UTILIZAÇÃO DO MODELO CONSTITUTIVO DE MAZARS NA ANÁLISE NÃO LINEAR ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO

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1 UTILIZAÇÃO DO MODELO CONSTITUTIVO DE MAZARS NA ANÁLISE NÃO LINEAR ESTÁTICA DE PÓRTICOS PLANOS DE CONCRETO ARMADO Bergson da Slva Matas a Evandro Parente Junor a Tereza Denyse Perera de Araújo a bergson.sm@gmal.om evandroparentejr@gmal.om denyse@uf.br a Laboratóro de Meâna Computaonal e Vsualzação (LMCV), Departamento de Engenhara Estrutural e Construção Cvl, Unversdade Federal do Ceará Campus do P, Bloo 78, , Ceará, Fortaleza, Brasl Resumo. Este trabalho tem omo objetvo a análse não lnear estáta de estruturas de onreto armado utlzando modelos onsttutvos baseados na teora da plastdade e na meâna do dano ontínuo. Os modelos de Mazars orgnal e atual são estudados e versões unaxas destes são mplementados em um programa de elementos fntos. Utlzando uma formulação orrotaonal om ntegração da seção através do método das fatas, são analsados exemplos de estruturas de onreto armado sob a ação de arregamentos monotônos e ílos. O trabalho tem omo objetvo o avanço na modelagem do onreto em estruturas de pórto plano para que seja possível a obtenção de melhores resultados em problemas omo o olapso progressvo. A sensbldade de malha, presente em problemas que ontenham materas om amolemento não fo verfada em nenhum dos exemplos apresentados. Isto se deve ao fato da loalzação de deformação em vgas de onreto armado estar assoada a omportamentos que apresentem amolemento. Os resultados mostram que a mplementação dos modelos fo satsfatóra, sendo este um passo mportante para o estudo do olapso progressvo em estruturas de onreto armado. Keywords: Colapso progressvo, Conreto armado, Análse não lnear estáta, Meâna do dano ontínuo, Não lneardade físa, Loalzação de deformação.

2 Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado 1 INTRODUÇÃO O olapso progressvo é um evento araterzado pela propagação de um dano loalzado sobre uma parte maor de uma estrutura. O estudo do olapso progressvo é relatvamente reente. Entretanto, nos últmos anos, mutos avanços foram dados om o resmento da meâna omputaonal. Os prmeros trabalhos relaonados ao fenômeno se deram no nío dos anos 1970 devdo ao olapso do edfío Ronan Pont e a onsequente neessdade de alterações nas normas de dmensonamento de estruturas do ódgo brtâno (Mohamed, 006). Dentre as metodologas utlzadas para a avalação da resstêna ao olapso progressvo, os proedmentos mas sofstados onsderam a não lneardade da estrutura e podem onsderar os efetos dnâmos através de oefentes de mpato ou mesmo om análses puramente dnâmas. Dversos autores, omo Tsa e Ln (008), Kokot et al. (01), Marjanshvl e Agnew (006), Bao et al. (008), Sasan e Sagroglu (010), Irrbaren et al. (011) e Arshan e Morgenthal (016) desenvolveram modelos numéros para o estudo do olapso progressvo em estruturas de onreto armado om o ntuto de ontrbur para o onhemento do fenômeno. No que dz respeto à não lneardade físa onsderada nos trabalhos tados, os modelos onsttutvos para o onreto são, em sua maora, aqueles formulados em expermentos (modelos empíros). Os mas omuns são os modelos empíros de Popovs (1973), de Chang e Mander (1994) e de Park et al. (198). Para o aço, os modelos onsttutvos adotados geralmente são baseados na teora da plastdade. O uso de modelos mas formas que onsgam smular fenômenos omo a danfação do materal, a abertura e o fehamento de mrofssuras e a plastfação aoplada ao dano é bastante omum em problemas que envolvem ssmos. Assm omo no olapso progressvo, estruturas sob efetos sísmos sofrem reversões de tensões devdo ao aráter ílo do arregamento. Modelos baseados na meâna do dano ontínuo, omo os de Mazars (1986), Lublner et al. (1989) e Lee e Fenves (1997) são então bastante utlzados nas análses sísmas por serem apazes de apturar tas efetos. A mportâna da orreta onsderação do omportamento de estruturas de onreto armado sob os efetos do olapso progressvo leva a uma neessdade. A de ompreender e, posterormente, utlzar modelos onsttutvos mas formas em análses não lneares estátas e dnâmas. Este trabalho, portanto, busa agregar onhemento relatvo ao omportamento não lnear do onreto através do estudo do modelo lásso de dano de Mazars (1986) e da sua versão mas atual, onheda omo -Model (Mazars et al., 015). O foo do trabalho é a mplementação de versões unaxas dos modelos e a valdação destes utlzando para sto uma formulação de elemento plano orrotaonal e o método das fatas para a ntegração dos esforços na seção do elemento. Este trabalho é dvddo em ses apítulos. No prmero, apresenta-se uma ntrodução e a motvação para o presente estudo. No segundo, são apresentados de forma resumda o elemento fnto e o método de ntegração da seção utlzados no trabalho. O terero apítulo traz a formulação dos modelos onsttutvos estudados e as onsderações fetas para este trabalho. O quarto apítulo é dedado ao problema de loalzação de deformação e

3 B. S. Matas, E. Parente Jr. sensbldade da malha em problemas envolvendo materas quase fráges. O qunto apítulo traz os exemplos fetos para a valdação da mplementação dos modelos e a dsussão sobre os problemas de sensbldade de malha enontrados. Por fm, o sexto apítulo apresenta os omentáros fnas e as onlusões do trabalho. ELEMENTO FINITO NÃO LINEAR DE PÓRTICO PLANO A formulação Lagragana Total (Bathe, 1996) é usual para a análse de estruturas na práta da Engenhara Cvl, pos a hpótese de pequenas deformações é aetável tendo em vsta que o aço e, prnpalmente, o onreto têm lmtes de deformações baxos. Entretanto, para a análse de problemas om grandes rotações, omo no olapso progressvo, é neessáro um tpo de formulação que ontemple sto. Sendo assm, este trabalho adota a formulação orrotaonal. Nesta formulação, adotamse dos sstemas de oordenadas que objetvam desaoplar as deformações dos desloamentos de orpo rígdo no elemento (Crsfeld, 1991). Assm, ra-se um elemento loal ou nterno que é, posterormente, rotaonado para formar o elemento global ou externo. A Fg. 1 apresenta o modelo de um elemento de pórto orrotaonal. Fgura 1. Elemento de pórto plano orrotaonal Uma das vantagens desta formulação é que a onsderação da não lneardade físa se torna bastante smples (Parente et al., 014). Na formulação orrotaonal, as deformações são defndas no elemento loal, de forma que fam ndependentes dos desloamentos de orpo rígdo. Para uma maor faldade do entendmento da formulação orrotaonal, a dsussão apresentada aqu se basea no elemento de pórto plano. O elemento loal ou nterno é defndo ndependentemente da transformação loal-global, de modo que há lberdade no seu tratamento, sendo possíves a adoção de dferentes meddas de deformação (Parente et al., 014). A lgação entre os dos sstemas é feta através da matrz de transformação T, defnda omo:

4 Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado os sn 0 os sn 0 T sn L os L 1 sn L os L 0. (1) sn L os L 0 sn L os L 1 onde é o ângulo de nlnação atualzado do elemento. Após serem defndos o vetor de forças nternas g e a matrz de rgdez tangente K T do elemento nterno, determnam-se o vetor de forças nternas global e a matrz de rgdez tangente global omo: T g T g. () K zz L M M L T T 1 T T T K E K G T K TT N rz zr. (3) onde N é o esforço normal na seção do elemento, M 1 e M são, respetvamente, os momentos nos nós nal e fnal do elemento nterno, r e z são vetores que relaonam a varação do omprmento do elemento om a varação dos desloamentos e om a varação da nlnação, respetvamente. O prmero termo do lado dreto da Eq. (3) representa a matrz de rgdez elásta global e os dos últmos termos representam a matrz de rgdez geométra. A determnação de g e K T pode ser feta da forma lássa empregando meddas de deformações de engenhara ou de Green, por exemplo (Parente et al., 014). Neste trabalho, é adotada a medda de deformação de Green para o elemento nterno. O álulo das tensões generalzadas g é feto a partr de ntegração na seção transversal, de forma que: T T g N M da yda. (4) A A onde N e M são, respetvamente, o esforço normal e o momento fletor..1 Método das fatas A onsderação da não lneardade físa exge que os esforços nternos (g) sejam alulados através da ntegração na seção transversal, omo apresentado na Eq. (4). Neste trabalho, a ntegração na seção é feta pelo método das fatas (Spaone et al., 1996). Este método onsste em dsretzar a seção do elemento em amadas onsderadas homogêneas e avalar as tensões e deformações no entrode de ada amada. Assm, ada amada tem a sua própra le onsttutva undmensonal. A ntegração dos esforços na seção é então alulada omo o somatóro das ontrbuções de ada amada onsderando a hpótese de seções planas. A Fg. mostra uma seção retangular dvdda em fatas om espessura Δy e largura b dstantes de y do entrode. A ntegração da Eq. (4) pode ser substtuída por um somatóro fnto: T T g N M by y by. (5) onde σ é a tensão alulada no entrode da amada. O mesmo proedmento é aplado ao álulo da matrz onsttutva tangente (CT).

5 B. S. Matas, E. Parente Jr. CG y y b Fgura. Seção dsretzada pelo método das fatas 3 MODELOS CONSTITUTIVOS PARA O CONCRETO O modelo onsttutvo para o onreto adotado aqu é baseado nos trabalhos de Mazars (1986), Mazars e Pjauder-Cabot (1989), Mazars et al. (015) e Mazars e Grange (015). Estes autores, entre outros, ontrbuíram para a formulação de modelos onsttutvos para o onreto baseados na meâna do dano ontínuo (Kahanov, 1958, Rabotnov, 1963). Neste tpo de formulação, a perda de rgdez devda ao surgmento de mrofssuras e mrovazos é mensurada através de uma varável de dano D, a qual pode varar de 0 a 1. O dano D pode ser onsderado sotrópo e ser relaonado om a perda de área ou volume de determnado orpo (De Borst et al., 01). Através da garanta de ontnudade do meo e da equvalêna de deformações, defne-se uma tensão efetva dada por: 1 D. (5) A partr da tensão efetva, podem-se defnr les de evolução da varável de dano D utlzando onetos de termodnâma e proedmentos expermentas. Mazars (1986) desenvolveu um modelo de dano elásto baseado no oneto de deformação equvalente. Este modelo fo, posterormente, aperfeçoado por Mazars e Pjauder-Cabot (1989). As prnpas hpóteses do modelo de Mazars (1986) são a desonsderação de deformações plástas, a sotropa da varável de dano D e a relação dreta entre a evolução da varável de dano e as deformações longtudnas. 3.1 Modelo de dano de Mazars O modelo 3D proposto parte da defnção de uma varável de deformação equvalente: 1 3 eq. (6) onde 1 é a parte postva da deformação. O dano na quando eq valor de d 0 tração. A superfíe de arregamento é dada por:, D Y 0 atnge o, valor onhedo omo lmar de dano e obtdo através de expermentos de f. (7) eq eq onde Y é uma varável que armazena a máxma deformação atngda durante o hstóro de deformações.

6 Tensão Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado Antes do nío do dano, a deformação equvalente é gual a d 0. Quando D > 0, a varável Y assume o máxmo valor de durante o hstóro de arregamento, ou seja eq Y max eq. A varável de dano D é dada em termos da deformação equvalente através de uma méda das varáves de dano da tração e na ompressão, ponderado om os oefentes de estado de tensão t e : t t D t e D. Este dano médo é D D D. (8) t, t,, t H. (9) ε, t,, H. (10) ε onde ε é a deformação, t, e, são as omponentes das partes postva e negatva do tensor ε nas dreções prnpas = 1, e 3, H 1 se t,, 0 e H 0 se t,, 0. D t e D são dados por: eq d 0 1 At At Dt 1 B t eq d 0. (11) e D d 0 1 A A 1 B eq d 0. (1) e eq A Fg. mostra a urva de tensão/deformação do modelo de Mazars (1986) para a ompressão. Sendo um modelo elásto, não há o aúmulo de deformações resduas om o desarregamento. A degradação do materal, drgda pela varável de dano D, oorre a partr de um lmar de dano ndado na Fg. 3. Lmar do dano Rgdez nal E0 Desarregamento elásto Fgura 3. Curva de tensão/deformação na ompressão para o modelo de Mazars (1986) 3. Efeto unlateral e -Model Deformação O modelo orgnal de Mazars (1986) passou por alguns ajustes prnpalmente em busa de melhoras no omportamento ao salhamento e à ompressão baxal. Estes ajustes, anda assm, não eram apazes de apturar o hamado efeto unlateral. Este fenômeno é

7 Compressão Tensão Tração B. S. Matas, E. Parente Jr. araterzado por uma reuperação de rgdez oasonado pelo fehamento das fssuras abertas quando o onreto passa de um estado de tração para um estado de ompressão, omo mostra a Fg. 4. Abertura de fssuras Deformação Fehamento de fssuras Fgura 4. Efeto unlateral Para ontemplar o efeto unlateral, ao nvés do dano médo apresentado na Eq. (8), Mazars et al. (015) propuseram uma dstnção entre o dano ausado por tração e o dano ausado por ompressão. Assm, defnem-se duas superfíes de arregamento ndependentes ao nvés de apenas uma, omo apresentado na Eq. (7): f f t eq, t, Dt eq, t Yt 0 D Y 0 onde. (13). (14) eq,, eq, eq, t e eq, orrespondem, respetvamente, às deformações equvalentes para a fssuração e o esmagamento do onreto: I J eq, t. (15) 1 1 I 6 J eq,. (16) 5 1 onde 51 I é o prmero nvarante do tensor das deformações e J As varáves Y t e Y assumem os valores máxmos durante o hstóro de arregamento. Assm: Y t max eq, t. (17) Y max eq,. (18) A evolução de ada varável de dano é nada a partr de um respetvo lmar de dano, t0 para a tração e 0 para a ompressão. Para a obtenção da tensão equvalente, determnase uma varável de dano equvalente D orrelaonada om a varável Y através le de evolução:

8 Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado Y0 1 A A D 1 BY Y0. (19) Y e A varável Y é obtda através de uma orrelação entre as varáves Y t e Y, assm omo o lmar do dano Y 0 é obtdo através de uma orrelação entre os lmares t0 e 0 : t Y Y ry 1 r. (0) r 0 Y r. (1) 0 t0 1 onde r é o oefente de traxaldade que relaona a deformação trdmensonal om o estado puro de tração (r = 1) e o estado puro de ompressão (r = 0). r é dado por (Lee e Fenves, 1998): r. () onde são as omponentes da tensão equvalente nas dreções prnpas = 1, e 3. A e B são parâmetros do materal relaonados om o formato da urva de dano. Estes são obtdos a partr de ensaos unaxas de tração e ompressão onde se determnam os parâmetros de fssuração At e Bt e os parâmetros de esmagamento A e B. Mazars et al. (015) propõe os seguntes valores para A e B: r 1 k r1 4k A r 3r 1 A At. (3) B r r r r r B 1 r B. (4) O parâmetro k é um oefente de albração para o aso de grandes desloamentos de salhamento. 3.3 Versão unaxal do -Model Consderando a ntegração da seção através do método das fatas, ada fata da seção do elemento fnto de pórto plano só pode estar traonada ou omprmda. Desta forma, a onsderação de unaxaldade no aso do -Model faz o oefente de traxaldade r valer 1 para tração e 0 para ompressão. As onsequênas desta onsderação, trazem smplfações mportantes no -Model. Para a tração, Y Yt, Y0 t0, A At e B Bt e para a ompressão, Y Y, Y0 0, A A e B B. Assm, a evolução da varável de dano D pode ser desagregada em duas partes ndependentes: t t0 1 At At Dt 1 B t Y t t 0. (5) Y e D 0 1 A A 1 B t Y 0. (6) Y e A versão unaxal do -Model apresentada por Mazars e Grange (015) apresenta uma sére de melhoras para o modelo, omo a onsderação de deformações permanentes,

9 B. S. Matas, E. Parente Jr. amortemento e deslzamento de armadura. Assm, o modelo apresentado neste trabalho é uma smplfação do -Model proposto pelos autores. Pode-se fazer a mesma onsderação para o modelo orgnal de Mazars. Neste aso, os oefentes de estado de tensão t e valem, respetvamente 1 e 0 para a tração e 0 e 1 para ompressão. Consderando o efeto do oefente de posson, tem-se que as deformações equvalentes de tração e de ompressão são, respetvamente: eq, t t. (7) eq,. (8) As varáves de dano na tração e de dano na ompressão passam a valer, respetvamente: t d 0 1 At At Dt 1 B t t d 0. (9) e D d 0 1 A A 1 B d 0. (30) e Os modelos unaxas têm a desvantagem de não onsderarem efetos de salhamento ou estados omplexos de tensão. Por outro lado, estudos em estruturas de grande porte, omo edfíos de onreto armado tornam omputaonalmente nvável a utlzação de modelos 3D, sendo este ponto uma das vantagens de modelos unaxas. 3.4 Modelo onsttutvo para o aço O modelo onsttutvo adotado para o aço é baseado na teora da plastdade (Smo e Hughes, 1997), om a qual podem-se desrever alguns tpos de fenômenos em materas dútes, omo as deformações permanentes e o enruamento. Este últmo fenômeno não é onsderado neste trabalho porque a análse do fenômeno de amolemento tem maor relevâna no onreto, que é o foo do trabalho. Desta forma, o modelo de aço adotado no trabalho é o elastoplásto perfeto. 4 EFEITO DE LOCALIZAÇÃO DE DEFORMAÇÃO Um fenômeno omum em problemas envolvendo materas quase fráges ou que apresentem amolemento é onhedo omo loalzação de deformação. O onreto, portanto, é um materal que está sujeto a sto. A loalzação de deformação, nada mas é do que um problema físo agravado por questões de nstabldades numéras. No aso do onreto, a sua heterogenedade nduz a nterações entre as fssuras formadas. Desta forma, as deformações se loalzam dentro de uma regão araterísta. Por ausa desta nteração, o estado de tensão de um ponto materal não pode mas ser desrto apenas por araterístas neste ponto, mas também deve levar em onsderação a regão vznha ao ponto. Matematamente, a loalzação de deformação aarreta em um problema mal posto, pos o amolemento gera uma perda de elptdade das equações dferenas que desrevem o proesso de deformação (Bazant e Planas, 1998). Assm, as soluções numéras não

10 Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado onvergem para as soluções orretas om o refnamento da malha de elementos fntos. Observa-se então uma dependêna da solução à malha utlzada. Mutos autores propõem abordagens dstntas para ontornar o problema de loalzação de deformação. Costuma-se dstngur tas abordagens em modelos não loas e modelos om parâmetros ajustados. No segundo aso, a fssuração pode ser formulada de manera dsreta (Hllerborg et al., 1976) ou dstrbuída (smeared rakng) (Bazant e Oh, 1983). Bazant e Oh (1983) propõem uma a dea de bandas de fssuração. Estas bandas são fnas regões de largura h onde há uma maor nteração entre as fssuras, as quas tendem a formar as marofssuras (Fg. 5). No modelo, a energa de fratura Gf é a energa onsumda na formação e abertura de todas as mrofssuras por undade de área em um determnado plano: G f f h d 0 h. (31) f onde f é a densdade de energa de fratura da banda e f dz respeto a deformação de abertura de fssuras. Assm, em uma análse por elementos fntos, a largura da banda h do materal deve ser usada omo tamanho araterísto do elemento para que a loalzação não oorra. Algo que pode se tornar mpratável em asos onde as malhas não presam ser tão refnadas. f f h Fgura 5. Representação da banda de loalzação da teora de bandas de fssuração Uma estratéga apresentada por Bazant e Oh (1983) para evtar o uso desneessáro de malhas muto refnadas se basea na onservação da energa de fratura. Ajusta-se a urva de tensão/deformação para adequar o problema ao tamanho do elemento. Desta forma, tem-se que: e h f f. (3) h e onde o superesrto (e) se refere ao elemento utlzado. Estudos posterores em vgas de onreto mostraram que o tamanho araterísto h (e) possu um lmte nferor, o qual é estmado em 3 vezes o tamanho do agregado. Outro lmtante para o tamanho do elemento, entretanto, é enontrado ao se utlzar a teora lássa de vgas. A urvatura de elementos

11 Desloamento (mm) B. S. Matas, E. Parente Jr. om tamanhos menores do que a altura h da vga não são orretamente apturados, sendo este na maora das vezes o tamanho lmtante. 5 EXEMPLOS As versões unaxas apresentadas aqu foram mplementadas no programa Fnte Analyss Tool (FAST) desenvolvdo no Laboratóro de Meâna Computaonal e Vsualzação (LMCV) da Unversdade Federal do Ceará em lnguagem C++. Foram fetos três exemplos om o modelo mplementado om o ntuto de valdar a sua mplementação. 5.1 Exemplo 1 - Comportamento unaxal Neste exemplo, um úno elemento orrotaonal é submetdo a desloamentos presrtos om o ntuto da valdação da versão do modelo unaxal de Mazars (1986). O elemento ontém apenas uma faxa na seção transversal, sendo a área da seção e o omprmento untáros. Os parâmetros utlzados para o modelo são apresentados na Tabela 1. Este exemplo pode ser enontrado nos tutoras do programa de análse Code Aster (Fléjou, 015). O ontrole de desloamento fo feto de aordo om a Fg. 6, em um proesso quase estáto (sem a onsderação de efetos de néra, vsosdade ou amortemento). A Fg. 7 apresenta os resultados obtdos om a mplementação e ompara om os resultados do Code Aster (Fléjou, 015) A (nío do dano D t ) B C D (nío do dano D ) E Tempo t F G O Fgura 6. Desloamentos presrtos do Exemplo 1 Tabela 1. Parâmetros do modelo unaxal de Mazars (1986) E (GPa) d0 A B At Bt 37,3 0, 8,e-5 1,71 011,64 0, ,4

12 Dano Carga (MN) Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado G Autor E Code Aster -45-6,0-5,0-4,0-3,0 -,0-1,0 0,0 1,0,0 Desloamento (mm) Fgura 7. Curva de arga/desloamento para o Exemplo 1 Também é possível avalar a evolução das duas varáves de dano ao longo dos desloamentos presrtos. Este resultado é apresentado na Fg. 7. A evolução do dano de tração Dt tem nío pouo antes de t = 50, enquanto o dano de ompressão D ontnua nulo. A partr do nío do prmero desarregamento (ponto B), o dano de tração Dt se mantem onstante e, nstantes depos, o dano de ompressão D omeça a evolur (ponto D). Os danos D e D nuna evoluem juntos neste aso, obvamente pelo fato de o modelo ser unaxal. Outro aspeto mportante apresentado na Fg. 8 é que as varáves de dano nuna dmnuem. Este aspeto tem lgação om as les da termodnâma, já que a energa dsspada na degradação do materal não pode ser reuperada. Em outras palavras, a danfação é um proesso rreversível. D F 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 Dt D Tempo t Fgura 8. Evolução das varáves de dano do Exemplo 1 O mesmo exemplo também pode ser utlzado para demonstrar a oorrêna do efeto unlateral. Como a Fg. 6 apresenta, é aplado um desloamento de tração até 0,14 mm (amnho OAB) e em seguda uma nversão de desloamento (amnho BOC). A Fg. 9 mostra a prmera parte da urva, exbndo o momento em que a tensão na barra passa de tração para ompressão. Nota-se que a rgdez reduzda por onta da presença de dano na

13 Carga (MN) B. S. Matas, E. Parente Jr. tração no amnho OAB é reuperada no amnho OC. Isto representa o fehamento das fssuras abertas no prmero amnho. 4,0 3,0,0 A B 1,0 0,0 O -1,0 -,0 C -3,0-0,10-0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,0 Desloamento (mm) Fgura 9. Efeto unlateral apresentado pelo Exemplo 1 5. Exemplo Plar de onreto armado om arga exêntra Neste exemplo, um plar de onreto armado é submetdo a um arregamento exêntro P aplado no seu topo. É utlzado um método de desloamentos presrtos. Este plar fo testado expermentalmente por Espon (1993) e é um dos exemplos onhedos na lteratura omo um benhmark para testes de modelos numéros de onreto armado, omo o trabalho de Bratna et al. (004). Parente et al. (014) usaram uma formulação orrotaonal om método das fatas na ntegração da seção para valdar a mplementação de modelos onsttutvos não lneares elástos de onreto. Os modelos mplementados são fornedos por normas omo o Euroode :014 e a NBR 6118:007. Fgura 10. Plar de onreto armado om arga exêntra Exemplo Um dos modelos mplementados por Parente et al. (014) é enontrado no Euroode :014. A tração é onsderada utlzando um modelo sugerdo pelo CEB FIP 1990,

14 Tensão (MPa) Tensao (MPa) Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado o qual aptura o efeto de tenson stffenng. A obtenção destas urvas é smples, pos requerem dados expermentas de fál aesso. Para efeto de omparação, os parâmetros do -Model foram ajustados até se onsegur uma urva pareda om a apresentada por Parente et al. (014). A Tabela apresenta os parâmetros e a Fg. 11 apresenta as urvas de tensão/deformação. Tabela. Parâmetros do -Model Exemplo E (GPa) 0 t0 A B At Bt 33,6 1,5e-4 7,5e-5 1,0 45 0, Euroode m-model -Model ,004-0,003-0,00-0,001 0,000 Deformação (a) 3,5 3,0,5 Euroode m-model -Model,0 1,5 1,0 0,5 0,0 0,0000 0,0005 0,0010 0,0015 0,000 0,005 Deformação (b) Fgura 11. Curvas de tensão/deformação (a) na ompressão e (b) na tração As urvas apresentadas na Fg. 11 têm parâmetros em omum, omo por exemplo os pos de resstêna ft =,93MPa e f = 38,3Mpa e o módulo de rgdez nal E = 39GPa. A obtenção dos parâmetros do -Model se mostra um pouo mas omplexa, prmeramente pelo número de parâmetros utlzados, e em segundo lugar pelo seu formato mplíto. A Fg. 1 apresenta a urva da arga P pelo desloamento horzontal no topo do plar obtda om a utlzação do -Model e ompara om os resultados numéros obtdos por Parente et al. (014) e expermentas obtdos por Espon (1993). A urva obtda om o -Model apresenta uma rgdez um pouo maor do que o resultado obtdo om o Euroode :004 (Parente et al., 014). Este omportamento se justfa ao se observar os dagramas de tensão/deformação mostrados na Fg. 11. No treho de ompressão, o -Model perde rgdez mas lentamente do que a urva do Euroode :004. No treho de tração, as urvas apresentam maores dsrepânas, sendo o -Model também mas rígdo, espealmente no treho fnal mostrado na Fg. 11b. A Fg. 13 apresenta o espetro de dano na ompressão e na tração para o desloamento fnal de 0,06m. Nota-se que não há loalzação de deformação para este exemplo.

15 P (kn) B. S. Matas, E. Parente Jr ,000 0,010 0,00 0,030 0,040 0,050 0,060 w* (m) Parente et al. (014) Espon (1993) m-model -Model Fgura 1. Curva de arga/desloamento Exemplo (a) (b) Fgura 13. Dstrbução do dano em w = 0,06m (a) D e (b) Dt 5.3 Exemplo 3 Vga bapoada om arga transversal Neste exemplo, uma vga de onreto armado bapoada é submetda a um desloamento presrto vertal no entro do seu vão. Ensaos expermentas de arga íla desta vga podem ser enontrados em Ragueneau et al. (010). No trabalho de Mazars e Grange (015), os autores apresentam uma valdação do -Model em sua versão D e smplfam o modelo para fns estruturas utlzando uma formulação unaxal (método das fatas). Além dsto, propõem melhoras para nlur efetos de deformações permanentes, amortemento e deslzamento de armadura. A vga tem vão de 1,5m, seção transversal de 0,15m por 0,m om armadura longtudnal 1mm de dâmetro e está submetda a uma arga P no entro do vão (Fg. 14). O aço fo modelado através de um modelo de plastdade perfeta om patamar de esoamento

16 Carga (N) Carga (N) Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado fy = 500MPa e módulo de elastdade E = 05GPa. Para o onreto, fo adorado o -Model. Os parâmetros utlzados são apresentados na Tabela 3. P 1 Fgura 14. Vga bapoada - Exemplo 3 1 Tabela 3. Parâmetros do -Model E (GPa) 0 t0 A B At Bt Gf (N/m) 8 3,6e-4 1,0e-4 1, , Um prmero estudo é feto fxando-se o número de 50 faxas e varando-se a dsretzação longtudnal da vga. A Fg. 15 mostra os resultados obtdos para o desloamento vertal no entro do vão, juntamente om o resultado obtdo por Mazars e Grange (015). Verfa-se três estágos bem defndos nas urvas de arga/desloamento. Um estágo nal, onde não há danfação no onreto e o aço anda está na regão elásta. Um segundo estágo, onde o onreto omeça a danfar, araterzada por uma redução da rgdez da estrutura. E por fm, um estágo de perda quase ompleta da rgdez do onreto e entrada do aço no regme plásto. O aumento do número de elementos (e onsequente redução dos seus tamanhos) faz om que haja onvergêna até o desloamento de 3,0mm. A partr deste ponto (Fg.15b), o que se verfa é uma deresente varação do terero estágo A B C D E F Elementos 6 Elementos 8 Elementos 10 Elementos Mazars e Grange (015) 0 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 6,0 Desloamento (mm) (a) Elementos 30 Elementos 50 Elementos Mazars e Grange (015) 0 0,0 1,0,0 3,0 4,0 5,0 Desloamento (mm) 6,0 (b) Fgura 15. Curvas de arga-desloamento para dversas malhas Exemplo 3 A evolução da varável de dano Dt para o modelo om 0 elementos é apresentada na Fg. 16.

17 Desloamento (mm) B. S. Matas, E. Parente Jr. A B C D E F Fgura 16. Evolução do dano Dt do Exemplo 3 O estudo do arregamento ílo é feto através do ontrole de desloamentos ílo de ampltudes varáves (máxmo de ±3mm) apresentado na Fg. 17. Os resultados obtdos são omparados (Fg. 18) om trabalho expermental de Ragueneau et al. (010). Nota-se que o -Model superestma a rgdez da vga, além de não representar bem o omportamento hsteréto e o efeto onstrtvo (ou efeto de estrangulamento) presente no expermento. Outra questão de relevâna é o surgmento de deformações permanentes, as quas também ajudam a reduzr a rgdez da vga e que o modelo smples mplementado neste trabalho não ontempla. Algumas melhoras no modelo podem aumentar sgnfatvamente o seu potenal para o omportamento ílo, omo as que Mazars e Grange (015) sugerem para a versão unaxal do -Model. Entretanto, qualtatvamente, é possível ver que o modelo tem o omportamento esperado. 4,0 3,0,0 1,0 0,0-1,0 -,0-3,0-4, Tempo t Fgura 17. Controle de desloamento ílo do Exemplo 3

18 Carga (kn) Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado Ragueneau et al. (010) m-model -Model ,5 -,5-1,5-0,5 0,5 1,5,5 3,5 Desloamento (m) Fgura 18. Carregamento ílo Exemplo 3 Um aspeto mportante que pode ter levado a resultados mas rígdos é a não onsderação do salhamento no modelo unaxal. Alado a sto, a falta de parâmetros bem defndos, omo por exemplo o obrmento da armadura e o módulo de elastdade, podem ter nfluenado na resposta rígda. Neste exemplo, também não é verfada a presença de loalzação de deformação. É sabdo que o efeto da loalzação de deformação em vgas de onreto só oorre quando o omportamento da estrutura apresenta amolemento. Desta forma, vgas submetdas à flexão om taxas de armadura elevadas (omo é o aso deste exemplo) não apresentam problemas relaonados à sensbldade de malha. Segundo Mazars e Grange (015), a loalzação de deformação oorre para vgas de onreto smples (sem armadura) submetdas a esforços tração ou de flexão, vgas de onreto armado submetdas a esforços de tração e vgas de onreto armado om taxas de armadura nferores a um lmte onhedo no Euroode :004 omo taxa de fragldade. 6 CONSIDERAÇÕES FINAIS Este trabalho apresentou as versões unaxas do modelo onsttutvo de Mazars (1986) e uma versão smplfada do -Model (Mazars e Grange, 015). O prnpal ntuto fo propar avanços no estudo de pórtos planos de onreto armado submetdos ao fenômeno de olapso progressvo. As mplementações fetas mostraram-se efentes no aso de arregamentos monotônos quando o omportamento estrutural não apresentou amolemento, aso omum em vgas de onreto armado. A utlzação do -Model para arregamentos ílos, entretanto, exge que melhoras no modelo sejam adotadas, prnpalmente a nlusão de deformações permanentes. Com relação à sensbldade de malha, não se verfou em nenhum dos exemplos, a presença de loalzação de deformação. Este aspeto tem a ver om o omportamento global da estrutura, o qual não apresenta amolemento.

19 B. S. Matas, E. Parente Jr. AGRADECIMENTOS Os autores deste trabalho agradeem ao suporte fnanero da CAPES. REFERÊNCIAS Arshan, A. H., Morgenthal, G Three-dmensonal progressve ollapse analyss of renfored onrete frame strutures subjeted to sequental olumn removal. Engneerng Strutures, v. 13, pp Bao, Y., Kunnath, S. K., El-Tawl, S., Lew, H. S Maromodel-Based Smulaton of Progressve Collapse: RC Frame Strutures. Journal of Strutural Engneerng, v. 134, n. 7, pp Bathe, K. J. Fnte element proedures. Prente Hall, Bazant, Z., Oh, B. H. Crak band theory for frature of onrete. Mater. Strut., v. 16, n. 3, pp Bazant, Z., Planas, J Frature and sze effet n onrete and other quasbrttle strutures. CRC press. Bratna, M., Saje, S., Plann, I On materally and geometrally non-lnear analyss of renfored onrete planar frames. Internatonal Journal of Solds and Strutures, v.41, pp Chang, G., Mander, J Sesm Energy Based Fatgue Damage Analyss of Brdge Columns: Part 1 - Evaluaton of Sesm Capaty. NCEER Tehnal Report No. NCEER ; State Unversty of New York, Buffalo, New York. Crsfeld, M Non-lnear fnte element analyss of solds and strutures, vol. 1. Jhon Wley & Sons. De Borst, R., Crsfeld, M. A., Remmers, J. C., Verhoosel, C. V. 01. Non-lnear fnte element analyss of solds and strutures. Unted Kngdon: Wley. Espon, B Benhmark examples for reep and shrnkage analyss omputer programs: reep and shrnkage of onrete. TC 114 RILEM. E&FN Spon. Fléjou, J. L Relatons de omportement non lnéares 1D. CODE-ASTER. Hllerborg, A., Modeer, M., Petersson, P. E Analyss of rak formaton and growth n onrete by means of frature mehans and fnte elements. Cement Conrete Res., v. 6, pp Irbarren, B. S., Berke, P., Boullard, P., Vantomme, J., Massart, T. J Investgaton of the nfluene of desgn and materal parameters n the progressve ollapse analyss of RC strutures. Engneerng Strutures, v. 3, n. 10, pp Kahanov, L. M Tme of the rupture proess under reep ondtons. Izvestya Akadem Nauk SSSR, Otdelene Tekhnheskkh Nauk, v. 8, pp Kokot, S., Anthonte, A., Negro, P., Solomos, G. 01. Stat and dynam analyss of a renfored onrete flat slab frame buldng for progressve ollapse. Engneerng Strutures, v. 40, pp

20 Utlzação do modelo onsttutvo de Mazars na análse não lnear estáta de pórtos planos de onreto armado Lee, J., Fenves, G. L Plast-damage model for yl loadng of onrete strutures. Journal of Solds and Strutures, v. 14, p. 89. Lublner, J., Olver, J., Oller, S., Oñate, E A plast-damage model for onrete. Journal of Solds and Strutures, v. 5, n. 3, pp Marjanshvl, S., Agnew E Comparson of varous proedures for progressve ollapse analyss. Journal of Performane of Construted Faltes, v. 0, n. 4, pp Mazars, J A desrpton of mro-and marosale damage of onrete strutures. Engneerng Frature Mehans, v. 5, n. 5, pp Mazars, J., Grange, S Modelng of renfored onrete strutural members for engneerng purposes. Computers and Conrete, v. 16, n. 5, pp Mazars, J., Hamon, F., Grange, S A new 3D damage model for onrete under monoton, yl and dynam loadng. Mater. Strut., v. 48, pp Mazars, J., Pjauder-Cabot, G Contnumum damage theory Applaton to onrete. J. Eng. Meh., v. 115, pp Mohamed, O. A Progressve Collapse of Strutures: Annotated Bblography and Comparson of Codes and Standards. Journal of Performane of Construted Faltes, v. 0, n. 4, pp Parente, E., Noguera, G. V., Mereles Neto, M., Morera, L. S Materal and geometr nonlnear analyss of renfored onrete frames. Revsta IBRACON de Estruturas e Materas, v. 7, n. 5. Park, R., Prestley, M. J. N., Gll, W. D Dutlty of square-onfned onrete olumns. Journal of the Strutural Dvson-ASCE, v. 108, n. 4, pp Popovs, S A numeral approah to the omplete stress-stran urve of onrete. Cement and Conrete Researh, v. 3, n. 5, pp Rabotnov, Y. N On the equatons of state for reep. Progress n Appled Mehans (Prager Annversary Volume), New York: MaMllan. Ragueneau, F., Lebon, G., Delaplae, A Analyse expérmentale du omportement ylque de poutres en béton armé. LMT Internal report. Sasan, M., Sagroglu, S Gravty load redstrbuton and progressve ollapse resstane of a 0-story RC struture followng loss of an nteror olumn. ACI Strut. Journal, v. 107, n. 6, pp Smo, J., Hughes, T Computatonal nelastty, v. 7, New York: Sprnger. Spaone, E., Flppou, F. C., Tauer, F. F Fbre beam olumn model for non-lnear analyss of R/C frames: Part I. Formulaton. Earthquake Engng. Strut. Dyn., v. 5, p Tsa, M. H., Ln, B. H Investgaton of progressve ollapse resstane and nelast response for an earthquake-resstant RC buldng subjeted to olumn falure. Engneerng Strutures, v. 30, n. 1, pp