Mecânica I. Sistemas de forças: redução a força+binário

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1 Sistemas de forças: redução a força+binário Qualquer sistema de forças pode ser reduzido num determinado ponto (isto é, pode ser encontrada a equivalência) a um par composto por uma força, que resulta da soma de todas as forças, e um momento (binário) equivalente aos momentos que cada uma das forças exerce no ponto. Dois sistemas de forças dizem-se equivalentes se puderem ser reduzidos ao mesmo sistema força+binário. Fala-se assim dos elementos de redução de um sistema de forças: a resultante, F e o momento resultante F i F n P i P 2 P n F 2 P 1 F 1 r F 4-1

2 Problema SV9 4-2

3 Problema SV9 4-3

4 Sistemas de forças: propagação de momentos fórmula de propagação de momentos é: v v v v Esta fórmula permite obter o momento resultante num qualquer ponto do espaço. O valor do momento num dado eixo, por exemplo, obtém-se, como se sabe, através da projecção (isto é, produto interno) sobre o versor do eixo do momento calculado nalgum ponto desse eixo. v 4-4

5 Propriedade projectiva plicando a projecção a ambos os membros da fórmula da propagação de momentos: v chegamos ao enunciado de uma propriedade que os sistemas de vectores de forças exibem, a propriedade projectiva: projecção sobre um mesmo eixo do momento resultante (de um dado sistema de forças) num ponto qualquer desse eixo é independente do ponto considerado. v 4-5

6 Invariantes de sistemas de forças propriedade projectiva é válida para qualquer eixo, logo também o é para o eixo que representa a linha de acção da resultante:. =. Podemos assim falar de 2 quantidades que só dependem do sistema de forças em concreto e que não variam (e por isso se dizem invariantes): a resultante ou invariante vectorial; a projecção do momento sobre a direcção da resultante,. ou invariante escalar. 4-6

7 Problema SV9 invariantes: 4-7

8 Sistemas de forças: casos de redução Qualquer sistema de força pode ser visto como sendo equivalente a uma de apenas 4 situações dependendo dos seus elementos de redução: Sistema de vectores nulo (sistema em equilíbrio) Sistema de vectores equivalente a conjugado Sistema de vectores equivalente a vector único (conjugado é outra forma de dizer binário ou momento) (sistema que não está em equilíbrio, a resultante é não nula mas a projecção do momento sobre a resultante é nula, isto é, há pontos do espaço onde o momento é nulo) Sistema de vectores equivalente a vector mais conjugado (a resultante é não nula e a projecção do momento resultante sobre a resultante também não é nula, não há pontos do espaço onde o momento resultante seja nulo) 4-8

9 Sistemas de forças: casos de redução Sistema de vectores equivalente a conjugado Sistema de vectores equivalente a vector único É uma situação bastante comum, acontece sempre que as forças são: concorrentes; complanares; paralelas. 4-9

10 Sistemas de forças complanares Para estes sistemas, complanares, os elementos de redução, a resultante e o momento resultante, podem ser deslocados até um ponto (ou linha de acção) no qual o momento resultante é nulo. O sistema é equivalente a força única e existe uma linha de acção, um eixo, onde o momento é nulo. Este eixo diz-se o eixo central e é o lugar geométrico dos pontos onde o momento resultante é mínimo (nulo, neste caso) 4-1

11 Problema 3.8 eer Seja a viga sujeita ao sistema de forças representado. tenção: notar que o sistema de forças não inclui as reacções de apoio (não é relevante para o que se pretende obter). a) obtenha, em, os elementos de redução do sistema de forças representado na figura; b) idem em ; c) defina a posição do eixo central. 4-11

12 Problema 3.8 eer 4-12

13 Sistemas de forças gerais Sistema de vectores equivalente a vector mais conjugado Para estes sistemas, os elementos de redução, a resultante e o momento resultante, podem também ser deslocados até um ponto (ou linha de acção) no qual o momento resultante é mínimo (não nulo). O sistema é equivalente a força mais momento o qual toma a sua expressão mínima no eixo central. 4-13