Resoluções de Exercícios

Transcrição

1 Resoluções de Eercícios MATEMÁTICA I BLOCO 0 Conhecimentos Numéricos Capítulo 0 Operações em Conjuntos Numéricos (Potenciação nos Reais e Radiciação nos Reais), Divisibilidade, Fatoração 0 A) B) C) y y y y $ ( a+ b)( a b) $ ( a b) a+ b ; a b a b ( + ) ( + ) ( + ) $ ( ) ( + )( ) ( ) ( + $ ) + ; ± + BLOCO 0 0 D. 0 B Note que 9 n termina em se n for par e termina em 9 se n for ímpar. Então, 9 0 termina em. 0 D Para descobrir o número da casa devemos escrever a epressão numa única potência de base ^ $ h $ ^ h $ ^ $ h ^ 0 $ h $ ^ h $ $ $ ^ h ^ h ^ $ h $ $ ^$ h ^$ h O número da casa é igual a 09. BLOCO C Note que: 9 7 Então y $ 7 $ $ 7 0 A portanto y 9. 0 B 9 +,7 0 B A) 0 B) C) D) 0 0 E) 0 0 Observação: Reduzindo ao mesmo índice, o maior número é aquele que tem o maior radicando. 0 A $ $ $ $. 0 D ( ) ( ) ( + ) ( ) A Racionalizando cada denominador obtemos: Soma BLOCO 0 0 A) Não B) Acrescentando canetas ao dividendo, teremos: ( + ) 9 Então, o menor número de canetas que devemos acrescentar é e o quociente sofre um aumento de unidade. C) O maior número será canetas, pois o resto ainda seria menor que o divisor, e o quociente não se altera. D) O menor número é 0 canetas, isto é, o resto da divisão de 90 por. BLOCO 0 0 B A medida da aresta dos cubos de mesmo volume que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura é dada por mdc(,, 0). Portanto, o resultado pedido é dado por 0 $ $ $ 9$ C A área de um ladrilho retangular de 0 cm por 0 cm é cm, enquanto a área e um ladrilho quadrado de 0 cm de lado é 0.00 cm. Portanto, a menor área que pode ter essa parede, sem que haja espaço ou superposição entre os ladrilhos, é dada por mmc(00, 00) cm,0 m. MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 0 0

2 BLOCO 0 0 C I. Falsa. O próimo encontro dos três ocorrerá após mmc(,, ) 0 dias, ou seja, no dia 0 de dezembro. II. Falsa. Como , o dia 0 de dezembro cai num sábado. III. Verdadeira. Os encontros de Santos e Yuri ocorrem a cada mmc(, ) dias. Portanto, observando que 9 é o maior múltiplo de menor do que 0, concluímos que Santos e Yuri se encontrarão vezes antes do novo encontro dos três colegas. 0 B MMC (,,) 0 dias,,,,,,,,,, BLOCO 0 0 E mdc (,0) A) Falsa, pois o comprimento máimo é cm. B) Falsa, pois o número de pedaços de mogno é 7. C) Falsa, pois o número de pedaços de cerejeira é 0. D) Falsa, pois 7,7, logo, seriam necessárias, no mínimo, caias. E) Verdadeira. BLOCO 0 0 E O MMC (0,0,0) 00, portanto o prêmio em dinheiro será da forma 00K +, com k N. De acordo com o problema, temos:.000 < 00k + < < 00k <.7,9 < k <,. Portanto, k. Logo, o valor do prêmio será.00 + R$.,00. 0 E BLOCO 0 BLOCO 0 0 B , , / BLOCO 0 0 C A) S(79) 0, ^79h 0, ^ h 0, 0,, m. Portanto, a alternativa A é falsa. B) Falsa, pois S (P) é proporcional a p com constante 0,097. C) Considere: peso do filho p e do pai 7p S (pai) 0, ^7ph 0, ^ h $ P 9 (0, P ) 9 S (filho). Logo, a alternativa C é a verdadeira. D) Falsa, pois: S(homem) 0,. P 0 0,9 9,% S(macaco) 0,. P Daí: S (Homem) 9,% S (macaco). Então, S (Homem) é aproimadamente,7% menor que a do macaco. E) Falsa tonelada 000 kg 0 kg BLOCO 0 S (Boi) 0,090 0 ^ h 0, m Então, o valor da venda da pele será R$ 90,00 0 D Somando as áreas, temos: + ( ) ( ) ( + + ) ( + ) [ ( + )] [ + ] Logo, com as figuras e quantidades citadas, conseguiremos formar um quadrado de lado ( + ). 0 E 0 C 0 D 0 B 0 B 0 B 07 D n n $ $ n n n $ c $ m $ c$ m Como bilhão corresponde a 0 9 unidades, 00 bilhões equivalem a Logo, a alternativa correta é a C. 0$ 0 $ 0 7,$ ,$ 0 kg,$ 0 $ 0 g,$ 0 g. 0 0, kg cal,9 0 9 cal, onde: 0,,9 0 9 kg 9 9, $ 0 $ 0 kg 0,0 0 kg 0,0 0 0 kg.00 toneladas 9 0, 0. 0, 0 b E 0,0 0,. 0 b 0,0 µb Se g carvão gera,0 0 kw. h, então a massa m de carvão necessária para produzir kw.h será: 0$ 0 kw $ h m gramas 0 $ kw $ h m 0 0 g 0 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA I

3 0 D Sabendo que tonelada 0 kg 0. 0 g 0 g, então, m 0 toneladas. + 0, ^ h , E, litros,, dm,, 0 mm Logo: ( 0 ) (, 0 ) mm,7 0 glóbulos vermelhos. 0 B Número de habitantes: 7.09 Consumo de água de uma pessoa por dia: 0 L Um ano tem dias. Logo, o volume de água pedido é ,0.0 L 0 <,0 0 <0 BLOCO 0 0 A) y.... y.y..y.. y. 0 A B).. y. y..y. y y y C) y. y...y... y y. y c m c m 0 E $ 0 $ 9$ 0 $ $ 0 $ 0 $ 7$ 0 $ $ 0 0$ 0 0,00 0 D Utilizando a ideia de notação científica, temos: mil km $ 0 km, $ 0 $ 0, $ 0 km. 0 B A nova K ^.mh K ^ h m 0 C A nova K m A S k M S km. k $ M 07 A A estrela sugerida no problema é da classe BO e sua luminosidade é vezes a temperatura do sol. 0 D o ) ^h o ) E E > 0,00 0,... o ) Nova estimativa: R R + E R + 0, R c m o ) E 0 $ B " R a$ w R a $ w Então, quanto menor for a massa w o índice R será maior. Portanto, Rp > Rq a $ a $ p q 0 D Antes: IMC ( obesidade tipo) Edepoisdaperda do peso. 0 IMC 0 ( pesonormal) BLOCO 0 0 A) a + b (a + b) (a ab + b ) B) + 7 ( + ) ( + 9) C) (a) (a ) (a + a + ) D) a + (m) (a + m) (a am + m ) E) ( ) ( + + ) F) ( ) ( + )( ) G) a (a ) a (a + )(a ) H) ( ) ( + )( ) I) ( ) J) a (a + )(a ) (a + )(a + )(a ) K) ( + y + y ) ( + y) L) ( + ) y ( + + y) ( + y) M) y ( ) y ( )( + + ) N) ( y) a ( y + a)( y a) O) y y y ( y ) y ( + y) ( y) 0 C 0 D a parte: Rua das Tabajaras + Novo terreno Rua das Cajazeiras Área nova ( ).( + ) Logo, fiquei com m de frente para rua Tabajaras D ( 0) ( 0) 0 0 cm A inicial (0) 9.00 cm A ( 0) A O desperdício foi de cm 0, m na área do tampo da mesa. Isto representa um prejuízo financeiro de 00 0, 0 reais, que daria para pagar uma compra no mercantil no valor de R$ 00,00. MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 0 0

4 0 E Considere um quadro qualquer, e seja n o número da célula central nesse quadro. Note que os números das outras duas células são n e n +. Portanto, se n 0, então ( n )( n+ ) n 0 ( ) 0. 0 D $ (+ 0 7) $ ( 0 7) $ $ + $ Logo, a quantia que o filho ganhou foi R$.000,00. 0 E mdc (.0 ;.) representará a quantidade de alunos do mesmo seo em cada grupo para que o número de professores seja o mínimo. o parte: mdc (.0,.) a parte: n o de professores será igual a: (0) 07 E Somando as áreas das figuras, temos: K + (K W) + W [K + KW + W ] [(K + W) ] Janelas 0 D a coluna 0 D Se +, com > 0, então f + p Daí, + e, portanto, f + p. 09 A c+ ym (considerando que y /), temos: y y c+ m $ $ ( ) 0 A + + ( ) $ ( + + ) ( + ) + $ ( ) $ ( + ) BLOCO 0 0 B 00 (0) 0 00 é divisível por e não termina em m 00 m 00 m a linha 0000 m o ) n o de quadrados m o ) n o de quadrados na a coluna n o de quadrados na a linha.000 quadrados 00 0 e o ) Total de pés de macaíba A Dígito (*0) + (*9) + (*) + (*7) + (*) + (*) + (7*) + (*) + (9*) D 0 : 9 e resto, então d 0 Dígito (*0) + (*9) + (*) + (*7) + (*) + (7*) + (*) + (9*) + (0*) : e resto, então d 9 0 A A duração de cada ciclo é igual a anos. Como de.7 a.0 se passaram anos e 7 +, seguese que em 0 o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número C De o de janeiro a de maio temos dias. Logo, como 7 +, e supondo que a duração de cada viagem seja de dias, segue que o maquinista poderá fazer, no máimo, 7 viagens até o início das suas férias. Após o período de férias, restarão ( + 0) 0 dias para viajar. Como 0, segue que ele poderá fazer, no máimo, viagens, totalizando, assim, 7 + viagens no ano. Se é a medida da aresta de cubo. mdc (0,0,) (0) 0 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA I

5 0 B O número de dias decorridos entre de março e de outubro é dado por Como uma semana tem sete dias, vem que Portanto, sabendo que de março ocorreu em uma terçafeira, segue que de outubro será segundafeira. 09 E De acordo com os passos descritos, temos: + ( + ) Portanto, o dígito de verificação do número. é. 0 C Sejam m e h, respectivamente, o número de meninas e o número de meninos da torcida. Como m h, segue que m + h h, ou seja, o número total de torcedores é um múltiplo de. Por outro lado, temos: , , , e É fácil ver que a única combinação de ônibus cuja soma dos passageiros é um múltiplo de é a dos ônibus I, II e IV. Logo, estes ônibus transportam a torcida e o ônibus dos atletas é o de número III. BLOCO 0 0 a e b A) mdc (a,b) B) mmc (a,b) 0 C Basta calcular o M.M.C.(,,0) E o ) 000 é bisseto, pois é divisível por 00; Logo, o ano é de dias. o ) O próimo encontro será dias após o dia o de fevereiro, em que: mmc (0,,) 0 o ) Num ano bisseto, temos: fevereiro com 9 dias e março com dias. Então, no dia o de abril de 000, o próimo encontro ocorrerá. 0 A Os remédios serão tomados simultaneamente a cada mmc(,, ) 0 horas. Portanto, em 0 dias, os três remédios foram ingeridos 0 $ simultaneamente vezes. 0 0 D Seja o número de laranjas, 00 < <.00 0q + ( ) 0 q 0 q p + ( ) p p ( ) é múltiplo comum de 0 e. E como mmc (0, ) Então: ou.00. (não convém) Daí, colocando as 9 laranjas em sacos de unidades cada um, sobrariam laranjas. 0 C a parte: 07 C G {0, 7,,..., 009} n(g) P {0,,,..., 00} n(p) G P {0,, 7,..., 9} n(g P) a parte: O número de anos que ocorreram eleições para governador ou prefeito é igual a: n(g P) n(g) + n(p) n(g P) anos. Logo, o número de anos em que não houve eleições nem para governador e nem para prefeito será: Do plantio até a colheita, as variedades V, V e V levam, e semanas, respectivamente. Plantandose as variedades no mesmo dia, o número mínimo de semanas necessárias para que a colheita das três variedades ocorra simultaneamente será igual ao mmc (,, ),,,,,,,,,, mmc O número mínimo de sementes de cada variedade para que isto ocorra será: Variedade : sementes Variedade : sementes Variedade : sementes Então, precisaremos de, no mínimo, sementes. 0 E Primeiro antibiótico deverá ser tomado a cada,h 90 min. Segundo antibiótico deverá ser tomado a cada,h 0 min. Calculando M.M.C.(90,0) 0 min 7,h. Portanto, os antibióticos serão tomados juntos a cada 7,h. Manhã: 7h0 Tarde: h Noite: h0 09 B Basta calcular o MMC (0,, 0) 0, ou seja, seis meses. Após o início das competições, o primeiro mês em que os jogos das três modalidades voltarão a coincidir é setembro. 0 A Como a parede mede 0 cm por 0 cm, e queremos saber qual o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede, devemos encontrar a medida do quadrado de maior lado que cumpre as condições do enunciado. Tal medida é dada por mdc(0, 0) 0 0 cm. Portanto, o resultado pedido é 0 0 $ $ 0. 0 MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 0 0

6 Conhecimentos Algébricos Capítulo 0 Equações do o Grau, Equações do o Grau e Equações Irracionais BLOCO 07 0 D Considerando que: é o número de peças produzidas. Custo: C() Lucro: L Logo, L() C() C Primeira parcela: Segunda parcela: $ $ Terceira parcela: Temos então a equação: Portanto, o valor total da dívida se localiza entre R$ 0.000,00 e R$ 0.000,00, conforme alternativa [C]. 0 E Preço do DVD: Peço do CD: 0 Preço do BluRay: + 9 Do problema, temos a seguinte equação: A O segredo da resolução, usando aritmética, está na quantidade que o último (Aleandre) encontrou sobre a mesa. Isto é: Quando Aleandre chegou à mesa eistiam apenas doces, pois ao comer a metade mais um, não sobrou nada para os outros convidados. Seguindo esta linha de raciocínio, podemos afirmar que: quando Eraldo chegou eistiam doces. quando Carlos Dayvson chegou eistiam sobre a mesa doces e quando César Augusto chegou eisitiam sobre a mesa 0 doces. Logo, havia 0 doces na mesa. BLOCO 0 0 o ) Completando quadrados: A) 0 + c m 0 + c m 9 9 c m 0 + ou ou B) ^+ h 9 + ou + ou C) c m + c m c m ou 9 ou 9 D) ( + ) não eiste pertencente aos reais, pois um número real ao quadrado não pode ser negativo. o ) Pela fórmula de Báskara: A) ! ou B) ! ou C) ! ou D) Conclusão: Não eiste pertencente aos reais. o ) Pela soma e produto: A) Z + ^ h ] [ 0 ] $ 0 \ Logo e B) ) $ Então, e C) Z 7 ] [ ) ) $ ] ^ h$ ^ h $ \ Logo: e e D) Não tem raízes reais, pois < 0. 0 D Sejam e as raízes. + $ entã o e. Dai, a área $ eperímetro $ + $ 0 0 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA I

7 0 D A cota mínima é 0 reais, podendo ser maior desde que seja múltiplo de. a parte: regra de três aumento no diminue valor da aposta apostador n n Valor do jogo (0 n) (0 + n ) n 0n + 00n + 00 n n + 0 n ou n. Portanto, o aumento poderá ser de reais ou reais. Consequentemente, o valor da cota de cada apostador poderá ser de 7 ou reais. BLOCO 09 0 B D) + + Domínio de validade + 0 e + 0 e Resolução: Sendo e ( + ) + S { } E) + ( + ) ( + ) ( ( ) + )( ) ( ) 0 A D $ $! + ou Logo,! ou! S,,, * 0 A Domínio de validade. + 0 e 0. Elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos: + c+ m. c m + + c+ m. c m + c+ m. c m " ". Logo, +. BLOCO 0 0 A) ( 9 ) ( ) S 7 ' B) Z S C) ( )( )( 0) 0 0 ou 0 ou 0 ou 0 0 S {0,,, } 0 Considerando a largura da escrivaninha, temos: 0, +, + 0, + + 0, +, + 0, m Portanto, m. 0 C Seja o fator de correção. Para calculálo basta multiplicálo por,0, de modo que este produto seja igual ao valor correto de,0, isto é:, 0,0,0 0,70, 0 9 Resposta: Tomando apenas casas decimais, é 0,70. 0 A Número o ) o ) o ) o ) + F Então: F + F + F 0 D g n o de gansos c n o de carneiros g+ c 0 ( ) ) ~ g + c 0 ) g+ c 00 0g+ c 0 c 0 e g 0 Resposta: Na fazenda eistem 0 carneiros. 0 D Sejam e y, respectivamente, o peso de uma telha e o peso de um tijolo. Logo, y y. Se n é o número máimo de tijolos que o caminhão pode transportar quando está carregado com 900 telhas, então 900+ ny 00 + n $ 00 + n 0. MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 0 07

8 07 C 00 (0, + 0,0 + 0,0) + 0,.000 0, , 7,07 ( selos) Logo, deverão ser comprados 9 (00 + ) selos de R$ 0,. 0 D Ana comprou barras de chocolates enquanto que Beatriz comprou barras de chocolates Logo, cada uma ficou com + 7 barras de chocolate. 09 C Sabendo que a despesa foi igual a R$ 7,00, temse que + y y. Além disso, como foram compradas 9 unidades de frutas, vem + y y. Subtraindo a primeira equação da segunda, obtemos + y y. Portanto, foram compradas maçãs. 0 D Sejam c e v, respectivamente, as quantidades iniciais das cédulas de cinquenta e de vinte reais. Logo, 0c+ 0v 90 + c+ v 9 * * 0c+ 0v 0 c+ v + c 7 * v Portanto, a quantidade total de cédulas disponíveis inicialmente no caia da loja era igual a: c + v BLOCO 07 0 A) e S {, } B) 0 + e S {, } C) ! e S {, } D) 0 +! 7 ± 7 S {± 7 } E) S {} F) + + 0!. As raízes não são números reais. 0 D t t t t t min 9 0 D X Número de amigos. ( ) 9 ( ) 0 9 Resolvendo, temos 9 ou (não convém). 0 C Se o número de homens no grupo é, então o número de mulheres é Além disso, o valor pago por cada homem é reais. Como cada mulher pagou R$,00 a menos que cada homem, temos que cada uma pagou 00. reais. Portanto, sabendo que a despesa das mulheres também foi de R$.00,00, segue que: (0 ) c m.00 (0 ) c m.00 (0 )(.00 ).00 0 D Seja o n o de alunos inicialmente. o ) Cota inicial o ) Após a desistência de alunos, cota final ( ) Então, ( + 0,0 ( ) ) ( ) + 0,0 ( ) + 0 ( ) (pois não convém) Daí participaram da cota alunos que representam 0,0 0% 0 0 A Sejam n e c, respectivamente, o número de caminhões e a capacidade máima de cada caminhão. Logo, como n c 90 e (n + ) (c ) 90, seguese que n + n 00. Daí, como n é natural, só pode ser n 0 e, portanto, o resultado pedido é B 0. Incialmente cada um pagaria. 0. Após a entrada de pessoas, cada um pagou +. Daí: () ( + 7 ) 0. ( + ). 0 $ 7 $ ( + ) ( + ) 0 ( + ) ( + ) 0 0 ou 0 (Não convém). 0 C Considerando a equação produto ( + ) ( ) ( + ) 0, temos; ( Não possui raízes reais) 0 + +! +! ( )! + 0 & & ou $ Portanto, a soma de suas raízes inteiras será + ( ) A Sendo a, b e c, das relações entre coeficientes e raízes, vem b n m a b ( ) + +. m n mn c c a 0 MATEMÁTICA Volume 0 MATEMÁTICA I

9 0 D A máima quantidade do produto A ocorre quando y 0. Temos, então, a seguinte equação: & 00 &! 0 00 Como 0, então 0. 0 B a Parte: mmc (, 0, ) 0, 0,, 0,,,,,,, mmc 0 a Parte: Abril tem 0 dias. Maio tem dias. Junho tem 0 dias. Após 0 dias do dia de abril de 99 ocorrerá o próimo encontro, isto é, no dia de junho. 0 B Suponha que d seja a distância a percorrer. a parte: Velocidade v 0 km/h. Seja t o tempo para percorrer a distância d. h ) 0 km 0 km d 0 t km t ) d t d a parte: Se v km/h; ele gastaria (t ) horas para percorrer a mesma distância. Então: d (t ) km. Daí: (t ) 0 t t 0 0 t t 0 t horas a parte: A distância d 0 0 km. Para chegar eatamente ao mesmo dia, ele gastaria t h. Então, ele deve correr a uma velocidade de: 0 km v h km/h. 0 B I) Xg ácido II) Xg de água 0 D massa de Sérgio De acordo com o problema, temos: Resolvendo a equação, temos: ou (não convém). Portanto, a massa de Sérgio será: kg. 0 C Seja n o número de pessoas que inicialmente faria a divisão. De acordo com as informações, obtemos: n n 0 0 n n + & n. 07 D Considerando o valor do Delta nulo, temos: m 0 m! m! Obs.: uma equação do segundo grau com discriminante nulo apresenta duas raízes reais e iguais. 0 B 7 Pelas Relações de Girard, obtemos a+ b e a$ b. Logo, ab+ ab a b ab $ ( a+ b) ( a+ b) ( a+ b) $ ( ab ) 7 $ ( ) C Seja n o número de pessoas que inicialmente fariam a divisão. De acordo com as informações, obtemos n n 0 0 n n + & n. 0 C Medidas dos lados: e Perímetro: P Área: Fazendo A P, temos: 0 (não convém) ou / Portanto, (/). o Despejase 0 g de ácido no vidro II. I) ( 0) g ácido II) ( + 0) g mistura o Despejase ( + 0) g da mistura no vidro I. I) ( 0) + ( + 0) II) ( + 0) ( + 0) ( + 0) ( 0) + ( + 0) [. ( + 0)] ( 0) ( + 0) ( + 0) ( 0) ( + 0) g 0 B A cada hora ficam no reservatório ( ) litros. Logo, a capacidade do reservatório era de 7 litros. MATEMÁTICA I MATEMÁTICA Volume 0 09