O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss

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1 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss Hermes Antônio Pedroso UNESP - IBILCE - Departamento de Matemática - Campus de São José do Rio Preto Professor Assistente hermes@ ibilce. unesp. br Juliana Conceição Precioso UNESP - IBILCE - Departamento de Matemática - Campus de São José do Rio Preto Professora Doutora precioso@ ibilce. unesp. br Resumo: Entre todos os problemas de construção, o de traçar com régua e compasso o polígono regular de n lados sempre teve grande interesse. Para alguns valores de n, por exemplo, n = 3, 4, 5, 6 a solução é conhecida desde a antiguidade e é parte importante da geometria elementar. O pentágono regular, (n = 5), por exemplo, aparece no livro IV de Os Elementos de Euclides (330 75a.C.) e posteriormente, também foi usado nas construções de tábuas trigonométricas. Decidir se um polígono era construtível ou não, só foi possível com o desenvolvimento da álgebra. Para o heptágono regular, (n = 7), foi demonstrado que a construção é impossível. Aos dezenove anos, Gauss ( ) investigou a construtibilidade dos p ágonos regulares (polígonos de p lados), sendo p um número primo. Só se conhecia até então a construção para p = 3 e p = 5. Gauss descobriu que os p ágonos regulares são construtíveis se, e somente se, p é um número primo de Fermat, isto é, p = n +1. Como aplicação desse teorema, será apresentado a construção de Gauss do polígono de 17 lados. 1 Introdução As construções com régua e compasso apareceram no século V a.c., época dos pitagóricos, e tiveram enorme importância no desenvolvimento da matemática grega. Na Grécia antiga, a palavra número era usada só para os inteiros e uma fração era considerada apenas uma razão entre números, até o aparecimento dos irracionais. Estes conceitos, naturalmente, causavam dificuldades nas medidas das grandezas. A noção de número real estava ainda muito longe de ser concebida, mas, na época de Euclides uma idéia nova apareceu. As grandezas, no lugar de serem associadas a números, passaram a ser associadas a segmentos de reta e a álgebra era completamente geométrica, onde a palavra resolver era sinônimo de construir. Em Euclides, o livro IV, trata das construções de certos polígonos, inclusive o pentágono regu- lar que foi muito importante nas construções posteriores de tabelas de cordas (trigonométricas). Até o desenvolvimento da teoria dos números complexos, com a representação gráfica, não houve um progresso significativo nas construções (com régua e compasso) ditas euclidianas. Neste sentido, tem-se a contribuição de Euler ( ), que além de introduzir notações importantes no assunto, desempenhou um papel fundamental na teoria das equações algébricas, pois, quando buscava resposta à questão de como extrair uma raiz enésima de um número complexo, provou que qualquer número complexo não nulo (inclusive os reais) tem exatamente n raízes enésimas. Gauss foi o primeiro a relacionar o problema da construção de polígonos regulares com as raízes da equação x n 1 = 0, que seriam os vértices de tal polígono inscrito na circunferência. Em 1796, Gauss construiu, segundo as regras euclidianas, o polígono regular de dezessete lados. Desde os gregos antigos os geômetras sabiam construir, com régua e compasso, o triângulo equilátero e o pentágono regular, assim como outros polígonos, cujo número de lados fosse múltiplo de dois, três

2 110 FAMAT em Revista Figura 1.1: Leonhard Paul Euler ( ) e cinco. Segundo consta, Gauss, sensibilizado com sua descoberta, disse em carta que gostaria de ter o polígono de dezessete lados esculpido em sua lápide, após sua morte. Figura 1.: Karl Friedrich Gauss ( )...com toda certeza eis uma bela figura que poderiam esculpir na pedra sob a qual repousará o meu corpo para o sono eterno..." O propósito deste trabalho é reconstituir etapas importantes das construções geométricas, com régua (sem marcas) e compasso, desde as construções elementares até a construção do polígono de dezessete lados. Construções Geométricas Fundamentais A chave de uma compreensão mais profunda consiste em traduzir os problemas geométricos para a linguagem algébrica. Para isso, considera-se uma reta r, determinada pelos pontos A e B. Adotando a abscissa 0 para A e 1 para B, cada ponto de r determina um único número real e reciprocamente. Um segmento AP será construtível a partir de AB se o ponto P, ou, equivalentemente, sua abscissa x, for construtível. Assim, em vez de segmentos ou figuras construtíveis, considera-se números construtíveis. Esses segmentos, aparecem com frequência, como lados de um triângulo, como raios de círculos, ou como coordenadas retangulares de certos pontos. Introdução Universidade Federal de Uberlândia

3 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss Exemplos de Algumas Construções Básicas Dados os segmentos OA e AB de comprimentos a e b, respectivamente (segundo uma unidade dada), pode-se construir a + b, a b, r.a (em que r é qualquer número racional), a b, ab e a. Adição: Para construir a + b, traça-se uma reta e transporta-se com o compasso as distâncias a e b; então OB = a + b. Figura.1: Construção de a + b Subtração: Para a b, transporta-se OA = a e AB = b, mas desta vez AB no sentido oposto a OA, então OB = a b. Figura.: Construção de a b Divisão: No caso a, transporta-se OA = a sobre uma reta e traça-se uma segunda reta por O. 3 Sobre esta, transporta-se um segmento arbitrário OC = c, e determina-se OD = 3c. Une-se A com D e traça-se desde C uma reta paralela a AD, que corta OA em B. Os triângulos OBC e OAD são semelhantes, portanto, OB a = OB OA = OC OD = 1 3 e OB = a 3. Figura.3: Construção de a 3 Faculdade de Matemática Construções Geométricas Fundamentais

4 11 FAMAT em Revista Mais geralmente, para se construir a transporta-se OB = b e OA = a sobre os lados de um ângulo b O, e sobre OB transporta-se OD = 1. Desde D traça-se uma paralela a AB, que corta OA em C. Então, OC será a distância a b. Figura.4: Construção do caso geral a b Multiplicação: Para construir 3a soma-se a + a + a, de forma análoga, pode-se construir pa, sendo p qualquer inteiro. Figura.5: Construção de 3a A. A construção de ab encontra-se ilustrada na figura abaixo, onde AD é uma paralela a BC desde Figura.6: Construção do caso geral ab Destas considerações resulta que os processos algébricos racionais - adição, subtração, multiplicação e divisão de quantidades conhecidas podem efetuar-se por meio de construções geométricas. Raiz quadrada: Dado um segmento a, pode-se construir também, utilizando só a régua (sem marcas) e o compasso a. Sobre uma reta transporta-se OA = a e AB = 1, traça-se uma circunferência com diâmetro OB = a + 1. Traça-se uma perpendicular a OB por A, a qual corta a circunferência em C. O triângulo OBC tem um ângulo reto em C. Construções Geométricas Fundamentais Universidade Federal de Uberlândia

5 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 113 Logo ÔCA = ÂBC por serem semelhantes os triângulos retângulos OAC e CAB, e tem-se, para x = AC, a seguinte relação a x = x 1 x = a x = a. Figura.7: Construção de a. Polígonos Regulares Por aplicação das operações básicas tratadas anteriormente, pode-se considerar agora alguns problemas de construção um pouco mais complicados. Decágono regular: Supondo que um decágono regular de lado x, está inscrito em uma circunferência de raio unitário, o ângulo O, vale 36 como pode-se notar na figura abaixo. Os outros dois ângulos do triângulo devem valer cada um 7 e, portanto, a bissetriz do ângulo A, divide o triângulo OAB em dois triângulos isósceles, cada um com dois lados iguais de comprimento x. O raio do círculo será dividido assim em dois segmentos x e 1 x. Por ser OAB semelhante ao triângulo isósceles menor temos 1 x = x ; ver figura.8. 1 x Figura.8: Decágono regular 5 1 Desta proporção deduz-se a equação quadrática x +x 1 = 0 e uma de suas soluções é x = A outra é que é negativa, por esta razão deve ser desprezada. Portanto, é possível construir o decágono regular, transportando-se a corda de comprimento x para a circunferência. Pentágono regular: O pentágono regular pode ser construído, unindo dois a dois os lados do decágono regular. Faculdade de Matemática Construções Geométricas Fundamentais

6 114 FAMAT em Revista Figura.9: Construção dos lados do decágono e do pentágono regulares Os matemáticos gregos chamavam a razão OB : AB do problema anterior de razão áurea, pois consideravam que um retângulo cujos os lados estivessem nesta relação era mais agradável esteticamente. Seu valor é 1, 6 aproximadamente. De todos os polígonos regulares inscritos numa circunferência de raio r, o hexágono é o de construção mais elementar, pois o comprimento do seu lado será igual a r. Assim, o hexágono pode ser construído transportando-se a partir de um ponto da circunferência a corda de comprimento r, obtendo assim os seis vértices. Figura.10: Hexágono N-ágonos regulares: A partir do n-ágono regular pode-se obter o n-ágono regular dividindo-se ao meio cada arco de comprimento π n. Por exemplo, do diâmetro da circunferência (o -ágono), pode-se construir os polígonos de 4, 8, 16,..., n lados. Analogamente é possível obter a partir do hexágono os polígonos de 1, 4, lados, e a partir do decágono os polígonos de 0, 40,... lados. Proposição.1. Se s n designa o comprimento do lado do n-ágono regular, inscrito na circunferência unitária, então o lado do n-ágono regular tem comprimento s n = 4 s n. Demonstração. De acordo com a figura.11, s n = DE = DC, ou seja, DC = 1 s n; s n = BD; AB = e a área do triângulo ABD é 1 BD AD = 1 AB CD. (.1) Uma vez que AB = AD + BD segue que AD = AB BD, isto é, AD = = AB BD. Substituindo AB = e BD = s n e CD = 1 s n em (.1), tem-se Construções Geométricas Fundamentais Universidade Federal de Uberlândia

7 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 115 Figura.11: Representação de s n e s n Portanto, 1 s n AB BD = 1 s n. s n = s n 4 s n ou s n = s n(4 s n). (.) Fazendo s n = x, tem-se s n = x(4 x), ou seja, x + 4x s n = 0. Resolvendo esta equação obtem-se x = 4 s n. Despreza-se a solução x = = + 4 s n, pois s n. Como x = s n, então s n = 4 s n. (.3) Observações: 1. É importante notar que s n < s n. Por exemplo, no caso do hexágono inscrito na circunferência de raio 1, tem-se Portanto, s 3 = s 6 4 s 6 = 3 = 1, s 3 = 0, < 1 = s 6.. Da fórmula (.3) e do fato de que s 4 (lado do quadrado) é igual a, deduz-se que s 8 =, s 16 = +, s 3 = + +, ou mais geralmente, para n > s n = } {{ } n 1 raizes quadradas 3. O perímetro do n -ágono regular inscrito é n s n. Fazendo n tender ao infinito, o n -ágono tende a confundir-se com a circunferência do círculo unitário, que por definição é π. Obtem-se assim, substituindo n 1 por m e suprimindo o fator da fórmula m π quando m. } {{ } m raizes quadradas Faculdade de Matemática Construções Geométricas Fundamentais

8 116 FAMAT em Revista Relação entre os lados do pentágono, do hexágono e do decágono regulares: Como já foi visto, s 5 = s 10 4 s , em que s 5 é o lado do pentágono e s 10 = é o lado do decágono. Assim, 5 1 s 5 = 4 ( 5 1) = 4 ( ) (10 + 5) = 4 = 1, Logo, s 5 = 1, , s10 = 0, e, portanto, s 5 = 0, < 0, = s 10. Proposição.. Os lados de um pentágono, de um hexágono e de um decágono regulares, inscritos na mesma circunferência, formam um triângulo retângulo. Demonstração. Traça-se uma circunferência de centro A e diâmetro B D =. Determina-se M, o ponto médio de A D e traça-se uma circunferência de raio M E por M, que interceptará o diâmetro B D em C, como na figura (.1). Figura.1: s 5 = s 10 + r Assim, M E = A E + A M = r + r Logo, M E = r e, portanto, A C = M C M A = r r = r. Como já foi visto, A C é o lado do decágono e A E é o lado do hexágono. Resta então mostrar que C E é o lado do pentágono, ou seja, s 5 = s 10 + r, em que s 5 é o lado do pentágono, s 10 é o lado do decágono e r é o lado do hexágono. Construções Geométricas Fundamentais Universidade Federal de Uberlândia

9 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 117 Figura.13: Representação dos lados do pentágono (AE) e decágono (AB) Conforme a figura (.13), x = OC = s 10, AD = 1 s 5 e DB = 1 (r s 10). No triângulo retângulo ADB tem-se Então, ou seja, AD + DB = AB ou 1 4 s (r s 10) = s s (r rs 10 + s 10) s 10 = 0, s 5 = 3s 10 + rs 10 r. Como já foi visto, os triângulos OAB e ABC são semelhantes e assim, Como x = s 10, segue que r x = x r x, isto é, x + rx r = 0. s 10 + rs 10 r = 0. Substituindo rs 10 = r s 10 na equação s 5 = 3s 10 + rs 10 r, tem-se o que conclui a demonstração. s 5 = s 10 + r, Construção de alguns polígonos regulares: Processo prático 1. Triângulo e hexágono: Traça-se uma circunferência de centro O e diâmetro BD e determinase M, o ponto médio de BO. A seguir, traça-se o segmento AC passando pelo ponto médio M e perpendicular a BD. Assim, AC será o lado do triângulo inscrito na circunferência e o raio OD será o lado do hexágono.. Quadrado e octógono: Traça-se uma circunferência de centro O e diâmetro BD e considerase OA perpendicular a BD. O segmento AB é o lado do quadrado inscrito na circunferência. Considera-se agora, o triângulo OAB. A bissetriz por O do arco ÂB interceptará a circunferência no ponto E e ME será o lado do octógono regular. 3. Pentágono e decágono: Traça-se uma circunferência de centro O e diâmetros BD e AC perpendiculares. Determina-se M, o ponto médio de OD e traça-se uma circunferência de raio MA por M, que interceptará o diâmetro BD em C. Os segmentos AC e OC são respectivamente, os lados do pentágono e do decágono regulares. Faculdade de Matemática Construções Geométricas Fundamentais

10 118 FAMAT em Revista Figura.14: Triângulo e hexágono Figura.15: Quadrado e octógono Figura.16: Pentágono e decágono 4. Pentadecágono: Traça-se uma circunferência de centro O e raio OC. Como o arco que subentende um lado do pentadecágono mede = 4, pode-se relacioná-lo aos arcos de 60 e 36, (4 = ) que são respectivamente, os relativos aos lados do hexágono e do decágono. Figura.17: Pentadecágono Construções Geométricas Fundamentais Universidade Federal de Uberlândia

11 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 119 Após a construção por Euclides dos polígonos regulares vistos anteriormente, não houve progresso nesse assunto, até que em 1796 Gauss concluiu o seu trabalho sobre a construção do polígono de 17 lados. Posteriormente, Gauss demonstrou o teorema, a seguir, que exibe quais os possíveis polígonos regulares que são construtíveis segundo as regras euclidianas. Teorema.3. Um polígono regular de n lados pode ser construído com régua e compasso se, e somente se, n = α ou n = α p 1 p p r, em que p 1, p,, p r são números primos distintos da forma p = β + 1 e α e β são números inteiros não negativos. Consequências do Teorema.3: 1. É possível construir os seguintes polígonos (até 0 lados): de 3, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15, 16, 17 e 0 lados, incluindo todos os construidos por Euclides e com destaque para o polígono de 17 lados, que será apresentado a seguir.. Os polígonos regulares de 7, 9 e 7 lados, por exemplo, não são construtíveis, pois 7 = 0.7, mas 7 não é um primo da forma β + 1; 9 = 0.3.3, mas p 1 = p = 3; 7 = , mas p 1 = p = p 3 = Os polígonos regulares com um número primo de lados são, portanto, o triângulo e o pentágono, construidos por Euclides e os de lados n = β + 1. Como se sabe, n é primo para β = 0,..., 4, ou seja, n = 3, 5, 17, 57, Euler mostrou que para β = 5, n é composto, isto é, = e até o momento não foi encontrado outro número primo dessa forma. 3 A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono) Deve-se ressaltar que antes de Gauss, L. Euler ( ) ao demonstrar que qualquer número tem n raízes enésimas, também provou que elas, quando representadas no plano complexo, formam entre si, sucessivamente, ângulos de π. Em outras palavras, a extração da raiz enésima da unidade n produz n números complexos, cujas representações gráficas formam um polígono regular de n lados, inscrito em uma circunferência de raio unitário. Por este motivo, a equação x n 1 = = 0 recebeu a denominação de equação ciclotônica e foi intensamente estudada no final do século XV III e início do século XIX, principalmente pelo jovem Gauss. É interessante observar algumas propriedades das raízes enésimas da unidade. Ao denominá-las por R k = cos kπ kπ + i sin n n, k = 0,..., n 1, nota-se algo curioso; tomando R 1 = cos π n + +i sin π n como ponto de partida R = R 1; R 3 = R 3 1;... ; R n 1 = R n 1 1. Isto ocorre porque, ao se elevar R 1 às sucessivas potências inteiras, o ângulo θ = π n multiplicado por, 3, 4, etc. Há ainda outros fatos relacionando as raízes enésimas. Por exemplo: vai sendo R n 1 = 1 R 1 ; R n = 1 R ; ; R n i = 1 R i ; ou R1 n 1 = 1 ; R1 n = 1 R 1 R1 ; ; R1 n i = 1 R1 i. Faculdade de Matemática A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)

12 10 FAMAT em Revista Figura 3.1: Representação das n raízes da unidade Isto acontece porque, para se calcular o inverso de um número complexo de módulo 1, que é o nosso caso, basta inverter o ângulo em relação ao eixo real. Se for considerada qualquer outra raiz, R, R 3, etc, como ponto de partida, vê-se que, por exemplo, R 4 = R ou R 9 = R 3 3, etc. Seja agora a equação x 17 1 = 0. Descartando a raiz x = 1, a equação torna-se ou x 16 + x 15 + x x 4 + x 3 + x + x + 1 = 0. Pelo que foi observado sobre as relações entre as raízes da equação acima, pode-se escrever R R R R R 1 + R = 0 R 16 + R 15 + R R 3 + R + R = 0. Foi nesse ponto que se fez presente a genialidade de Gauss que usou resultados de suas pesquisas anteriores sobre congruência, um tópico por ele introduzido na teoria dos números. As 16 raízes foram colocadas em uma ordem conveniente e a razão disso pode ser compreendida ao longo da exposição. Tal ordem é R 1, R 3, R 9, R 10, R 13, R 5, R 15, R 11, R 16, R 14, R 8, R 7, R 4, R 1, R, R 6. Nesta sequência cada raiz é o cubo da anterior. Por exemplo, (R 16 ) 3 = ( R1 16 ) 3 = R 48 1 = R1 17 R1 17 R1 14 = R1 14. A partir da ordem estabelecida, as raízes foram agrupadas em dois blocos de 8 elementos e y 1 = R 1 + R 9 + R 13 + R 15 + R 16 + R 8 + R 4 + R y = R 3 + R 10 + R 5 + R 11 + R 14 + R 7 + R 1 + R 6, e assim, tem-se y 1 + y = 1. Uma vez que R m R n = R m+n, segue que y 1 y = 4(y 1 + y ) = 4 e, portanto, y 1 e y satisfazem a equação y + y 4 = 0. Considerando-se, alternadamente, os termos de y 1 e y, encontra-se z 1 = R 1 + R 13 + R 16 + R 4, z = R 9 + R 15 + R 8 + R e w 1 = R 3 + R 5 + R 14 + R 1, w = R 10 + R 11 + R 7 + R 6. A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)Universidade Federal de Uberlândia

13 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 11 Assim, { z1 + z = y 1 z 1 z = 1 e { w1 + w = y w 1 w = 1, ou seja, z 1, z e w 1, w satisfazem, respectivamente, às seguintes equações: z y 1 z 1 = 0 e w y w 1 = 0. Finalmente toma-se os termos de z 1 da forma v 1 = R 1 + R 16, v = R 13 + R 4 e nota-se que v 1 + v = z 1 e v 1 v = w 1, ou seja, v 1, v satisfazem a equação v z 1 v + w 1 = 0 e R 1, R 16 satisfazem a equação r v 1 r + 1 = 0. Desse modo pode-se encontrar R 1 resolvendo-se uma série de equações quadráticas. Lembrando que nesse caso, R 1 = cos π 17 π + i sin 17, tem-se que, 1 = cos π π i sin R = R 16 e assim v 1 = R R 1 = cos π 17. Desse modo pode-se construir um polígono regular de 17 lados por um processo em que estão envolvidas somente operações racionais e extrações de raízes quadradas, ou seja, apenas com régua e compasso. 3.1 Construção geométrica do heptadecágono Considera-se inicialmente um círculo unitário e duas perpendiculares aos diâmetros AB e CD que tangenciam o círculo em A e D e se cortam em S. Figura 3.: Primeira etapa da construção do heptadecágono A seguir dividi-se AS em quatro partes iguais e toma-se AE = 1 4 AS. Com centro em E e raio OE traça-se um círculo que corta a reta AS em F e F. Com centro em F e raio F O traça-se um círculo que corta AS em H (fora de F F ), e com centro em F e raio F O traça-se outro círculo que corta AS em H (entre F e F ). Verifica-se agora, que AH = z 1 e AH = w 1. De fato; como foi visto anteriormente y 1 + y = 1 e y 1 y = 4, ou seja, y + y 4 = 0 e assim y 1 = e y = Por outro lado, como z y 1 z 1 = 0 e w y w 1 = 0 tem-se z 1 = 1 y 1 + Com base na figura 3., conclui-se: 1. Como OE = AE + OA = y 1 e w 1 = 1 y + ( ) 1 4 AS + 1 = y. 16 AS + 1 = 17, então OE = Faculdade de Matemática A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)

14 1 FAMAT em Revista. AF = EF EA = OE EA = = = 1 4 y AF = EF + AE = EF + AE = OE EA = 4. Como OF = OA + AF = y. Finalmente chega-se às duas conclusões mais importantes: AS = = 1 4 y. ( ) 1 y 1, então OF = y 1. Do mesmo modo OF = AH = AF + F H = 1 y 1 + OF = 1 y y 1 = z 1 e ( AH = F H F A = F O 1 ) y = y + 1 y = w 1. Agora, considera-se o plano cujos eixos coordenados são as retas determinadas por SA e por SD e um círculo de diâmetro DD, em que D = (0, 1) e D = (z 1, w 1 ) e cujo centro M é o ponto médio de DD. A equação do círculo é ( x z 1 Figura 3.3: Segunda etapa da construção do heptadecágono ) ( + y w ) = ( z1 ) ( ) 1 + w1 + 1 = z ( ) w1 1. Para encontrar as abscissas dos pontos G e G considera-se y = 0 na igualdade anterior e obtem-se ( x z 1 ) ( ) w = z ( ) w1 1. Desenvolvendo um pouco mais, chega-se a equação x z 1 x + w 1 = 0, ou seja, as abscissas de G e G são precisamente v 1 e v (já referidos anteriormente) que satisfazem a equação v z 1 v + w 1 = 0, em que v 1 > v > 0. Logo, SG = v 1 = z 1 + z 1 4w 1. E assim, como v 1 = R = cos π, tem-se que R 1 17 SG = cos π 17. Finalmente pode-se construir o polígono de 17 lados do seguinte modo: A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)Universidade Federal de Uberlândia

15 O problema da construção de polígonos regulares de Euclides a Gauss 13 Transporta-se SG = v 1 sobre a reta que passa por O e C a partir de O, obtendo-se ON. Encontrase o ponto médio P de ON e traça-se P Q perpendicular a ON por P e assim, P Q é o lado do heptadecágono, uma vez que ON = cos π π π, ou seja, OP = cos e, portanto, P ÔQ = Figura 3.4: Etapa final da construção do heptadecágono Referências Bibliográficas [1] Aaboe, A., Episódios da História Antiga da Matemática,. ed., Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 00. [] Bold, B., Famous Problems of Geometry, New York: Dover Publications, 198. [3] Courant, R. e Robbins, H., Que es la matemática?, Madrid: Aguilar, S.A. Ediciones, [4] Dörrie, H., 100 Great Problems of Elementary Mathematics, New York: Dover Publications, [5] Wagner, E., Construções Geométricas, Coleção do Professor de Matemática, SBM, Faculdade de Matemática A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)

16 14 FAMAT em Revista A construção de Gauss do polígono regular de 17 lados (Heptadecágono)Universidade Federal de Uberlândia