numa concessionária para comprar um carro no valor de R$ ,00. Achei caro demais, porém, o vendedor me ofereceu descontos sucessivos: de 0% e 30%, respectivamente. Sentei-me um pouco para calcular o desconto acumulado. Ele era de 0%, menor que 0% ou maior? Determine-o. Resposta: 44% Seja V o valor do carro: Após o 1 o desconto pagaria = (V 0% V) Após o o desconto pagarei = (V 0% V) 30% (V 0%V) Logo V final a pagar = V ( 0% + 30% 30%. 0%).V Desconto acumulado D acumulado = 0% + 30% 30% 0% = 44% Resp.: 44% 0 1 o ) 3% + 40% = 7% o ) O 3 o país receberá 600 milhões = US$ 10 milhões 03 1 a Parte: Dois aumentos sucessivos: Y Aumento acumulado = % + 0% + 0% = 3% YY a Parte: 1 Preço inicial: P I = S ; S = salário Após os dois aumentos, o novo preço do produto (P N ) será igual a: P N = PI P N = S 19, 8 P N = S = 19,8% S Resp: 19,8% S 04 C 3600 Depreciação mensal da roçadeira: = R$0, C 8 0 Decréscimo percentual em 1 o de setembro: %. 0 $ 4 $ 4 = $ 4 =, L. $ $ = aproximadamente 06 B Preço da terceira unidade: x Preço da segunda unidade com desconto: x 0,1x = 0,9x Preço da terceira unidade com desconto: x 0,x = 0,8x Preço das três unidades com os descontos: x + 0,9x + 0,7x =,7x 3x, 7x 03, x Valor do desconto em porcentagem: = = 0,1 = %. 3x 3x 07 A Considere x o preço inicial da mercadoria, portanto: x (0,9) = 7 x = R$ 1 000,00 08 B (9 1)/9 = 0, (aproximadamente 7,4%). 09 A Em 01: 1,0 = R$ 6,00 Em 013: 6 1,30 = R$ 7,80 D [A] Falsa. A maior alta foi da farinha de trigo. [B] Falsa. Foi o do Tomate. [C] Falsa. Cerca de %. [D] Verdadeira. [E] Falsa. A batata teve um aumento superior a % e a banana um aumento inferior a %. BLOCO B Mais reais indicam os % que ele não teve % reais % x x = 0 x = 00 reais 00 +% 00 = 0,00 0 A Para facilitar o entendimento, admitiremos que uma mercadoria custa R$ reais e que o salário do empregado seja R$ reais. 1 a parte: Após o aumento de 8%: Novo preço = (1,8) = 18 reais a parte: Após o aumento de 30%: Novo preço = (1,30) = 130 reais O poder de compra do empregado diminui. Supondo que x% seja o aumento para que o poder de compra seja recuperado, temos: x Y 130Y = reais x = 0 = E 80 Y 04 C = 63 Wh = = 0,4 0 Wh Y 04 D IGP-M = (IPA-M) + (IPC-M) + (INCC) IGP-M Mensal A) Março IGPM-M = 0,60 1,07 + 0,30 0,83 + 0, 0,4 = 0,936 B) Fevereiro IGP-M = 0,60 1,4 + 0,30 0,88 + 0, 0,3 = 1,11 C) Janeiro IGP-M = 0,60 0,1 + 0, , 0, = 0,68 0 A Pelo gráfico pode-se concluir que o salário inicial fixo do vendedor é de R$ 800 e que se este vender R$ em produtos, receberá um aumento de R$ 400 no salário. Logo, pode-se concluir que sua comissão é de % sobre o valor das vendas ( = 0,0 = %). 06 D [A] Falsa. A área de floresta diminuiu. [B] Falsa. A estuda pela presença de água se manteve. [C] Falsa. A área ocupada por plantações aumentou [D] Verdadeira, pois. 03,. 3% [E] Falsa, pois. 06,. 60% 07 B Seja x o valor bruto do salário do professor Cláudio. Tem-se que 0,11 x = 0,076 x + + x = R$ 3 000,00 Portanto, o valor líquido recebido por ele foi (1 0,18) = R$ 44,00. Matemática i MATEMÁTICA Volume 03 03

4 08 C Trata-se de juros sobre juros, ou seja, sendo x igual ao valor inicial das ações da empresa, tem-se: Em 011 as ações valorizaram 1% (0,1), logo tem-se ao fim desse ano 1,1x ações. Em 01 valorizaram mais 7% (0,07) sobre o ano anterior, ou seja 1,1x 1,07 = 1,1984 x. Em 013 desvalorizaram % (0,98) sobre o ano anterior, ou seja 1,1984x 0,98 = 1,17443 x. Em 014 desvalorizaram 8%(0,9) sobre o ano anterior, ou seja 1,17443x 0,9 = 1,080 x. Assim, ao final do período 011/014 as ações obtiveram valorização de 0,08 (ou 8%). 09 A Pares de meias no valor de V reais: Z 1 3 ] $ $ (1,3) $ V = 0,39V [ 7 ] $ ( 09, ) $ V = 063, V \ ( 039, + 0, 63) V =, $ V Logo, o comerciante teve um lucro de %. E O veículo esteve a uma velocidade igual ou superior a 0 m/h entre 13h30min e 14h30min, bem como entre 1h30min e 16hh00min. 1, Portanto, o percentual pedido é $ % = 0 %. 3 BLOCO 04 i 360 $ = 3 = 7 i = i = 3,7. 7 Taxa = 3,7% 0 D, Ganho na poupança: 060 $ 00 =, , , Ganho no CDB: $ 00 $ $ 00-4,1 Portanto, resposta [D]. 06 C Montante = , = 17, B Seja x o valor sem desconto da primeira guia: x.0,8 = 1 30 x = (desconto de 70) Seja y o valor sem desconto da segunda guia: y 0,93 = 790 y = 967,74 (desconto de 177,74) , , 74 Porcentagem do desconto total = = % 01 meses C$$ i t J = " 0 = 000$ $ t " t = meses. 0 Entrada Após 1 mês P 0 = x P 1 = x Sejam P 0 = x o valor da entrada e P 1 = x o valor da a prestação, onde estão embutidos um juros de 0% sobre o saldo devedor. Então: Saldo devedor = (640 x) e (640 x) = x 3 x 960 = x + x 960 = x = $ (960) x = 384 reais. 1 x = x 03 D 1 a parte: Comprando à vista com um desconto de %, 9 Pagarei = () = 9 reais. a parte: Imagine que você dispõe dos 9 reais para fazer a compra, mas você descobre uma aplicação, cuja taxa é de i% ao mês, e que vai lhe proporcionar um montante M após 1 mês. Para que esta aplicação seja vantajosa, dentro do contexto do problema, devemos ter: 9 $ i 9 $ i M > 9 + > Entre as alternativas i =,3%. > i > 00 i >, E Valor à vista = 800 % 800 = = 760 Valor a financiar = = 360 Como após 3 meses pagarei 400, o juro cobrado foi de = 40 reais. Então, no sistema de juros simples, considerado i% a taxa de juros no período de t = 3 meses, temos que: 360 i% 3 = A Preço à vista: 0, = Preço à prazo : 1, = 1 30, Preço à prazo sem atraso de parcelas = = 1 6 Logo, a resposta adequada é a letra A. 09 C Montante: x Após o primeiro mês: x 0,3x = 0,7x Após o o mês: 0,7x + 0, 0,3x = 0,76x 0,76x = x = 000 C O comprador pagou 0,3 000 = R$ 3 000,00 de entrada e o saldo devedor foi dividido em duas prestações iguais de = R$300,00. Se x é o valor do único pagamento a ser realizado pelo comprador 6 m = 6 30 = 180 dias após a compra, considere o seguinte fluxo de caixa: 3 000,00 x 3 00, , MATEMÁTICA Volume 03 MATEMÁTICA i n (dias) Temos que x é a soma dos valores atuais das parcelas na data 180 dias, ou seja, x = 3 00 (1 0, ) (1 0, ) x = = R$ 4 73,00. Portanto, pode-se afirmar que a redução no valor efetivamente pago pelo equipamento foi de ( ) 000 %,68%. 000 $ =

5 BLOCO 0 Sejam x e ( x) os capitais utilizados nas duas aplicações. 1 a parte: Capital x aplicado a uma taxa de 8% ao ano. x $ 8$ 1 J1 = a parte: Capital (30 000,00 x) aplicado à 1% ao ano. $ $ (30 000,00 x) 1 1 J = Se os lucros foram iguais, temos que: 8x 1 $ (30 000,00 x) J1 = J $ = $ 8x = ,00 1x 0x = ,00 = x = R$ ,00 Então, os capitais foram ,00 e 1 000,00, de onde conclui-se que a diferença entre eles é de 6 000,00 reais. 0 B 1 a parte: Comprando à vista ganha um desconto de %, que corresponde a 60 reais. O valor à vista seria de 40 reais. a parte: Dado uma entrada de 300,00, o valor a financiar será de = 40. Como você não tem os 40,00 para levar o aparelho à vista, você pagará, após 1 mês, mais 300,00. O juros que você pagará será de (300 40) = 60,00 que corresponde a um percentual de %, pois; = = 0, = % 4 03 A Montante após t anos = M(t) i) M(1) = (1 + 0,) 000 = 1, 000 = 00 ii) M() = (1 + 0,) 00 M() = 1, 00 = C 000 (1 03) = 11, ,0 1 4,00 11,80 1 4,00 = 897,80 Portando, a afirmação (C) é a correta. 0 B Seja C o capital investido. Do enunciado, sabemos que a perda no primeiro semestre foi de 30%, isto é, 30% C. Por outro lado, como a pessoa recuperou 60% do que havia perdido, ou seja, 60% 0,3 C = 0,6 0,3 C = 0,18 C, segue que o prejuízo nos dois semestres foi de 0,3 C 0,18 C = 0,1 C = 1% C. 06 A Se a primeira pessoa comprou o carro por x reais, então a segunda comprou por 1,1 x reais e vendeu por 1,1 x = 1,1 x reais. Como a terceira pessoa teve um prejuízo de %, então 0,9 1,1 x = x = R$ 1 000, E Preço à vista é 0,9x ou duas parcelas de 0,x. Percebemos no preço de tabela um acréscimo de 0,1x. Supondo que a prazo não houvesse juros, as parcelas seriam 0,x e 0,4x. Sabendo que 0,1x é % de 0,4x, concluímos que a taxa mensal de juros é de %. 08 D O cidadão tem 0, = R$ 33,0 descontados do seu salário bruto. Além disso, paga 0, = R$ 67,00 de tributos sobre os gastos efetuados no mês, totalizando 33, + 67 = R$ 899,0. Desse modo, o percentual total do salário mensal gasto com tributos é de, aproximadamente, 899, 0 $ % = 0, 398 $ %, 36 % D Considerando a data da compra como data focal, segue que o valor atual dos pagamentos é de: , R$3636,36 na opção ; 11, , R$307,8 na opção 3; 11, 11, , 47 31,40 na opção 4; 11, , R$4986,78 na opção. 11, Portanto, a opção 4 é a que implica em menor custo para Arthur. C Preço com juros compostos: 000 (1,06) 7 = R$ 837,00 Preço com juros simples: 000 ( ,0) = R$ 600,00 Total de juros pagos: R$ 600,00 Total de desconto obtido: = R$ 37,00 BLOCO D M = C (1 + i)t M = (1 + 0,007)* M = (1,007)*, então y = 0 (1,007)* milhares de reais. 0 A * Países ricos: M 1 = (1,04) taxa 4,% * Banqueiros: M = c (1,03) 1 = 1,4c taxa 4% 4% = 4, % 03 B Herança: x Total acumulado: Menor: (1,) milhões Maior: 1 (1,) milhoes * partes inversamente proporcionais: $ (1,) $ x1 = 1 $ (1,) x = x1 = $ ( 1, ) x = 1 $ ( 1, ) 3+ x + x = + = $ ( 1, ) 1$ ( 1, ) 30 $ ( 1, ) x1+ x = + 30 $ ( 1, ) 6$ ( 1, ) 1 x 1 $ ( 1, ) 1 fração: $ 6 x1+ x = = 1 = 6$ ( 1, ) 04 D [ 000 (1 + i) 7 000] (1 + i) = (1 + i) 7 (1 + i) 6 = 0. Resolvendo a equação na incógnita 1 + i, temos: 1 + i = 6/ i 1/ ou 1 + i = 1/ i 3/ (não convém). Logo, (4i 1) = (4/ 1) = 1/ = 0,04. 0 B Valor do preço a prazo x (cada parcela igual a x) Valor do preço à vista 0,7 X = 1,X Se a pessoa pagasse x na primeira parcela, a segunda parcela seria de 0,x (sem juros), mas o valor da segunda parcela é x. Portanto, essa loja cobra, nas vendas a prazo, juros mensais de taxa igual a %. Matemática i MATEMÁTICA Volume 03 0

6 06 B Preço de cada revista:,00 1 $ ( ,. ) Valor de cada revista na promoção: 13 Desconto por revista:,00 7,0 =,0 07 D Sejam x o preço da loja B e 1,x o preço da loja A. Sendo p% o desconto oferecido pela loja A, temos: 1,x (1 p/) = (1 /) x 1, 1, p/ = 0,9 1,p = 30 p = O desconto deverá ser de %. 08 E x = salário de João. 0,x (0,1) = 10 x = = 7,0 09 D, 3000 $ 0,64 = R$169,36. C Aplicando R$ 1 000,00 no dia 1 o abril a uma taxa mensal de i%, Paulo terá, em 1 o de maio, 0 (1 + i) reais. Depositando mais R$ 1 000,00 em 1 o de maio na mesma aplicação, ele terá [0 (1 + i) + 0] (1 + i) reais em 1 o de junho. Desse modo, 01 D 0 C [ 0 ( 1+ i) + 0]( 1+ i) = ( 1+ i) + ( 1+ i) 31 = 0! 4$ $ ( 31) i = 00! = 00 & i = 01, = % a. m. Portanto, a taxa mensal de juros dessa aplicação era de %. Somando os percentuais indicados em cinza: 9,1% + 13,% + 18,% +,% = 46,6%. 7, milhõ es $ % * xmilhõ es $ 46, 6% x = 9,6 milhões. x = comprimento do peixe em cm. x + 0x = 13 1x = 13 x = 3 cm O comprimento do peixe é 3 cm. 7$ 466, & x = & 9 04 R$ 8 000,00 1 a Aplicação: (Juros J e Montante M) J = C $ i $ J = C $ i reais M = C + J 000,00 = C + C $ i a Aplicação: Capital Aplicado = 000,00 Montante = 13 70,00 1 o Juros J = 13 70,00 000,00 = 3 70,00. Daí: 000 $ i 37 YYY ,00 = 1 i = i =, 10 YYY 000 A taxa foi de,% ao mês, Substituindo, i =, na 1 a equação, obtemos: C $ (, ) 000 = C + 1, C = 000 C = C = 8 000, , 0 D 1 + i = (1,) 3 i = (1,) 3 1 i = 0,33 = 33,% ao trimestre. 06 A) Considere V(n) o valor da dívida após n meses. V (1) = 1, = 1 reais V () = (1 ) (1,1) = 1 V (3) = 1 (1,1) = reais B) O valor da dívida, após meses, será de 1 reais com o pagamento de 00 reais, João ficará devendo (1 00) = 7 reais. Este valor sofrerá um acrescimento de %, pois a segunda parcela só será paga após 1 mês do 1 o pagamento. O valor da dívida passará a ser de 1,1 7 = 781 reais. Portanto, para que João quite a dívida, a a parcela deverá ser de R$ 781, A Seja p o valor de tabela do noteboo. Se pagar à vista, o consumidor desembolsará 0,9 p. Aplicando o que restou, isto é, p 0,9 p = 0,0 p, na instituição financeira, ele terá 1,01 0,0 p = 0,00 p reais após 30 dias. Por outro lado, se o consumidor optar pelo pagamento no cartão, ao final de um mês, ele terá 1,01 p, ficando, portanto, com 1,01 p p = 0,01 p reais após o pagamento. Por conseguinte, como 0,00 p > 0,0 p, segue que o pagamento à vista é mais vantajoso para o consumidor pois ele economizaria em relação ao pagamento com cartão a quantia de 0,040 p. 08 C Salário inicial: x. Salário com os aumentos: (1,06) (1,1) (1,1)x = 1,309x. Portanto, teve um aumento de 0,309x, ou seja, aproximadamente 30,6% de x. 09 C Para um entendimento melhor, suponha que a escola tenha alunos, dos quais 0 pagam uma mensalidade integral de 00 reais e 0 alunos pagam somente reais. O total arrecadado após o aumento de % nas mensalidades será de: T 1 = 0 00 (1,0) + 0 (1,0) = T 1 = = 1 70 reais, e sem o aumento o valor arrecadado era de V = reais. Logo, a arrecadação aumentou em 70 reais. Por 40 outro lado, a folha de pagamento dos professores passou de = reais para (40% + 40%) = reais. De onde concluímos que o aumento das mensalidades foi abusivo. B Seja q a quantidade que era comprada antes do aumento. Assim, temos 1, (q ) = q + 6 q = 30 q = 1 e, portanto, a quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era = R$ 16, D 1 o cálculo dos juros: J = = reais. o cálculo da taxa de juros: J = C $ i $ t i = 00 YY YY i = YY i = 4 Logo, a taxa foi de 4%. 06 MATEMÁTICA Volume 03 MATEMÁTICA i