Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 POBEMAS ESOVIDOS DE FÍSICA Pof. Aneson Cose Gauo Depatamento e Físca Cento e Cêncas Eatas Unvesae Feeal o Espíto Santo aneson@np.ufes.b Últma atualzação: 8/11/6 15: H 4 - e e Ampèe Funamentos e Físca Hallay, esnc, Wale 4ª Eção, TC, 1996 Físca esnc, Hallay, Kane 4ª Eção, TC, 1996 Físca esnc, Hallay, Kane 5ª Eção, TC, 3 Cap e e Ampèe Cap e e Ampèe Cap O Campo Magnétco e uma Coente Pof. Aneson (Itacaé, BA - Fev/6)

2 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES HAIDAY, ESNICK, WAKE, FÍSICA, 4.ED., TC, IO DE JANEIO, FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTUO 31 - EI DE AMPÈE EXECÍCIOS E POBEMAS Hallay, esnc, Wale - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 31 e e Ampèe

3 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES ESNICK, HAIDAY, KANE, FÍSICA, 4.ED., TC, IO DE JANEIO, FÍSICA 3 CAPÍTUO 35 - EI DE AMPÈE POBEMAS Um longo gampo e cabelo é fomao obano-se um fo, como mosta a Fg. 3. Se uma coente e 11,5 A passa pelo fo, (a) quas seão a eção, o sento e a ntensae e B no ponto a? (b) E no ponto b, que está muto stante e a? Consee = 5, mm. Poe-se v o gampo em tês setoes: 1, e 3. 1 (Pág. 169) a b y z 3 (a) O campo magnétco em a (BBa) seá a soma as contbuções os setoes 1, e 3. B = B B B a a1 a a a3 Como as contbuções os setoes 1 e 3 são eatamente guas, temos: B = B B a a1 O cálculo e BBa1 é feto po meo a equação e Bot-Savat: (1) esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 3

4 Poblemas esolvos e Físca θ a l Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES y z μ l ˆ De acoo com o esquema acma: B a1 = () l = senθ = ( ) 1/ = Agoa poe-se etoma (): μ.1.sen θ μ. Ba1 = = 3 Ba1 = 3/ 4 π ( ) 3/ 1/ π π μ Ba1 = = 4 ( ) 4 ( ) μ Calculo e BBa: μ l ˆ B a = Ba1 = (3) l a y z Nesse esquema tem-se: l = s ogo: μ s.1.sen( π ) Ba = = s π Ba = s Ba = (4) 4 Substtuno-se (3) e (4) em (1): esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 4

5 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES μ μ μ 4 3 Ba = = ( π ) = (1, T) Ba (1,14 mt) (b) O cálculo e B b é feto amtno-se que a stânca ente a e b é sufcentemente gane e tal foma que o campo geao em b equvale ao campo pouzo po os fos nfntos paalelos, eqüstantes e b e conuzno a mesma coente em sentos contáos. 4 Bb = = = (8, T) π π Bb (,885 mt) Nota-se que a cuvatua o gampo popocona aumento na ntensae o campo magnétco em a quano compaao ao ponto b. 14. Um segmento e fo e compmento é pecoo po uma coente. (a) Moste que o campo magnétco geao po este segmento no ponto P, que está a uma stânca pepencula D e um os etemos o fo (veja Fg. 34), é ao po. B =. 1/ D D ( ) (b) Moste que o campo magnétco é nulo no ponto Q, ao longo a eta que conce com o fo. (Pág. 17) (a) Consee o segunte esquema, que mosta o elemento e campo magnétco B no ponto P geao pelo elemento e conuto s que conuz uma coente. P B y D z θ s s = De acoo com a le e Bot-Savat, B é ao po: μ ˆ s B = μ s 1sen θ μ senθ s B= = esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 5

6 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES O esquema mosta que D senθ =, = D ( ) ogo: D B= 3/ D ( ) 1/, e s =. D D B= 3/ 1/ = D ( ) D D ( ) B μ D ( ) = B= D D ( ) ogo, o móulo e B vale: B = D D ( ) ( ) D D 1/ 1/ 1/ (b) O ponto Q fca na eção a coente. Isso faz com que o veto faça ângulo zeo com s, o que tona B e, consequentemente B, nulos. 15. Consee o ccuto a Fg. 35. Os segmentos cuvos são acos e cículos e aos a e b. Os segmentos etlíneos são aas. Ache o campo magnétco B em P, supono uma coente pecoeno o ccuto. O campo magnétco no ponto P é ao po: B = B B B B P P1 P P3 P4 (Pág. 17) As contbuções os setoes aas esqueo e eto são nulas evo à colneaae ente o fo e o ponto P. Potanto: B = B B 3 P P1 P (1) esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 6

7 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES Conseano-se que o móulo o campo magnétco no cento e um ccuto ccula e ao, no qual tafega uma coente, é ao po (Eq. 16, pág. 158) B =, poe-se consea que os acos efnos pelos aos a e b pouzem campos magnétcos em P que coesponem a uma fação o compmento o cículo. Ou seja: μ b θ B μ θ P1 = = () b πb b μ a θ B μ θ P = = (3) a πa a Substtuno-se () e (3) em (1): θ θ BP = b a BP θ 1 1 = b a 17. (a) Moste que B, no cento e uma espa e fo etangula, e compmento e lagua, pecoa po uma coente, é aa po ( ) B = π 1/ (b) A que se euz B quano >>? Este é o esultao que se evea espea? (Veja o Eemplo 1.) (Pág. 17) O campo magnétco no cento a espa é o esultao a sobeposção os campos magnétcos pouzos pelos quato segmentos e fo que compõem a espa, seno que toos os segmentos contbuem com campos que possuem mesma eção e sento. Amtno-se que o sento a coente seja hoáo, o campo magnétco no cento a espa apontaá paa ento a págna, pepencula ao plano o papel. / / O campo magnétco pouzo po uma coente que tafega num segmento e fo e compmento a, a uma stânca b otogonal ao cento o segmento poe se calculao po meo a le e Bot- Savat. Consee o esquema abao, one s = : esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 7

8 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES a/ b b θ s a μ ˆ s B = μ s.1. senθ μ. b b B = = = 3 3/ 4 π ( b ) a / / b a b.. a / 3/ 1/ π b π b b μ B = = 4 ( ) 4 ( ) a B = πb (4 b ) 1/ Sobeposção os campos e caa segmento: ogo: B = B B μ μ B =.. π 4 π 4 1/ 1/ ( ) 1/ 1/ 1/ 1/ B = = = π ( ) π ( ) π( ) π ( ) ( ) B = π 1/ (b) Paa >> : B = (1) π Sm. No Eemplo 1 temos os fos longos paalelos sepaaos po uma stânca e o campo é calculao a uma stânca o ponto méo ente os fos. A epessão obta fo: ' B = ' π ( ) Faze >> equvale a tansfoma a espa etangula em os fos longos paalelos sepaaos po uma stânca. Neste caso teemos = / e = em (). ogo: B B μ = π μ π =. () esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 8

9 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES 1. A Fg. 37 mosta uma seção eta e uma lâmna longa e lagua l pecoa po uma coente unfomemente stbuía, entano na págna. Calcule o campo magnétco B num ponto P no plano a lâmna e a uma stânca a sua boa. (Sugestão: Consee a lâmna como constuía po mutos fos fnos, longos e paalelos.) (Pág. 17) Consee o segunte esquema, em que um elemento a lâmna e lagua, localzao a uma stânca o ponto P, gea um elemento e campo magnétco B nesse local. O campo B aponta vetcalmente paa cma, e acoo com a ega a mão eta. O elemento e lâmna é equvalente a um fo fno e o elemento e campo geao é ao po: B P l μ B =. π Na epessão acma, é o elemento e coente que tafega pelo elemento e lâmna e lagua. Esta coente é uma fação /l a coente total. μ B =. π l O campo evo à lâmna completa é obto pela ntegação ao longo e sua lagua: μ l B = π l. l B = ln π l 3. (a) Um fo longo é encuvao no fomato mostao na Fg. 41, sem contato no ponto e cuzamento P. O ao a pate ccula é. Detemne o móulo, a eção e o sento e B no cento C a poção ccula, quano a coente tem o sento ncao na fgua. (b) A pate ccula o fo é gaa em tono o seu âmeto (lnha tacejaa), pepencula à pate etlínea o fo. O momento magnétco a espa ccula aponta agoa na eção a pate etlínea e no sento a coente nesta pate. Detemne B em C, neste caso. esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 9

10 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES (Pág. 171) (a) O campo magnétco no ponto C (B) é a supeposção o campo magnétco pouzo po uma coente que tafega num fo nfnto (BBf), a uma stânca otogonal o fo, e o campo pouzo no cento e um anel e coente e ao (B ab ). B= B B f a O móulo o campo magnétco no cento e uma espa ccula e ao, no qual tafega uma coente, é ao po (Eq. 16, pág. 158) B =. ogo: B = π (b) 1 B= 1 π C B= B B f a P B= μ μ π 1 B = π μ z y 36. A Fg. 46 mosta um fo longo pecoo po uma coente 1. A espa etangula é pecoa po uma coente. Calcule a foça esultante sobe a espa. Suponha que a = 1,1 cm, b = 9, cm, = 3,3 cm, 1 = 8,6 A e = 1,8 A. esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 1

11 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES Consee o esquema abao: (Pág. 17) FA 1 FD B FB y z FC A foça sobe a espa é a soma as foças magnétcas sobe os segmentos A, B, C e D. F = FA FB FC F D A smeta envolva na stuação o poblema pemte-nos conclu que: ogo: F B = F D F= F F A C F= l B l B A A C C = μ μ = μ b F j j j μa μ( a b) μ a( a b) 7 ( 1 T.m/A)( 8,6 A)( 1,8 A)(,33 m) F = π (,9 m) (,11 m) (,11 m) (,9 m) j = 3 ( 3, 7 1 N) F j 3 ( 3,749 1 N) j 37. A Fg. 47 mosta um esquema ealzao e um canhão e tlho eletomagnétco, pojetao paa lança pojétes com velocaes e até 1 m/s. (Está seno estuaa a possblae e se usa este apaelho como efesa conta mísses balístcos.) O pojétl P se localza ente e em contato com os tlhos paalelos, ao longo os quas ele poe eslza. Um geao G fonece uma coente que enta po um os tlhos, atavessa o pojétl e volta pelo outo tlho. (a) Seja w a stânca ente os tlhos, o ao e caa tlho (supostos cculaes) e a coente. Moste esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 11

12 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES que a foça sobe o pojétl é paa a eta e seu móulo é ao apomaamente po 1 μ w F = ln π (b) Se o pojétl pate o epouso na etemae esquea o tlho, ache a velocae v com que ele seá lançao na etemae eta. Suponha que = 45 A, w = 1 mm, = 6,7 cm, = 4, m e a massa o pojétl é m = 1 g. Consee o segunte esquema a stuação: l 1 B1 B S F s w A coente não passa po aqu y z (Pág. 17) O campo magnétco ente os tlhos, na posção em que se enconta o pojétl, coespone à soma os campos pouzos pelas coentes que passam po ambos os tlhos. Chamano e BB1 o campo evo à coente no tlho supeo e B B o campo evo à coente no tlho nfeo e conseano-se o esultao o Poblema 14, teemos: l B1 = s l s ( ) ( ) B = μ ( w s ) l ( w s ) l O campo esultante na egão o pojétl vale: B μ l 1 1 = ( s) l ( s) ( w s ) l ( w s ) Note que B é o campo magnétco a uma stânca l a etemae esquea os tlhos e a uma stânca s a pate ntena o tlho supeo. Potanto, o valo e B vaa à mea que o pojétl se esloca paa a eta e também vaa na vetcal, ao longo o pópo pojétl. Quano o pojétl está localzao a uma stânca l a etemae esquea, o elemento e foça F num segmento S sobe o mesmo vale: F= S B De acoo com o pouto vetoal, o veto F aponta no sento postvo o eo. O móulo e F vale: esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 1

13 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES π F = Bs sen = Bs Substtuno-se o valo e B na ntegal: l w 1 1 F = ( s) l ( s) ( w s ) l ( w s ) l l ( w) l l F = ln ln π (1) w Amtno-se que l >> e l >> w, teemos: l l l F ln ln ln π w = π l w w F ln () π (b) Patno-se a seguna le e Newton, temos: v v l v F = ma = m = m = m v t l t l mvv = Fl Utlzano a epessão apomaa paa a foça magnétca, Eq. (), em (3) e ntegano: μ w μ w m vv Fl l π π v = ln ln = = l μ = ln π mv w w v ln =.31, 4 m/s (4) π m v,3 m/s O esultao obto acma é uma apomação. De acoo com a Eq. (1), a foça magnétca sobe o pojétl epene e sua posção em elação à etemae esquea os tlhos, l. Potanto, a foça é vaável ao longo o tajeto no nteo o canhão. Isso tona a aceleação também vaável, mpossbltano o uso e equações e movmento com aceleação constante. Poemos esolve o poblema e foma mas eata substtuno a Eq. (1) em (3) e ntegano: ( ) v l l w l l m vv ln ln = l π w s (3) esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 13

14 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES w ( w) ln v =.89, 48 m/s = (5) π m ( w) ln w v,3 m/s Dento o eo epemental, os os esultaos são guas. Note que o esultao apomao (4) poe se obto a pat o esultao mas eato (5). Paa sso, bastam consea l >> e l >> w: v ln ln ln ln πm = w πm w w v ln =.31, 4 m/s π m 38. No Eemplo 4, suponha que o fo supeo sofe um pequeno eslocamento paa bao e epos é solto. Moste que o movmento subseqüente o fo é hamônco smples, com feqüênca e osclação gual a e um pênulo smples e compmento. (Pág. 17) No Eemplo 4, um fo hozontal longo ígo é pecoo po uma coente a = 96 A. Outo fo é colocao paalelo e etamente acma o pmeo. Este seguno fo é pecoo po uma coente b = 3 A e pesa,73 N/m. A stânca em que o fo supeo fca em equlíbo sob a ação as foças peso e magnétca fo calculao como seno: 7 ( 1 T.m/A)( 96 A)( 3 A) π ( ) μ πλ,73 N/m ab 3 = = = 6,493 1 m Consee o segunte esquema: Fo supeo eslocao Equlíbo paa bao b Fb Ba P y Fb P Ba y a A foça magnétca F b que age no fo supeo, eva ao fo nfeo, vale: Fb = bb B a a Fb = bb π No equlíbo, esta foça é gual ao peso o fo: z esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 14

15 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES P = b b a π Agoa o fo supeo seá baao e uma stânca y, tal que y <<, e solto. Nesta opeação, o peso o fo não se altea. Poém, a foça F b aumenta e passa a se: a Fb = bb π y ( ) O movmento subseqüente é analsao po meo a seguna le e Newton: y Fy = ( Fb P) = m t O snal negatvo na soma as foças é evo ao caáte estauao a foça esultante. = m π ( y) π t a a y b b b b ab π b 1 1 = m ( y) t μ y y m π ( y) t ab b = y Conseano que y <<, e eaanjano a epessão: y ab b y t π m Compaano-se a equação acma com a equação feencal o movmento hamônco smples, compova-se que o movmento o fo supeo também é hamônco smples. y ω y = t Poemos econhece a feqüênca angula ω, como seno: ab b ab g g ab g ab ω = = = = π m m mg π g P π π b 7 ( 1 T.m/A)( 96 A)( 3 A)( 9,81 m/s ) 3 π ( )( ) g g ab ω = = = 4, 699 a/s πλ,73 N/m 6,493 1 m ω 4 a/s A feqüênca angula e um pênulo smples e mesmo compmento vale: ω ( 9,81 m/s ) ( 6,493 1 m) g = = = 4,699 a/s pênulo 3 ω 4 a/s pênulo b b esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 15

16 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES 4. Consee um fo longo clínco e ao pecoo po uma coente stbuía unfomemente ao longo a sua seção eta. Enconte os os valoes a stânca ao eo o fo paa os quas a ntensae o campo magnétco evo ao fo é gual à metae o seu valo na supefíce o fo. (Pág. 173) O campo magnétco na supefíce o fo clínco é faclmente obto pela le e Ampèe, po meo a constução e um ccuto e Ampèe ccula e ao em tono o fo. B. s = B.π = μ B = π Paa < : B/ B. s = μ( ) π.π = μ π = Paa < : B/ B. s = μ.π = = 55. Um efeto cuoso (e fustante) ocoe quano tentamos confna um conjunto e elétons e íons postvos (um plasma) no campo magnétco e um toóe. As patículas que se movem esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 16

17 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES pepenculamente a B não escevem tajetóas cculaes, pos a ntensae o campo vaa com a stânca aal ao eo o toóe. Esse efeto, que é vsto (eageao) na Fg. 56, faz com que patículas e snas opostos se esloquem em sentos opostos, paalelos ao eo o toóe. (a) Qual o snal a caga a patícula, cuja tajetóa é esboçaa na fgua? (b) Se o ao a tajetóa é e 11 cm quano a patícula está a uma stânca aal o eo gual a 15 cm, qual seá este ao quano a patícula estve a 11 cm o eo? (Pág. 174) O campo magnétco no nteo e um toóe, a uma stânca o seu eo é ao po (Eq. 3, Pág. 165) N B =, π one é a coente no conuto que envolve o toóe e N é o númeo e voltas o conuto. Quano uma patícula com caga q e velocae v se esloca otogonalmente às lnhas e campo o toóe, a foça magnétca sobe a patícula vale: F = qv B (1) O móulo essa foça vale: π F = qvb sen = qvb ogo: qvn F = () π Ou seja, a foça que age sobe a patícula epene e sua stânca ao eo o toóe, seno mao quano ela se enconta mas póma o eo. Se a foça fosse constante, o movmento que obsevaíamos sea ccula, e acoo com o segunte esquema: Eo o toóe F v Como a foça magnétca é mao à esquea e meno à eta, a tajetóa seá mas fechaa (meno ao) à esquea e mas abeta (mao ao) à eta. Note, poém, que a tajetóa é plana, e não em foma e espal. esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 17

18 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES Eo o toóe F v ao nstantâneo a tajetóa (a) O pouto vetoal na Eq. (1) nca que, paa que a tajetóa a patícula seja ascenente, sua caga eveá se negatva. (b) A tajetóa nstantânea a patícula poe se conseaa ccula, com a foça magnétca otogonal à sua velocae num etemnao ponto. O ao nstantâneo essa tajetóa poe se calculao se conseamos a foça magnétca () como seno a foça centípeta nstantânea esse movmento. qvn mv = π π mv = μ qn Note que é etamente popoconal a. Isso nos á a segunte elação paa os pontos 1 e ao longo a tajetóa: 1 1 = ogo: ( 11 cm 1 )( 11 cm) = = = 9,68 cm 15 cm 1 9,7 cm ( ) esnc, Hallay, Kane - Físca 3-4 a E. - TC Cap. 35 e e Ampèe 18

19 Poblemas esolvos e Físca Pof. Aneson Cose Gauo Depto. Físca UFES ESNICK, HAIDAY, KANE, FÍSICA, 5.ED., TC, IO DE JANEIO, 3. FÍSICA 3 CAPÍTUO 33 - O CAMPO MAGNÉTICO DE UMA COENTE EXECÍCIOS POBEMAS esnc, Hallay, Kane - Físca 3-5 a E. - TC - 3. Cap. 33 O Campo Magnétco e uma Coente 19