INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES INTEGRO-DIFERENCIAIS

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1 INTODUÇÃO A EQUAÇÕE INTEGO-DIFEENIAI IUITO DE PIMEIA ODEM:, L EPOTA NATUAL e FOÇADA IUITO DE EGUNDA ODEM: L ÉIE e PAALELO EPOTA NATUAL EPOTA UPEAMOTEIDA EPOTA UBAMOTEIDA EPOTA ITIAMENTE AMOTEIDA INTODUÇÃO om a chave no lado esquerdo o capacior recebe carga da baeria. have no lado direio o capacior se descarrega aravés da lâmpada.

2 EPOTA GEAL: IUITO DE PIMEIA ODEM IncluIindo a condição inicial no modelo do capacior (ensão) ou no induor (correne): dx ( + a f ( ; + ) x dx + x f ; + ) x TH É denominada de consane de empo e esa associada a resposa do circuio. esolvendo a equação diferencial, usando o faor de inegração, em-se: e e ) e x f TH ( x) dx * / e e ) + e x f TH ( x) dx IUITO DE PIMEIA ODEM OM FONTE ONTANTE dx + x f ; + ) x TH ( ) f ) e TH f + TH A forma da solução é: K Qualquer variável do circuio é da forma: + K e ; TEMPO ONTANTE TANIENTE y( K + K e ; omene os valores das consanes K, K podem mudar

3 EVOLUÇÃO DO TANIENTE E A INTEPETAÇÃO DA ONTANTE DE TEMPO Tangene ainge o eixo x no valor da consane de empo Descarrega de.63 do valor Inicial em uma consane de empo Erro menor que % Transiene é zero a parir dese pono VIÃO QUALITATIVA: MENO ONTANTE DE TEMPO MAI ÁPIDO O TANITÓIO DEAPAEE ONTANTE DE TEMPO v v v a + dv b + v c _ arga em um capacior KL@a: dv c v + O modelo: dv v TH + v v TH e Assume TH v V, v () A solução pode ser escria como: v ( V V e ransiene Para efeios práicos, o capacior é carrregado quando o ransiório é insignificane. TH

4 Efeio do apacior na fase de carga. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. EXAMPLE MODEL FO >. UE v( v ( ) V + dv iniial condiion V FIND v (, >. AUME v() ( ) v ( ) V / PAO ONTANTE DE TEMPO dy + y f dv ( + v( V s OLUTION PAO ANÁLIE DO ETADO INIIAL I v( K for > and, v( K * / (equaing K V dy IF THE MODEL I + Ke, > (seady sae value) seady sae values) + y f THEN K f PAO 3 UO DA ONDIÇÃO INIIAL AT v() K K v() f + K K v() K v( ) V / K V ANWE : v( V ( V / ) e, > /

5 esumo: enido das ensões e correnes quando a chave é fechada ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. orrene no capacior durane a fase de carga. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

6 Tensão no capacior durane a fase de carga ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. Após fase de carga: apacior circuio abero ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

7 A função e -x (x ). ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. uro circuio p/ apacior (chave fechada ). ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

8 Gráfico Universal de onsanes de empo. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. orrene i x empo, durane a fase de carga. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

9 Tensão v x empo durane a fase de carga. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. ede básica de carga e descarga. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

10 iclos de carga e descarga da rede básica. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. EXAMPLE FIND i(, > KVL + v + K + K e, > MODEL. UE KVL FO > K ); K + K + ) i( v L i( di V v + vl i( + L ( INITIAL ONDITION < i() i(+ ) inducor i() i(+ ) PAO L di V L ( + i( V PAO ETADO ETAIONÁIO i( ) K PAO 3 ONDIÇÃO INIIAL i ( + ) K + K AN: V i( e L

11 POBLEMA MODEL. KL FO > v( di v ( L ( L di I ( i( + v( I + i( INITIAL ONDITION: i ( + ) PAO PAO L ( ) I K i I i ( + ) K + K PAO 3 AN: i( I e L esumo: ircuio ransiório -L básico.

12 O circuio no insane em que a chave é fechada. O circuio no esado esacionário (regime).

13 Gráfico da forma de onda de i L durane o ciclo carga. Gráficos de funções y e / e y e /.

14 Forma da onda de i L durane a fase de carga para rês valores diferenes de L. Gráfico da ensão υ L em função do empo.

15 i( K + Ke, > INITIAL ONDITION IUIT IN TEADY TATE FO < MODEL FO > v( i ( É MAI IMPLE DETEMINA ATAVÉ DO MODELO DE TENÃO v( dv v( + ( + ; P dv v( P 3k 6k kω ( + P 3k v ( ) () 4V v(+ ) 4V 3k + 6k PAO 3 6 P ( Ω)( F ). s PAO v ( ) K PAO 3 v + ) K + K 4V K 4V ( v( 4e. [ V ], > 4. ) e [ ma], > AN: i( 3 EXEMPLO FIND v O (, > v ( K + K e K v ( ); K + K, > i (+) MODEL FO >. UE KL dv v dv ( + ( + ) ( + vc PAO ( + ) (6 Ω)( F ). 6s PAO v ( K K + K e, > vo ( v ( v ( v DETEMINE v c ( ( 6 O 8 e 3. [ V ], > ONDIÇÃO INIIAL. IUITO NO ETADO INIIAL < + 6 v () () V 9 PAO 3 v ( + ) 8 K + K K 8[ V ] v ( 8e. 6[ V ], >

16 EXEMPLO FIND i (, > i ( K + K e K i ( ); K + K, > i (+) i ( ) IUITO NO ETADO INIIAL i () + v L L MODEL FO >. UE KVL di di L + 8i ( ( + i( 9 PAO s 9 PAO K ONDIÇÃO INIIAL OENTE NO INDUTO PAA < V i () A PAO 3 Ω i ( ) i(+ ) K + K K [ A] 9 AN: i ( ) 9 e [ A] e [ A], > Exemplo: Ilusrar v e i do circuio abaixo, para chave em em e em apos 9 ms. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

17 olução: Aplica-se Thévenin para deerminar Th da consane de empo. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. ubsiui-se o equivalene de Thévenin. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved.

18 Formas de onda da ensão e correne no capacior. ober L. Boylesad Inroducory ircui Analysis, ed. opyrigh 3 by Pearson Educaion, Inc. Upper addle iver, New Jersey 7458 All righs reserved. Exemplo Induor: Ober v L e i L.

19 Deerminando Th para o circuio. Deerminando E Th para o circuio

20 ircuio equivalene de Thévenin. Formas de onda resulanes de i L e v L para o circuio.

21 + IUITO DE EGUNDA ODEM EQUAÇÃO BÁIA + v + v i i L i v L i i + i imples Nó: Uso KL + i + i L v( ; il v( x) dx + il( ); L i v dv ( dv + v x dx + il + i L ( ) ( ) ( ) Malha simples: Uso KVL v + v + v + v L v i; v i( x) dx + v ( ); vl di L ( di i + i x dx + v + L v ( ) ( ) ( ) Diferenciando d v dv + + v L di d i L + di + i dv EXEMPLO WITE THE DIFFEENTIAL EQUATION FO v(, i(, EPETIVELY i + v i ( I < > di ( ; > V v ( < > dv ( ; > MODEL O PAA L PAALELO d v dv v di + + L MODELO PAA L ÉIE d i di L + + i dv d v dv + + v L d i di L + + i

22 WE EQUATION TUDY THE OLUTION FO THE d x dx ( + a ( + a KNOWN: x x p c THE ATIIFE x ( x ( + x ( paricular soluion p A EPOTA DA EQUAÇÃO f ( complemenary soluion xc ( d OMPLEMENTAY dxc + a ( + a xc( c OLUTION f ( A x p A a is a paricular soluion A dx p d x p POOF: x p a x p A a FO ANY A a FOING + x ( c FUNTION f ( A E A FUNÇÃO FOÇADA É UMA ONTANTE A EQUAÇÃO HOMOGÊNEA d x dx ( + a ( + a NOMALIZED FOM d x dx ( + ςω ( + n ω n ω n (undamped) naural frequency ς damping raio HAATEITI EQUATION s + n a a ςω ns + ω n ω ω a a ςω n ς a n EXEMPLO DETEMINE EQUATION, DAMPING ATIO NATUAL d x dx ( + 8 ( THE FEQUENY HAATEITI AND OEFIIENTE DA EGUNDA DEIVADA d x dx ( + ( + 4 HAATEITI s + s + 4 EQUATION AZÃO DE DEAIMENTO, FEQ. NATUAL d x dx ( + ( + 4 ςω n ω n ω n ς.5

23 ANALIE DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA NOMALIZED FOM AE: ς > (real and disinc roos) s s d x dx Ke + Ke ( + ςω ( + n ω n AE : ς < (complex conjugae roos) s s Ke + Ke s Ke is a soluion iff s ςω n ± jωn ς * x ( real K K s σ ± jωd s + ςω ns + ωn ω d damped oscillaion frequency σ damping facor dx s d x s POOF: ( ske ; s σ Ke e ( A cosω + A sinω ) s ( ςωn ± jωd ) ςωn m jω HINT : e e e e d x dx s m jωd ( + ςω n ( + ωn ( s + ςω ns + ωn ) Ke e cosω j d m sinωd AUME K ( A + ja HAATEITI EQUATION ) / * K K ( σ + jωd ) s + ςω ns + ωn e[ Ke ] s σ ± jωd ( s + ςω AE 3: ς (real and equal roos) n) + ( ωn ς ωn) s ςω n s ςωn ± ς ωn ωn ςωn ( B + B e s ςω ± s n ωn ς HINT : e is soluion iff (modes of he sysem) ( s ςω s + ω ) AND (s + ςω ) + n n n EXEMPLO DETEMINA A FOMA DA OLUÇÃO GEAL d x dx ( + 4 ( + 4 HAATEITI EQUATION s + 4s + 4 ω 4 ω ςω n 4 ς n n s + 4s + 4 ( s + ) d x dx ( + 8 ( d x dx ( + ( + 4 ω 4 ω ςω n ς. 5 n n s + s + 4 ( s + ) + 3 s ± j 3 aizes reais e iguais his is a criically damped (case 3) sysem ITIAMENTE AMOTEIDO ( B + B e ( B + B e s underdamped (case ) sysem σ ςω ; ω ω ς.5 n aizes complexas conjugadas d UBAMOTEIDO n e e σ ( A cosω + A sinω d ( A cos 3 + A sin 3 ) 3 d

24 L PAALLEL IUIT Ω, L H, F WITH POBLEMA L EIE IUIT WITH Ω; L H,.5F,F,F EQUAÇÃO HOMOGÊNEA lassificar a resposa para um dado valor de d v dv v + + d i di i L + + : / L & replace values L d v dv v d i di i + + s s + + ( s + ) d v dv v + + ωn ; ςω n ς ωn ; ςωn ς 4 4 σ 3 ωd ωn ς.5 subamorecido criicamene amorecido v e 3 3. superamorecido c( ) 4 A cos + A sin 4 4 EXEMPLO Ω, L 5H, 5 F il( ) A, v () 4V i il i i + il + i v dv + v( x) dx + il() + L d v dv PAO + + v L MODELO HAATEITI EQUATION PAO s +.5s + ω n ; ς.5 s.5 ± v( K e (.5) + K e 4.5 ±.5.5 PAO 4 FOMA DA OLUÇÃO PAO 5: OBTE A ONTANTE PAO 3 AIZE To deermine he consans we need dv v( + ); (+) IF NOT GIVEN FIND v ( ), il() v( + ) v (+) v () 4V ANALIZA KL AT + IUITO v (+) dv + + il(+ ) + (+) dv 4 ( ) ( + ) 5 (/ 5) (/5) K + K 4 K ; K K.5K 5.5 v( e + e ; >

25 UO DO MATLAB PAA VIUALIZA A EPOTA %scrip6p7.m %plos he response in Example 6.7 %v(exp(-+exp(-.5; > linspace(,,); v*exp(-*+*exp(-.5*; plo(,v,'mo'), grid, xlabel('ime(sec)'), ylabel('v(vols)') ile('epone OF OVEDAMPED PAALLEL L IUIT') UPEAMOTEIDO EXAMPLO di i( + L ( + i( x) dx + v () v + d i di + ( + i( model L L d i di + 6 ( + 5i( ω n 5 ωn 5 h.eq.: s + 6s + 5 ςω n 6 ς.6 6 ± 36 roos: s 3 ± j4 ωd 3 + v L Form: i( e ( A cos4 + A sin 4 i( ) il() 4A A 4 v + vl + v + v 6 Ω, L H,. 4F il( ) 4A; v () 4V di TO OMPUTE ( + ) di v L ( L ( di ( ) i () v di L () ( + ) di 3 ( 3i( + e ( 4A sin 4 + 4A cos4 : 3 (4) + 4A 3 i( e (4cos 4 sin 4[ A]; > di v ( i( L ( v 3 () + i( x) dx v ( e ( 4cos4 + sin 4[ V ]; >

26 UO DO MATLAB PAA VIUALIZA A EPOTA %scrip6p8.m %displays he funcion i(exp(-3(4cos(4-sin(4) % and he funcion vc(exp(-3(-4cos(4+sin(4) % use a simle algorihm o esimae display ime au/3; end*au; linspace(,end,35); iexp(-3*.*(4*cos(4*-*sin(4*); vcexp(-3*.*(-4*cos(4*+*sin(4*); plo(,i,'ro',,vc,'bd'),grid,xlabel('time(s)'),ylabel('volage/urren') ile('uent AND APAITO VOLTAGE') legend('uent(a)','apaito VOLTAGE(V)') UBAMOTEIDO EXEMPL KVL Ω, Ω,, 95F, L, 4H KL h.eq.: v ( ) V, il(). 5A ω 3, ςω 6 ς n s + 6 s + 9 ( s + 3) n 3 ( B B v( e + v( + ) vc (+) V v ( ) B KL AT + v() dv dv i() il () + () ( ),56 di v( dv L ( + i( + v( i ( + ( dv ( ) 3v() + B,56 B,44 dv d v v( dv L ( ( ) + ( ) v 3 ( ) v e ( +,44 ); > d v dv + ( + + ( + v( L L 3 ( ) i e (,5 +,6 ; > d v dv h.eq.: s + 6s + 9 ( + 6 ( + 9v(

27 UO DO MATLAB PAA VIUALIZA A EPOTA %scrip6p9.m %displays he funcion v(exp(-3(+6 au/3; endceil(*au); linspace(,end,4); vexp(-3*.*(+6*; plo(,v,'rx'),grid, xlabel('time(s)'), ylabel('volage(v)') ile('apaito VOLTAGE') ITIAMENTE AMOTEIDO econd Order