ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA. Amílcar Oliveira Teresa A. Oliveira

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1 ELEMENTOS DE ESTATÍSTICA DESCRITIVA Amílcar Oliveira Teresa A. Oliveira Lisboa Jaeiro de 2011

2 Coteúdo Resumo. Pretede-se com o presete texto uma abordagem aos pricipais tópicos desevolvidos em Estatística Descritiva, para apoio ao módulo itrodutório sobre Estatística Descritiva iserido a uidade curricular de Matemática do Curso de Qualificação para Estudos Superiores da Uiversidade Aberta. O pricipal objetivo é forecer e/ou relembrar um cojuto de coceitos, habitualmete adquiridos pelos estudates ao ível do esio secudário, que permita uma melhor adaptação às uidades curriculares da área da Estatística lecioadas em liceciaturas das áreas da matemática, iformática, ciêcias, ecoomia e gestão. Capítulo 1 Itrodução Capítulo 2 População e Amostra, obteção de dados Amostra e população Receseameto e sodages Amostragem aleatória simples Estatística descritiva e Estatística idutiva Capítulo 3 Aálise, represetação e redução de dados Variável estatística discreta e variável estatística cotíua Tabelas de frequêcias Frequêcia absoluta simples Frequêcia relativa simples Frequêcia absoluta acumulada Frequêcia relativa acumulada Dados agrupados em classes Represetações gráficas Histograma Diagrama circular Diagrama de barras Diagrama de caule e folhas Diagrama de extremos e quartis Capítulo 4 Medidas de localização Média aritmética Mediaa Moda Quatis Capítulo 5 Medidas de dispersão ou variabilidade Amplitude total Amplitude iterquartil Variâcia Desvio padrão Propriedades algébricas da média e do desvio padrão Propriedade Propriedade Capítulo 6 Exercícios propostos

3 3 CAPITULO 1 Itrodução Iiciamos este texto de apoio com a procura de uma defiição para o coceito de Estatística. E vamos rápidamete cocluir que tal ão é tarefa fácil, pois a desigação de Estatística aparece muitas vezes a bibliografia com diferetes sigificados. Talvez a primeira questão a colocar relativamete a este assuto, teha a haver com a forma como este assuto é tratado, por exemplo, pela comuicação social. Com efeito, a tedêcia sistemática para se referirem à Estatística como simples iformação umérica, pode levar muitas vezes, o cidadão comum, a absorver uma ideia demasiado simplista daquilo que é efectivamete a Estatística. Numa visão um pouco mais ampla, podemos pesar em Estatística como sedo um cojuto de técicas para tratameto e aálise de dados, mas aida assim ficaremos loge do seu verdadeiro sigificado. Atualmete, é de certo modo cosesual falarmos em Estatística como sedo simultâeamete uma ciêcia e uma arte que permite obter coclusões sobre um cojuto de dados, e que a sua vertete mais abragete realiza aquilo que se desiga por Iferêcia Estatística. Até fial do século XIX, a Estatística era apeas o que os dias de hoje desigamos de Aálise de Dados ou Estatística Descritiva, tedose revelado bastate importate o apoio a muitas àreas cietíficas.

4 4 CAPÍTULO 2 População e Amostra, obteção de dados 2.1 Amostra e população Os coceitos de amostra e de população aparecem em iúmeras situações ode se utilizam técicas estatísticas evolvedo aálises sobre cojutos de idivíduos. É etão coveiete que comecemos por apresetar uma defiição destes coceitos. População - é uma coleção de elemetos idividuais, por exemplo, aimais, pessoas, objectos, ou resultados experimetais que teham uma ou mais características em comum e que se pretedam aalisar. A dimesão duma População pode ser mais ou meos clara cosoate o problema em estudo. Vejamos algus exemplos: Estudates da Uiversidade Aberta Pessoas com mais de 18 aos residetes em Portugal Cotietal Cojuto de escaravelhos a região de Trás os Motes Cojuto dos acidetes um determiado dia a autoestrada A1 Cojuto de golfihos presos diáriamete em redes de pesca em todo o mudo Sobre as populações, poderemos aalisar as mais variadas características, cosoate a atureza das mesmas e o objectivo do estudo. São exemplos dessas características: idade(em cm) dos estudates da Uiversidade Aberta peso (em Kg) das pessoas residetes em Portugal cotietal com mais de 18 aos úmero de escaravelhos por hectare os cocelhos da Região de Trás os Motes úmero de acidetes provocados por excesso de alcool a A1 úmero de golfihos presos em redes de pesca 2.2 Receseameto e Sodages Em situações ode é ecessário estudar todos os elemetos duma população procede-se habitualmete a um receseameto ou ceso. Em Portugal, o Istituto Nacioal de Estatística tem a resposabilidade dessa tarefa que é realizada periódicamete, ao logo do tempo. Num

5 receseameto é possível obter iformação variada, respeitate a codições ecoómicas e sociais dos habitates, e pode cotribuir para tomada de decisões importates por parte do poder político. Por outro lado é possível aalisar a evolução das características observadas ao logo do tempo. A problemática deste tipo de processo, que evolve toda a população de um país, é em regra, evolver bastates meios e custos elevados. Um receseameto pode averiguar aspectos ligados à habitação, mas também pode evolver aspetos ligados ao fucioameto da agricultura e idústria. Podemos assim defiir Receseameto como sedo um processo em que para além da recolha de iformação está também evolvida a aálise de todos os elemetos da população em estudo, tedo como objectivo ão apeas a eumeração dos seus elemetos mas também o estudo de características importates. Noutros estudos porém, ão é viável proceder a um levatameto tão exaustivo da iformação. Nesse caso recorre-se a outro tipo de abordagem, que se traduz o coceito de Sodagem, de que passaremos de seguida a descrever. Sodagem é um estudo baseado uma parte de uma população com ituíto de iferir resultados para toda a população. Usualmete os estudos associados às sodages têm como objetivo cohecer gostos ou preferêcias em relação a certos assutos ou acotecimetos comus a toda a população. São exemplo disso as bem cohecidas sodages de opiião os períodos que atecedem os atos eleitorais. Históricamete, podemos afirmar que este tipo de estudo começou a ter maior destaque a partir da seguda metade do século XX, período a partir do qual foi possível implemetar um cojuto de métodos e técicas estatísticas que lhe deram defiitivamete um caráter cietífico Amostragem aleatória simples A problemática evolvedo a recolha de amostras é sem dúvida bastate importate e merece destaque especial. Atededo a factores vários, tora-se muitas vezes iviável a aálise de todos os elemetos de uma população. Vejamos algumas situações: Caso 1: A população é ifiita ou pode ser cosiderada como tal. Ex: Temperaturas os potos da superfície da Terra, um dado istate. Caso 2: A recolha da iformação obrigaria à destruição total dos elemetos em estudo. Ex: Tempo de vida de determiado tipo de lâmpada. Caso 3: A recolha de toda a iformação ser muito dispediosa ou ser muito demorada. Ex: Cosulta de opiião pública sobre um cadidato

6 6 presidecial através de ceso. Nos exemplos apresetados e outros casos ode situações semelhates se verifiquem, é de todo acoselhável recorrer à seleção de uma amostra. Quado falamos em amostragem, referimo-os a um processo que cosiste em cosiderar um certo úmero de elemetos - amostra - do cojuto de elemetos a estudar - população. Esse processo deve ter em ateção critérios adequados, de tal forma que os coduzam a coclusões válidas para toda a população. Diremos que os critérios foram seguidos quado a amostra obtida, é represetativa de toda a população. Uma amostra que pelo cotrário ão seja represetativa da população, diz-se eviesada. Podemos eumerar os critérios, que o essecial os orietam para a realização de uma amostragem adequada: Todos os idivíduos da população devem ter igual probabilidade de ser seleccioados; A População deve estar bem defiida logo à partida, ou seja desde o iício do estudo; Dimesão da amostragem deve ser adequada, ou seja ela devem figurar toda a variedade de subgrupos existetes a população. Para exemplificar a ideia de amostra eviesada, vejamos algus exemplos de amostrages ão represetativas da população: Utilização de uma amostra, costituída por opiiões de 10 membros da Liga Protectora dos Aimais, sobre a abolição das touradas; Utilização de uma amostra de pluviosidades diárias verificadas os meses de Juho, Julho e Agosto para tirar coclusões sobre um ao iteiro. A amostragem aleatória simples cosiste um processo ode se extrai de uma população um úmero de elemetos préviamete fixado. Essa extracção deve o essecial, ser feita: ao acaso; de forma a ter em cota a composição da população; de forma que a escolha feita por um idivíduo ão ifluecie a escolha de outro. 2.4 Estatística descritiva e Estatística idutiva Numa aálise estatística podem estar evolvidas fases distitas: uma aálise descritiva dos dados, correspodete à obteção, orgaização e

7 tratameto dos dados de uma determiada amostra, e uma aálise iferecial ode a partir do cohecimeto descritivo dos dados se procura iferir coclusões para toda a população. Podemos afirmar que a estatística descritiva se resume ao estudo de uma amostra, ode o pricipal objetivo é a obteção de algumas características amostrais e costrução de tabelas e gráficos ode possa costar toda a iformação a forma resumida. Efetivamete, esta fase procuram-se represetações alterativas e sugestivas que substituam um cojuto de dados que se teha. Cosidere-se um exemplo, ode uma turma se questioou cada um dos aluos acerca do úmero de irmãos que cada um tem. As respostas foram as idicadas: Na preseça destes dados, ão percebemos de imediato, por exemplo qual a situação que predomia, mas se costruirmos uma simples represetação gráfica, ficamos com ideia bastate mais clara. 0 *********** 1 **************** 2 ********* 3 ** 4 ** Desta forma podemos de imediato cocluir que a situação que mais ocorre é ter um irmão, e que apeas uma pequea mioria tem três ou mais irmãos. Esta orgaização dos dados, permitiu que duma forma simples pudessemos tirar melhores iformações sobre os dados. Mas um estudo estatístico, os objetivos vão habitualmete mais além duma descrição dos dados, quer seja em tabelas ou gráficos. Muitas vezes queremos mesmo é estimar quatidades ou testar hipóteses utilizado técicas estatísticas adequadas, que os permitam tirar coclusões acerca de uma população. Aqui etramos a área da Estatística Idutiva ou Iferêcia Estatística, tema que ão é âmbito deste texto. 7

8 8 CAPÍTULO 3 Aálise, represetação e redução de dados Abordámos o capítulo aterior a importâcia de se efetuar uma represetação dos dados, quer através de tabelas, quer através de gráficos, por forma a podermos obter uma realce da iformação cotida um cojuto de dados. Dessa forma será possível obter respostas, à partida ão óbvias, de questões relevates. Por exemplo, podemos costatar se os dados são parecidos etre si, se apresetam alguma tedêcia ou se existem agrupametos. Neste capítulo iremos estudar algus processos utilizados a redução de dados. Começaremos por ver algus aspetos relacioados com o tipo de dados que podem ocorrer e formas de classificação dos mesmos. Numa primeira classificação podemos ter dados de caráter qualitativo, por exemplo a cor dos olhos, ou dados de caráter quatitativo, por exemplo a temperatura em o C. 3.1 Variável estatística discreta e variável estatística cotíua Uma variável estatística que apeas assume valores uméricos isolados deomia-se de variável discreta. Exemplos: Número de irmãos de um cojuto de aluos duma turma do 12 o ao; Número mesal de viages de avião efetuadas por um executivo de uma empresa; Número de golos marcados por uma equipa de futebol em cada jogo das 30 joradas de um campeoato. Quado uma variável toma qualquer valor um certo itervalo, desigase de variável cotíua. Exemplos: Peso dos aluos de uma escola do esio básico; Temperatura diária registada uma estação metereológica; Pressão arterial medida um grupo de 100 hipertesos.

9 9 3.2 Tabelas de frequêcias Uma das formas comus de orgaizar os dados que estejamos a tratar, é através das tabelas de frequêcias, ode habitualmete figuram etre outros valores, aqueles que dizem respeito às frequêcias absolutas simples, frequêcias relativas simples, frequêcias absolutas acumuladas e frequêcias relativas acumuladas Frequêcia absoluta simples Correspode ao úmero de vezes que um determiado valor x i é observado a população ou amostra estudada, e desiga-se por i Frequêcia relativa simples Sedo i a frequêcia absoluta do valor da variável x i e N a dimesão da população ou amostra estudada, desiga-se por frequêcia relativa simples de x i o quociete: f i = i N É comum a utilização das frequêcias relativas sob a forma de percetagem, que se obtêm calculado f i Frequêcia absoluta acumulada Desiga-se por frequêcia absoluta acumulada de ídice i a soma das frequêcias absolutas correspodetes aos valores da variável desde o primeiro valor até ao de ordem i, e represeta-se por N i. Para k observações tem-se N 1 = 1 N 2 = = N N 3 = = N N k = k = N k 1 + k N = k i=1 i Frequêcia relativa acumulada De modo idêtico desiga-se de frequêcia relativa acumulada de ídice i à soma das frequêcias relativas correspodetes aos valores da variável

10 10 desde o primeiro valor até ao de ordem i, e represeta-se por F i. F 1 = f 1 F 2 = f 1 + f 2 = F 1 + f 2 F 3 = f 1 + f 2 + f 3 = F 2 + f 3. F k = f 1 + f 2 + f f k = F k 1 + f k k i=1 f i = 1 Em termos geéricos, uma tabela de frequêcias será costituída da seguite forma: x i i f i = i N i F i x 1 1 f 1 = 1 1 f 1 x 2 2 f 2 = f 1 + f 2 x 3 3 f 3 = f 1 + f 2 + f x k k f k = k k f 1 + f 2 + f f k Total N = k i=1 k i i=1 f i = Dados agrupados em classes Frequêcia absoluta e frequêcias relativa Numa distribuição com dados agrupados em classes, desiga-se de frequêcia absoluta da classe ( i ) ao úmero de casos que pertecem a essa classe e frequêcia relativa da classe (f i ), ao quociete etre a frequêcia absoluta da classe e a dimesão da população (N). As frequêcias absolutas acumuladas (N i ) e as frequêcias relativas acumuladas (F i ) obtêm-se fazedo a acumulação dos valores em cada classe de acordo com o exemplo seguite: Exemplo 3.1 Foram agrupados em classes e registados a tabela seguite os dados relativos aos tempos (em miutos) da duração de uma viagem de automóvel, etre duas localidades A e B, durate 30 dias cosecutivos.

11 i Classes i f i (%) 1 [15; 20[ [20; 25[ [25; 30[ [30; 35[ [35; 40[ a) Qual a percetagem de dias para os quais a duração da viagem é iferior a 30 miutos? R: F (x < 30)=f 1 +f 2 +f 3 = =70, logo coclui-se que em 70% dos dias a viagem demora meos de 30 miutos. b) Qual a percetagem de dias para os quais a duração da viagem é superior a 35 miutos? R: F (x > 35)=f 5 =23.33, pelo que em 23.33% dos dias a viagem demora mais do que 35 miutos. c) Complete a tabela aterior obtedo as coluas com as frequêcias absolutas acumuladas (N i ) e as frequêcias relativas acumuladas (F i ). i Classes i f i (%) N i F i (%) 1 [15; 20[ [20; 25[ [25; 30[ [30; 35[ [35; 40[ Cetro da Classe Em certos casos, tora-se ecessário efetuar cálculos ode o valor cetral de cada classe deve ser cohecido. Esse valor cetral ou cetro duma classe [l i ; l i+1 [ é calculado através de x i = l i+l i+1 2 sedo l i o extremo iferior da classe e l i+1 o extremo superior da classe. 3.3 Represetações gráficas Histogramas Os dados agrupados em classes podem ser represetados graficamete por histogramas. Há dois tipos de histogramas que podem ser desehados para as frequêcias absolutas ou ordiárias: o histograma de frequêcias simples e o histograma de frequêcias acumuladas. Os histogramas como impacto visual trasmitem uma importate iformação relativamete à forma, à tedêcia cetral e à dispersão dos dados.

12 12 Para elaboração dos histogramas é coveiete a costrução prévia de tabelas de frequêcias Diagrama circular Para amostras de dados qualitativos, este é um tipo de represetação bastate utilizado. Após a costrução da tabela de frequêcias é bastate simples a obteção deste diagrama, bastado associar a cada setor circular do diagrama, o valor da frequêcia de cada classe. Podemos assim defiir diagrama circular como sedo uma represetação gráfica que tem base um circulo, que é dividido em tatos setores circulares, quatas as classes existetes para a variável em estudo e ode os âgulos dos setores são proporcioais às frequêcias das classes. Vejamos o seguite exemplo ode estão represetados o diagrama circular, os resultados relativos às cores dos olhos dos aluos de uma turma. Cor dos olhos i Graus Castahos o Pretos 7 70 o Verdes 4 40 o Azuis 9 90 o

13 Diagrama de barras O diagrama de barras é uma represetação gráfica, ode um sistema de eixos coordeados, associamos ao eixo das abcissas, marcas que represetam as classes, e alihadas com essas marcas colocamos barras verticais de altura igual ou proporcioal à frequêcia da classe. Preferecialmete, deveremos usar as frequêcias relativas para costrução do diagrama, pois esse caso a soma das alturas das barras é uitária e tora-se mais simples a comparação de gráficos etre amostras diferetes. Em regra estes diagramas devem ter as barras com a mesma largura, a ão ser que se preteda dar outra iformação para essa característica. De seguida apresetamos um exemplo referete aos dados usados ateriormete para o diagrama circular Diagrama de caule e folhas Este tipo de represetação, pelo tipo de iformação que cotém, pode cosiderar-se como estado etre uma represetação em tabela e um gráfico. Após um processo de cotagem, orgaização e represetação

14 14 dos dados, obtém-se um diagrama com barras a horizotal. Em primeiro lugar deve-se traçar uma liha vertical, colocado à esquerda dessa liha o dígito (ou dígitos) da classe com maior gradeza, seguido dos restates. Este tipo de represetação é de fácil costrução, sedo possível fazer a ordeação dos dados e muitas vezes também fazer a recostituição da amostra. Exemplo 3.2 Num iquérito realizado a 50 estudates uiversitários obteve-se a seguite iformação acerca do peso de cada um Para fazermos a represetação de caule-e-folhas, começamos por traçar uma liha vertical, registar à esquerda os dígitos das dezeas e à direita os sucessivos digitos das uidades e ordeado, obtem-se Este tipo de represetação de dados permite duma forma simples, destacar algus aspectos particulares dos mesmos, como por exemplo, existêcia ou ão de simetria, maior ou meor dispersão Diagrama de extremos e quartis O diagrama de extremos e quartis ou caixa de bigodes (box-plot) é um tipo de represetação gráfica também de fácil costrução e que realça muito bem a iformação sobre os dados. Para sua costrução é ecessária a obteção de cico medidas, valor míimo, 1 o Quartil(Q 1 ), 2 o Quartil(Q 2 ), 3 o Quartil(Q 3 ) e valor máximo.

15 Naturalmete verifica-se que Q 1 < Q 2 < Q 3, ode Q 2 represeta a mediaa. Estas medidas são apresetadas o capítulo 4. Vejamos agora um exemplo do caso da represetação dos dados do exemplo aterior em diagrama de extremos e quartis: 15

16 16 CAPÍTULO 4 Medidas de localização No âmbito da estatística descritiva são apresetadas de seguida, algumas das medidas de localização mais usadas a aálise de dados, omeadamete a média aritmética, a mediaa e a moda. São também apresetados os quatis ou amplitudes modificadas. As medidas de localização ou tedêcia cetral são muito importates pois permitem caracterizar uma distribuição idetificado um valor que a tipifíca. 4.1 Média aritmética A média aritmética de uma amostra x é a medida de localização obtida através do quociete etre a soma de todos os valores observados essa amostra e o úmero total de observações. Se represetarmos as observações por x 1, x 2,..., x virá x = x 1+x x = x i i=1 Caso os dados estejam agrupados podem ocorrer duas situações distitas: (1) Os dados são do tipo discreto e existem valores que se repetem a amostra ou população. Neste caso podemos obter a média com base a seguite expressão: x = 1x x k x k ou abreviadamete x = ode, i é a frequêcia absoluta da classe i k é o úmero de classes do agrupameto x i é o valor correspodete à classe i = k k i=1 x i i (2) Os dados são do tipo discreto ou cotíuo e as classes são itervalos. Neste caso teremos um valor aproximado para a média dado pela expressão: x 1x x k x k ode, i é a frequêcia absoluta da classe i k é o úmero de classes do agrupameto x i é o poto médio da classe i, valor cosiderado como represetativo da classe i = k

17 Para dados de carácter quatitativo, a média aritmética, é uma das medidas de localização ou tedêcia cetral mais importates. A média aritmética tem o etato a desvatagem de ão poder ser usada para dados de carácter qualitativo, que traduzem qualidades, como por exemplo a cor dos olhos, e pelo facto de ser permeável a valores errados, uma vez que depede de todos os valores da série estatística, bastado um valor errado muito diferete de todos os outros para a afectar Mediaa A mediaa x, é outra medida de localização cuja característica se traduz pela posição do meio que ocupa quado todos os dados estão ordeados por ordem crescete Caso 1: x 1 < x 2 <... < x c <... < x 1 < x Se o úmero de dados é ímpar, existe um valor cetral que correspode à mediaa x Caso 2: x 1 x 2... x } {{ c 1 } 1 }{{} 2 valores mediaa( x) x c x c+1... x 1 x } {{ } 1 2 valores Se o úmero de dados é par, existem dois valores cetrais cuja média aritmética é o valor da mediaa ( x): Caso 3: x 1 x 2... x c x c+1 } {{ } x= xc+x c x 1 x Quado os dados se apresetam agrupados em classes, deve em primeiro lugar localizar-se a classe mediaa, sedo posteriormete determiada a posição da mediaa detro dessa classe, por iterpolação. A classe mediaa é a primeira classe cuja frequêcia acumulada iguala ou excede metade do úmero total de observações. Uma vez idetificada essa classe, determia-se o valor da mediaa com base a seguite expressão x = l i + ( 2 F aci F aci F aci ) a i ode l i é o limite iferior da classe mediaa; F aci frequêcia absoluta acumulada o limite iferior da classe mediaa; F aci frequêcia absoluta

18 18 acumulada o limite superior da classe mediaa; a i amplitude da classe mediaa. Graficamete, dado o histograma de frequêcias acumuladas e o respetivo poligoo, tem-se: Neste caso a classe mediaa é a classe [30, 40[. 4.3 Moda A moda ˆx, defie-se como sedo o valor que ocorre com maior frequêcia um cojuto de dados, ou seja, uma vez cohecidas as frequêcias absolutas, a moda será o valor x i ao qual correspode o maior valor de i. Nas situações ode uma distribuição ocorrem dois valores apresetado a mesma e mais elevada frequêcia absoluta, diz-se que a distribuição é bimodal. Se uma distribuição estatística possui três ou mais modas, diz-se que a distribuição é plurimodal ou multimodal. No caso de se dispor apeas de dados agrupados, deve em primeiro lugar localizar-se a classe modal, sedo posteriormete determiada a posição da moda detro dessa classe. A classe modal é a classe com

19 maior frequêcia ordiária, quer absoluta quer relativa. O valor da moda será determiado por iterpolação, usado a seguite expressão [ ] d ˆx = l i + 1 d 1 +d 2 a i ode l i é o limite iferior da classe modal; d 1 difereça etre a frequêcia da classe modal e a frequêcia da classe que lhe precede; d 2 difereça etre a frequêcia da classe modal e a frequêcia da classe que lhe sucede; a i amplitude da classe modal. Dado o histograma de frequêcias absolutas simples tem-se: 19 A classe modal é a classe [40, 50[.

20 Quatis Os quatis são medidas de tedêcia cetral que permitem dividir uma amostra ou distribuição em partes iguais. Um caso particular dos quatis é a mediaa, que permite dividir a distribuição em duas partes iguais. Os quatis mais cohecidos são: os quartis, que dividem a distribuição em quatro partes iguais; os decis, que dividem a distribuição em dez partes iguais; os percetis, que dividem a distribuição em cem partes iguais. O cálculo destes quatis é similar ao cálculo da mediaa, uma vez que também subdividem a distribuição de medidas de acordo com a proporção das frequêcias observadas. Para dados agrupados a expressão usada para a determiacão da mediaa, matem-se adaptado o quatil apropriado. Recordemos que x = l i + ( 2 F aci F aci ) a F aci i De um modo geral, para os restates quatis, a expressão aterior em vez de aparece e 3 para o o e 3 o quartis, e 2 para o 1o 10 4 decil e 2 o decil e assim sucessivamete, sedo os F aci e F aci as repetivas frequêcias acumuladas o limite iferior da respetiva classe e o limite superior da respetiva classe.

21 21 CAPÍTULO 5 Medidas de dispersão ou variabilidade As medidas de dispersão permitem avaliar o grau de variabilidade dos valores de uma distribuição. Estas medidas permitem complemetar a iformação obtida pelas medidas de localização abordadas ateriormete, dado um cohecimeto mais efetivo acerca da variabilidade dos dados. Apresetamos de seguida algumas dessas medidas. 5.1 Amplitude total A amplitude ou amplitude total, usualmete deotada por R (rage) é o valor da difereça etre o maior e o meor valor observados. No caso de dados agrupados a amplitude total será dada pela difereça etre o limite superior da classe mais alta e o limite iferior da classe mais baixa. Obviamete quato maior for a amplitude maior será a dispersão dos dados. R = valor máximo - valor míimo Esta é a medida de dispersão mais simples em termos de cálculo, mas dá uma iformação restrita pois cosidera apeas os valores extremos da distribuição. No que respeita aos valores itermédios ão dá qualquer iformação. Exemplo 5.1 Num teste de Matemática realizado uma turma do 12 o ao foram obtidas as seguites classificações, uma escala de 0-20: Neste caso, a amplitude total das classificações obtidas pelos aluos é 11, pois sedo a classificação máxima 17.3 e a classificação míima 6.3, tem-se: R= =11. Seguem-se algumas das medidas de dispersão mais utilizadas: 5.2 Amplitude iter-quartil A amplitude iter-quartil é cosiderada uma medida resistete uma vez que é defiida a partir de medidas resistetes, ou seja os quartis. Esta medida que é utilizada a costrução do diagrama de extremos e

22 22 quartis, forece-os iformação acerca da amplitude do itervalo ode se ecotram 50% das observações cetrais. Amplitude iter-quartil = 3 o Quartil - 1 o Quartil Relativamete a esta medida podemos fazer as seguites observações: Quato mais variabilidade houver etre os dados, maior será a amplitude iter-quartil. No caso de ão haver variabilidade, ou seja todas as observações serem iguais, a amplitude iter-quartil terá valor ulo. Exemplo 5.2 Cosidere-se a seguite amostra obtida um iquérito estudates do 12 o ao acerca do úmero de horas de estudo semaais a disciplia de Matemática. Obteha a mediaa e a amplitude iterquartil. R: }{{} 1 o quartil 3 45 }{{} mediaa 6 }{{} o quartil Neste caso a mediaa é dada pela média dos dois valores cetrais, ou seja x = = 4.5 A amplitude iterquartil terá o valor Amplitude iter-quartil = 3 o Quartil - 1 o Quartil = 6-2 = Variâcia Esta é uma importate medida de variabilidade que permite medir o grau de dispersão dos dados em relação à média. Cosidere-se x 1, x 2,..., x as observações de uma distribuição estatística, de média x e seja d i o desvio etre o valor x i e x, ou seja d i = x i x. Etão, dado que a soma dos desvios é igual a zero, cosidera-se os quadrados dos desvios. d 2 i = (x i x) 2 A variâcia s 2 é a média dos quadrados dos desvios e forece-os a iformação de quão distates se ecotram os dados relativamete à média. s 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x x) 2 = i=1 (x i x) 2

23 Em algumas situações omeadamete quado se faz iferêcia da amostra para a população utiliza-se a fórmula ˆs 2 = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x x) 2 1 = i=1 (x i x) 2 que correspode à variâcia corrigida, ou estimador ão eviesado da variâcia. Nesta fórmula o deomiador é substituído por 1 sedo que para um úmero de dados suficietemete grade os resultados são muito próximos Desvio padrão À semelhaça do que acotece com a variâcia, o desvio padrão também é uma medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valores da variável em relação à média, com a vatagem de que, cotráriamete à variâcia, o desvio padrão aparece sempre as mesmas uidades dos valores da variável. O desvio padrão s é simplesmete a raíz quadrada da variâcia s 2. Assim tem-se s = (x 1 x) 2 +(x 2 x) (x x) 2 i=1 = (x i x) 2 Em muitos cálculos, omeadamete evolvedo aálises descritivas de dados, esta é a medida de dispersão mais utilizada, uma vez que oferece simultâeamete o uso de todos os valores da variável evolvida e ao mesmo tempo é expressa as mesmas uidades. A expressão aterior pode aparecer sob outras formas, por exemplo para dados agrupados s = 1 (x 1 x) (x 2 x) k (x x) 2 = k i=1 i(x i x) 2 se recorremos às frequêcias absolutas dos k valores diferetes da variável. Tal como vimos para o caso da variâcia, também poderemos ter ecessidade de recorrer ao desvio padrão corrigido, omeadamete o âmbito do Cálculo de Probabilidades ou em estudos de Iferêcia Estatística. Nessa situação recorremos a i=1 (x i x) 2 ˆs = 1 Vejamos agora algumas propriedades do desvio padrão: O desvio padrão é sempre ão egativo e será tato maior quato mais variabilidade houver etre os dados. Caso ão haja variabilidade, o valor do desvio padrão é ulo.

24 24 Se o desvio padrão for ulo, etão ão existe variabilidade, e esse caso os dados são todos iguais. À semelhaça da média, também o desvio padrão é uma medida pouco resistete, pois é muito iflueciável por valores que sejam muito diferetes dos restates, quer seja por excesso quer por defeito. Exemplo 5.3 Cosidere-se a seguite tabela com idicação das frequêcias absolutas, ode se ecotram registadas as classificações um teste de Matemática, obtidas por uma turma de 20 aluos. Pretede-se o cálculo do desvio padrão dessa distribuição. x i i Para tal, devemos em primeiro lugar proceder aos cálculos ecessários, completado a tabela: x i i d i = x i x d 2 i = (x i x) 2 i d 2 i = i (x i x) = = = = = = A soma dos quadrados dos desvios e o valor = 20 permite-os calcular o valor do desvio padrão s = = = Exemplo 5.4 A tabela seguite foi obtida a partir do cohecimeto das alturas (em metros) dos aluos de uma turma do 12 o ao. Pretede-se o cálculo do desvio padrão desta distribuição, a qual os dados estão agrupados em classes.

25 Classes i [1.50; 1.55[ 5 [1.55; 1.60[ 4 [1.60; 1.65[ 6 [1.65; 1.70[ 4 [1.70; 1.75[ 5 [1.75; 1.80[ 6 Para respoder à questão colocada, devemos começar por obter as médias de classe e a média da distribuição: 25 Classes i x i x i i d i = x i x (x i x) 2 i d 2 i = i (x i x) 2 [1.50; 1.55[ [1.55; 1.60[ [1.60; 1.65[ [1.65; 1.70[ [1.70; 1.75[ [1.75; 1.80[ = 6 i=1 i = 30 6 i=1 x i i = x = 6 i=1 x i i = = Temos também 6 i=1 i(x i x) 2 = No caso de distribuições com dados agrupados devemos utilizar a fórmula, ode x i represeta o poto médio das classes e k o úmero de classes. k s = 1 (x 1 x) (x 2 x) k (x x) 2 i=1 = i(x i x) 2 O desvio padrão da distribuição será etão s = = Propriedades algébricas da média e do desvio padrão As propriedades que seguem pretedem ilustrar o que acotece se todas as observações de uma série estatística forem acrescidas a mesma quatidade. Ou seja, qual será a ova média? E qual o ovo desvio padrão? Por outro lado, e se todas as observações duplicarem ou triplicarem o seu valor, qual será a ova média? E o desvio padrão?

26 Propriedade 1 Dada uma distribuição da variável X de média x e desvio padrão s, se adicioarmos a cada valor da variável o mesmo valor c, obtemos uma distribuição X de média x = x+c e com desvio padrão igual a s = s. Dem.: Cosiderado a distribuição X = {x 1, x 2,..., x }, temos o valor médio x = x 1+x x. Se adicioarmos a cada valor da variável X a costate c, obtemos a variável X tal que X = {x 1 + c, x 2 + c,..., x + c} cujo valor médio observado pode ser represetado como se segue. Temse: x = (x 1+c)+(x 2 +c)+...+(x +c) como pretediamos demostrar. = x 1+x x + c+c+...+c = x + c = x + c Vejamos agora o que se passa com os desvios padrão s e s. Sejam respetivamete d i os desvios dos valores x i em relação à média x e d i os desvios dos valores x i em relação à média x. d 1 = (x 1 + c) ( x + c) = x 1 x = d 1 Tem-se s = d 2 = (x 2 + c) ( x + c) = x 2 x = d 2. d = (x + c) ( x + c) = x x = d d 2 1 +d d2 = s como queriamos demostrar Propriedade 2 Dada uma distribuição X de média x e desvio padrão s, multiplicado cada valor da variável pelo mesmo valor c, obtemos uma distribuição X, cuja média observada pode ser represetada por x = c x e o desvio padrão será s = cs. Dem.: Cosideramos a mesma variável X = {x 1, x 2,..., x }. Se multiplicarmos cada valor da variável X pela costate c obteremos, X = {cx 1, cx 2,..., cx } A média da distribuição X é agora

27 = c x como queriamos demo- x = (cx 1)+(cx 2 )+...+(cx ) strar = c(x 1+x x ) 27 Por outro lado temos d 1 = cx 1 c x = c(x 1 x) = cd 1 d 2 = cx 2 c x = c(x 2 x) = cd 2. d = cx c x = c(x x) = cd e este caso a variâcia s 2 de X virá s 2 = c2 d 2 1 +c2 d c2 d 2 = c2 (d 2 1 +d d2 ) = c 2 s 2, pelo que s = c 2 s 2 = cs como queriamos demostrar.

28 28 CAPÍTULO 6 Exercícios Propostos 1. Calcule a média, a mediaa e a moda para as séries A e B, seguites: a) Série A: Número de DVD s usados por mês, por um determiado aluo de um Curso de Estatística Computacioal, ao logo de um ao lectivo: 7, 8, 12, 5, 8, 10, 3, 5, 8, 8, 8, 10 b) Série B: Classificações obtidas por 230 cadidatos uma prova de selecção de um jogo de cálculo metal: Classificação o de cadidatos [0, 10[ 7 [10, 20[ 11 [20, 30[ 18 [30, 40[ 9 [40, 50[ 41 [50, 60[ 37 [60, 70[ 52 [70, 80[ 25 [80, 90[ 22 [90, 100] 8 2. Relativamete à série B aterior, determie: a) O 3 o quartil. b) O 90 o percetil. 3. Para os dados das séries A e B ateriores, calcule a amplitude total, amplitude iter-quartil, a variâcia e o desvio padrão. 4. Costrua o histograma de frequêcias absolutas simples e o histograma de frequêcias absolutas acumuladas para os dados da série B, do exercício 1.

29 5. De acordo com o idicado a tabela que se segue, a distribuição dos salários (em Euros) dos trabalhadores de uma empresa é dada por: 29 x i i a) Idique o úmero de trabalhadores da empresa. b) Determie a média e o desvio padrão desta distribuição. c) Face aos prejuízos da empresa, o doo decidiu reduzir todos os salários para metade. Nestas ovas codições determie a média e o desvio padrão e compare-os com os obtidos a alíea aterior. 6. Num processo de produção de certos compoetes para lâmpadas, foram registados uma hora os seguites valores para a resistêcia dos compoetes, de uma amostra de dimesão 20 (em uidades codificadas). Na tabela ecotram-se os valores obtidos para os compoetes retirados sequecialmete: 1 o 2 o 3 o 4 o 5 o 6 o 7 o 8 o 9 o 10 o 11 o 12 o 13 o 14 o 15 o 16 o 17 o 18 o 19 o 20 o Costrua um diagrama de caule-e-folhas represetativo destes dados. 7. Numa amostra de 12 telemóveis de uma determiada marca e modelo, verificaram-se os seguites tempos operacioais, em horas, até descarregameto total da bateria: 40, 38, 41, 37, 39, 40, 35, 40, 42, 40, 41, 38 Com base esta amostra: a) Calcule a média, a moda e a mediaa dos referidos tempos. b) Calcule a variâcia, o desvio padrão e a amplitude total dos referidos tempos. c) Represete os dados um diagrama de caule-e-folhas. 8. Foi realizado um estudo para aálise da cocetração de calcário a água da região do Algarve. Para tal, foram recolhidas 20 amostras de 1 litro de água em ascetes aleatoriamete seleccioadas essa região, tedo-se verificado os resultados seguites:

30 30 Cocetração(mg/l) N o de amostras [1.0, 1.2[ 5 [1.2, 1.4[ 8 [1.4, 1.6[ 4 [1.6, 1.8[ 2 [1.8, 2.0[ 1 a) Elabore uma tabela de frequêcias para os dados. b) Elabore o histograma das frequêcias absolutas simples. c) Determie a média e o desvio padrão.