Algoritmos, experimentos e demonstrações:
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- William Carreira Alencar
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1 Algoritmos, experimentos e demonstrações: a matemática no século XXI S. C. Coutinho Instituto de Matemática UFRJ Aula Inaugural 2006 p. 1/106
2 A matemática é... Aula Inaugural 2006 p. 2/106
3 A matemática é... Aula Inaugural 2006 p. 2/106
4 A matemática é... Números! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
5 A matemática é... Números! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
6 A matemática é... Números! Difícil! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
7 A matemática é... Números! Difícil! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
8 A matemática é... Números! Difícil! Útil! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
9 A matemática é... Aula Inaugural 2006 p. 2/106
10 A matemática é... Lógica! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
11 A matemática é... Lógica! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
12 A matemática é... Lógica! Certeza! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
13 A matemática é... Lógica! Certeza! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
14 A matemática é... Lógica! Certeza! Álgebra! Aula Inaugural 2006 p. 2/106
15 Portanto Aula Inaugural 2006 p. 3/106
16 Portanto A resposta depende de: Aula Inaugural 2006 p. 3/106
17 Portanto A resposta depende de: quem responde; Aula Inaugural 2006 p. 3/106
18 Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; Aula Inaugural 2006 p. 3/106
19 Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; em que época vive Aula Inaugural 2006 p. 3/106
20 Portanto A resposta depende de: quem responde; onde mora; em que época vive (ou viveu). Aula Inaugural 2006 p. 3/106
21 Segunda metade do século XX Aula Inaugural 2006 p. 4/106
22 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: Aula Inaugural 2006 p. 4/106
23 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; Aula Inaugural 2006 p. 4/106
24 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; Aula Inaugural 2006 p. 4/106
25 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, Aula Inaugural 2006 p. 4/106
26 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais Aula Inaugural 2006 p. 4/106
27 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; Aula Inaugural 2006 p. 4/106
28 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; busca por certezas. Aula Inaugural 2006 p. 4/106
29 Segunda metade do século XX A matemática caracterizou-se por: introspecção; pouco interesse pelas aplicações; ênfase em teorias abrangentes, gerais e abstratas; busca por certezas. Pelo menos na visão das correntes dominantes. Aula Inaugural 2006 p. 4/106
30 Início do século XXI Aula Inaugural 2006 p. 5/106
31 Início do século XXI Influências da Aula Inaugural 2006 p. 5/106
32 Início do século XXI Influências da Física: Aula Inaugural 2006 p. 5/106
33 Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Aula Inaugural 2006 p. 5/106
34 Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: Aula Inaugural 2006 p. 5/106
35 Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: algoritmos Aula Inaugural 2006 p. 5/106
36 Início do século XXI Influências da Física: teoria de cordas. Ciência da computação: algoritmos e matemática discreta. Aula Inaugural 2006 p. 5/106
37 Objetivo Aula Inaugural 2006 p. 6/106
38 Objetivo Ilustrar as mudanças ocorridas na matemática usando como exemplo um problema específico: Aula Inaugural 2006 p. 6/106
39 Objetivo Ilustrar as mudanças ocorridas na matemática usando como exemplo um problema específico: Como se distribuem os números primos, e como podemos detectá-los? Aula Inaugural 2006 p. 6/106
40 Primos Aula Inaugural 2006 p. 7/106
41 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Aula Inaugural 2006 p. 7/106
42 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: Aula Inaugural 2006 p. 7/106
43 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
44 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
45 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
46 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
47 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
48 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, Aula Inaugural 2006 p. 7/106
49 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., Aula Inaugural 2006 p. 7/106
50 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., Aula Inaugural 2006 p. 7/106
51 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., (este número tem mais de nove milhões de algarismos!) Aula Inaugural 2006 p. 7/106
52 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Aula Inaugural 2006 p. 7/106
53 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Lembrete: Aula Inaugural 2006 p. 7/106
54 Primos Um número maior que um é primo se seus únicos divisores positivos são 1 e o próprio número. Exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13,..., (este número tem mais de nove milhões de algarismos!)...mais algum? Lembrete: Um número maior que 1 e que não é primo é chamado de composto. Aula Inaugural 2006 p. 7/106
55 Os Elementos Aula Inaugural 2006 p. 8/106
56 Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Aula Inaugural 2006 p. 8/106
57 Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Aula Inaugural 2006 p. 8/106
58 Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Inclui resultados de geometria, cálculo e teoria de números em 13 Livros Aula Inaugural 2006 p. 8/106
59 Os Elementos Coletânea de matemática em 300 a.c. Redigido por Euclides. Inclui resultados de geometria, cálculo e teoria de números em 13 Livros (capítulos). Aula Inaugural 2006 p. 8/106
60 Livro VII Aula Inaugural 2006 p. 9/106
61 Livro VII Trata dos números inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 9/106
62 Livro VII Trata dos números inteiros. Inclui a definição de números primos e compostos. Aula Inaugural 2006 p. 9/106
63 Livro VII Trata dos números inteiros. Inclui a definição de números primos e compostos. Contém muitas das propriedades básicas dos inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 9/106
64 Proposição 31 Aula Inaugural 2006 p. 10/106
65 Proposição 31 Euclides escreveu: Aula Inaugural 2006 p. 10/106
66 Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Aula Inaugural 2006 p. 10/106
67 Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Nós dizemos: Aula Inaugural 2006 p. 10/106
68 Proposição 31 Euclides escreveu: Todo número composto é medido por algum número primo. Nós dizemos: Todo número composto pode ser escrito como produto de números primos. Aula Inaugural 2006 p. 10/106
69 O porquê dos nomes Aula Inaugural 2006 p. 11/106
70 O porquê dos nomes Primos: Aula Inaugural 2006 p. 11/106
71 O porquê dos nomes Primos: (primários) Aula Inaugural 2006 p. 11/106
72 O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Aula Inaugural 2006 p. 11/106
73 O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: Aula Inaugural 2006 p. 11/106
74 O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: (secundários) Aula Inaugural 2006 p. 11/106
75 O porquê dos nomes Primos: vêm primeiro, já que os compostos são construídos a partir deles. Compostos: formados de partes, que são os seus fatores primos. Aula Inaugural 2006 p. 11/106
76 Conclusão Aula Inaugural 2006 p. 12/106
77 Conclusão Os números primos funcionam como átomos (ou tijolos) a partir dos quais são construídos todos os números inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 12/106
78 Conclusão Os números primos funcionam como átomos (ou tijolos) a partir dos quais são construídos todos os números inteiros. Portanto, o que soubermos sobre os primos, vai nos ajudar a entender os números inteiros como um todo. Aula Inaugural 2006 p. 12/106
79 Pergunta Aula Inaugural 2006 p. 13/106
80 Pergunta Quantos primos há? Aula Inaugural 2006 p. 13/106
81 Pergunta Quantos primos há? Afinal, quanto mais primos houver, mais variados serão os inteiros, e mais complicadas as suas propriedades. Aula Inaugural 2006 p. 13/106
82 A resposta Aula Inaugural 2006 p. 14/106
83 A resposta Elementos, Livro IX, Proposição 21: Aula Inaugural 2006 p. 14/106
84 A resposta Elementos, Livro IX, Proposição 21: Há mais números primos que qualquer quantidade proposta de números. Aula Inaugural 2006 p. 14/106
85 A resposta Há infinitos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 14/106
86 Entra nosso primeiro tema Aula Inaugural 2006 p. 15/106
87 Demonstração Aula Inaugural 2006 p. 16/106
88 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. Aula Inaugural 2006 p. 16/106
89 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Aula Inaugural 2006 p. 16/106
90 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: Aula Inaugural 2006 p. 16/106
91 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
92 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
93 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
94 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: Isto é: suponho que o que quero provar é falso; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; implicando a verdade do que eu queria provar! Aula Inaugural 2006 p. 16/106
95 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: Aula Inaugural 2006 p. 16/106
96 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
97 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
98 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; Aula Inaugural 2006 p. 16/106
99 Demonstração Esta é a demonstração original de Euclides, reescrita em uma linguagem mais moderna. É uma demonstração por contradição: No nosso caso: suponho que existe uma quantidade finita de primos; chego em uma contradição; logo minha suposição é incorreta; implicando que há infinitos primos! Aula Inaugural 2006 p. 16/106
100 Demonstração Aula Inaugural 2006 p. 17/106
101 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, Aula Inaugural 2006 p. 17/106
102 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: Aula Inaugural 2006 p. 17/106
103 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
104 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: Aula Inaugural 2006 p. 17/106
105 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número Aula Inaugural 2006 p. 17/106
106 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N Aula Inaugural 2006 p. 17/106
107 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
108 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então Aula Inaugural 2006 p. 17/106
109 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, Aula Inaugural 2006 p. 17/106
110 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
111 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Em qualquer dos dois casos temos uma contradição, Aula Inaugural 2006 p. 17/106
112 Demonstração Suponha que o número de primos é finito, e liste todos: L = {p 1,..., p s }. A idéia: construir um número N que não é divisível por nenhum elemento de L. Se existir, então ou N é primo, ou é divisível por um primo que não está na lista. Em qualquer dos dois casos temos uma contradição, provando assim, o resultado desejado. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
113 Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Aula Inaugural 2006 p. 17/106
114 Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
115 Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
116 Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Portanto, N = M + 1 não é divisível por nenhum primo de L. Aula Inaugural 2006 p. 17/106
117 Demonstração L = {p 1,..., p s }. Multiplique todos os primos em L: M = p 1 p s Então M é divisível por cada um dos primos em L. Mas dois números consecutivos não têm fatores em comum. Portanto, N = M + 1 não é divisível por nenhum primo de L. Contradição!!! Aula Inaugural 2006 p. 17/106
118 Pausa filosófica Aula Inaugural 2006 p. 18/106
119 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Aula Inaugural 2006 p. 18/106
120 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta óbvia: Aula Inaugural 2006 p. 18/106
121 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta óbvia: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! Aula Inaugural 2006 p. 18/106
122 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! Aula Inaugural 2006 p. 18/106
123 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! À medida que nosso entendimento cresce, surgem Aula Inaugural 2006 p. 18/106
124 Pausa filosófica O que significa dizer que provamos ou demonstramos uma afirmação? Resposta falsa: que podemos ter certeza de que o resultado é verdadeiro! À medida que nosso entendimento cresce, surgem exceções aos teoremas. Aula Inaugural 2006 p. 18/106
125 Uma resposta plausível? Aula Inaugural 2006 p. 19/106
126 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga Aula Inaugural 2006 p. 19/106
127 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos Aula Inaugural 2006 p. 19/106
128 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com Aula Inaugural 2006 p. 19/106
129 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Aula Inaugural 2006 p. 19/106
130 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: Aula Inaugural 2006 p. 19/106
131 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: uma demonstração aumenta nosso entendimento e confiança em um resultado, Aula Inaugural 2006 p. 19/106
132 Uma resposta plausível? Uma demonstração é um caminho que liga o que já conhecemos com nossas novas descobertas Deste ponto de vista: uma demonstração aumenta nosso entendimento e confiança em um resultado, mesmo sem poder garantir que é uma verdade absoluta. Aula Inaugural 2006 p. 19/106
133 Uma pergunta puxa a outra... Aula Inaugural 2006 p. 20/106
134 Uma pergunta puxa a outra... Se há infinitos primos, como eles se distribuem? Aula Inaugural 2006 p. 20/106
135 Densidade dos primos Aula Inaugural 2006 p. 21/106
136 Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Aula Inaugural 2006 p. 21/106
137 Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Aula Inaugural 2006 p. 21/106
138 Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: Aula Inaugural 2006 p. 21/106
139 Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: a densidade de primos diminui à medida que avançamos na reta dos inteiros. Aula Inaugural 2006 p. 21/106
140 Densidade dos primos Quanto mais primos, mais compostos podemos formar. Logo, em média, o espaçamento entre primos grandes deve ser maior que entre primos pequenos. Conclusão: a densidade de primos diminui à medida que avançamos na reta dos inteiros densidade diminui Aula Inaugural 2006 p. 21/106
141 2100 anos depois... Aula Inaugural 2006 p. 22/106
142 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
143 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
144 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
145 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
146 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
147 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
148 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Trabalhou a vida inteira como astrônomo. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
149 C. F. Gauss Filho de um jardineiro. Muito precoce. Exímio calculista. Maior matemático do século XIX. Contribuiu para todas as áreas da matemática. Contribuiu para geodésia e física. Trabalhou a vida inteira como astrônomo. A teoria dos números era um de seus temas favoritos. Aula Inaugural 2006 p. 23/106
150 E tinha esta aparência... Aula Inaugural 2006 p. 24/106
151 Gauss e os primos Aula Inaugural 2006 p. 25/106
152 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, Aula Inaugural 2006 p. 25/106
153 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Aula Inaugural 2006 p. 25/106
154 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Primzahlen unter (a = ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106
155 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a (a = ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106
156 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a la. Aula Inaugural 2006 p. 25/106
157 Gauss e os primos Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a ln a. Aula Inaugural 2006 p. 25/106
158 Abrindo um parêntesis Aula Inaugural 2006 p. 26/106
159 A função π Aula Inaugural 2006 p. 27/106
160 A função π Escrevendo: Aula Inaugural 2006 p. 27/106
161 A função π Escrevendo: π(x) = Aula Inaugural 2006 p. 27/106
162 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Aula Inaugural 2006 p. 27/106
163 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Aula Inaugural 2006 p. 27/106
164 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, Aula Inaugural 2006 p. 27/106
165 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, Aula Inaugural 2006 p. 27/106
166 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, Aula Inaugural 2006 p. 27/106
167 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, 7, Aula Inaugural 2006 p. 27/106
168 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106
169 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106
170 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(11) = 5 Aula Inaugural 2006 p. 27/106
171 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, π(12) = π(11) = 5 2, 3, 5, 7, e 11. Aula Inaugural 2006 p. 27/106
172 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(12) = π(11) = 5 porém Aula Inaugural 2006 p. 27/106
173 A função π Escrevendo: π(x) = quantidade de primos positivos menores ou iguais a x Por exemplo: Os primos menores ou iguais a 11 são: Portanto, 2, 3, 5, 7, e 11. π(12) = π(11) = 5 porém π(13) = 6. Aula Inaugural 2006 p. 27/106
174 Fechando o parêntesis Aula Inaugural 2006 p. 28/106
175 Em outras palavras Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: Os primos abaixo de a ( com a ) a ln a. Aula Inaugural 2006 p. 29/106
176 Em outras palavras Gauss escreveu no verso de uma tábua de logaritmos, aos 14 anos: π(a) é aproximadamente igual a a/ lna para valores muito grandes de a. Aula Inaugural 2006 p. 29/106
177 Refinando Aula Inaugural 2006 p. 30/106
178 Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Aula Inaugural 2006 p. 30/106
179 Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Aula Inaugural 2006 p. 30/106
180 Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Para obter uma aproximação para a quantidade de primos menores que x basta Aula Inaugural 2006 p. 30/106
181 Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Para obter uma aproximação para a quantidade de primos menores que x basta somar as densidades sobre os intervalos até x. Aula Inaugural 2006 p. 30/106
182 Refinando Nos anos 1840, Gauss refinou esta observação da juventude: Contando os primos em blocos de mil, ele concluiu que a densidade média dos primos em um intervalo em torno de um número grande x deve ser da ordem de 1/ ln(x). Para obter uma aproximação para a quantidade de primos menores que x basta somar as densidades sobre os intervalos até x. Aula Inaugural 2006 p. 30/106
183 Função Li Aula Inaugural 2006 p. 31/106
184 Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Aula Inaugural 2006 p. 31/106
185 Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Li(x) = Aula Inaugural 2006 p. 31/106
186 Função Li Fazendo isto do modo correto definimos uma nova função: Li(x) = x 2 dt ln t Esta função dá uma aproximação melhor para π(x) do que x/ ln(x). Aula Inaugural 2006 p. 31/106
187 Teorema dos números primos Aula Inaugural 2006 p. 32/106
188 Teorema dos números primos Se x é muito grande, então: Aula Inaugural 2006 p. 32/106
189 Teorema dos números primos Se x é muito grande, então: π(x) Li(x). Aula Inaugural 2006 p. 32/106
190 Como Gauss obteve isto? Aula Inaugural 2006 p. 33/106
191 Como Gauss obteve isto? Por tentativa Aula Inaugural 2006 p. 33/106
192 Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, Aula Inaugural 2006 p. 33/106
193 Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, experimentalmente. Aula Inaugural 2006 p. 33/106
194 Como Gauss obteve isto? Por tentativa; isto é, experimentalmente. Gauss nunca provou esta fórmula! Aula Inaugural 2006 p. 33/106
195 Entra o segundo tema. Aula Inaugural 2006 p. 34/106
196 Experimentos matemáticos São Aula Inaugural 2006 p. 35/106
197 Experimentos matemáticos São cálculos numéricos Aula Inaugural 2006 p. 35/106
198 Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos Aula Inaugural 2006 p. 35/106
199 Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Aula Inaugural 2006 p. 35/106
200 Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Não eram novidade na época de Gauss. Aula Inaugural 2006 p. 35/106
201 Experimentos matemáticos São cálculos numéricos ou experimentos físicos realizados para descobrir como deveria ser o comportamento de algum objeto matemático. Não eram novidade na época de Gauss. Já haviam sido utilizados por Arquimedes (250 a. C.). Aula Inaugural 2006 p. 35/106
202 O método Palimpsesto descoberto em Aula Inaugural 2006 p. 36/106
203 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Aula Inaugural 2006 p. 36/106
204 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Aula Inaugural 2006 p. 36/106
205 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Aula Inaugural 2006 p. 36/106
206 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Aula Inaugural 2006 p. 36/106
207 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em Aula Inaugural 2006 p. 36/106
208 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em Reencontrado e vendido em leilão em Aula Inaugural 2006 p. 36/106
209 O método Palimpsesto descoberto em Estudado por J. L. Heiberg entre Endereçado a Eratóstenes. Arquimedes usa experimentos mecânicos para descobrir resultados do cálculo integral. Distinção clara entre experimento e demonstração. Desaparecido em Reencontrado e vendido em leilão em Há vários resultados que não haviam sido vistos antes. Aula Inaugural 2006 p. 36/106
210 O palimpsesto Aula Inaugural 2006 p. 37/106
211 O palimpsesto Aula Inaugural 2006 p. 38/106
212 Voltando ao teorema dos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 39/106
213 Teorema dos números primos Aula Inaugural 2006 p. 40/106
214 Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Aula Inaugural 2006 p. 40/106
215 Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Aula Inaugural 2006 p. 40/106
216 Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Hadamard Aula Inaugural 2006 p. 40/106
217 Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Hadamard Aula Inaugural 2006 p. 40/106
218 Teorema dos números primos Só foi provado em 1896 por Hadamard De la Vallée-Poussin Aula Inaugural 2006 p. 40/106
219 Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Aula Inaugural 2006 p. 41/106
220 Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Alguns foram depois demonstrados rigorosamente, como o Teorema dos números primos. Aula Inaugural 2006 p. 41/106
221 Experimentos e demonstrações Vários outros resultados da teoria de números foram descobertos experimentalmente. Alguns foram depois demonstrados rigorosamente, como o Teorema dos números primos. Outros continuam sem demonstração, como a Conjectura de Goldbach. Aula Inaugural 2006 p. 41/106
222 Conjectura de Goldbach Aula Inaugural 2006 p. 42/106
223 Conjectura de Goldbach Todo número par, maior que 2, pode ser escrito como a soma de dois números primos. Aula Inaugural 2006 p. 42/106
224 Experimentando: Aula Inaugural 2006 p. 43/106
225 Experimentando: 4 Aula Inaugural 2006 p. 43/106
226 Experimentando: 4 = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
227 Experimentando: 4 = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
228 Experimentando: 4 = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
229 Experimentando: 4 = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
230 Experimentando: 4 = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
231 Experimentando: 4 = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
232 Experimentando: 4 = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
233 Experimentando: 4 = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
234 Experimentando: 4 = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
235 Experimentando: 4 = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
236 Experimentando: 4 = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
237 Experimentando: 4 = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
238 Experimentando: 4 = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
239 Experimentando: 4 = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
240 Experimentando: 4 = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
241 Experimentando: 4 = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
242 Experimentando: 4 = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
243 Experimentando: 4 = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
244 Experimentando: 4 = = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
245 Experimentando: 4 = = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
246 Experimentando: 4 = = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
247 Experimentando: 4 = = = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
248 Experimentando: 4 = = = = = = = = = = Aula Inaugural 2006 p. 43/106
249 Christian Goldbach Viveu de 1690 a Aula Inaugural 2006 p. 44/106
250 Christian Goldbach Viveu de 1690 a Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Aula Inaugural 2006 p. 44/106
251 Christian Goldbach Viveu de 1690 a Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Era uma matemático amador. Aula Inaugural 2006 p. 44/106
252 Christian Goldbach Viveu de 1690 a Trabalhava como tutor do Tsar Pedro II. Era uma matemático amador. Correspondente de muitos matemáticos famosos da época, como Fermat e Euler. Aula Inaugural 2006 p. 44/106
253 Status atual da conjectura Ainda não foi demonstrada. Aula Inaugural 2006 p. 45/106
254 Status atual da conjectura Ainda não foi demonstrada. Mas sabe-se que vale para todo inteiro par menor que Aula Inaugural 2006 p. 45/106
255 E. B. Davies (2003) Aula Inaugural 2006 p. 46/106
256 E. B. Davies (2003) Isto bastaria para convencer qualquer um, Aula Inaugural 2006 p. 46/106
257 E. B. Davies (2003) Isto bastaria para convencer qualquer um, menos um matemático. Aula Inaugural 2006 p. 46/106
258 Compare com o que dizem os físicos Aula Inaugural 2006 p. 47/106
259 R. P. Feynman (1985) Aula Inaugural 2006 p. 48/106
260 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Aula Inaugural 2006 p. 48/106
261 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria.[da Eletrodinâmica quântica] Aula Inaugural 2006 p. 48/106
262 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: Aula Inaugural 2006 p. 48/106
263 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, Aula Inaugural 2006 p. 48/106
264 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo) Aula Inaugural 2006 p. 48/106
265 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo); segundo a teoria este número deveria valer 1, Aula Inaugural 2006 p. 48/106
266 R. P. Feynman (1985) No presente momento posso afirmar com orgulho que não há nenhuma diferença significativa entre os experimentos e a teoria. Para dar uma idéia de como a teoria foi testada, citarei alguns números recentes: experimentos mostraram que o número de Dirac vale 1, (com uma incerteza de cerca de 4 no último algarismo); segundo a teoria este número deveria valer 1, (com uma incerteza cerca cinco vezes maior). Aula Inaugural 2006 p. 48/106
267 R. P. Feynman (1985) Para ter uma idéia da precisão deste números, você pode pensar em algo assim: Aula Inaugural 2006 p. 48/106
268 R. P. Feynman (1985) Para ter uma idéia da precisão deste números, você pode pensar em algo assim: Se a distância de Los Angeles a Nova Iorque fosse medida com esta precisão, o erro cometido seria da ordem da largura de um fio de cabelo. Aula Inaugural 2006 p. 48/106
269 Rebobinando Aula Inaugural 2006 p. 49/106
270 Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de Aula Inaugural 2006 p. 49/106
271 Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que Aula Inaugural 2006 p. 49/106
272 Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de Os matemáticos não estão convencidos que a conjectura é verdadeira A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que Aula Inaugural 2006 p. 49/106
273 Rebobinando Goldbach foi testada até números da ordem de Os matemáticos não estão convencidos que a conjectura é verdadeira A eletrodinâmica quântica foi testada com um erro menor que Os físicos acham que a eletrodinâmica quântica é a teoria mais bem sucedida que eles já criaram. Aula Inaugural 2006 p. 49/106
274 Por que esta discrepância? Aula Inaugural 2006 p. 50/106
275 Algumas opiniões: Aula Inaugural 2006 p. 51/106
276 Algumas opiniões: Os matemáticos são uns pernósticos. Aula Inaugural 2006 p. 51/106
277 Algumas opiniões: Os matemáticos são uns pernósticos. Os matemáticos só aceitam o que foi provado e, portanto, é uma verdade incontestável. Aula Inaugural 2006 p. 51/106
278 Que tal uma resposta mais séria? Aula Inaugural 2006 p. 52/106
279 Voltemos aos primos! Aula Inaugural 2006 p. 53/106
280 Pergunta: Aula Inaugural 2006 p. 54/106
281 Pergunta: Quanto vale π(x)/li(x)? Aula Inaugural 2006 p. 54/106
282 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) Aula Inaugural 2006 p. 55/106
283 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
284 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
285 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
286 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
287 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
288 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , , , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
289 Comparando π(x) e Li(x) x π(x) Li(x) π(x)/li(x) , , , , , , , Aula Inaugural 2006 p. 55/106
290 Portanto Aula Inaugural 2006 p. 56/106
291 Portanto Para todo x > 0, π(x) < Li(x). Aula Inaugural 2006 p. 56/106
292 Portanto Para todo x > 0, π(x) < Li(x). Pelo menos é isto que a tabela sugere! Aula Inaugural 2006 p. 56/106
293 Entretanto Aula Inaugural 2006 p. 57/106
294 Teorema (1914) Aula Inaugural 2006 p. 58/106
295 Teorema (1914) Existe x 0 > 0 tal que π(x 0 ) > Li(x 0 ). Aula Inaugural 2006 p. 58/106
296 Teorema (1914) Existe x 0 > 0 tal que π(x 0 ) > Li(x 0 ). Na verdade, há uma infinidade de valores para os quais a desigualdade acima vale. Aula Inaugural 2006 p. 58/106
297 E este é o autor da façanha Aula Inaugural 2006 p. 59/106
298 E este é o autor da façanha J. E. Littlewood Aula Inaugural 2006 p. 59/106
299 A demonstração Aula Inaugural 2006 p. 60/106
300 A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Aula Inaugural 2006 p. 60/106
301 A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Isto significa que ele mostrou que x 0 existia, Aula Inaugural 2006 p. 60/106
302 A demonstração A demonstração dada pelo Littlewood era puramente existencial. Isto significa que ele mostrou que x 0 existia, sem mostrar como seria possível calculá-lo. Aula Inaugural 2006 p. 60/106
303 Demonstração existencial Aula Inaugural 2006 p. 61/106
304 Demonstração existencial Um exemplo: Aula Inaugural 2006 p. 61/106
305 Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Aula Inaugural 2006 p. 61/106
306 Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Como há mais pessoas que dias do ano, isto tem que ser verdade. Aula Inaugural 2006 p. 61/106
307 Demonstração existencial Um exemplo: Em todo conjunto de mais de 365 pessoas há duas que fazem aniversário no mesmo dia. Como há mais pessoas que dias do ano, isto tem que ser verdade. Mas, isto em nada me ajuda a achar estas duas pessoas! Aula Inaugural 2006 p. 61/106
308 Porém, Aula Inaugural 2006 p. 62/106
309 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz Aula Inaugural 2006 p. 62/106
310 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 10? Aula Inaugural 2006 p. 62/106
311 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < 10 10? NÃO! Aula Inaugural 2006 p. 62/106
312 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < ? Aula Inaugural 2006 p. 62/106
313 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < ? NÃO! Aula Inaugural 2006 p. 62/106
314 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < ? Aula Inaugural 2006 p. 62/106
315 Porém, Em 1933 S. Skewes mostrou que o menor dos x 0 satisfaz x 0 < SIM! Aula Inaugural 2006 p. 62/106
316 Um aperfeiçoamento recente Aula Inaugural 2006 p. 63/106
317 Um aperfeiçoamento recente Em 1986, Te Riele mostrou que há mais de inteiros sucessivos x para os quais π(x) > Li(x) Aula Inaugural 2006 p. 63/106
318 Um aperfeiçoamento recente Em 1986, Te Riele mostrou que há mais de inteiros sucessivos x para os quais π(x) > Li(x) entre 6, e 6, Aula Inaugural 2006 p. 63/106
319 Sem dúvida é um número grande. Aula Inaugural 2006 p. 64/106
320 Sem dúvida é um número grande. Mas quão grande ele é? Aula Inaugural 2006 p. 64/106
321 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
322 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
323 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
324 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Portanto, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
325 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Portanto, é Aula Inaugural 2006 p. 64/106
326 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Portanto, é vezes maior que o número total de partículas no universo!!! Aula Inaugural 2006 p. 64/106
327 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Logo, este número é, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
328 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Logo, este número é, e permanecerá sendo, Aula Inaugural 2006 p. 64/106
329 O número total de partículas elementares existentes no universo é avaliado em, no máximo, Logo, este número é, e permanecerá sendo, inacessível a qualquer computador. Aula Inaugural 2006 p. 64/106
330 Moral da história Um resultado em matemática pode só ser válido para números tão grandes que estarão permanentemente fora do alcance de um computador! Aula Inaugural 2006 p. 65/106
331 Moral da história Um resultado em matemática pode só ser válido para números tão grandes que estarão permanentemente fora do alcance de um computador! Aula Inaugural 2006 p. 65/106
332 Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Aula Inaugural 2006 p. 65/106
333 Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Precisamos das demonstrações, Aula Inaugural 2006 p. 65/106
334 Moral da história É por isso que os experimentos não bastam. Precisamos das demonstrações, e vamos continuar precisando! Aula Inaugural 2006 p. 65/106
335 Donde o ditado: Aula Inaugural 2006 p. 66/106
336 Mais vale um teorema demonstrado, que dois verificados até as centenas de bilhões. Aula Inaugural 2006 p. 67/106
337 Que, contudo, deve ser complementado por: Aula Inaugural 2006 p. 68/106
338 Quem não experimenta, não petisca. Aula Inaugural 2006 p. 69/106
339 Infelizmente... Aula Inaugural 2006 p. 70/106
340 Infelizmente... Apesar dos matemáticos terem continuado a fazer experimentos de todo tipo, Aula Inaugural 2006 p. 70/106
341 Infelizmente... Apesar dos matemáticos terem continuado a fazer experimentos de todo tipo, por boa parte do século XX este era um assunto sobre o qual não se falava em público. Aula Inaugural 2006 p. 70/106
342 Em outras palavras... Aula Inaugural 2006 p. 71/106
343 Em outras palavras... Os experimentos saíram de moda. Aula Inaugural 2006 p. 71/106
344 Voltando ao Gauss... Aula Inaugural 2006 p. 72/106
345 Disquisitiones Arithmeticae Publicada em Aula Inaugural 2006 p. 73/106
346 Disquisitiones Arithmeticae Publicada em Obra maior da juventude do Gauss. Aula Inaugural 2006 p. 73/106
347 Disquisitiones Arithmeticae Publicada em Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Aula Inaugural 2006 p. 73/106
348 Disquisitiones Arithmeticae Publicada em Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Introduz novas ferramentas na teoria. Aula Inaugural 2006 p. 73/106
349 Disquisitiones Arithmeticae Publicada em Obra maior da juventude do Gauss. Trata da teoria de números (inteiros). Introduz novas ferramentas na teoria. Dá início à moderna teoria de números. Aula Inaugural 2006 p. 73/106
350 Entra o terceiro tema. Aula Inaugural 2006 p. 74/106
351 Algoritmos Aula Inaugural 2006 p. 75/106
352 Algoritmos Na Disquisitiones Gauss introduziu a palavra algoritmo em seu sentido moderno: Aula Inaugural 2006 p. 75/106
353 Algoritmos Na Disquisitiones Gauss introduziu a palavra algoritmo em seu sentido moderno: uma receita matemática, descrita com precisão, que serve para resolver determinado problema. Aula Inaugural 2006 p. 75/106
354 Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; Aula Inaugural 2006 p. 76/106
355 Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; Aula Inaugural 2006 p. 76/106
356 Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; algoritmos de ordenação seqüências; Aula Inaugural 2006 p. 76/106
357 Exemplos de algoritmos algoritmo de divisão; algoritmo euclidiano; algoritmos de ordenação seqüências; algoritmos de busca. Aula Inaugural 2006 p. 76/106
358 A palavra e o conceito Aula Inaugural 2006 p. 77/106
359 A palavra e o conceito Apesar de Gauss ter introduzido a palavra neste sentido, nem a palavra algoritmo, nem o conceito do que é um algoritmo foram inventados por ele. Aula Inaugural 2006 p. 77/106
360 Algoritmo: a palavra Aula Inaugural 2006 p. 78/106
361 Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Aula Inaugural 2006 p. 78/106
362 Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Aula Inaugural 2006 p. 78/106
363 Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Aula Inaugural 2006 p. 78/106
364 Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Al-Khowarizme escreveu o tratado Al-jabr wa l muqabalah, Aula Inaugural 2006 p. 78/106
365 Algoritmo: a palavra Originalmente significava número. Cognata de algarismo. Derivada do nome do matemático árabe Al-Khowarizme (c. 700 d.c.). Al-Khowarizme escreveu o tratado Al-jabr wa l muqabalah, donde veio a nossa palavra álgebra. Aula Inaugural 2006 p. 78/106
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