Cirlei Xavier Bacharel e Mestre em Física pela Universidade Federal da Bahia

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1 Álvaro Andrini & Maria Vasconcellos SOLUÇÃO PRATICANDO MATEMÁTICA - 9º ANO Bacharel e Mestre em Física pela Universidade Federal da Bahia Maracás Bahia Março de 2017

2 Sumário 1 Potenciação e radiciação Revendo a potenciação (Exercícios) Propriedades das potências (Exercícios) Uma aplicação da potenciação - a notação científica (Exercícios) Revendo a radiciação (Exercícios) Propriedades dos radicais (Exercícios) Simplificação de radicais (Exercícios) Adição e subtração de radicais (Exercícios) Cálculos com radicais (Exercícios) Exercícios Revisando Equações do 2º grau Equações (Exercícios)

3 Sumário 2

4 Capítulo 1 Potenciação e radiciação 1.1 Revendo a potenciação (Exercícios) 1. Num depósito há 10 caixas; cada caixa contém 10 pacotes, e cada pacote contém 10 parafusos. Quantos parafusos há no total? Como temos 10 caixas, com cada caixa contendo 10 pacotes e em cada pacote contendo 10 parafusos, então, a quantidade de parafusos nas dez caixas será o produto do número de caixas pelo número de pacotes e pelo número de parafusos, ou seja: = 10 3 = parafusos. 2. Qual é o expoente? a) 2 x = 8 2 x = 8 2 x = 2 3 x = 3 b) 7 x = 49 7 x = 49 7 x = 7 2 x = 2 c) 10 x = x = x = 10 4 x = 4 d) 0 x = 0 0 x = 0 x é qualquer número natural 0, pois 0 1 = 0 2 = 0 3 =... = 0 n = 0 e) (+2) x = 32 2 x = 32 2 x = 2 5 x = 5 f) ( 2) x = 64 ( 2) x = 64 ( 2) x = 2 6 ( 2) x = ( 2) 6 x = 6 g) ( 2) x = 128 ( 2) x = 128 ( 2) x = 2 7 ( 2) x = ( 2) 7 x = 7 h) ( 3) x = 9 ( 3) x = 9 ( 3) x = 3 2 ( 3) x = ( 3) 2 x = 2 i) ( 3) x = 27 ( 3) x = 27 ( 3) x = 3 3 ( 3) x = ( 3) 3 x = 3 j) ( 10) x =

5 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 4 ( 10) x = ( 10) x = 10 5 ( 10) x = ( 10) 5 x = 5 3. Qual é o número maior: 22 2 ou 2 22? e 22 2 = = = Sabemos que > 22 22, portanto, analisando os dois números acima, concluímos que 2 22 > Complete o quadro que traz a área e o perímetro de cinco quadrados diferentes. 5. Calcule. Lado 3 7 1,5 1/2 x Área =49 1,5 2 =2,25 1/2 2 =1/4 x 2 Perímetro 4 3= =28 4 1,5 =6 4 1/2=2 4 x=4x a) ( 7) 2 ( 7) 2 = 7 7 = 49 b) = 7 7 = 49 Os resultados são iguais ou diferentes? Por quê? O resultado é diferente, pois a potência ( 7) 2 têm base negativa e expoente par, logo o número é positivo. Já a potência 7 2 a base é positiva, o expoente positivo, mas o número é negativo, pois tem o sinal de menos na frente. 6. Calcule. a) ( 3) 4 ( 3) 2 ( 3) 2 = 9 9 = 81 b) = 9 9 = 81 c) = 25 5 = 125 d) ( 5) 3 ( 5) 2 ( 5) = 25 ( 5) = 125 e) ( 1,4) 2 ( 1,4) ( 1,4) = 1,96 f) 1,4 2 1,4 1,4 = 1,96 7. Um gato come 4 ratos por dia. Quantos ratos 4 gatos comem em 4 dias? Um gato come 4 ratos por dia, então em 4 dias ele come 4 4 = 4 2 = 16 ratos. Agora, se temos 4 gatos, então eles comem em 4 dias = 4 3 = 64 ratos. 8. Qual é o valor de a? a) a 5 = 1 a 5 = 1 a 5 = 1 5 a = 1 b) a 6 = 0 a 6 = 0 a 6 = 0 6 a = 0 c) a 3 = 8 a 3 = 8 a 3 = 2 3 a = 2 d) a 2 = 25 a 2 = 25 a 2 = 5 2 = ( 5) 2 a = 5 ou a = 5 e) a 4 = 16 a 4 = 16 a 4 = 2 4 = ( 2) 4 a = 2 ou a = 2 f) a 2 = 9 a 2 = 9 a 2 = 3 2 ( 3) 2 não existe a, tal que a 2 = 9 9. Traduza para a linguagem matemática: a) o quadrado de 5; 5 2 = 25 b) o dobro do quadrado de 5; = 2 25 = 50 c) o cubo de 5; 5 3 = = 5 25 = 125 d) o triplo do cubo de = = 375

6 1.1. Revendo a potenciação (Exercícios) Seguindo o mesmo padrão de construção do prédio abaixo em relação à posição das janelas (ver no livro), foi construído outro com 7 blocos, também numerados de cima para baixo como o da figura. Nesse novo prédio, qual é o número de janelas do 7º bloco (o mais próximo do chão)? 1 o bloco 1 = 1 2 janela 2 o bloco 4 = 2 2 janelas 3 o bloco 9 = 3 2 janelas... 7 o bloco 7 2 = 49 janelas Portanto, o novo prédio terá 49 janelas no 7 o bloco. 11. Copie e complete cada uma das tabelas utilizando as potências de base 10. Kg g = = = 10 6 m cm = = = Calcule. ( ) 4 2 a) 5 b) 42 5 = 16 ( 5 c) 3 ) 2 10 ( 4 5) 2 = = ( 3 ) ( 3 ) = = ( d) 9 2 ( 8) 9 ) ( 9 ) = = ( e) 1 5 ( 2) 1 ) ( 1 ) 4 = = = 1 32 ( f) 1 6 ( 2) 1 6 ( ) 1 6 = = 2) = Um restaurante oferece três tipos de saladas, três tipos de carne e três tipos de sobremesa. Quantas refeições diferentes podem ser oferecidas, se cada uma deve conter uma salada, um tipo de carne e uma sobremesa? O número total de refeições distintas será dado pelo produto dos três tipos de saladas, pelo três tipos de carne e pelo três tipos de sobremesa, ou seja, = 3 3 = 27. Portanto, podem ser oferecidas 27 refeições diferentes no restaurantes. 14. Copie e complete os quadros. 3 3 = = = = 1 ( ) = = ( ) = = = 1 9 ( 3) 3 = 27 ( 3) 2 = 9 ( 3) 1 = 3 ( 3) 0 = 1 ( ) 1 1 ( 3) 1 = = ( 3) 2 = ( 1 2 ( ) 1 2 = = 3) = 1 9 Responda. a) As potências 3 1 e ( 3) 1 são iguais ou diferentes?

7 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 6 ( ) 1 1 São diferentes, pois 3 1 = = 1 ( ) e ( 3) 1 = = = 1 3 b) As potências 3 2 e ( 3) 2 são iguais ou diferentes? ( ) 1 2 São iguais, pois 3 2 = = 1 ( ) 1 2 ( 3 9 e ( 3) 2 = = 1 2 ( ) 1 2 = = 3 3) Calcule. ( ) 1 2 a) = = = 1 49 ( ) 5 2 ( ) 5 2 ( 7 2 b) = = 7 7 5) = ( ) 2 4 ( ) 2 4 ( 3 4 c) = = 3 3 2) = Propriedades das potências (Exercícios) ( ) 1 3 d) = = = ( ) 2 3 ( ) 2 3 ( 5 3 e) = = 5 5 2) = ( ) 6 1 ( ) 6 1 ( ) f) = (2) = = O desenho abaixo (ver no livro) representa o cruzamento de linhas horizontais com linhas verticais. Quantos pontos haveria se tivéssemos 18 linhas horizontais e 18 verticais? Observando o desenho, vemos que temos 12 pontos. Esse valor obtemos quando multiplicamos o número de pontos, por exemplo, na primeira linha vertical pelo número de pontos, por exemplo, na última linha horizontal. Agora, se temos 18 linhas horizontais e 18 verticais, então a quantidade de pontos é = 18 2 = Transforme numa única potência. a) = 5 (7+2) = 5 9 b) a a 4 a a a 4 a = a (1+4+1) = a 6 c) = 7 (1+3+2) = 7 6 d) 7 10 : = 7(10 4) = 7 6 e) 3 2 : = 3[2 ( 5)] = 3 (2+5) = 3 7 f) 10 6 : 10 3 : : 10 = 10(6 3) : 10 = 10 3 : 10 = 10 (3 1) = Certo ou errado? Anote a resposta no caderno. a) (8 3 ) 2 = 8 5 (8 3 ) 2 = = = 8 5, errado pois, b) 6 7 : 6 5 = = 62 6 [7 ( 5)] = = 6 2, errado pois, c) (5 + 3) 2 = (5 + 3) 2 = (8) 2 = = = 34, errado pois, d) = = (4 5) = = 10 1, certo. 19. No chaveiro representado na figura (ver no livro), são guardadas as chaves de um estacionamento. Em cada gancho são colocadas 5 chaves. No total, quantas chaves podem ser guardadas? Temos 5 ganchos numa linha vertical e 5 ganchos numa linha horizontal, então, temos um total de 5 5 = 5 2 = 25 ganchos no chaveiro. Como cada gancho são colocadas 5 chaves, portanto, o número total de chaves que pode ser guardadas é o produto dessas 5 chaves pelo

8 1.3. Uma aplicação da potenciação - a notação científica (Exercícios) 7 número total de ganchos, 5 2, ou seja, = 5 3 = Calcule mentalmente o valor de: : ( ) = 2 3 = Relacione as expressões que têm o mesmo valor. A = 7 4 B (7 2 ) 4 (7 2 ) 4 = 7 (2 4) = 7 8 C (5 2 ) 2 (5 2 ) 2 = 5 (2 2) = 5 4 D = 5 (2+4) = 5 6 I = 7 (3+1) = 7 4 II = 5 4 III (5 2 ) 3 (5 2 ) 3 = 5 (2 3) = 5 6 IV = (7 2 ) 4 = 7 (2 4) = 7 8 Temos a relação: A-I, B-IV, C-II e D-III. 22. Simplifique. a) (72 ) 3 7(2 3) (7 3 ) 2 = 7 (3 2) = = 1 b) (3 52 ) 3 (3 2 5) 2 = 33 (5 2 ) 3 (3 2 ) = = 3(3 4) 5 (6 2) = Resolva mentalmente o problema. Em uma caixa há 3 7 lápis. Quantos pacotes, com 3 5 lápis em cada um, vou conseguir embalar? Se uma caixa contém 3 7 lápis e se quero formar pacotes, com 3 5 lápis em cada um, então devo fazer a razão do total de lápis da caixa pelo número de lápis que vai conter em cada pacote, ou seja: = 3(7 5) = 3 2 = 9 Portanto, vou conseguir embalar 9 pacotes. 24. Quanto é: a) o dobro de 2 10? O dobro de 2 10 é , então = 2 (1+10) = 2 11 b) o quádruplo de 2 10? O quádruplo de 2 10 é = , então = 2 (2+10) = 2 12 c) o quadrado de 2 10? O quadrado de 2 10 é (2 10 ) 2, então (2 10 ) 2 = 2 (10 2) = 2 20 d) o cubo de 2 10? O cubo de 2 10 é (2 10 ) 3, então (2 10 ) 3 = 2 (10 3) = Uma aplicação da potenciação - a notação científica (Exercícios) 25. Escreva os números utilizando notação científica.

9 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 8 a) = c) 0, ,00756 = 7, b) = 8, d) 0, ,00009 = Escreva, em notação científica, os números que aparecem nas frases. a) O coração humano bate cerca de de vezes em um ano = 3, b) Há cerca de 60 milhões de células na retina do olho humano. 60 milhões = = 6, c) A espessura de uma folha de papel é de 0,005 mm. 0,005 mm = 5, mm d) A distância da Terra à Lua é de, aproximadamente, metros m = 3, m 27. Escreva, em notação científica, cada um dos números que aparecem nas frases. a) O estádio do Maracanã já acomodou um público de pessoas = 2, pessoas b) O rio Nilo é um dos mais compridos do mundo, com metros de extensão = 2, metros c) Em média, uma célula do corpo humano tem massa de 0, grama. 0, = 8, grama 1.4 Revendo a radiciação (Exercícios) 28. Expresse cada número como uma raiz quadrada. 5 = 25 a) = 100, pois 10 2 = 100 b) 0 0 = 0, pois 0 2 = 0 c) = 169, pois 13 2 = 169 d) 2,6 2,6 = 6,76, pois 2,6 2 = 6,76 e) 0,2 0,2 = 0,04, pois 0,2 2 = 0,04 f) ( ) = 49, pois = Calcule mentalmente. a) 1 1 = 1, pois 1 2 = 1 b) = 11, pois 11 2 = 121 c) 1, ,21 = 100 = = 1,1, pois 1,12 = 1,21 d) 0, ,49 = 100 = 7 10 = 0,7, pois = 0,72 = 0,49 e) 0,09 9 0,09 = 100 = 3 10 = 0,3, pois 0,32 = 0,09 f) = 2 ( 2 5, pois 5 ) 2 = Um terreno quadrado tem 900 m 2 de área. a) Quantos metros mede o seu perímetro?

10 1.4. Revendo a radiciação (Exercícios) 9 A área do terreno quadrado é l 2, onde l é o comprimento do lado. Assim, o lado mede l 2 = 900 = (30) 2 l = 30 metros. O perímetro é a soma dos lados, então o perímetro do terreno quadrado é 4l = 4 30 = 120 metros. b) Qual será a área, em m 2, de um terreno com o triplo da medida do lado desse quadrado? O lado de um terreno com o triplo de 30 metros é 3 30 = 90 metros. Então, a área desse terreno é 90 2 = m Complete de modo a obter igualdades verdadeiras. a) 3 1 = x 3 1 = x x = 1, pois 1 3 = 1 b) 3 x = 2 3 x = 2 x = 8, pois 2 3 = 8 c) 3 x = 20 3 x = 20 x = 8.000, pois 20 3 = d) 3 0,008 = x 3 8 0,008 = x = x ( ) = 3 = x x = 0,2, pois 10 0,2 3 = 0,008 e) = x = x = 3 ( ) 3 = x x = 200, pois = f) 3 64 = x 3 64 = x = x x = 4, pois 4 3 = 64 g) 3 x = 40 3 x = 40 x = , pois 40 3 = ( h) 3 0,001 = x 3 ) ,001 = x = 3 = x x = 0,1, pois 0,1 3 = 0, Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 49 e a raiz cúbica de = 7 5 = O volume de um cubo é dm 3. Qual é o comprimento da aresta? Seja a a aresta do cubo, então a 3 = a 3 = 10 3 a = 10 dm. 34. Responda. a) Se 4 a = 3, qual é o valor de a? 4 a = 3 a = 81, pois 3 4 = 81 b) Se 5 a = 2, qual é o valor de a? 5 a = 2 a = 32, pois 2 5 = 32 c) Se 7 a = 1, qual é o valor de a? 7 a = 1 a = 1, pois 1 7 = 1 d) Se n 625 = 5, qual é o valor de n? n 625 = 5 n 5 4 = 5 n = 4, pois = 5

11 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 10 e) Se n 64 = 2, qual é o valor de n? n 64 = 2 n 2 6 = 2 n = 6, pois = Responda: 400 é quadrado de quais números? x 2 = 400 x = ± 400 x = 20 ou x = 20, pois (20) 2 = 400 e ( 20) 2 = Qual é o maior número: 2,81 ou 8? Devemos expressar o número 2,81, que está na forma decimal, na forma de radical, ou seja, como uma raiz quadrada, ou resolver a raiz quadrada de 8, mas como o número 8 não é um número exato e não podemos usar a calculadora, então, devemos expressar 2,81 na forma de radical. Observe: 8 = = 2 2 2,81 = (2,81) 2 = 7, > 7,8961, pois 8 > 7,8961 Portanto, como o radicando 8 é maior que o radicando 7,8961, ou seja, 8 > 7,8961, temos que 8 > 2, O senhor José tem um galinheiro quadrado, com uma área de 5 m 2, que precisa ser cercado com tela. Que número inteiro de metros de tela ele precisa comprar? O comprimento do lado do galinheiro quadrado, l, é l 2 = 5 l = 5 metros. O comprimento total do galinheiro quadrado é o seu perímetro, soma dos lados, 4l = 4 5 8,94 metros. Portanto, precisa comparar 9 metros de tela, pois 9 é o primeiro número inteiro depois do número Calcule, caso exista, no conjunto dos números reais: a) = 2 6 = (2 3 ) 2 = 2 3 = 8, pois 8 2 = 64 b) = 2 6 = (2 3 ) 2 = 2 3 = 8, observe que 8 2 = 64 c) = 2 6 = (2 3 ) 2 = 8 1, não se define em R (não existe em R) d) = = 3, pois 3 4 = 81 e) = = 3, observe que 3 4 = 81 f) = = 3 1, não se define em R (não existe em R) g) = = 3, pois 3 3 = 27 h) = = 3, observe que 3 3 = 27 i) = = 3 ( 3) 3 = ( 3) = 3, observe que ( 3) 3 = 27

12 1.5. Propriedades dos radicais (Exercícios) Propriedades dos radicais (Exercícios) 39. Calcule. a) = (2 6 ) 1 2 = = 2 3 = 8 b) = (20 2 ) 1 2 = = 20 c) = (2 3 ) 2 3 = = 2 2 = 4 d) ( ) 1 ( ) 1 2 = ( ) 1 ( ) = 2 4 = 5 5 e) 100 0, ,5 = (10 2 ) 0,5 = ,5 = 10 f) 625 0, ,25 = (5 4 ) = = 5 g) = (2 5 ) 5 1 = = 2 ( ) 1 ( ) 1 8 h) ( ) = 3 2 = Simplifique. a) = = 7 1 = 7 b) = = 2 1 = Calcule as raízes por fatoração do radicando. a) = 7 b) = 11 c) = 13 d) = 5 e) = 5 f) = 7 g) = 4 (3 2 ) 2 = = 3 h) = 6 (3 3 ) 2 = = 3 i) = 2 j) = A figura (ver no livro) representa um escritório com duas salas quadradas de 9 m 2 de área cada uma. O corredor tem 1 m de largura. Qual é a área total do conjunto? Como cada sala tem área de 9 m 2 significa que o lado da cada sala é l 2 = 9 l = 9 = 3 metros. Assim, o corredor de 1 m de largura tem 2 3 = 6 m de comprimento. Dessa forma, a área total das duas salas é 2 9 = 18 m 2 e a área do corredor é 1 6 = 6 m 2. Portanto, a área do escritório é = 24 m Veja o que o professor escreveu na lousa: = 5 Justifique essa afirmação do professor. Está correto a expressão, pois o professor dividiu o índice da raiz e o expoente do radicando pelo mesmo número natural, o número 3, obtendo um radical equivalente ao primeiro, ou seja: = 6:3 5 3:3 = = Simplifique os radicais e, em cada item, responda: Que número você usou para dividir o índice e o expoente? a) = 4:2 7 6:2 = = 7 3, foi usado o número 2

13 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 12 b) = 9:3 5 6:3 = 3 5 2, foi usado o número 3 c) = 10:5 2 15:5 = = 2 3, foi usado o número 5 d) = 8:2 3 2:2 = = 4 3, foi usado o número Certo ou errado? a) = = 6:2 7 2:2 = = 3 7, Certo! b) = = = , Certo! c) = = 6:3 5 3:3 = = 5, observe que 5 3 5, Errado! d) 3 2 = = = , Certo! 46. Determine o maior dentre os números 3 3 e 4 4. Temos a raiz cúbica de 3, 3 4 3, e a raiz quarta de 4, 4. Para saber qual deles é o maior, devemos ter os índices iguais em ambos o radicais, isto é: 3 3 = = = = = = Assim, > 12 64, pois o radicando 81 é maior que 64, 81 > 64. Portanto, 3 3 > Escreva sob a forma de uma única raiz. a) = = 12 5 b) = = 15 2 c) = = = 12:2 3 2:2 = 6 3 d) 5 5 = = Leia a questão que Renato deve responder: A raiz quadrada da raiz quadrada de um número é igual a 3. Qual é esse número? Responda você também. x = x = 3 4 x = 3 x = 3 4 = 81, pois = 3. Portanto, o número é Certo ou errado? Responda em seu caderno. a) 21 = = 3 7 = 3 7, Certo! b) 3 40 = = = , Certo! c) = = = = 4 5 = 4 5 = , Errado! d) = = = 30, Certo! 50. Calcule, indicando o resultado sem radical. a) = 3 12 = 36 = 6 2 = 6 b) = = 3 8 = = 2 c) = = = 2 d) = = 11 2 = 11 e) = 2 50 = 100 = 10 2 = 10

14 1.6. Simplificação de radicais (Exercícios) 13 f) 8 0,5 8 0,5 = 8 0,5 = 4 = 2 2 = 2 g) 0,1 10 0,1 10 = 0,1 10 = 1 = 1 h) 0, , = 0, = 5 2 = A figura (ver no livro) é constituída por duas partes retangulares (medidas em cm). a) Qual é a área do retângulo azul? O retângulo azul têm dimensões 2 e 8, ou seja, largura 2 cm e altura 8 cm. Portanto, a área é 2 8 = = 2 4 = 2 2 = 4 cm 2 6 cm 2 b) Qual é a área do retângulo verde? A área do retângulo verde é 4,5 8 = 4,5 8 = 52. Calcule, usando as propriedades dos radicais aritméticos. a) ( 10 ) 2 ( 10 ) 2 = = = 10 2 = 10 b) ( 3 8 ) 2 ( 3 8 ) 2 = = = = = 2 2 = 4 c) ( 3 7 ) 6 ( 3 7 ) 6 = = = 7 2 = 49 d) ( 3 2) 4 ( 3 2 ) 4 = (3 2 ) 4 = (3 4 ) 2 = 3 4 = = 9 4 = = (3 2) 2 = 53. A figura (ver no livro) mostra um retângulo e no seu interior um quadrado. Qual é a área da parte hachurada da figura? A área do retângulo é 6 8 = 48 e a área do quadrado no interior do retângulo é ( 3) 2 = 3. Assim, a área da parte hachurada é 48 3 = É verdade que 16 =? Sim!, observe 16 = = 4 = 2 e = = 6 = 23 = 2, então = Simplificação de radicais (Exercícios) 55. Verifique cada item, se está certo ou errado. a) 5 7 = = 25 7 = = 5 7, Certo! b) 3 4 = = 3 4 = = 2 3, Certo! c) 2 10 = = 4 5 = 4 5 = = 2 5, Errado! d) 2 5 = = 4 5 = = 2 5, Certo! e) = = = = 2 3 2, Certo! f) 9 8 = = = = 6 2, Certo! 56. Simplifique os radicais. a) = 2 49 = 2 49 = = 7 2 b) = 3 3 = = = 3 3 c) = 2 36 = 2 36 = = 6 2 d) = = = = 2 3 3

15 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 14 e) = = = = f) = = = = 3 2 = 9 g) = = = = 11 3 h) = = = = i) = = = j) = = = = Considere a sequência abaixo (ver no livro), em que a área de cada quadrado é a quarta parte da área do quadrado anterior: Sendo 256 cm 2 a área do primeiro quadrado, responda. a) Qual é a medida do lado do segundo quadrado? A área do segundo quadrado é 256/4 = 4 64/4 = 64 cm 2, então o seu lado mede l 2 = 64 l 2 = 2 6 l = 2 6 = 2 3 = 8 cm. b) Qual é a medida do lado do menor quadrado? O menor quadrado tem área 256/4 4 = 2 8 /2 8 = 1 cm 2, então o seu lado mede l 2 = 1 l = 1 = 1 cm. 58. O sólido abaixo (ver no livro) tem o volume de cm 3 e é formado por cubos de mesmo volume. Calcule a medida da aresta de cada cubo. Observe na figura que temos 9 cubos iguais, então cada cubo tem volume 4.374/6 = 729 cm 3. Então, medida da aresta de cada cubo é l 3 = 729 l = = = = = 3 2 = 9 cm 59. Mostre que as igualdades são verdadeiras: 12 a) 25 = = = = 2 = b) 27 = = = = 4 = Rodrigo está escrevendo uma sequência de cinco números. Qual é o número que ele ainda deverá escrever? 8, 18, 32, A sequência pode ser escrita da seguinte forma: 2 2 2, 2 3 2, 2 4 2, Dessa forma, o número que falta é: = 6 2 = 72.

16 1.7. Adição e subtração de radicais (Exercícios) Mostre que os números 4 3, 7 e 5 2 estão colocados em ordem crescente. Os números 4 3, 7 e 5 2 podemos ser escrito da seguinte forma: 4 3 = = = = 48 7 = 7 2 = 49 7 = = = = = 50 Os números colocados em ordem crescente: estão em ordem crescente 4 3 < 7 < < 49 < 50. Portanto, os números 62. Use propriedades dos radicais e consulte o quadro para achar um valor aproximado de: 2 1,41 3 1,73 5 2,23 6 2,44 7 2,64 a) = 3 4 = 3 4 = 2 3 = 2 1,73 3,46 b) = 2 9 = = 3 2 = 3 1,41 4,23 c) = 7 9 = = 3 7 = 3 2,64 7,92 d) = 5 16 = = 4 5 = 4 2,23 8,92 e) = 6 9 = = 3 6 = 3 2,44 7, Adição e subtração de radicais (Exercícios) 63. Responda. A igualdade: = 25 é verdadeira ou falsa? Por quê? Resolvendo ambos os lados da expressão = 25, obtemos: = = = 5 7 = 5 Falsa, porque Certo ou errado? a) 9 4 = = = 3 2 = 1, certo! b) = = = = 14, errado, pois 14 = 14 2 = = 10 c) = = (1 + 1) 21 = 2 21, errado, pois d) = = (1 + 1) 10 = 2 10, certo! 65. Efetue. a) = (5 + 3) 7 = 8 7 b) = (4 2) 5 = 2 5

17 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 16 c) = (2 + 3) 3 9 = d) = 0 5 = 5 ou 5 (1 + 1) 5 = = (1 2) 5 = 1 5 = 5 e) = (5 3) = = (2+2) 2 = 4 2 f) = ( ) 3 = 1 3 = Efetue. a) = = = 4 3 b) = = = = 3 3 c) = = 12 2 d) = = = 2 3 e) = = = = = 9 2 f) = = = = Nas figuras (ver no livro), as medidas indicadas são dadas em cm. Determine o perímetro de cada figura. a) Temos um retângulo de dimensões 44 e 99 cm, então, como o perímetro é a soma dos lados da figura geométrica, temos: p = p = p = = Portanto, o perímetro do retângulo dado é cm. b) Temos um triângulo de dimensões 125, 80 e 3 5 cm, então, como o perímetro é a soma dos lados da figura geométrica, temos: p = p = p = = 12 5 Portanto, o perímetro do triângulo dado é 12 5 cm. 68. Qual é o perímetro da figura (ver no livro)? Sabemos que o perímetro é a soma de todos os lados da figura geométrica. Então, observando a figura, temos que somar 72, que é o comprimento da base, com 72 da parte superior, onde a soma dos quatro lados superior resulta em 72, mais 18 e novamente 18, esses dois últimos os lados verticais da figura. Portanto, o perímetro é: p = p = p = p = = 18 2 cm

18 1.8. Cálculos com radicais (Exercícios) É verdade que = 80? Resolvendo o lado esquerdo da expressão dada, obtemos: = = = 4 5 = = 16 5 = 80 Sim, é verdade, pois encontramos que = Sabendo-se que os valores aproximados de 2 1,41 e 3 1,73, calcule um valor aproximado de: a) ,41 + 1,73 3,14 b) = = ,73 = 4,73 c) ,73 1,41 0,32 d) = = ,41 3, Situe (12 + 5)/3 entre dois números inteiros consecutivos. Resolvendo a expressão (12 + 5)/3, obtemos: = = 4 + Sabemos que 4 < 5 < 9, onde 4 = 2 e 9 = 3, então a raiz quadrado de 5 está entre 2 e 3, ou seja, 2 < 5 < 3. Daí, dividindo 5 por 3 resulta num número menor que 1, ou seja, 0, < 5/3 < 1. Portanto, a expressão é um número que está entre 4 e 5, isto é: 4 < < Cálculos com radicais (Exercícios) 72. Efetue as multiplicações, indicando o resultado sem radical. a) = 17 2 = 17 b) = = = 5 c) 2 40,5 2 40,5 = 2 40,5 = 81 = 9 d) = = 3 7 = 21 e) = = 6 5 = 30 f) = = 3 6 = Na figura (ver no livro), as medidas indicadas são dadas em cm. Determine a área desse retângulo. A área do retângulo é A = = = 15 2 = 30 cm 2.

19 Capítulo 1. Potenciação e radiciação Efetue. a) 14 : = 2 2 = 7 3 b) 3 20 : = = 3 4 c) 8 10 : = = 8 5 d) : = 4 2 = A área do retângulo é igual a 195 cm 2, e o comprimento mede 15 cm. Quanto mede a largura deste retângulo? A área de um retângulo é dado por A = c l, onde c é o comprimento e l a largura. Então, a largura será = 15 l l = = = = 13 cm Calcule a área do trapézio, supondo as medidas em cm. A área do trapézio é dado por: A = (B + b) h 2 onde B é a base maior, b é a base menor e h a altura do trapézio. Assim, temos A = ( ) = = = = 8 cm2 77. Calcule a área de cada um dos quadrados (ver no livro). a) O lado mede 2 + 1, então a área será A = ( 2 + 1) 2 = ( 2 + 1) ( 2 + 1) = = = b) O lado mede 2 + 3, então a área será A = ( 2+ 3) 2 = ( 2+ 3) ( 2+ 3) = = = Calcule, indicando o resultado sem radical a) = = 3 8 = b) = = 49 = c) = = = 4 = 2

20 1.9. Exercícios Revisando 19 d) = = = 4 = Simplifique: a) ou b) ou = = = = 2 + = = = = = = 1 = = 1 2 = = = = Para saber a área de determinada figura (ver no livro), uma pessoa calculou a área de cada parte da figura, encontrando a seguinte expressão: Outra pessoa calculou a área dessa mesma figura de outra maneira, chegando também ao resultado anterior. De que forma essa pessoa pode ter representado a área dessa figura? a) b) 2 ( 8 + 5) c) 5 ( 2 + 8) χ d) 8 ( 2 + 5) Podemos calcular a área da figura da seguinte maneira: 1- Calculando as áreas separadas (área de cor branca e área de cor laranja) e depois somando-as: A = = = = Observe que: A = = = 2 ( ) 2 ( 8 + 5). 2- Somando o lado superior do retângulo, 2 + 5, para depois calcular a área total: Portanto, a resposta é a letra d. A = 8 ( 2 + 5) = Exercícios Revisando 81. Calcule. a) ( 7) ( 7) 2 = ( 7 7) = = 0 b) = = 37 ( c) 3) 2 3 ( ) = = = d) ( 3) ( 3) 2 10 = = 26 e) = = =

21 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 20 ( f) 5 0 ( 1) 2) 1 2 ( 5 0 ( 1) 1 ) 2 = = = = 7 4 ( g) ( ) 2) 1 1 ( 1 2) 1 4 ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 4 ( ) 3 1 = + = + = = = Escreva os números dos cartões em ordem crescente. A: 2 5 = 32 A: 2 5 B: C: ( 2) 3 D: 2 2 E: 5 2 F: 3 3 B: = 100 = 10 C: ( 2) 3 = 8 ( ) 1 2 D: 4 2 = = = 0,0625 E: 5 2 = 25 F: 3 3 = 27 Assim, temos 8, 1,10,25,27,32 C,D,B,E,F,A Escreva o número 1 9 na forma de uma potência de base = 1 ( ) = = Sabendo que 29 2 = 841, calcule mentalmente. a) 2,9 2 2,9 2 = 4,81; observe o deslocamento da vírgula. b) 0,29 2 0,29 2 = 0,0481 c) = Sabendo que a é um número inteiro positivo, indique, em seu caderno, as expressões equivalente. A: a + a + a + a + a = 5a B: a a a a a = a 5 C: (a + a) (a + a + a) = 2a 3a = 6a 2 D: (a + a + a) (a a) = 3a a 2 = 3a 3 E: (a a a) (a + a) = a 3 2a F: (a a) + (a + a) = a 2 + 2a 1: a 5 B 1 2: 3a a 2 D 2 3: 5a A 3 4: a 2 + 2a F 4 5: 2a 3a C 5 6: a 3 2a E Já calculei 8 4. Deu Calcule mentalmente = (2 3 ) 4 = 8 4 = Qual dos números é o menor?

22 1.9. Exercícios Revisando 21 ( ) 1 2 χ a) = = 1 81 b) = = 1 3 c) = = Uma fábrica produz garrafas de refrigerantes com capacidade de 1 litro, 1 litro e 2 2 litros, cada uma delas disponível nos sabores guaraná, limão e laranja. Quantas possibilidades de escolha existem para o consumidor que levar apenas uma garrafa? Temos um total de 9 garrafas, sendo 3 no sabor guaraná, 3 no sabor limão e 3 no sabor laranja, ou seja, 3 3 = 3 2 = 9 possibilidades. Observe no produto 3 3 = 9 que, por exemplo, o primeiro fator 3 se refere o número de garrafas e o segundo fator 3 o número de sabores. 89. Determine os dois termos seguintes de cada uma das sequências indicadas. a) 1,4,9,16, ,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,..., então os dois termos seguintes são 25 e 36. b) 1,8,27,64, ,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,..., então os dois termos seguintes são 125 e 216. c) 1, 1 2, 1 4, 1 ( 1 0 ( ) 1 1 ( ) 1 2 ( ) 1 3 ( ) 1 4 ( ) ),...,,,,,..., então os dois termos seguintes são e c) 2 3, 4 9, 8 27, , , , , 25 16,..., então os dois termos seguintes são e Usando cubinhos iguais, Alice fez a construção ao lado (ver no livro): a) Determine o menor número de cubinhos que Alice teria de acrescentar à construção para obter um cubo. Para formar um cubo com a figura dada, devemos preencher cada canto da figura com 5 cubinhos, como são 4 cantos, temos 4 5 = 20 cubinhos. Depois acrescentar mais duas camadas na vertical em dois lados, uma com 5 5 = 25 cubinhos e outro com 4 5 = 20 cubinhos. Assim, temos que acrescentar = 65 cubinhos. Dessa forma, obtemos um cubo de = 125 cubinhos. b) Determine o menor número de cubinhos que Alice teria de retirar da construção para obter um cubo. Devemos retirar as laterais, isto é, 4 (2 5) = 40 cubinhos e depois retirar três camadas, como cada camada tem 4 cubinhos, será agora retirado 3 4 = 12 cubinhos. Assim, devemos retirar = 52 cubinhos que resultará num cubo de = 8 cubinhos. 91. Simplifique. a) = = b) (2 3)7 (3 5) = ( )( ) 3 9 = = = Uma feira de livros foi instalada num prédio de 3 andares, cada andar dividido em 3 setores. Compondo cada setor havia 3 estantes, e em cada um deles trabalhavam 3 pessoas, que foram identificadas com um crachá. Quantos crachás, no mínimo, foram confeccionados? Se o prédio tem 3 andares e em cada andar 3 setores, então temos 3 3 = 9 setores no total.

23 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 22 Se cada setor tem 3 estantes e em cada um deles trabalham 3 pessoas, então temos 3 3 = 9 pessoas por setor. Portanto, temos 9 9 = 81 pessoas na feira de livros, será confeccionados 81 crachás. Observe = 3 4 = 81 pessoas, onde temos 3 andares, 3 setores por andar, 3 estantes por setor e 3 pessoas por estante. 93. Calcule. a) = = 3 b) 1,1 0,29 = 1,10 0,29 = 0,81 = 0,9 c) = = 25 = 5 d) = = 6 3 = 2 e) = = 36 = 6 f) ( 5) = = 1 = 1 g) = 5 3 ( 2) = 5 ( 2) = = 1 h) ( 7) = = 8 12 = Observe o quadrado representado na figura (ver no livro): Área = 150 cm 2 Responda. a) Você pode indicar o lado do quadrado como 150 cm? Sim, pois A = l 2 = ( 150) 2 = 150 cm 2 b) Qual é o número natural que elevado ao quadrado resulta 150? Não existe, pois l 2 = 150 l = 150 = 12, Tente o 11. É muito ou pouco? É pouco, pois 11 2 = 121. Tente o 12. É muito ou pouco? É pouco, pois 12 2 = 144. Tente o 13. É muito ou pouco? É muito, pois 13 2 = 169. c) O lado desse quadrado é um número natural? Entre quais dois números naturais consecutivos está 150? Não, é um número irracional e está ente os números naturais 12 e 13, ou seja, 12 < 150 < 13. d) Com o auxílio da calculadora, calcule aproximadamente a medida do lado desse quadrado. l = 150 = 12, ,247 cm 95. Qual é maior: a) 40 ou 6? 6 = 36, como o radicando 40 é maior do que 36, então temos 40 > 6.

24 1.9. Exercícios Revisando 23 b) 5 ou 2,2? 2,2 = 4,84, como o radicando 5 é maior do que 4,84, então temos 5 > 2,2. c) 50 ou 7,1? 7,1 = 50,41, como o radicando 50,41 é maior do que 50, então temos 7,1 > 50. d) 5,29 ou 2,3? 2,3 = 5,29, são iguais. 96. Calcule a diferença entre a raiz quadrada de 64 e a raiz cúbica de = 8 2 = Simplifique. a) 576 = 9 64 = = = 24 b) = = = 3 c) = = = 4 (2 3 ) 4 = 8 d) = = = = 120 e) π 2 = π f) = = = 3 g) = = = 5 9 = 45 h) = = Simplifique. a) 99 = 9 11 = = 3 11 b) 450 = 9 50 = = = 15 2 c) 800 = = = 20 2 d) 432 = = = = (FMRP-SP) Um pai pretendia dividir uma pizza em 4 pedaços iguais, um para cada pessoa da família. Porém, a sua filha pediu-lhe o pedaço correspondente ao quadrado da fração que lhe caberia, e o filho, a raiz quadrada da fração que lhe caberia. A sua esposa ficou com a quarta parte e ele com o restante. Que fração correspondeu ao pedaço do pai? ( ) 1 2 Filha: = = 0,0625

25 Capítulo 1. Potenciação e radiciação 24 Filho: 1 4 = 1 2 = 0,5 Esposa: 1 4 = 0,25 Pai: 1 (0, ,5 + 0,25) = 1 (0, ,25) = 1 0,8125 = 0,1875 ( 1 ou ( ) = 1 = 1 4) = = Situe entre dois números inteiros consecutivos = = = = 10 3 = 3, Portanto, está entre 3 e 4, isto é, 3 < < 4.

26 Capítulo 2 Equações do 2º grau 2.1 Equações (Exercícios) 1. 25