DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO SONAR PARA GERENCIAMENTO DA INCERTEZA EM PLMO

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1 DESENVOLVIMENTO DO MÉTODO SONAR PARA GERENCIAMENTO DA INCERTEA EM PLMO Sole Mr Fortu Lucs Fcules IBMEC/RJ INESC Comr e IBGE Isttuto Brslero e Georf e Esttístc slucs@mecr.r Crlos Heeler Atues Depto. e E. Electrotécc e e Computores Uverse e Comr e INESC - Comr. ctues@escc.pt João Clímco Fcule e Ecoom Uverse e Comr e INESC - Comr. clmco@escc.pt Resumo: Neste trlho esevolvemos um métoo pr erecmeto certez em prolems e Prormção Ler Multoetvo (PLMO) que eommos Métoo SONAR. Iclmete trouzmos o moelo erl e PLMO. A seur presetmos s seutes téccs e erecmeto certez em processos e ecsão seos em métoos mtemátcos: prormção estocástc teor os coutos fusos ( fuzzy sets ) prormção tervlr e álse e sesle. A est prte escrevemos o métoo esevolvo por Url e Neu (992) que será utlzo seção seute pr comprr os resultos com o Métoo SONAR. N qurt seção presetmos o esevolvmeto o Métoo SONAR os resultos otos e coclusão. Plvrs-chve: PLMO Gerecmeto Icertez Prormção Itervlr. Astrct: I ths wor we evelop metho for m ucertty Multoectve Ler Prormm (MOLP) tht we cll SONAR Metho. Itlly we trouce the eerl MOLP moel. After we refly preset the follow techques to el wth ucertty ecso processes se o mthemtcl methos: stochstc prormm fuzzy sets theory Itervl Prormm Sestvty Alys The metho evelop y Url Neu (992) s escre whch s use the et secto to compre the results ote wth the SONAR Metho. I the fourth secto we preset the evelopmet the results ote the cocluso. ey-wor: MOLP Ucertty Itervl Prormm.. INTRODUÇÃO A tom e ecsão um mete compleo crcterzo pel estêc e múltplos crtéros cofltuosos é fluec por ftores e certez ssocos os os e etr à fse e moelem e o cráter evolutvo estrutur e preferêcs o ecsor urte o processo tertvo e ecsão. Os os e etr são muts vezes mprecsos completos suetos vrções ou epeetes o tempo refleto turez comple e ml estrutur os prolem Tor-se fumetl spor e ferrmets que possm vlr roustez s soluções fce à certez proveete e várs fotes sucete o processo ecsão como um meo e ulr o ecsor eplorr ão pes o prolem ms tmém s sus próprs covcçõe

2 Um metoolo preset ltertur cetífc que coser troução certez em toos os prâmetros o moelo em prolems e PLMO fo propost por Url e Neu (992) que é se esseclmete em Gol Prormm. O métoo SONAR preseto este teto coser troução certez em toos os prâmetros o moelo em prolems e PLMO seo seo em tervlos e úmeros res (Itervl Prormm em portuuês Prormção Itervlr). Os resultos e Url e Neu form compros com os otos o métoo que está seo esevolvo este trlho. O Métoo SONAR é um métoo eror e soluções efcetes em prolems em que h certez os prâmetros o moelo. A prtr est versão ásc o métoo é possível esevolver um orem tertv mportte pr o prezo e form proressv e selectv o prolem em questão (Clímco Atues e Alves 23 Steuer e Grer 99). 2. MÉTODOS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR MULTIOBJETIVO Ns últms écs áre e poo multcrtéro à ecsão e em prtculr prormção com múltpls fuções oectvo (Multple Crter Decso M MCDM) tem ho mut mportâc e profssos e too o muo estão tulmete evolvos em pesqus e prorms e eso e feretes âmto Além sso áre e MCDM tem c vez ms receo teção e profssos os setores púlco e prvo. 2. Prolem Ler Multoetvo O prolem e prormção ler com oetvos múltplos cosste otmzção e p fuções oetvo leres suets um couto e restrções lere Pr fcltr otção coser-se que s fuções oetvo são tos mmzr: m m sueto f f ( ) ( ) m f c ou " M " 2 p ( ) f ( ) X c c X 2 p C { R Α R m } oe p é o úmero e fuções oetvo o úmero e vráves m o úmero e restrções o vetor s vráves e ecsão C é mtrz os oetvos (mesão p ) cus lhs são os vetores c p (coefcetes fução oetvo f p ) A é mtrz os coefcetes tecolócos (m ) é o vetor os termos epeetes X é reão vável o espço s vráves (Steuer 986; Clímco Atues e Alves 23). 2.. Solução Efcete Um solução é t efcete pr um prolem multoetvo se e somete se ão estr outr solução vável que melhore o vlor e um fução oetvo sem porr o vlor e pelo meos outr fução oetvo (Clímco Atues e Alves 23). 26

3 X E oe { X ' X : f ( ' ) f ( ) } f ( ' ) f ( ) sse f ( ' ) f ( ) e f ( ' ) f ( ) 2.2 O Métoo TRIMAP O métoo TRIMAP esevolvo por Clímco e Atues (989) é um mete computcol tertvo eco por os etes e ecsão pesqus e soluções efcetes em prolems e prormção ler trcrtéro. É costtuío por um couto e procemetos que permtem um pesqus lvre com se um prezem proressv e seletv o couto s soluções efcete Este métoo com reução reão mssível com reução o espço os peso O ete e ecsão poe especfcr lmtções ferores pr os vlores e fuções oetvo e/ou mpor restrções o espço os pesos em c fse e cálculo é otmz um som poer s fuções oetvo. O TRIMAP com três procemetos fumets: ecomposção o espço os pesos troução e restrções o espço os oetvos e troução e restrções o espço os peso As lmtções trouzs os vlores s fuções oetvo são utomtcmete truzs pr o espço os pesos o que é uso como um vloso meo pr recolher e presetr formção o ete e ecsão. Este métoo é voccoo pr prolems com três fuções oetvo o que emor costtu um lmtção permte o uso e meos ráfcos equos o áloo com o ete e ecsão. O prcpl oetvo é possltr o ete e ecsão um preechmeto proressvo e seletvo o espço os pesos que lhe ê formção equ sore reão efcete evto este moo um estuo eustvo e áres oe os vlores s fuções oetvo sem muto semelhtes (Clímco Atues e Alves 23). O métoo TRIMAP será utlzo mplemetção o eemplo lustrtvo o métoo esevolvo este trlho. 3. TRATAMENTO DA INCERTEA EM PROGRAMAÇÃO LINEAR MULTIOBJETIVO N ltertur cetífc os tetos ecos este ssuto utlzm e form ão uforme (e coro com os utores) versos termos cuo sfco em sempre é termutável. As tettvs e efção seutes ots este trlho preteem fzer um sítese o uso ms comum os termo A cofusão ms freqüete é etre os termos certez e rsco. Equto certez é crcterz pel estêc e lum strução e prole cohec os cotecmetos rzovelmete vál o rsco é crcterzo por um strução e freqüêc os cotecmetos e coro com proles em cohecs ou mesuráves mesmo se o tempo específco ou seqüêc espcl e ocorrêc os cotecmetos ão poe ser eterm (Hmes et l.975). O termo rsco é ssoco ftores mesuráves cotrolos pelo cso equto certez se plc toos os outros (crcterzo-se pel etermção os resultos que ão poem ser repetos e too ou pes ecepcolmete e em stuções tão feretes que o sfco s sucessvs oservções fclmete este). Os termos mprecsão sufcêc formção complet etão referem-se erlmete à qule os os e etr eteos como melhor represetção possível os prâmetros relevtes requeros pelo moelo um o coteto. Por seu lo certez (um seto ms estrto o que o escrto cm) e müe são usos em erl pr clssfcr formção e preferêcs forecs pelo ecsor. Neste trlho é uso o termo certez pr r cot e ftores los á mprecsão os os cs à mperfeção erete o moelo mtemátco e o cráter ão estruturo e evolutvo s preferêcs epresss pelo ecsor os qus ão são suscetíves e um trtmeto prolístco. 3. Dferetes ores pr trtmeto certez Estem qutro ores áscs pr lr com questões ls à certez em processo e ecsão seos em moelos e métoos e prormção mtemátc: prormção estocástc teor os coutos fusos ( fuzzy sets ) álse e sesle e prormção tervlr. (2.2) 27

4 A teor s proles é um s ores ms uss pr moelr certez (rsco oss termolo). Cotuo álse prolístc própr pr feômeos que são reprouzíves e que á ocorrerm um úmero e vezes sufcete o psso ssume possle e represetção os prâmetros por meo e um vrável letór (prormção estocástc). Ou se um promção prolístc requer estêc e os esttístcos sufcetes que foreçm formção sore s fuções e strução s vráves letórs o moelo mtemátco (emor o uso e proles suetvs permt lr com estêc este tpo e formção) (Stcu- Ms 984). A moelem mprecsão os os poe tmém ser fet por meo teor os coutos fuso Iclmete teor os coutos fusos preteeu torr meos rí oção e restrção em prolems e prormção mtemátc truo mesm turez fuções oetvo e restrções e fzeo fleível (o seto rul) esule (ou ule) etre mos os los e restrções e fuções oetvo leres (prormção fleível) (mmerm978). A prormção ler fus evoluu epos (um promção ms prec com prormção estocástc) pr moelem o cráter mprecso ou ml efo os coefcetes trvés e struções posslístcs (prormção roust). (Duos e Pre 98; Luhul 987). Num volume eto por Slows e Tehem (99) são reuos rtos sore prormção mtemátc estocástc e prormção mtemátc fus com oetvos múltplos que presetm o esto rte e ms s promções e moelção e trtmeto certez scutem s respectvs vtes e esvtes e eplorm s relções etre els omemete trvés e álses comprtvs e metoolo A álse e sesle e teor estle em prormção mtemátc forecem formção sore o comportmeto e soluções ótms e s ms e vlores ótmos os prâmetros e perturção. Em prormção ler multoetvo álse e sesle (tmém es por álse pós-optml ou álse e estle) pretee etermr s ms e vrção os prâmetros e perturção os os cs e moo que se ótm pr o prolem perturo. Em prormção ler multoetvo o coceto e solução ótm (em erl úc) cee lur o coceto e solução efcete (em erl muts mesmo se pes forem coseros potos etremos). Por outro lo eve ter to em cot o cráter evolutvo estrutur e preferêcs o ecsor como resulto formção qur o loo o processo tertvo que poe mesmo torr teresste oservr epsão o espço s ções potecs (soluções ão oms). Nests crcustâcs tor-se ms fícl efr álse e sesle um coteto multoetvo e e fto o prolem ão é trto e form uforme ltertur (Gl e Wolf 986). A prormção tervlr coser os coefcetes e um prolem e prormção mtemátc como tervlos refleto mpossle e especfcr vlores precso Poe coserr-se prormção tervlr como um cso prtculr prormção et qul se ssume que os coefcetes ão são etmete cohecos ms pes que pertecem lum couto ão vzo (Btr 98). N prormção et s restrções e ule ou esule são susttuís por restrções e cráter ms erl e tpo clusão (Stcu-Ms e T 99). O métoo esevolvo este trlho utlz orem e prormção tervlr pr trtmeto certez. 3.2 Prormção Itervlr o Trtmeto Icertez em Prolems e Prormção Ler Multoetvo (PLMO) A prormção tervlr é um orem teresste pr o trtmeto certez por ão requerer efção e um strução prolístc (como prormção estocástc) ou um strução posslístc (como em prormção fuzzy). A teor e prormção tervlr ssume que o ecsor teh formção sore mpltue vrção e lus (ou toos) os prâmetros com qul poe-se especfcr um moelo com os coefcetes em tervlo Ess orem tem so utlz pr resolver prolems específcos em PLMO. Form esevolvos lortmos pr resolver prolems com certez: somete os coefcetes s fuções oetvo s restrções e em toos os prâmetros o moelo. A metoolo esevolv este trlho coser troução certez em toos os prâmetros o moelo. 28

5 3.2. Alortmos pr resolver prolems com certez somete os coefcetes fução oetvo Btr (98) é um os trlhos poeros áre que hoe cohecemos como Prormção Itervlr omemete o cso multoectvo. Nesse trlho clmete fo cosero um suprolem pr testr se um poto vável etremo é efcete. A seur é esevolvo um lortmo o tpo Brch Bou pr resolver o suprolem e lums etesões são scut Em Chs e ucht (996) são eerlzos cocetos e solução e prolems e prormção ler com os coefcetes fução oetvo em tervlos seo s relções e preferêcs etre tervlo Iuuche Sw (997) tmém trtm e prolems e prormção ler com coefcetes tervlres fução oectvo. Do poto e vst o chevemet rte é mostro um ovo coceto e solução e sus propree Tmém é proposto um ovo lortmo pr um solução mm chevemet rte seo em relção e o métoo smple Alortmos pr resolver prolems com certez s restrçõe Iuuche ume (99) trtm e prolems e Gol Prormm com os coefcetes e os vlores s mets em tervlo Os utores mostrm que qutro prolems poem ser formulos e presetm sus propree As fereçs etre s qutro formulções são emostr Chec e Rm (2) propõem um ov orem em que lus ou toos os coefcetes s restrções são especfcos como tervlo Ecotrm o melhor ótmo e o por ótmo pr o moelo e o couto e potos os coefcetes em tervlos que prouz esses potos etremo Prormção Itervlr pr Prolems que coserm certez em toos os prâmetros o moelo. Url e Neu (992) esevolverm um metoolo que posslt trsformção e um moelo e PLMO ão etermístco em um moelo etermístco. A seur este prolem é solucoo por um métoo tertvo ervo o métoo STEM (Beyou e tl. 97). Este métoo é spro em prormção fuzzy e prormção estocástc emor ão use em úmeros fuzzy em struções e prole. Iclmete por um promção spr em ol prormm e úmeros fuzzy respectvmete s fuções oetvo ão etermístcs e s restrções ão etermístcs são trsforms em etermístc O prolem e PLMO etermístco oto é solucoo por um procemeto tertvo ervo o métoo STEM. O prolem e é erl o lortmo Coseremos o seute PLMO so certez: M t. ( ). c. L m ; L ; L oe R e os prâmetros c e são vlores ão etermístco Pr c coefcete c um vlor cetrl c e os lmtes e vrção c - e c são coheco Pr c coefcete e os lmtes e vrção - e - são coheco Pr resolver (3.) fo esevolvo um ovo métoo tertvo so certez. Prmero prtr o PLMO so certez fo oto um PLMO etermístco. A seur o lortmo tertvo é clzo. A prmer fse o lortmo cosste oteção prmer solução e compromsso. A seur trvés s fses tertvs ovs soluções e compromsso são presets o ecsor té que ele cosere que solução se stsftór. ( 3.) 29

6 Moelo fuções oetvo ão etermístcs Cosere s fuções oetvo ão etermístcs ()... e utlzo os cocetos e Gol Prormm pr trsformr o prolem cl (3.) em um ovo prolem moelo por meo e equções ão etermístcs form: ( ) (3.2) oe represet met ser t reltv o oetvo (). Supõe-se que c [c - c ] e [ - ]; represet met que o ecsor ese tr pr () equto - represet o lmte feror que o ecsor cet pr met. Em outrs plvrs o prolem etão cosste em olhr pr solução tl que lcce estes vlores pr s feretes fuções oetvo () sem tão fechs quto possível pr met equto o mesmo tempo stsfz met mím -. Pr c fução oetvo () solução é compr met e tl moo que o ecsor é rüo epressr su preferêc cosero o esvo reltvo s su mets que é reltvo ( - ()). Neste coteto o mor estes esvos represet meos stsfção pr o ecsor e o ms frco ru e stsfção pr c solução. O ru e stsfção pr o ecsor reltvmete o temeto e sus mets é epresso pel fução e fereç ( - ()). O ru e stsfção truz seute frmção: o ecsor está c vez meos stsfeto esse - () c - é fecho pr - e c vez ms stsfeto esse () c é fecho pr. Pr sto us vráves e fol - () e () são us Etão o ru e stsfção P ( - ) é epresso por um fução ler cremetl oe: se P se (3.3) se Como em 3.2 ( ) etão ) ( (3.4) Etão ão espermos que o ecsor fque stsfeto com vrável e fol ssumo vlores postvos ssm os utores truírm stsfção pr o -. Cosequetemete o prolem cl que é e mmzção e () é reprouzo pelo prolem e mmzção e P () reltvo à stsfção o ecsor o temeto e sus mets. Etão o prolem PLMO ão etermístco é trsformo o seute prolem que eceto pelo Bloco 2 e restrções é etermístco. M P ( ) t.. ( ) ( ) Bloco L m ; L ; L Bloco2 (3.5) Etretto é ecessár est promção etermção met. Os lmtes - e pr poem ser otos o ecsor ou por meo e procemeto utomátco. Uso este últmo procemeto s mets são eterms trvés etfcção e um mtrz e mets que cosste 3

7 um eerlzção clássc mtrz pyoff e mer levr em cot os spectos ão etermístcos s restrções o prolem (3.). Pr c fução oetvo () os utores resolverm um prolem moocrtéro prtr os prâmetros ão etermístcos o prolem (3.) por seus melhores vlores e seus pores vlores respectvmete sto é: M t ( ). e M ( ) t. (3.6) A stução mím e restrção será etfc por β restrção mám por β e solução ótm o prolem correspoete será es por: β oe β e L Etão s mets serão escolhs como seue: m β ( ) β ( ) β ; L (3.7) A met é o poto el porque est é o espço os oetvos o poto correspoete pr c fução oetvo o melhor vlor possível e () o melhor os cso O vlor - correspoe pr c oetvo o por vlor mtrz e met Deste moelo erl um prtculr moelo correspoeo com o cso oe em ção os vlores etremos o ecsor tmém cohece os vlores cetrs c os prâmetros ão etermístcos c poe ser esevolvo. Etão fução oetvo ão etermístc () é trsform pelo uso equção (2) oe: (3.8) e ( ) oe ( ). e. ( ) e [ ] c ( ) são susttuíos por ( ) (3.9) Est equção truz seute frmção: o ecsor é meos stsfeto quo () é fecho pr - e ms stsfeto quo () é fecho pr. Etão como temos este cso o ru e stsfção o ecsor P ( - ) é efo seur: 3

8 32 (3.) se se se P Est moelem prte ão etermístc fução oetvo os hlt trsformr o prolem cl ão etermístco um prolem multoetvo equvlete oe s fuções oetvo são leres e etermístc O prolem equvlete tem seute form: ( ) ( ) (3.) ; ;... m t s P M L L L Moelo restrções ão etermístcs O seuo psso o métoo cosste em mofcr restrções ão etermístcs e mtemtcmete ml efs pr restrções mtemtcmete em ef Pr fzer sto fo propost é e stsfção o lmr s restrções ; ess promção tem vtem e ão umetr ecessvmete o tmho o prolem:. (3.2) oe [ - ] e [ - ]...m c um ests restrções é terpret como o seute: o ecsor ese que -. ão se mor o que e seu ível e stsfção será c vez ms lto se. será fecho. Cosequetemete ós trouzmos o ru e stsfção o ecsor reltvo às restrções ão etermístcs (2); este ru e stsfção é chmo e μ e é efo como s seutes fuções leres: ( ) ( ) ( ) (3.3). /.. qqer pr se se μ Url e Neu truírm μ pr -. um vez que s soluções são váves; etretto ever ser truío μ quo. pos tmém quo. s soluções são váve Url e Neu omerm tmém um stsfção e restrção vul eso por α ; este correspoe à é e um lmr e prole vul em chce-costre prormm. Uso este rcocío c restrção ão etermístc é reprouz por um restrção etermístc form: μ (. ) α (3.4) oe α. D relção (3) ess restrção etermístc tem seute form: ( ) ( ) ( ) ) (3.5 α α

9 No coteto est promção o α será etermo e um mer tertv. Atrvés esse α o ecsor poe mofcr seu requermeto reltvo o seu ível e stsfção s restrçõe 4 O MÉTODO SONAR DE TRATAMENTO DA INCERTEA EM PLMO Quo um estor utlz um moelo e prormção mtemátc pr tom e ecsão tão mportte quto cohecer solução ótm é cohecer o vlor fução oetvo. Qul será o lucro mámo? Qul será o mímo custo? Muts vezes s resposts esss peruts etermm utlzção ou ão esses moelos pr tom e ecsão. Pr prolems com oetvos coflttes ests questões se torm ms mportte Um questometo mportte prátc é: que cofç temos os prâmetros o moelo? Este certez? Cso est o lucro mámo se reuzrá ou umetrá? Em que mres e vrle? No seto e respoer esss questões presetmos o Métoo SONAR como possle fctível e teer s ecesses os estores o mometo tom ecsão. O Métoo SONAR tem como oetvo etfcr vértces efcetes um prolem e Prormção Ler Multoetvo oe lus ou toos os coefcetes s fuções oetvo coefcetes ou termos epeetes s restrções sem tervlos e úmeros re 4. Itroução à Aálse e Itervlos Em mtemátc estem os úmeros res um rtmétc rel pr comá-los e álse rel pr o estuo s proprees os úmeros e rtmétc. Mtemátc e Itervlos é eerlzção o qul os úmeros tervlos susttuem os úmeros res rtmétc e tervlos susttu rtmétc os res e álse e tervlos susttu álse rel (Hse 992). Poemos frmr que mtemátc e tervlos teve íco com o precmeto o lvro e R. E. Moore Itervl Alyss em 966. Este trlho trsformou est smples é um ferrmet vável pr álse o erro. Ao vés e mermete trtmeto e rreometo e erro Moore esteeu o uso e álse e tervlos pr lmtr o efeto o erro e tos s ores clusve erro e promção e erro em o Dese o precmeto o lvro o Moore várs pulcções sore álse e tervlos têm ocorro (Hse 992). 4.. Prcps efções Um úmero tervlo é efo como um couto fecho e úmeros re Coseremos um tervlo rel X [ ] o úmero tervlo X é tl como um tervlo fecho. Este cosste o couto {: } e úmeros res cluo os potos e. Um úmero rel é equvlete um tervlo [ ]. Tl tervlo é eomo tervlo eeero. Quo epressmos um úmero rel como um tervlo ós usulmete mtemos otção smple Por eemplo ós poemos escrever 2 o lur e [2 2] ou o lur e [ ]. As rers pr rtmétc e tervlos são smples quo um ou mos os termos tervlos são eeero Portto este cso é melhor er um tervlo eeero como um qute rel. Um tervlo X [ ] é to postvo (ou ão etvo) se estrtmete postvo se > etvo (ou ão postvo) se e estrtmete etvo se <. Dos tervlos [ ] e [c ] são us se e somete se c e. Os úmeros tervlos são prclmete oreo Temos [ ] < [c ] se e somete se < c. (Hse 992) Artmétc e Itervlos As operções e ção sutrção multplcção e vsão são cs pelos ss / respectvmete. Se op sfc um ests operções pr rtmétc os úmeros res e y ssm correspoete operção pr rtmétc os úmeros tervlos X e Y (Hse 992) é : X op Y { op y : X y Y} (4.) 33

10 Assm o tervlo X op Y resultte est operção cotém toos os úmeros que poem ser formos como op y pr c X e c y Y. 4.3 Apresetção o Métoo SONAR O métoo SONAR ecotr soluções efcetes pr um prolem cu certez o moelo é trouz em tervlos e úmeros re Ests soluções são ecotrs trvés e os moelos cuos coefcetes são toos úmeros res ms que form costruíos prtr o moelo em tervlo A costrução os moelos ocorreu em três prtes: como trtr certez s fuções oetvo seur os termos epeetes s restrções e flmete os coefcetes s restrçõe 4.3. Formulção Mtemátc o PLMO so certez Moelo com toos os coefcetes em tervlos: M t. ( ). c. L m ; L ; L ( 4.7) oe R e os prâmetros c e são tervlos e úmeros re Pr c coefcete c [ c - c ] Pr c coefcete [ - ] e [ - ]. A prtr o moelo com os coefcetes so certez (4.7) o Métoo SONAR esevolve os moelos e PLMO com toos os coefcetes res e solução estes moelos seprmete os permte ecotrr os resultos ms otmsts ou meos otmsts pr o PLMO so certez. Vle ressltr que qulquer úmero rel poe ser escrto como um tervlo eeero (seção 4..). Assm este métoo poe ser utlzo mesmo quo pes lus coefcetes presetem certez so form e tervlo 4.3. Desevolvmeto o Métoo SONAR As Fuções Oetvo Iclmete cosermos certez os coefcetes s fuções oetvo. No prmero moelo toos os coefcetes s fuções oetvo form coseros os lmtes ferores os tervlos que pertecm. Est escolh fo fet pr que este moelo os proporcosse os meores vlores pr c fução oetvo ou se os resultos meos otmsts pr o PLMO so certez. No seuo moelo toos os coefcetes s fuções oetvo form coseros os lmtes superores os tervlos que pertecm. Est escolh fo fet pr que este moelo os proporcosse os mores vlores pr c fução oetvo ou se os resultos ms otmsts pr o PLMO so certez. Nos os moelos os locos e restrções são u Os Lmtes s Restrções: Pr o trtmeto certez os lmtes s restrções fo oservo o seute: Amtmos um PLMO e Mmzção cuos ss s restrções sem o tpo um tervlo que chmmos e [ - ] este cso eérco soretuo pr um prolem multoetvo reão vável ms mportte é que se ecotr etre - e. Os Blocos e Restrções: Pr coserr certez os coefcetes s restrções trlhmos com s seutes possles: Trsformr s restrções so certez os qutro locos seutes: 34

11 Bloco Bloco2 Bloco3 Bloco4 (4.2) Compro o Bloco com o Bloco 2 um vez que mos estão restrtos os vlores mámos e o Bloco 3 com o Bloco 4 um vez que mos estão restrtos os vlores mímos os termos epeetes s restrções poemos efr os moelos com os coefcetes res que truzem stução e certez o prolem em questão: M t. e ( ).. c. L m ; L ; L ( 4.3) M t. ( ).. c. L m ; L ; L ( 4.4) Comprção etre os resultos o Eemplo lustrtvo utlzo o Métoo SONAR e Metoolo e Url e Neu Apresetmos como eemplo lustrtvo o mesmo utlzo por Url e Neu (992). Destcmos que utlzmos otção e Aálse e Itervlos e Url e Neu e Teor os Couto f : c [.8.2] c 2 [-.5.2] f 2 : c 2 [-.3.2] c 22 [.7.2] f 3 : c 3 [.8.] c 32 [.9.2] 2 2 oe [.52.8] 2 [.5.2] [79] 2 [.5.5] 22 [24] 2 [3.56] 35

12 Métoo SONAR M () - - Sol :557 Áre: 29% 229 f:694; f2266; f3767 Sol 2: Áre: 89% 28 f6; f296; f396 Sol 3: 364 Áre: 962% 279 f578; f2924; f325 Tel 4. - M () Métoo SONAR M - () - - Sol : Áre:298% f38;f2-77;f356 Sol2: Áre: 539% 28 f-4; f256; f3 72 Sol3: 364 Áre: 5785% 279 f-6; f239; f393 M () Métoo Url e Neu - M - () - Métoo Url e Neu Sol : 6 Áre: 29% 2 f72 ; f2 2; f3 66 Sol2: Áre: 89% 2 8 f6; f296; f3 96 Sol 3: 364 Áre: 962% 279 f578; f2924;f325 Sol : 25 Áre:34% 2 f2; f275; f32 Sol 2: Áre: 99% 2338 f-68; f2236; f334 Sol 3: 26 Áre:4973% 2294 f-48; f266;f3362 Tel M - ( ) Resultos Otos e Coclusão As soluções ots pelo TRIMAP e presets seu colu s tels 4. e 4.2 são s escrts o teto e Url e Neu (992) ms poerão em sempre ser s ms teresstes pr o prolem. Um vez que lmtmos s restrções o mámo e - reão mssível será reuz e um mportte áre e teresse v ser esprez. A reão que está etre - e eve ser prest pos está ms próm s soluções efcete Com utlzção o Métoo SONAR procurmos etfcr um solução roust pr o prolem fce à certez. Est é um áre e re relevâc plcção Pesqus opercol prolems res que estmos trlho. O Métoo SONAR é um métoo eror e soluções efcetes em prolems em que h certez os prâmetros o moelo. A prtr s téccs áscs qu escrts está em curso trlho e pesqus pr esevolver um métoo tertvo o que terção com o utlzor é e re mportâc pr o prezo o prolem em questão e moo por tom e ecsões ms fumets um mete e certez. Dte âmc os ceáros res cetr mportâc este prezo poe ecr utle ou ão o moelo pr o prolem rel. 36

13 REFERÊNCIAS Beyou R e Motolfer J. Tery J. Lrchev O. (97). Ler prormm wth multple oectve fuctos: step metho (STEM). Mthemtcl Prormm vol Btr G. (98) Ler multple oectve prorms wth tervl coeffcet Memet Scece vol. 26 º Clímco J. Atues C.H. (989). Implemetto of user-frely softwre pce ue tour of TRIMAP. Mthemtcl Computer Moell vol Clímco J. Atues C.H. Alves M. J. (23). Prormção Ler Multoetvo Impres Uverse e Comr Comr. Duos D. H. Pre (98). Systems of ler fuzzy costrt Fuzzy Sets Systems vol Gl T.. Wolf (986). Stlty vector mmzto - survey. Europe Jourl or Opertol Reserch vol Hmes Y. W. Hll. H. Freem (975). Multoectve Optmzto Wter Resource System Elsever New Yor. Hse E. (992) Glol Optmzto Us Itervl Alyss Mrcel Deer Ic. New Yor. Luhul M.. (987). Multple Oectve Prormm Prolems wth posslstc coeffcet Fuzzy Sets Systems vol Slows R. J. Tehem (Es) (99). Stochstc Versus Fuzzy Approches to Multoectve Mthemtcl Prormm Uer Ucertty. luwer Acemc Pulshe Spro J. Fel G. (983). Multple Crter Decso Methos Applctos Sprer- Verl Stcu-Ms I. (984). Sthocstc Prormm wth Multple Oectve Fucto D. Reel Pulsh Compy. Stcu-Ms I. (99). Multoectve mthemtcl prormm wth ect t. I Stochstc versus Fuzzy Approches to Multoectve Mthemtcl Prormm Uer Ucertty. R. Slows e J. Tehe (E) D. Reel Pulsh Compy Steuer R. (986) Multple Crter Optmzto: Theory Computto Applcto. Wley. Steuer R. Grer L. (99). Iterctve Multple Oectve Prormm: Cocepts Curret Sttus Future Drectos Cp. IV "Res Multple Crter Decso A" C. B e Cost (e.) Sprer-Verl Berl Url B. Neu R. (992) A terctve metho to multoectve ler prormm prolems wth tervl coeffcets INFOR mmerm H. J. (978). Fuzzy Prormm Ler Prormm wth severl oectve fucto Fuzzy Sets Systems Vol. º