CC-222 Visão Computacional 1ª prova RESPOSTAS Prof. Carlos Henrique Q. Forster Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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1 CC- Visão Coputacional ª prova RESPOSTAS Prof. Carlos Henrique Q. Forster Instituto Tecnológico de Aeronáutica Questão Geoetria Projetiva (.5) Considere o enunciado do seguinte teorea de Pappus (no plano projetivo): Seja A A e A3 pontos distintos da reta r e seja B B e B3 pontos distintos da reta s. As retas r e s se encontra no ponto O. Seja: C a intersecção da reta AB3 co a reta A3B C a intersecção da reta AB3 co a reta A3B e C3 a intersecção da reta AB co a reta AB. Então C C e C3 são colineares. a) Escreva a colinearidade garantida no teorea coo ua igualdade baseada nos produtos vetoriais e produtos escalares dos vetores de coordenadas hoogêneas dos pontos A A A3 B B e B3 no plano. b) Seja as coordenadas hoogêneas dos pontos dadas a seguir A A A3 8 B B 9 B3 Verifique se A A e A3 são colineares e se for o caso encontre os coeficientes da reta r. Verifique se B B e B3 são colineares e se for o caso encontre os coeficientes da reta s. c) Obter as coordenadas dos pontos C C e C3 para os pontos dados no ite (b) e verificar a colinearidade. a) [(A x B) x (A x B)]. [(A x B3) x (A3 x B)] x [(A x B3) x (A3 x B)] > a:<axayaz>; a:<axayaz>; a3:<a3xa3ya3z>; ax a : ay az ax a : ay az a3x a3 : a3y a3z > b:<bxbybz>; b:<bxbybz>; b3:<b3xb3yb3z>; bx b : by bz bx b : by bz

2 b3 : b3x b3y b3z > DotProduct(CrossProduct(CrossProduct(ab)CrossProduct(a b)) CrossProduct( CrossProduct(CrossProduct(ab3)CrossProduct(a3b)) CrossProduct(CrossProduct(ab3)CrossProduct(a3b)) ) ); Ite b > a:<->; a:<3->; a3:<3-8>; : a - : a 3 - : a3 3-8 > Deterinant(<a a a3>); > r:crossproduct(aa); : r 3 5 > b:<4>; b:<39>; b3:<->; : b 4 : b 3 9 : b3 - > Deterinant(<b b b3>);

3 > s:crossproduct(bb); : s - 3 Ite c > c:crossproduct(crossproduct(ab3)crossproduct(a3b)); : c > c:crossproduct(crossproduct(ab3)crossproduct(a3b)); : c > c3:crossproduct(crossproduct(ab) CrossProduct(ab)); : c > Deterinant(<c c c3>); >

4 Questão Rotação de Iagens (.5) Ua fora de ipleentar a rotação de iagens é através da decoposição da rotação no produto de três atrizes de transforações lineares R A B C onde A é ua atriz de escala possivelente não-unifore B é ua atriz de cisalhaento que preserva a coordenada y e C é ua atriz de cisalhaento que preserva a coordenada x. a) Obter as atrizes A B e C para ua rotação por u ângulo de valor α no sentido anti-horário. b) Verificar se R dada abaixo é ua atriz de rotação e se for o caso encontre A B e C correspondentes a R..6.8 R.8.6 c) Escreva o pseudo-código para realizar o cisalhaento correspondente à atriz B obtida sobre ua iage de 3x pixels utilizando interpolação linear. Deterine o taanho do retângulo que conté a iage a ser gerada. Não se preocupe co os pontos da borda da iage e co os pontos fora da iage. > A:<<a> <d>>; B:<< b>< >>; C:<< ><c >>; A : a d B : b C : c > MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(AB)C); a + a bc a b dc d > MatrixMatrixMultiply(MatrixMatrixMultiply(AB)C) <<cos(alpha) -sin(alpha)><sin(alpha) cos(alpha)>>; a + a bc a b cos( α) sin( α) dc d sin( α ) cos( α) > k:siplify(solve( {a+a*b*ccos(alpha) a*b-sin(alpha) d*csin(alpha)dcos(alpha)}{abcd})); sin( α) k : { c b sin( α ) cos( α ) a d cos( α )} cos( α) cos( α) > subs(k[a B C]); cos( α) sin( α ) cos( α) cos( α) sin( α) cos( α) > > > R:<<.6.8><-.8.6>>; Ite b

5 R : > MatrixMatrixMultiply(RTranspose(R));.... > alpha:arcsin(-.8); α : > subs(k[a B C]); > subs(kmatrixmatrixmultiply(matrixmatrixmultiply(ab)c)); > > Ite c A atriz B preserva a coordenada y então a altura ainda será. A largura deverá ser a largura original de 3 ais.48 vezes a altura de então pixels. For i até 46 For j até X: i-.48*j; Enova ( i j) Eantiga ( X j)( X + X ) + E( X + j)( X X Fi Fi ) > B:Matrix( [[.48][]]); B :.48 > MatrixMatrixMultiply(B<<3> <3> <>>); > MatrixVectorMultiply(Matrix(inverse(B))<ij>);.i.48j.j >

6 Questão 3 Projeções (.5) Nos capos de futebol encontraos propagandas na fora de u tapete sobre o graado co ua iage distorcida as que quando televisionadas causa a ipressão de que é ua figura ou estrutura de pé ao lado das traves. a) Considere u retângulo no plano das traves co vértices de coordenadas cartesianas ( 5) ( 5) ( 5) e ( 5) e ua câera de orifício co centro de projeção e (5 5). O plano do chão é dado por y. Quais as coordenadas sobre o chão que os vértices do quadrilátero deve ter para gerar a esa iage que o retângulo? b) Considere agora o centro de projeção no infinito na direção do vetor (5 5). Quais as coordenadas do quadrilátero sobre o chão nessa nova condição? c) Se sobre o retângulo iaginário no plano das traves quisésseos produzir ua iage qual atriz de transforação 3x3 transforaria as coordenadas hoogêneas dos pixels da iage não distorcida (sistea de coordenadas sobre o retângulo) e coordenadas de pixels da iage verdadeira ipressa sobre o chão? Utilize o resultado do ite (b). Visão da televisão Visão de cia do capo Iage Iage no sistea de coordenadas do retângulo a) (5) e (5) já são respostas (estão sobre o plano y) Equação da reta do centro de projeção aos pontos x 5( t) + t x 5 5 / y ( t) + t t / 9 z 5( t) + 5t z / 9 5 para o outro vértice : z 5( t) + 5t z / Resposta: (5) (5) ( ) e ( )

7 b) ( 5) e ( 5) já são respostas. (5)+(55)t representa u ponto sobre a reta. Encontrar o ponto sobre o plano y. x + 5t x 5 y + t t z 5 + 5t z 45 para o outro vértice : z 5 + 5t z Resposta: (5) (5) (-5-45) (-5-35) c) Mapear o retângulo de vértices (5) (5) (5) (5) nos seguintes pontos respectivaente: (5) (5) (-45-5) (-35-5) Transforação afi x' ax + by + c y' dx + ey + f Substituindo 5 5a + c 5d + f 5 5a + c 5d + f 45 5a + b + c 5 5d + e + f Subtraindo a prieira da terceira a e c Subtraindo a segunda da quarta d e f Substituindo na quinta b-5 Substituindo na sexta e-5 5 A atriz procurada é então 5 Conferindo... > M:<<> <-5-5> <>>; -5 M : -5 > B:<<5> <5> <5> <5>>; B :

8 > MatrixMatrixMultiply(MB);

9 Questão 4 Calibração de câeras (.5) Considere ua peça articulada forada por dois cubos de igual diensão conectados por ua aresta cou que fora u eixo coo visto na figura. O ângulo α corresponde ao ângulo entre as duas faces de contato dos cubos. Ua iage dessa peça foi obtida por ua câera de orifício e as coordenadas de iage dos vértices rotulados na figura fora extraídas anualente. a) Desenvolva u étodo para estiar o ângulo α. b) Aplique seu étodo para estiar α no caso abaixo J I H G F E D C B A A B C D E F G H I J α Vaos definir as coordenadas 3D dos vértices dos cubos de fora a siplificar a obtenção do eixo z. A B C D E F G H I J X Y Z x y Construir ua atriz de calibração para ABCDEF e outra para EFGHIJ M y Z y Y y X y Z Y X x Z x Y x X x Z Y X y Z y y Y X y Z Y X x Z x x Y X x Z Y X A Construída a atriz no MATLAB para ABCDEF: >> a[

10 ] Decopor e valores singulares >> [udvt]svd(a) u... d.e+3 * vt Verificar que a últia coluna representa o espaço nulo (ou quase) >> a*vt(:) ans.e-3 * Noralizar dividindo pelo ultio (34) >> vt(:)/vt() ans

11 A atriz de projeção é dada por >> p[ ] p Verificar se projeta o ponto A corretaente >> p*[-;;-;] ans >> vcp*[-;;-;]; >> vcvc/vc(3) vc >> OK!! Fazer novaente para os pontos EFGHIJ >> b[ ]

12 b >> [udvt]svd(b) % decoposição SVD de b u d.e+3 * vt >> b*vt(:) %verificar espaço nulo ans.e-4 *

13 >> vt(:)/vt() % obter os eleentos da atriz de projeção ans >> q[ ] q Testar se projeta o ponto H corretaente >> vhq*[;;-;] %ponto H vh >> vhvh/vh(3) vh Obteos as atrizes de rotação. >> p p >> qp(:3)'; qp(:3)'; q3p(3:3)'; >> gaasqrt(q3'*q3) gaa

14 .344 >> qq/gaa;qq/gaa;q3q3/gaa; >> oxq'*q3 ox >> oyq'*q3 oy >> fxsqrt(q'*q-ox^) fx >> fysqrt(q'*q-oy^) fy >> r r.e+5 * >> rzeros(33); >> r(3:)q3'; >> pgp/gaa; >> r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r(3)(ox*pg(33)-pg(3))/fx; >> r()(oy*pg(3)-pg())/fy; r()(oy*pg(3)-pg())/fy; r(3)(oy*pg(33)-pg(3))/fy; >> r r

15 >> r'*r ans Agora para q: >> old_pp; >> pq; >> rpr; >> p p >> qp(:3)'; qp(:3)'; q3p(3:3)'; >> gaasqrt(q3'*q3) gaa.493 >> qq/gaa;qq/gaa;q3q3/gaa; >> oxq'*q3 ox >> oyq'*q3 oy >> fxsqrt(q'*q-ox^) fx

16 >> fysqrt(q'*q-oy^) fy >> rzeros(33); >> r(3:)q3'; >> r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r(3)(ox*pg(33)-pg(3))/fx; >> pgp/gaa; >> r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r()(ox*pg(3)-pg())/fx; r(3)(ox*pg(33)-pg(3))/fx; >> r()(oy*pg(3)-pg())/fy; r()(oy*pg(3)-pg())/fy; r(3)(oy*pg(33)-pg(3))/fy; >> r r >> r'*r ans >> rqr; >> rp rp >> rq rq

17 Finalente calculando os ângulos: >> zrp*[;;] z >> zrq*[;;] z >> nor(z) ans.9995 >> nor(z) ans.999 >> dot(zz) ans.9386 >> acos(dot(zz))*8/pi ans >>.9 Teórico: graus.

18 Questão 5 Visão estéreo (.5) Considere o seguinte cenário. U objeto é colocado sobre o tapo de ua esa giratória (centro do tapo está na orige e eixo de rotação é o eixo y). Ua câera de orifício fixa ao chão é colocada co centro de projeção no ponto de coordenadas cartesianas ( ) e o eixo óptico aponta para a orige do sistea de coordenadas global. Os parâetros intrínsecos relevantes da câera são f 6 s x 3 s y 3 ox o y. Foi tirada ua iage do objeto que chaaos iage da câera esquerda e rotacionaos o objeto de 45º no sentido horário obtendo outra iage chaada iage da câera direita. Encontre: a) O taanho da linha de base b) As coordenadas de iage dos epipólos c) A atriz essencial d) A atriz fundaental e) A reconstrução 3D de u ponto co iage esquerda de coordenadas ( ) e iage direita de coordenadas ( ). Objeto sobre esa giratória Câera direita iaginária 45 o Câera esquerda a) 7.7 Coordenadas do centro de projeção: ( ) e () Linha de base ( ) Taanho da linha de base: noraraiz(7.7* *9.9)76.54 b) coordenadas de iage dos epipólos: construir atriz dos parâetros intrínsecos: M int para abas as câeras. Epipólo está e y Construir atriz dos extrínsecos: transforar u ponto do espaço no sistea de coordenadas de câera.. Translação para trazer centro de projeção à orige. Rotação de 8 no eixo y

19 3. Projeção T R P ext M Total M ext M M int Aplicar ao ponto ( ) ( ) Por sietria (4.883 ) deve ser o epipólo da iage direita T R R P ext M Total M ext M M int Aplicar ao ponto ( ) Obteos (4.886 ) c) A atriz essencial

20 ERS R é a rotação de 45 graus e S corresponde à atriz produto escalar da translação R Assi E 9.9 S d) A atriz fundaental F T M int EM int / / / 7.7 / 7.3 F Até aqui no MATLAB: To get started select "MATLAB Help" fro the Help enu. >> p [ ; ; ] p >> r[- ; ; - ; ] r - - >> t[ ; ; -; ] t

21 - >> extp*r*t ext - - >> int[ ; ; ] int >> int*ext - - >> *[ ]' ans >> ep*[ ]' ep >> ep/ep(3)

22 ans >> r[ ; ;.77.77] r >> t[ -7.7; ; -7.7; ] t >> r[ ; ; ; ] r >> extp*r*r*t ext >> int*ext >> *[ ]'

23 ans >> ep *[ ]' ep >> ep/ep(3) ans >> extkkp*r*r'*t extkk >> kkint*extkk kk >> epkk kk*[ ]' epkk >> epkk/epkk(3) ans

24 errou o sentido da rotação. Verificar se e estão corretas >> c*[ ]' c >> cc/c(3) c.5. >> c*[ ]' c >> cc/c(3) c.5. >> ckkkk*[ ]' ckk >> ckk/ckk(3) ans

25 >> r r >> rr' r >> s[ -9.9 ; ; 7.7 ] s >> rr(:3:3) r >> Er*s E >> Finv(int)*E*inv(int) F

26 >> [udvt]svd(f) u d vt >> u/u(33) ans >> vt/vt(33) ans >> P[ 3 ]' P

27 3 >> k*p k >> k/k(3) ans >> k*p k >> k/k(3) ans >> e) Reconstrução wx wy w X Y Z

28 Construir sistea tendo XYZ coo incógnitas ' ' x y x' ' y' ' ' ' x y x' ' y' ' ' ' x y 3 3 x' ' y' ' 3 3 X Y ' Z ' ' ' x y x' y' Aplicar a pseudo-inversa e obter solução de ínios quadrados. >> - - >> >> x-.857; y.574; >> x.3944; y.5578; >> t[ (3)*x-() (3)*x-() (33)*x-(3); (3)*y- () (3)*y-() (33)*y-(3); (3)*x-() (3)*x- () (33)*x-(3); (3)*y-() (3)*y-() (33)*y- (3)] t >> b[ (4)-(34)*x; (4)-(34)*y; (4)-(34)*x; (4)- (34)*y] b

29 >> pinv(t)*b ans >>