ii. Defina eixo central de urn sistema de foryas. Obtenha a equayao definidora do eixo central

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1 - ~.,~~21!~~ Licenciatura e~ Engenharia Civil '~~I~I MECANICA I Universidade do Porto aculdade de Engenharla Exame de Epoca Normal - 4/7/23 EUP I NOME: I 1) (3 AL.). z a) Considere sistema de foryas T{,~2,3 }, de A. (,.1.) "-; magnitude I,1 2kN; I21 2./2 kn; I31 2 kn. i. Determine os invariantes na origem do referencial indicado na igura; ~ ~f".,,..\. :i7~..r.. - _?\. ~- (f). a '2,,' -t"1 ~~O,'2.,OI; TZ 1. 2.,o,:2.'i t ~ E...,,'2., 'f ~ 3 1 /2 Y c1t,"o.,;q.~ ~+-on~: -~?; ~\ '2.: '2.. O~ // -t ~, '~I:"t - // '1J.: ~! ~, ~ A?)('~~""~ -4- ~~)( 1~.: - to ~)( )( //,~ - ~J- v /.? ~~ \. AJn K "&? '" / A -v X '- torr L,' --.J-l? J(. ~ - / j'nv~~.:::, 1,2.))C C } f '2,2..»c Co,,2 ).: :B:: (2,2,) ~.I~ \jk. 2. t 2. 'Z. I-' -'I ,-~,O,, ~!.c,./}.ca.4: I:: ~,/.;1" --(O:O,O} (/f2,_z,) :. ii. Defina eixo central de urn sistema de foryas. Obtenha a equayao definidora do eixo central associado ao sistema de foryas 't ; ' \--- a""iai...l> & M\4 1;'+&--. ~ ~~. ~ ~JtA\A.<t- ~ 'f""ln~ c!o ~~8 - ~ ~c.~...), or, ll-~ ~ (~"..\ - I< ~~ ~ ~+ J' C:2,2.f)~ I,-~ r-; - /,., ~ -,,~- 'l./- k ~:.\I.. "'.... (oj ~ ~o ~~ ~'r 'I ~ ~;~ ~ ~t..i. ~... iii. Defina urn vector 4 (ponto de aplicayao, direcyao e magnitude) que, juntamente com sistema de foryas 't, forme urn torsor equivalente a binario. "; "l. I::~';;;'-. P.:.- '{ Wr "n..n-'a'.- 1)1 ~~ ~" ~ f~..- b ~ 1, ~:;; ~..o Ct.~ --~-~,- '" Sl-)f:(,~ - -1 &t v:- 9s1C~,..&&J-I... ::.::, - ~" q S;.Tt 4.~ a. ~'I1.nt> #I - ~lo 1.( ,) j -4-1.,.' ~~ ~1b ~ ~,fio,r,..'ict) CJ.~, ~m.(!' ~ -x:1 ~ ~..\ ~ l:::o PS(4,1,o) Nota: H - ( x MoT) / 2 + J1 I H - Ponto do eixo central; - resultante do torsor 't; MoT - Momento na origem do torsor 't) ~o..l -, (fu.lko 'leo3 I

2 ,~.-~ b) A trelica representada na figura esta integrada na estrutura de uma ponte rodoviaria e submetida ao carregamento indicado, constitufdo par uma forca distribufda de 1kN/m. p IOkN/m I I I I I I I I I I I I j I I I I I j j j j j I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I..1 ~ 4. l ~ ~ ~. 24. I Responda as seguintes quest6es justificando convenientemente e sem efectuar calculos: i. A barra AH encontra-se traccionada ou comprimida? 1 'l'2. l.o \t..-j ~. j.ir~'o-{>-c.~jj..,--~.. - c.o..ft"q.~ -'-- Aoc. --..e~k'""brro ---'.- ~ -- "' '..- A.. A o~.v ~'.7 A ~ ~ h ~ cj..~c~ ~~-t>. -t!iiaa.~ IL ~.' i~,]9.:: "it- Z ~o:, )2. -zo - N.A"..4.lA..d tj,..~ ).);.~ ~,1'1 A {O~\2)'lo k.-j $&IA.K A ~(r1..t.1a<dv\-tta-d( ~cc..oy'iacj.co ~::o ii. Qual e a barra horizontal que se encontra mais comprimida? A l..to\1oj C ~~(' t I~ (~ ~N'o.S ~ ~~ ~n~ do ~~id. :"'~or CA4.t~..e~n~ k~~i1~~ ~ ~~/f :.M'cJ~ ~~~~~fii ~c.f)oo.'i J :c,...~ CAm.- QI2~~ c:l...jo.. A+~ ~ g.~~ ~--CA..-, :a.:~~~--4:- S&. ~ I.J~.. ~ AJ,..",- " ~..~ AJr~»Nt'"1. 1: -- CA~""'~Q 7 S&.. ~-. ~.~-, AJ~:; j.-l ~ -- JJce AJ;'E. r.\i4-jl ~f-i7~-i;. ~ ~~~a,. D~ _v-.l&n,f cj"~ Q.,S~D." a..rla..~ ~~ ~n'k~ AI3, Be. c. D ~rfa.. AB...[~\(~M vi.! A : I.T",,~O'" IJA~ -AJAU.CDSQl,_I~ - ~ 'P-o.'ro. p.r,. k~ ~ ~"""J' i-\: T~ :-:. too)c.9.-4~lf + ~~ D \t ~ II: t.jsc.'ti ~ N8c.- - 6i1o - ~rt-. CD: - &~tl\ ---,,- do4. ~~~r1-'t: L M_.:-O_'.JOOXI2-IfO!'8-'iQxa. Id + N ~- r CJ).1 ~ ) NCD :; -.. ~o ż. iff. Considere 2 alturas alternativas para a trelica: h 2m e h 4m. Quais dos do is valores conduz a esforcos majores nas barras horizontais? t f\ h~r/'q. ~ori~~ \'4..c,.;..s(ow-.A a.f'~~:'8 ~ wjo~ tj4. ':.2iHc.er ~c a.a'\-.ia... ~MiciA r rjja.~o a.. b-.m c.d.-cl~.'-~ ",.:-f-~' r- w..~t: -- COl'lc.lU4)" --' n... j-- ~.s -- eji,r~\ --~-- "'-- a..x.jqa'j (N 1> - Nc.D - -?'lo -) \ ~M ~ry)o.os ~ &rlm.scl.~.d'" k~ 1~~1.sa.""t~ ~ ~l.ifl4.l't. d a1,~ ~.,LO",.tarA ~.: '- I ~J ~ Utar.:e~~~ a~"d.t.".s.s~ ~aiom$ ~~ &fr'a.4. ~O()~fAA'.s ~ - banill ~,Pt&.i).... del4o1~uc... CellI. (usao.ll -1Qfr.. /1_~. bq~..,l" ~m i rlb,...bic: cfc.c~ ~ ~~("' 4-", }.Iff1: ~ '18.::':. joox'f, - hk I.l~Z:::o ) Nil-I:: ~ ~ Q':~\ ~.J d""\1 t.'o~ I

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5 EXERCÍCIO 3 a) i)o valor da tensão no cabo é máximo no ponto de maior inclinação e mínimo no ponto de menor inclinação, ou seja, T min T C e T máx T D. Como a tangente ao cabo no ponto C é horizontal C, logo resta determinar o valor das reacções H C ; D e H D, representadas na figura seguinte. D D HD Y HCT C X p5 N/m O equilíbrio do sistema de forças fica assegurado se forem satisfeitas as seguintes equações: m x y D H D H C H D 5 15 H H C ,5 D C D 1125 N ( ) 1125 N ( ) 75 N ( ) 2 2 T 1125 N ( tracção), no ponto C e Tmáx N ( tracção); no min ponto D ii) A equação do cabo pode ser obtida a partir da seguinte equação diferencial: dy dx W T + tgα origem referencial Assim, atendendo à posição do sistema de eixos obtém-se a seguinte equação para a forma do cabo, dy 5x + dx 1125 y( x) x 2 Sandra Nunes Julho 23 1/3

6 b) Estabelecendo o equilíbrio do nó C vem, NCA β C HC 1125 N NCB º x 1125 N CA cos º y - N CA sen63.43 N N CA N ( tracção) N CB -225 kn ( compressão) CB b) i) Considerando um corte que intersecte as barras assinaladas e estabelecendo o equilíbrio da parte da estrutura acima desse corte obtém-se, 1125 N 75 N 75 N 1125 N x y mi N 2 N1 + N N N 2 N 2 75 N ( ) N1 75 N ( ) I N1 N3 N2 ii) Analisando agora a parte da estrutura abaixo do corte considerado na alínea anterior, e aplicandolhe as forças de interacção com o resto da estrutura, é possível determinar o valor das reacções na ligação da estrutura ao exterior representadas na figura seguinte. Sandra Nunes Julho 23 2/3

7 Sandra Nunes Julho 23 3/3 1 N E G H 75 N 75 N E HE HG II I O esquema estrutural resultante é uma viga Gerber, onde o corpo II apoia no corpo I através de duas bielas paralelas, ou seja, com uma rótula virtual no infinito. O equilíbrio do sistema de forças pode ser assegurado através do seguinte conjunto de equações, ) ( 75 ) ( 75 ) ( N N N H H H H H m E G E G E G E II y II I E II I y II I x

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17 Licenciatura em Engenharia Civil MECÂNICA I Exame de Época Normal 4/7/23 NOME: Não esqueça de escrever o nome Assinale nas quadrículas verdadeiro ou falso. Nota: Poderão existir mais do que uma resposta verdadeiras ou nenhuma 5) (3 AL.) a) Num sistema tridimensional de forças paralelas, o número de equações independentes de equilíbrio estático é igual a cinco. Num sistema de forças plano com invariante vectorial não nulo, o eixo central tem a direcção perpendicular a esse plano e passa pelo ponto de momento nulo. O centroide de um sistema de vectores paralelos encontra-se inicialmente na posição (1,,). Se todos os vectores rodarem 45 segundo o eixo OZ no sentido directo (contrário aos ponteiros de um relógio), então o centroide passa para a posição ( 2 2, 2 2,). b) Considere o sistema articulado representado na ig kn 1 kn 1 kn E G 2. A B C D m ig. 5.1 O sistema estrutural pode ser idealizado como um arco de três rótulas. O esforço axial nas barras CG e DG é igual a 5 2 kn e é de tracção. A componente vertical da reacção em A é descendente e igual a 5 kn.

18 c) Considere os dois seguintes sistemas estruturais representados: 1 2 ig. 5.2a 1kN 1 2kN A B C 45 D E 1kN m ig. 5.2b O sistema estrutural representado na ig. 5.2a é hipostático. No sistema estrutural representado na ig. 5.2b, as componentes horizontais das forças de interacção nas rótulas C e D têm igual grandeza. A reacção em do sistema estrutural representado na ig. 5.2b é igual a 2.5 kn com o sentido ascendente. d) Considere o sistema de vectores ilustrado na ig. 5.3: B A Y O X ig. 5.3 A resultante do sistema de forças [ 2, 3 ] tem direcção OX. A linha de acção da resultante do sistema de forças [ 1, 2, 3 ] passa pelos pontos A e B. Para o sistema de forças [ 1, 2, 3, 4 ], o polígono de forças é fechado mas o polígono funicular é aberto. 7/8

19 e) Considere o cabo representado na ig. 5.4, cujo peso próprio é desprezável. A componente horizontal de reacção no apoio B, H B, é de 16 kn e o desnível entre os apoios A e B é de.5m. A B.5m 1 2N C D 2 3N H B 16N ( ) 1. 1.m 1. (o desenho não obedece a nenhuma escala) ig. 5.4 Tal como nas barras das treliças, na análise de cabos flexíveis considera-se que estes só têm resistência axial. As componentes verticais das reacções em A e B são, respectivamente, 2N e 3N. O desnível entre os pontos A e D é de 1.m. f) O elemento quadrangular (1 2cm 2 ) de peso igual a 2N encontra-se submetido a uma força horizontal Q aplicada a 15cm da base do elemento. O coeficiente de atrito estático na superfície de contacto é de f e.6 e o respectivo coeficiente de atrito cinético é de f c.45. P2N 15 Q1N 2cm Coeficiente de atrito estático: f e.6 Coeficiente de atrito cinético: f c.45 1cm ig. 5.5 A força de atrito é normal à superfície de contacto. O ângulo de atrito estático tem um valor entre 25 e 3. Nas condições da figura, o elemento quadrangular não se encontra em equilíbrio estático. 8/8