Álefe F. Figueiredo(1P); Tatiane Maga P. Mendes(2); Iara S. Ribeiro(2); Francisco C. de Araújo(3)

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1 ESTRATÉGIA PARA O DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES EM CONCRETO ARMADO (CA) DE FORMA GEOMÉTRICA QUALQUER SOB FLEXÃO COMPOSTA NORMAL Strategy for szng renfored onrete (RC) setons of any geometr shape under ombned axa fore and bendng Áefe F. Fgueredo(P); Tatane Maga P. Mendes(2); Iara S. Rbero(2); Frao C. de Araújo(3) () Engenhero Cv, Unversdade Federa de Ouro Preto, Ouro Preto - MG, Bras. (2) Ms., Unversdade Federa de Ouro Preto, Ouro Preto - MG, Bras. (3) Dr.-Ing. Prof., Unversdade Federa de Ouro Preto, Ouro Preto - MG, Bras Ema para Correspondêna: aefefretas@gma.om; (P) Apresentador Resumo: Neste artgo, propõe-se uma estratéga omputaona para o dmensonamento de eementos neares em onreto armado (CA) submetdos à fexão smpes ou fexão omposta norma (fexo-ompressão e fexo-tração). Para fns de anáse, fo utzada uma formuação apaz de modear eementos om seções transversas de formas geométras arbtráras e varando generamente ao ongo do eemento. A estratéga de dmensonamento é baseada no equíbro de forças na seção no Estado Lmte Útmo (ELU). A posção da nha neutra é determnada, em um ntervao possíve de busa prevamente estabeedo, empregando-se um agortmo teratvo baseado no proesso da bsseante. Dada a geometra da seção, o tpo de aço e do onreto e a dstrbução da armadura na seção, é possíve dmensonar a seção em onreto armado para um par de esforços sotantes de áuo (momento fetor e força norma). Para modear seções de forma geométra quaquer, dsretza-se o ontorno externo da seção om eementos neares ("de ontorno") e onsderam-se faxas de ntegração, que possbtam a determnação dos esforços resstentes assoados, no ELU, va quadratura numéra de Gauss-Legendre. Na apação apresentada no presente artgo, proede-se à anáse e ao dmensonamento de um pórto pano de onreto armado om seção de forma trapezoda. Para fns de vadação das mpementações, os resutados obtdos foram verfados va sofwares omeras e anatamente. Paavra-Chave: pórtos em onreto armado; fexão omposta; seções transversas de forma geométra quaquer Abstrat: In ths paper, a omputatona strategy for the szng of renfored onrete (RC) near eements under bendng and bendng ombned wth axa fore s proposed. The szng strategy s based on the equbrum of atons at the seton n the Utmate Lmt State (ULS). The poston of the neutra axs s determned, at a possbe searh nterva prevousy defned, by empoyng the bseton teratve agorthm. Gven then the seton geometry, the ass of the onrete and of the renforement stee, and the rebar dstrbuton at the seton, t s possbe to sze the RC seton for a par of desgn requred atons (bendng moment and axa

2 fore). To mode setons of any geometr shape, ther outer boundary s dsretzed wth near "boundary" eements, and ntegraton strps are onsdered to evauate the orrespondng resstng (nomna) atons n the ULS appyng the Gauss-Legendre quadrature. In the appatons, a RC panar frame havng members wth trapezoda ross-seton s anayzed and szed. For vadatng the omputer ode, the resuts obtaned wth the presented strategy are ompared the ones obtaned anaytay and empoyng ommera pakages. Keywords: renfored onrete frames; setons of any geometr shape; bendng ombned wth axa fore. INTRODUÇÃO Na engenhara, usto, quadade e segurança são exgênas onjuntas e neessáras para a vabdade de quaquer projeto. Com o desenvovmento tenoógo, em espea o da engenhara estrutura, para ser ompettvo no merado, é ada vez mas mportante enontrar respostas e souções mas fés à readade. Por sso, é sgnfatvo onsderar a eonoma que se obtém om a utzação da anáse não near físa ou om a o uso de proessos mas adequados e seguros para o dmensonamento de eementos de seções quasquer, que possbtam ao engenhero uma esoha da mehor seção para uma determnada stuação, aém de permtr atender às exgênas arqutetônas atuas. Neste trabaho, dmensonam-se eementos susetíves à fexão smpes e à fexão omposta norma, utzando uma estratéga teratva para a determnação da nha neutra da seção armada, baseada no proesso da bsseante para equíbro de forças no Estado Lmte Útmo (ELU). Para sso, onsdera-se um ntervao onde pretende-se enontrar a soução posção da nha neutra que orresponde ao equíbro da seção. A seção enontra-se em seu Estado Lmte Útmo e para o áuo das forças resstentes emprega-se o dagrama paráboa retânguo da NBR 68:24. Adonamente, para áuo das forças resstentes, modea-se a seção transversa, que pode ter uma geometra quaquer, utzando-se uma maha do ontorno da seção que é dvdda em faxas onde avaa-se as tensões no onreto va ntegração numéra de Gauss-Legendre. Para a mpementação omputaona e obtenção dos esforços nas seções de dmensonamento, desenvove-se uma formuação baseada no Método da Rgdez Dreta (MRD), que possbta a modeagem de eementos estruturas de pórto pano om rgdezes varáves segundo es quasquer, nusão de efetos de deformação por sahamento, e om seções de formas geométras quasquer. Para vadar as estratégas mpementadas, no aso da anáse estrutura, ompara-se os resutados om o software SAP2 (23), e no aso do dmensonamento, por se tratar de seções quasquer, verfam-se as respostas om base no equíbro da seção, de forma anaíta.

3 2. MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA (MRD) Com a utzação do Método da Rgdez Dreta, objetva-se, sobretudo, após o proesso de deformação do sstema estrutura, esrever um onjunto de equações de equíbro entre as ações provenentes das sotações externas e as que se surgem em onsequêna do proesso de deformação os esforços nternos. Para sso, deazam-se os sstemas estruturas em termos de um onjunto quaquer de nós estruturas, referenados a um sstema goba, em reação aos quas as forças são estabeedas. Em notação matra, ompata, representa-se, para um sstema estrutura retuado quaquer, a reação de equações de equíbro na forma Ku = f (Equação ) onde K é a matrz de rgdez da estrutura,u ações nodas equvaentes. é o vetor de desoamentos e f o vetor de A segur apresenta-se, de forma breve, a formuação que permte a obtenção da matrz de rgdez eásta de eemento de pórto pano. 2.. Matrz de Rgdez de Eemento de Pórto Pano Para auar as expressões genéras para os oefentes das matrzes de rgdez eástas, emprega-se o Prnípo dos Trabahos Vrtuas (PTV). Para sso, onsdera-se a Fgura (de Araújo e Perera, 27). Fgura - Eemento de pórto pano (de Araújo e Perera, 27) Pode-se estabeeer a segunte equação de ompatbdade apando-se o PTV, f u = M dθ + N d δ + Q dλ (Equação 2)

4 em que u é o desoamento noda, M, N e Q são, respetvamente, o momento fetor, força norma e força ortante devdo ao arregamento vrtua f =, dθ é a rotação fexona, orresponde ao desoamento axa e ao desoamento transversa em uma determnada posção do eemento. dδ A partr da Equação 2, enontram-se as expressões para os oefentes de rgdezes dspondo-se de dos asos: dλ Caso I - Nó na engastado: u u2 u3 Fgura 2 - Nó esquerdo restrngdo (MAGA, 27) Os desoamentos em função da arga de eemento q, são esrtos omo M M N N χ QQ u F= ds+ ds+ ds EI ES GS, = 4, 5, 6 (Equação 3) em que E é o móduo de eastdade ongtudna, G o móduo de eastdade transversa, S a área da seção transversa, I o momento de néra à fexão em reação ao exo prnpa oa, é o fator de forma da seção para o sahamento e M, N e Q são os esforços deorrentes da arga q. χ ações Denota-se as forças de engastamento nógntas om dos índes subsrtos. Logo, nas f k mostradas nas Fguras 2 e 3, o prmero índe denota a sua dreção e o segundo exprme a dreção da ação que a gera. Sendo assm, a expressão ntegra na Equação 2, assoada a um erto índe k, pode ser esrta na forma M M N N χ Q Q EI ES GS k k k ds+ ds+ ds = a kf k, k = 4, 5, 6 (Equação 4) em que a k é o oefente que é obtdo evdenando-se a ação f k. Pode-se, portanto, expressar o onjunto de equações de ompatbdade na segunte forma matra AFFfFk = ufk - u F, k = 4, 5, 6 (Equação 5)

5 onde u Fk são os desoamentos presrtos e a matrz A FF é dada por dx ES 2 - x - x χ A FF = + dx dx. EI GS (Equação 6) EI - x dx dx EI EI Caso II - Nó fna engastado: u 4 = u 5 = u 6 = : \ Fgura 3 - Nó dreto restrngdo (MAGA, 27) De forma smar ao aso I, esrevem-se os desoamentos devdo à arga q, na forma M M N N χ QQ u F= ds+ ds+ ds EI ES GS, =, 2, 3 (Equação 7) Os oefentes da matrz A II resutam da equação M M N N χ Q Q EI ES GS k k k ds+ ds+ ds = a kf k, k =, 2, 3 (Equação 8) e esreve-se o onjunto de equações, novamente, na forma AIIfIk = uik - u I, k =, 2, 3 (Equação 9) em que u Ik são os desoamentos presrtos e a matrz AII é defnda a partr de:

6 A II dx ES 2 x χ x = + dx - dx EI GS EI x - dx dx EI EI (Equação ) Os oefentes da matrz de rgdez são obtdos mpondo-se a ondção de u u F nas Equações 5 e 9 e onsderando os desoamentos nodas presrtos I F untáros ( u I = δ k e u F = δ kf ). Esreve-se portanto, os oefentes de rgdez eástos - Ik II Ik f = A u, k=, 2, 3 (Equação ) - Fk FF Fk f = A u, k=4, 5, 6 (Equação 2) A partr dos resutados das Equações e 2, enontram-se, através do equíbro, os demas oefentes f Fk, k=, 2, 3 e f Ik, k=4, 5, 6. Obtém-se, assm, a matrz de rgdez eásta de eemento K e : K e f f Ik Fk f f Ik Fk (Equação 3) 2.2. Ações de Engastamento Perfeto Um arregamento genéro apado em um eemento pode ser deomposto em duas omponentes: uma tangena ( q ) e uma norma ( ), omo mostrado na fgura 4. t q n x 2 q n (x) rea oad funton approxmated oad funton f 3 f4 f x 3 f 2 q t (x) f 6 f 5 x Fgura 4 Carregamento genéro atuando no pano do eemento

7 Estabeeem-se as ações de extremdade do eemento, através das Equações 5 e 9, mpondo-se as ondções de que os nós do eemento são restrngdos, ou seja, uik u Fk. Assm, tem-se os seguntes sstemas de equações A f = u II I I A f = u FF F F (Equação 4) onde f e I f F são ações de extremdade de eemento devdas à arga de membro e u I e u F são dados peas Equação 7 e 3, respetvamente. Neste artgo, utza-se uma função de nterpoação quadráta para aproxmar a arga do eemento. São determnados três pontos de arga onheda ao ongo do eemento em L anáse x =, x 2 =, x 3 = L, para determnar as expressões para as funções de 2 argas e esforços nternos assoados. Tem-se portanto N u = - dx, ES xm χq u 2 = dx EI GS, M u 3= - dx (Equação 5) EI onde M =M q, N =N q, Q =Q q (Equação 6) n t n 3 2 x x x t t t t N x = q d a b x x x x Q x = qn d a n +bn nx x x x x M x = x qn d a n +b n +n Com a 2q q q, b 4q 3q q k 2 k2 k k3, k qk e k = n, t. k k2 k k3 (Equação 7) (Equação 8) (Equação 9) De posse dos desoamentos ui e u F e da matrz de rgdez oa de ada eemento, enontram-se as ações de extremdade para um arregamento genéro.

8 3. ESTRATÉGIA DE DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO COMPOSTA NORMAL No presente artgo, propõe-se uma estratéga para o dmensonamento de eementos de pórto pano em onreto armado om seções transversas quasquer e dversos arranjos de armadura, sujetos à fexão omposta norma (Fgura 5). Ɛ Ɛs As d ẋ Ɛs2 Ɛs3 Nd Md As2 As3 d2 d3 x Ɛs As d Ɛb Fgura 5 Seção quaquer sujeta à fexão omposta e a sua deformada L.N O dmensonamento é reazado nos pontos em que se onheem os vaores dos esforços atuantes, partndo-se do seu equíbro om os esforços resstentes. Assm, dados um momento fetor e um esforço norma sotantes de áuo atuando em uma seção om geometra e armaduras (quantdade e dsposção) defndas, enontra-se a posção da nha neutra (x) e a área de aço (A s ) que orrespondem ao equíbro da seção no E.L.U. em erto domíno de dmensonamento. Deste modo, estabeeem-se as equações a segur: F N r r (Equação 2) x d s M M N x r d r d (Equação 2) topo d d s rs σsdas A r σ y da (Equação 22) (Equação 23) A s n A n s (Equação 24) mnx,h A x da (Equação 25)

9 A h da (Equação 26) nas quas é número de amadas de aço, armadura da -ésma amada, ompressão e da seção bruta, respetvamente, norma resstente do aço na -ésma amada, onreto à ompressão, N d e n e A s o número de barras de aço e a área da A e A são as áreas da seção de onreto armado sujeta à r σ sd e r s são a tensão de áuo e a força orresponde à força norma resstente do M d são a força norma e o momento fetor sotantes, dstâna do ponto de apação da força no onreto até o topo da seção e entróde da área transformada. O espaçamento entre as barras de aço é unforme e é dado por d é a x é a posção do h 2d' s, (Equação 27) sendo bordas da seção. por h a atura da seção transversa e d' a dstâna do entro das amadas e n até as A dstâna entre o topo da seção até o entrode de ada armadura pode ser desrta s d' s (Equação 28) Com o objetvo de determnar o vaor da força resstente do onreto ( r ) emprega-se o proesso de ntegração de Gauss-Legendre. Para tanto, a seção é forneda segundo uma maha de ontorno, que é dvdda em faxas de argura b(y) e atura strp (Fgura 6 (a)). Nestas faxas, por sua vez, são defndos pontos de ntegração (Fgura 6 (b)) onde a função de tensão no onreto é avaada. Fgura 6 - (a) Maha de ontorno da seção transversa e a mesma dsretzada em faxas (b) detahe de uma faxa om seus pontos de ntegração

10 Logo, reesreve-se a força de ompressão no onreto omo nstrp y r t σ y b y dy = nstrp npg strp r σyby 2 = j j (Equação 29) e o momento resstente do onreto em 3: nstrp y M t σ y yb y dy = nstrp npg strp M σyyby 2 = j j (Equação 3) Os parâmetros e j são as posções e pesos, respetvamente, e fazem parte do proesso de ntegração numéra de Gauss-Legendre. A partr da reação entre o momento resstente e a força resstente à ompressão do onreto, obtém-se o ponto de apação da força norma, onforme Equação 3. d M r Caso o momento fetor seja nuo, d, para a seção anasada, (Equação 3) d é auado de aordo om a Equação 32, pos admte-se que o esforço axa está apado no entrode da seção. h d. (Equação 32) 2 Assm, substtundo as Equações 22, 23 e 24 nas Equações 2 e 2, tem-se: As Nd σ yda σsdnd Ax = n (Equação 33) As Md Ndx σ y yda+ σsdnd Ax = n (Equação 34) Em seguda, dvdem-se as Equações 33 e 34 peas Equações 35 e 36, respetvamente.

11 a σa ahσah (Equação 35) (Equação 36) Deste modo, tem-se, as equações de equíbro admensonas da seção r σsdn = nfyd (Equação 37) r σ n (Equação 38) x sd h = n fyd om, Nd a Md ah r r a d h d h Af a s yd (Equação 39) (Equação 4) (Equação 4) (Equação 42) (Equação 43) (Equação 44) Sendo, respetvamente, e o norma e o momento sotantes, admensonas, r o norma resstente e a taxa de armadura. A soução do sstema não-near admensona formado peas Equações 37 e 38 é dada em termos da posção da nha neutra e da taxa meâna de armadura. Isoando-se em 37 e 38, obtém-se, respetvamente:

12 r n f sdn = yd, (Equação 45) x h n = r n fyd sd. (Equação 46) Iguaado as Equações 45 e 46 pode-se defnr a função Fx, omo segue, x sd sd h = = F x + r n r n (Equação 47) A seção atnge o equíbro para o vaor de x no qua a Equação 47 se guaa a zero, ou seja, quando o equíbro de forças é atngdo. A soução numéra é obtda va método da bsseante, apresentada em ARAÚJO J.M., 24. Aresenta-se, anda, uma estratéga para a otmzação da proura da soução de aordo om o tpo de sotação, ou seja, domínos de dmensonamento. De posse da posção da nha neutra, determna-se a taxa meâna de armadura segundo as Equações 45 e 46. Se σ sd. n < to, aua-se ω om base na Equação 45; Se σ sd. n to, aua-se ω om base na Equação 46. Por fm, determna-se o vaor da área de aço por meo da Equação 48, e o proesso se repete para a seção segunte e posterormente, para o próxmo eemento. A s = ω. a f yd (Equação 48)

13 4. APLICAÇÃO A presente apação trata da anáse near eásta e dmensonamento do pórto pano mostrado na Fgura 7. O pórto é omposto por dos pares e uma vga submetda a um arregamento unformemente dstrbuído. A seção transversa de todos os eementos do sstema é de forma geométra trapezoda (Fgura 8) em onreto armado om a resstêna araterísta f k = 3 MPa (Grupo I) e aço CA5. O móduo de eastdade do aço é E s = 2 GPa e do onreto E = 25 GPa. Também são dados onhedos do probema a posção do entrode da seção, x = 3,33 m, e a deformação de esoamento do aço, auada de aordo om a asse do mesmo, ε yd = 2,7x 3. Fgura 7 Pórto pano arregado modeado peo SAP2 Fgura 8 Seção transversa trapezoda do modeo

14 Com o ntuto de se obter os esforços nos eementos, mpresndíves ao dmensonamento, fo reazada a anáse near eásta do pórto utzando-se o programa omputaona NAESY Numera Anayss of Engneerng Systems, uja base fo desenvovda por de Araújo (994) e onde fo norporada a formuação apresentada neste artgo. Para fns de omparação, o pórto também fo modeado no software SAP2 (23). A Tabea ontém os resutados enontrados através de ambos os programas. Tabea - Esforços nos eementos Eemento Par Vga Par 2 Seção Norma (kn) Cortante (kn) Momento (kn.m) NAESY SAP2 NAESY SAP2 NAESY SAP2 48,78 48,78 -,5 -,6-6,9-6, 2-48,78-48,78,5,6-27,7-27,7 3,5,6 48,78 48,78 27,7 27,7 4 -,5 -,6 5,22 5,22-33,6-33,7 5 5,22 5,22,5,6 33,6 33,7 6-5,22-5,22 -,5 -,6 Como pode-se observar, os resutados obtdos na anáse estrutura peo NAESY se aproxmam de forma satsfatóra dos vaores auados através do SAP2 (23), atestando a efetvdade da formuação utzada para a anáse de sstemas estruturas retuados de seção quaquer. Em seguda, fo reazado o dmensonamento das seções mas sotadas de ada eemento. A estratéga mpementada exge saber de antemão, aém da geometra da seção, a quantdade e dstrbução das armaduras ongtudnas. Para tanto, de posse dos vaores araterístos dos esforços nternos, faz-se a ombnação útma norma para o estado mte útmo. Apando-se a estratéga desrta no tem 3, enontra-se a posção da nha neutra e a área de aço que orrespondem ao equíbro da seção em um determnado domíno de dmensonamento. Para onstatação da soução (área de aço) enontrada peo NAESY, verfou-se anatamente se a nha neutra, obtda teratvamente, equbra os esforços sotantes e resstentes na seção. Neste aso, foram utzadas das Equações 2 e 2. O dmensonamento reazado através do NAESY e sua verfação anaíta são mostrados a segur. P (Seção 2): A seção transversa e a dstrbução de armaduras propostas, para este aso, estão representadas na Fgura 9. A mesma está submetda à fexão omposta norma e os esforços sotantes de áuo obtdos são N d = 68,29 kn (ompressão) e M d = 3789,25 kn. m (tração nas fbras superores).

15 Fgura 9 Seção trapezoda e dsposção das armaduras para o P Através da Fgura 9, onstata-se que a dstâna do topo da seção até o entrode de ada amada de armadura é d = 3 m e d 2 = 27 m para a prmera e segunda amadas, respetvamente, om a orentação a partr do topo da seção. O vaor da nha neutra auado é x = 4,9 m, portanto a seção enontra-se dmensonada no Domíno 2. A área de aço enontrada é A s = 5,2 m 2 e A s = A s2 = 2,6 m 2. Com o vaor de x, é possíve onheer a deformação nas amadas de aço, ε s = e ε s2 = 8,62x 4 e, por onsequêna, as tensões atuantes nessas barras, σ sd = f yd = 43,47 kn m 2 e σ sd2 = E s. ε s2 = 8, kn m 2. A força resstente do onreto à ompressão e a dstâna do seu ponto de apação até o topo da seção auados são, r = 34,24 kn e d = 28,7 m, respetvamente. segue: Logo, através das Equações 2 e 2, é possíve verfar o equíbro da seção, onforme F x = : N d r r s = N d r σ sd. A s = = N d r σ sd. A s σ sd2. A s2 = 68,29 34,24 ( 43,48. 2,6) 8,. 2,6 = = ; OK M topo = : M d N d. x + r s. d + r. d =

16 M d N d. x + σ sd. A s. d + r. d = M d N d. x + σ sd. A s. d + σ sd2. A s2. d 2 + r. d = 3789,25 68,29.3,33 + ( 43,48. 2,6.3,) + 8,. 2, ,24.28,7 = = ; OK Portanto, onfrma-se que x = 4,9 m é uma soução possíve para o probema e que A s = 5,2 m 2 equbra a seção no ELU. V (Seção 4): Neste aso, a seção está submetda a um esforço norma de áuo N d = 5,47 kn (ompressão) e M d = 3789,25 kn. m (tração nas fbras superores). Avaa-se a possbdade de desonsderar o esforço norma, onsderado pequeno, e então dmensonar a vga à fexão smpes om armadura smpes; ou à fexão smpes om armadura dupa e; ou onsderar o esforço norma, e dmensonar a mesma à fexão omposta norma om armadura dupa. A onsderação mas favoráve do ponto de vsta eonômo, e, portanto, a esohda, fo a prmera e por sso, N d é onsderado nuo. A seção transversa utzada é a representada na Fgura. Fgura Seção trapezoda e dsposção das armaduras para a V A posção da nha neutra obtda, que equbra a seção é x = 6,2 m, e por sso a seção enontra-se dmensonada no Domíno 2. A área de aço enontrada é A s = 4,27 m 2. Por onsegunte, o aço enontra-se om deformação espeífa maor que a de esoamento, ε s = e a tensão atuante na amada, σ sd = f yd = 43,47 kn m 2. A força resstente do onreto à ompressão e a dstâna do seu ponto de apação até o topo da seção auados são, r = 9, kn e d = 27,43 m, respetvamente. Neste aso, a dstâna do topo da seção até o entrode da amada de armadura é d = 3 m. Assm, esreve-se as equações de equíbro a segur:

17 F x = : N d r r s = N d r σ sd. A s = = N d r σ sd. A s = 9, ( 43,48. 4,37) = = ; OK M topo = : M d N d. x + r s. d + r. d = M d N d. x + σ sd. A s. d + r. d = M d N d. x + σ sd. A s. d + r. d = 4642,22,.3,33 + ( 43,48. 4,37.3,) + 9,.27,43 = = ; OK Desta forma, omprova-se que x = 6,2m é uma soução possíve para o probema e que A s = 4,37 m 2 equbra a seção no ELU. P2 (Seção 5): A Fgura representa a seção transversa e a dstrbução de armaduras para este aso. A sotação onsderada é a fexão omposta norma e os esforços sotantes de áuo obtdos são N d = 7,7 kn (ompressão) e M d = 4642,22 kn. m (tração nas fbras superores).

18 Fgura Seção trapezoda e dsposção das armaduras para o P2 Novamente, a dstâna do topo da seção até o entrode de ada amada de armadura é d = 3 m e d 2 = 27 m para a prmera e segunda amadas, respetvamente. Assm, o vaor da nha neutra que equbra a seção é x = 5,27 m e por sso a seção enontra-se dmensonada no Domíno 2. A área de aço enontrada é A s = 6,74 m 2 e A s = A s2 = 3,37 m 2. Com o vaor de x é possíve onheer a deformação nas amadas de aço, ε s = e ε s2 =,4x 3 e onsequentemente, as tensões atuantes nessas barras, σ sd = f yd = 43,47 kn m 2 e σ sd2 = E s. ε s2 = 2,9 kn m 2. A força resstente do onreto à ompressão e a dstâna do seu ponto de apação até o topo da seção auados são, r = 44,46 kn e d = 28, m, respetvamente. Por fm, verfa-se o equíbro da seção: F x = : N d r r s = N d r σ sd. A s = = N d r σ sd. A s σ sd2. A s2 = 7,7 44,46 ( 43,48. 3,37) 2,9.3,37 = = ; OK M topo = : M d N d. x + r s. d + r. d =

19 M d N d. x + σ sd. A s. d + r. d = M d N d. x + σ sd. A s. d + σ sd2. A s2. d 2 + r. d = 4642,22 7,7.3,33 + ( 43,48. 3,37.3,) + 2,9.3, ,46.28, = = ; OK Dessa forma, ertfa-se, mas uma vez, que a posção da nha neutra determnada teratvamente peo programa, x = 5,27 m, é uma soução possíve para o probema e que A s = 6,74 m 2, para a dstrbução da armadura onforme representado na Fgura, equbra a seção no ELU. 5. CONCLUSÃO Neste artgo fo apresentado um proesso omputaona para anáse e dmensonamento de estruturas retuadas panas, em onreto armado, om seções transversas quasquer e dversos arranjos de armadura, sujetas à fexão omposta norma. Utzou-se uma formuação do Método da Rgdez Dreta para enontrar os esforços nternos e om base nestas respostas, dmensonar as seções mas sotadas, por meo de uma estratéga teratva para determnação da nha neutra através do proesso da bsseante para equíbro de forças no ELU. Sobre as apações, estudou-se um pórto pano, obtendo-se exeentes respostas na anáse estrutura e no dmensonamento das seções avaadas sob a fexão smpes e a fexão omposta norma. A partr dos resutados, verfa-se, portanto, que a estratéga proposta é efente e reevante para modear seções transversas de formas geométras quasquer (usuas ou não). Ressata-se anda a fadade na geração de modeos devdo ao proesso baseado em formuações ntegras de ontorno para ração das seções. Agradementos Esta pesqusa fo fomentada peo Conseho Naona de Desenvovmento Centífo e Tenoógo (CNPq), pea Coordenação de Aperfeçoamento de Pessoa de Níve Superor (CAPES) e pea Fundação de Amparo à Pesqusa do Estado de Mnas Geras (FAPEMIG).

20 6. REFERÊNCIAS ARAÚJO, J.M. Curso de Conreto Armado. Ro Grande: Dunas, 24, v.3, 4.ed. de ARAÚJO, F. C., 994. Tme-doman souton of three-dmensona near probems of eastodynams by means of a BE/FE oupng proess (n German), Ph.D. Thess, Tehna Unversty of Braunsheweg, Germany. de ARAÚJO, F. C., PEREIRA, R. A. T., 27. Boundary-ntegra-based proess for auatng stffness matres of spae frame eements wth axay varyng ross seton. Engneerng Anayss wth Boundary Eements, v. 77, 27; p MAGA, T. Anáse não-near físa e geométra de sstemas aportados om eementos de rgdez varáve em onreto armado, em: Dssertação de Mestrado, 27. NBR68 - Projeto de estruturas de onreto Proedmento, ABNT Assoação Brasera de Normas Ténas, Ro de Janero, 27. SAP2 Strutura Anayss Program (SAP) Versão Utmate 6... Computers and Strutures, In, 23.