LISTA 8 - Transformações Lineares III. F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = (y, x + y) H(x, y) = (0, x)

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1 LISTA 8 - Transformações Lineares III Profa. Márcia Federson Exercício 1 Sendo F, G e H L(R 2 ) definidos por F (x, y) = (x, 2y) G(x, y) = (y, x + y) H(x, y) = (0, x) determine F + H, F G, G (H + F ), G F, H F, H F G e G F H. Exercício 2 Sejam F, G L(R 3 ) assim definidos: Determine: (a) F G; F (x, y, z) = (x + y, z + y, z) e G(x, y, z) = (x + 2y, y z, x + 2z). (b) Ker(F G) e Im(G F ); (c) uma base e a dimensão de Ker(F 2 G). Exercício 3 Sejam F L(R 2, R 3 ) e G L(R 3, R 2 ) assim definidos: Determine F G F. F (x, y) = (0, x, x y), G(x, y, z) = (x y, x + 2y + 3z). Exercício 4 Seja F L(R 2 ) dado por F (x, y) = (y, x). Determine F n (x, y), sendo n 1 um número inteiro. Exercício 5 Seja G L(R 2 ) dado por G(x, y) = (x, 0). Determine G n (x, y), sendo n 1 um número inteiro. Exercício 6 Seja F L(R 2 ) o operador dado por F (1, 0) = (2, 5) e F (0, 1) = (3, 4). Verifique se são automorfismos do R 2 : (a) G = I + F ; (b) H = I + F + F 2 ; onde I denota o automorfismo idêntico. Exercício 7 Mostre que os operadores F, G, H L(R 2 ) dados por: formam um conjunto l.i em L(R 2 ). F (x, y) = (x, 2y), G(x, y) = y, x + y), H(x, y) = (0, x) 1

2 Exercício 8 Sejam F e G dois operadores lineares de um espaço vetorial V. Mostre que Dê um exemplo onde vale a igualdade. Ker(G) Ker(F G). Exercício 9 Sejam F L(U, V ) e G L(U, W ) tais que Ker(F ) = {0} e Ker(G) = {0}. Prove que Ker(G F ) = {0}. Exercício 10 Sejam U e V subespaços do espaço W tais que W = U V. Sendo P 1 e P 2 as projeções dadas por P 1 (w) = u e P 2 (w) = v, onde w = u + v, u U, v V, mostre que (a) P 2 1 = P 1 e P 2 2 = P 2 ; (b) P 1 + P 2 = I; (c) P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0. Exercício 11 Mostre que um operador F L(V ) é idempotente se e somente se I F for idempotente. Exercício 12 Seja F L(R 4 ) dado por Mostre que: (a) F 4 = 0; F (x, y, z, t) = (0, x, y + 2x, z + 2y + 3x). (b) I F é um automorfismo do R 4 e I + F + F 2 + F 3 = (I F ) 1. Exercício 13 Seja C o espaço vetorial dos números complexos sobre R. Consideremos F, G L(C) assim definidos: ( 2 F (z) = + i ) 2 z, 2 2 G(z) = iz, z C. Calcule: (a) F 2 ; (b) F 4 ; (c) G 2 ; (d) F G; (e) (F G) (F G). Exercício 14 Determine se os seguintes operadores lineares do R 3 são idempotentes ou nilpotentes ou nenhuma das duas coisas: (a) F (x, y, z) = ( x, y, z); (b) F (x, y, z) = (z, x, y); (c) F (x, y, z) = (x, 0, z); 2

3 (d) F (x, y, z) = (0, 0, x). Exercício 15 Seja F L(R 2 ) definido por F (x, y) = (x, x + y). (a) Determine F 2. (b) Mostre que F 2 2F + I = (F I) 2 = 0, mas F I 0. Exercício 16 Sejam F e G operadores lineares de um espaço V tais que F G = G F. Mostre que Ker(F ) + Ker(G) Ker(F G). Exercício 17 Seja F L(V ) um operador tal que F 2 F + I = 0. Mostre que F é invertível e F 1 = I F. Exercício 18 Sejam F, G L(V ) tais que F G = G F. Mostre que: (a) (F + G) 2 = F 2 + 2(F G) + G 2 ; (b) (F + G) (F G) = F 2 G 2. Exercício 19 Seja {u 1, u 2,..., u n } uma base de um espaço vetorial V de dimensão n. Considere o operador linear T L(V ) tal que Mostre que T n = I, mas T n 1 I. T (u 1 ) = u 2, T (u 2 ) = u 3,..., T (u n ) = u 1. Exercício 20 Mostre que o operador derivação em P n (R) é nilpotente. Exercício 21 Seja F L(R 3, R 2 ) definida por F (x, y, z) = (x + z, y 2z). Determine (F ) BC, onde B = {(1, 2, 1), (0, 1, 1), (0, 3, 1)} e C = {(1, 5), (2, 1)}. Exercício 22 Determine as matrizes das seguintes transformações lineares em relação às bases canônicas dos respectivos espaços: (a) F L(R 3, R 2 ) definida por F (x, y, z) = (x + y, z); (b) F L(R 2, R 3 ) definida por F (x, y) = (x + y, x, x y); (c) F L(R 4, R) definida por F (x, y, z, t) = 2x + y z + 3t; (d) F L(R, R 3 ) definida por F (x) = (x, 2x, 3x); Exercício 23 No espaço vetorial M 2 (R), seja ( ) a b M =. c d Determine a matriz do operador linear F L(M 2 (R)) dado por F (X) = MX XM em relação à base canônica de M 2 (R). 3

4 Exercício 24 Seja F o operador linear de M 2 (R) dado por ( ) 1 1 F (X) = X, 2 1 X M 2 (R). Sendo B a base canônica do espaço M 2 (R), determine o traço da matriz (F ) B. Exercício 25 Calcule o traço da matriz do operador linear F L(R 3 ) dado por Generalize o resultado para onde a, b, c, d, e, f, g, h, i R. F (x, y, z) = (x, x y, x + z). F (x, y, z) = (ax + by + cz, dx + ey + fz, gx + hy + iz), Exercício 26 Seja F o operador linear do R 2 cuja matriz em relação à base B = {(1, 0), (1, 4)} é ( ) 1 1 (F ) B =. 5 1 Determine a matriz de F em relação à base canônica usando a fórmula de mudança de base para um operador. Exercício 27 Seja B = {e 1, e 2, e 3 } uma base de um espaço vetorial V sobre R. Sendo F, G L(V ) dados por F (e 1 ) = e 1 e 2, F (e 2 ) = e 1 + e 3, F (e 3 ) = e 2 G(e 1 ) = 2e 1 + e 3, G(e 2 ) = e 1, G(e 3 ) = e 2 3e 1, determine, em relação à base B, as matrizes dos seguintes operadores lineares: (a) F ; (b) G; (c) F + G; (d) 2F G; (e) F G; (f) G F ; (g) F 2 + G 2 ; (h) F 1, caso exista; (i) (F G) 1, caso exista. Exercício 28 Sejam F, G L(P 2 (R), P 3 (R)) assim definidos: F (p(t)) = tp(t) p(1), G(p(t)) = (t 1)p(t), p(t) P 2 (R). Determine as matrizes de F e de G em relação ao seguinte par de bases: B = {1, t 1, (t 1) 2 } e C = {1, t 1, (t 1) 2, (t 1) 3 } de P 2 (R) e de P 3 (R) respectivamente. 4

5 Exercício 29 Seja F L(P 2 (R), R) definida por F (p(t)) = Determine a matriz de F em relação às bases: (a) B = {1, t, t 2 } e C = {1}; (b) B = {1, 1 + t, 1 + t 2 } e C = { 2}. 1 1 p(t)dt. Exercício 30 Se a matriz de um operador linear F do R 3 em relação à base canônica for e se H = I + F + 2F 2, determine a matriz de H em relação à base canônica do R 3. Ache também H(x, y, z). Exercício 31 Determine todos os operadores lineares F do R 2 tais que F 2 = F e F (x, y) = (ax, bx + cy). Exercício 32 Determine todos os operadores lineares F do R 2 tais que F 2 = 0 e F (x, y) = (ax + by, cy). Exercício 33 Sejam F e G operadores lineares do R 3 tais que F (x, y, z) = (x, 2y, y z) e tais que a matriz de 2F G em relação à base canônica seja Determine a matriz de G em relação à base canônica. Determine também G(x, y, z). Exercício 34 Seja T um operador linear de um espaço vetorial V de dimensão 2. Se a matriz de T em relação à uma certa base B de V for ( ) a b c d mostre que T 2 (a + d)t + (ad bc)i = 0. Exercício 35 Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita n e F L(V ). Se U for um subespaço vetorial de V de dimensão M e se U for invariante pelo operador F, mostre que existe uma base de V em relação à qual a matriz de F é da forma ( ) A B, O C onde A é uma matriz m m, B é do tipo M (n m), O é a matriz nula (n m) m e C é uma matriz quadrada de ordem n m. 5

6 GABARITO Exercício 1 (F + H)(x, y) = (x, x + 2y); (F G)(x, y) = (y, 2x + 2y); (G (F + H))(x, y) = (x + 2y, 2x + 2y). Exercício 2 (F G)(x, y, z) = (x + 3y x, x + y + z, x + 2z); Ker(F G) = {y( 2, 1, 1); y R}; Im(G F ) = {x(1, 0, 1) + y(3, 1, 1); x, y R}. Exercício 4 Se n for ímpar, F n (x, y) = (y, x). Se n for par, F n (x, y) = (x, y). Exercício 6 (I + F + F 2 )(x, y) = (22x + 21y, 35x + 36y) não é isomorfismo, pois Ker(I + F + F 2 ) = {(x, x); x R}. Exercício 12 (b) (I F )(x, y, z, t) = (x, y x, z y 2x, t z 2y 3x) é isomorfismo, pois Ker(I F ) = {(0, 0, 0, 0)}. Exercício 13 (a) F 2 (z) = i; (c) G 2 (z) = z. Exercício 14 (a) Nenhuma das duas coisas. (b) Nenhuma das duas coisas. (c) Idempotente. (d) Nilpotente. Exercício 15 (a) F 2 (x, y) = (x, 2x + y); (c) (F I)(x, y) = (0, x). Exercício 20 f(t) P n (R), D n+1 (f(t)) = 0. 6