CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI

Transcrição

1 CEEJA MAX DADÁ GALLIZZI MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO APOSTILA 08

2 Parabéns!!! Você já é um vencedor! Voltar a estudar é uma vitória que poucos podem dizer que conseguiram. É para você, caro aluno, que desenvolvemos esse material. Foi pensando em seu sucesso e em auiliá-lo nas redescobertas da arte matemática que elaboramos o conteúdo e os eercícios contidos nesta coleção de apostilas. Ela foi escrita em linguagem simples e com a preocupação de transmitir os assuntos importantes de matemática da forma mais clara possível. Todos nós usamos matemática diariamente, mesmo sem perceber. Em uma compra, ao pagar e ao receber o troco, estamos fazendo matemática. Até para utilizarmos corretamente uma máquina de calcular, precisamos saber matemática. Para isto, em cada aula, você encontrará ferramentas matemáticas que passarão a fazer parte da sua vida para enriquecê-la e facilitála. A matemática não é um conjunto de regras que devam ser decoradas. O importante é compreender o que está por trás de cada regra; é compreender os conceitos. Assim você poderá utilizar os seus conhecimentos em situações novas, resolvendo os problemas que surgirem na sua casa, no seu trabalho, na sua vida. Uma parte fundamental dessa apostila são os Eercícios. Não se aprende matemática apenas lendo um teto. É preciso praticar. É preciso gastar lápis e papel resolvendo eercícios. Só assim ganhamos segurança no que aprendemos e ficamos preparados para a aula seguinte. Portanto, tente fazer os eercícios de cada aula. Talvez você não consiga resolver todos, mas o importante é tentar fazer. Também aprendemos muito com nossos próprios erros. Resolva todos os eercícios em seu caderno (não responder na apostila, pois a mesma será utilizada por outros alunos no decorrer do curso). Procure-nos assim que surgirem as primeiras dificuldades, nós estaremos sempre prontos para ajudálo. No fim do curso você terá adquirido uma série de conhecimentos de matemática que serão suas ferramentas para compreender melhor o mundo que nos cerca, tornando-o um cidadão mais seguro e respeitado. Mas, acima de tudo, você vai descobrir que pensar é divertido. Raciocinar é estimulante. Resolver desafios, questionar, encontrar soluções nos dá prazer, desenvolve a nossa mente e torna mais ágil o nosso raciocínio. Adquirindo o hábito de pensar de forma organizada, você terá aprendido a mais importante das lições e nós teremos cumprido o nosso objetivo. Página 2

3 Teorema de Tales Introdução Um dos trabalhos mais importantes na idéia de proporção e suas aplicações em Geometria foi desenvolvido por Tales, um rico comerciante da cidade grega de Mileto, cerca de 600 anos antes de cristo. Por ser comerciante, Tales teve a oportunidade de entrar em contato com outros povos. Conta-se que, numa de suas viagens ao Egito, Tales foi desafiado a medir a altura de grande pirâmide de Queóps. As pirâmides egípcias são monumentos grandiosos. A pirâmide de Queóps, construída por volta de 2500 a.c., é considerada uma das grandes maravilhas do mundo antigo; sua base é um quadrado cujos lados medem cerca de 230 metros e sua altura é de 150 metros, aproimadamente. Página 3

4 O filósofo grego Tales, nascido na cidade de Mileto por volta de 585 a.c., conseguiu medir a altura de uma das pirâmides. Partindo do princípio de que eiste uma razão entre a altura de um objeto e o comprimento da sombra que esse objeto projeta no chão, e que essa razão é a mesma para diferentes objetos no mesmo instante, Tales pôde calcular a altura da pirâmide. Usou apenas um bastão e as medidas das sombras da pirâmide e do bastão, num mesmo instante. Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os lados desses triângulos eram proporcionais, pôde determinar a altura VH da pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HB está para BC. Este fato levou Tales a ser muito prestigiado pelo faraó Amásis, que governava o Egito nessa época. Página 4

5 Outra importantíssima característica do pensamento de Tales é que estas leis matemáticas - ou teoremas, como são chamadas - devem ser provadas (ou demonstradas) por um raciocínio lógico. (E não apenas eplicadas com argumentos religiosos ou míticos, como se fazia até então em lugares antes mais desenvolvidos, como o Egito e a Babilônia.) Desse modo, Tales procurava sempre demonstrar cada uma de suas afirmações novas baseando-se em outras afirmações já demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raciocínio. Nesta aula você terá a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremas bastante interessantes e úteis na vida prática que são atribuídos a Tales, especialmente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales. Você ficará surpreso ao ver quantas aplicações diferentes eistem destes teoremas: desde o cálculo da altura de prédios e outras distâncias inacessíveis! Como veremos, tudo isso trata de proporcionalidade de números (ou regra de três). Na realidade, o Teorema de Tales é a figura da regra de três. Mas... cada coisa a seu tempo! O Teorema de Tales afirma que se um feie de retas paralelas tem duas transversais, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é igual à razão entre os segmentos correspondentes na outra. Para entender melhor o Teorema de Tales, é preciso saber um pouco sobre razão e proporção. Para a resolução de um problema envolvendo o Teorema de Tales, utilizase a propriedade fundamental da proporção, multiplicando-se os meios pelos etremos: os ângulos das retas tem a razão oposto pelo vértice da reta que os corta. Considerando-se o eemplo da figura ao abaio: Página 5

6 EXEMPLO 1: Na planta de um loteamento, está faltando a medida do lado dos fundos do lote B, conforme a figura: Solução: Rua das Marrecas ( lote A) Rua dos patos (lote B) Re tas Parelelas Rua dos Gansos Transversa l Calculando a medida do lado dos fundos do lote B teremos segmentos proporcionais. Solução: Página 6

7 EXEMPLO 2: Sendo a // b // c, determine a medida 3 t u a a, b e c são as retas paralelas b t e u são as retas transversais c Solução: Pelo Teorema de Tales Página 7

8 Questão 01: Calcule, sabendo que a // b // c Eercícios a) c) 1 3 a 3 5 a 2 b 6 b c c b) d) 2 4 a 3 a 10 b 8 4 b c c Página 8

9 e) f) a b c a b 6 20 c 4 1,8 Questão 02: A planta abaio mostra as medidas de três lotes que tem frente para rua A e para rua B. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Quais são as medidas de e y indicadas na figura? 15m 10m 20m y 40m Questão 03: Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento e y da figura. Obs.: os fios da rede central são paralelos. Página 9

10 Semelhança Como construir figuras semelhantes? Quando ouvimos a epressão "figuras semelhantes" logo pensamos em figuras que se assemelham, figuras parecidas, de mesma aparência. Podemos associar a idéia de figuras semelhantes a ampliações ou reduções de uma figura em outras guardando semelhança na forma. Veja abaio o mapa do Brasil em dois tamanhos diferentes. O maior é uma ampliação do menor em 1,5 vezes. Isto significa que todas as distâncias medidas no mapa maior são iguais às mesmas distâncias do mapa menor multiplicadas por 1,5. Você pode verificar isso com o auílio de uma régua. 1,5 No nosso dia a dia podemos observar inúmeros eemplos de semelhança entre objetos. Por eemplo, quando tiramos uma fotografia, a imagem que vemos na foto é a representação reduzida e proporcional do objeto em tamanho real e ao mesmo tempo é uma ampliação da figura que aparece no negativo. A planta de uma casa, projetada pelo arquiteto, também é um eemplo de semelhança entre a casa em tamanho real e o seu desenho no papel. Você seria capaz de lembrar outras situações do cotidiano em que se observa semelhança de figuras? -Pense nisto! Página 10

11 Semelhança de Triângulos Congruência entre Triângulos Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho. Já a semelhança entre triângulos, objeto do artigo, aborda o conceito mais amplo onde se tem triângulos com a mesma forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso particular de semelhança entre triângulos no sentido de que se dois triângulos são congruentes necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro, como você observará daqui em diante. Definição de Semelhança entre Triângulos Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais. Traduzindo a definição em símbolos: Página 11

12 EXEMPLO: Determine e y, sabendo-se que os triângulos são semelhantes. A R 3 4 B 5 C 6 y S T Os triângulos são semelhantes porque: AB RS BC ST AC RT Teremos então: y Utilizando a regra de três descobriremos os valores de e y: y 6.4 3y 24 y y 4 y Página 12

13 Eercícios Questão 04: Determine e y, sabendo que os triângulos são semelhantes. a) y 3 b) 6 y c) 12 5 y 4,5 9 d) y 12 Página 13

14 Questão 05: Um homem de 1,75m de altura projeta uma sombra de 3,50m de comprimento no mesmo instante em que uma árvore projeta uma sombra de 15,0m de comprimento. Qual é a altura da arvore? Representação Matemática: 1,75m 3,50m 15m Questão 06: A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Qual a altura do poste? Página 14

15 Questão 07: A sombra de um poste que tem 8 m de altura mede 14 m. No momento, a seu lado, a sombra projetada de um edifício mede 70 m. Qual a altura desse edifício? Página 15

16 Gabarito Questão 1: a) = 6 b) y = 20 c) a = 10 d) = 6 e) b = 36 f) c = 2,7 Questão 2: = 30m ; y = 60m Questão 3: = 4cm ; y = 12cm Questão 4: a) = 9 ; y = 5 b) = 6 ; y = 3 c) = 6 ; y = 10 d) = 8 ; y = 9 Questão 5: 7,5m Questão 6: 6m Questão 7: 40m Página 16

17 Bibliografia Os tetos e os eercícios foram retirados e/ou pesquisados nos seguintes livros: Telecurso 2000 Matemática: Volumes 1,2 e 3 Ensino Médio. - São Paulo: Editora Globo, Matemática: Aula por Aula: Volume Único: Ensino Médio / Benigno Barreto Filho, Cláudio Xavier Barreto. - São Paulo: FTD, Matemática: Conteto & Aplicações: Volumes 1, 2 e 3: Ensino Médio. - São Paulo: Ática,1999. Matemática Fundamental, 2º grau: Volume Único / José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Coleção Base: Matemática: Volume Único / Manoel Paiva. São Paulo: Moderna, Curso Prático de Matemática: Volumes 1, 2 e 3 Ensino Médio / Paulo Bucchi. São Paulo: Moderna, Matemática: Temas e Metas: Volumes 1,2 e 3 / Antônio dos Santos Machado. São Paulo: Atual, Praticando Matemática: 6º ao 9º ano /Álvaro Andrini, Maria José Vasconcellos. São Paulo: Editora do Brasil, A Conquista da Matemática Nova: 6º ao 9º ano / José Ruy Giovanni, Benedito Castrucci, José Ruy Giovanni Jr. São Paulo: FTD, Página 17

18 Este conjunto de apostilas foi elaborado pelos professores da Área de Matemática do CEEJA Ma Dadá Gallizzi, com base nos livros didáticos descritos na Bibliografia, ora transcrevendo eercícios e teorias, ora criando com base nos conteúdos observados. Professores Ednilton Feliciano Francis Mara C. Sirolli Paulo Teles de Araújo Jr Satie Sandra Soares Taira 2010 Página 18