Algoritmo para a simulação computacional da colisão tridimensional de dois corpos

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1 Algorito para a siulação coputacional da colisão tridiensional de dois corpos André C. Sila, Aérico T. Bernardes Departaento de Engenharia de Minas Uniersidade Federal de Goiás (UFG) A. Dr. Laartine Pinto de Aelar, Catalão GO Brasil Departaento de Física Uniersidade Federal de Ouro Preto (UFOP) Capus Morro do Cruzeiro Ouro Preto MG Brasil andre@iceb.ufop.br, atb@iceb.ufop.br Abstract. The granular edia, such as sand, powders e grains, show ery interesting behaior. Many of these phenoenons can not be study by fluid dynaics or by continuu echanics ethods. So the treatent of these systes ust be done by coputer siulation ethods. Howeer, siulations of this kind follow in the non triial proble of the three-diensional collisions. The present work shows the atheatical treatent used in the siulation of the three-diensional collision between two bodies, as well as the algorith used by that. The founded results agree with the physics expected results. Resuo. Os eios granulares, coo areia, pós e grãos, apresenta coportaentos bastante interessantes. Muitos destes fenôenos não pode ser tratados ne pelos étodos da dinâica dos fluidos e uito enos por étodos da ecânica do contínuo, sendo estes sisteas uito longe do equilíbrio terodinâico. Assi sendo, o trataento destes sisteas dee ser adequadaente feito atraés dos étodos de siulação coputacional. Contudo, e siulações deste tipo recai-se no problea não triial da colisão tridiensional entre dois corpos. O presente trabalho apresenta o equacionaento ateático utilizado na siulação de colisões tridiensionais entre dois corpos, be coo o algorito usado para tal.. Introdução Sepre que se deseja siular o oiento de u sistea granular te-se que tratar as colisões entre dois corpos. Liros de física de níel superior apresenta odelos básicos de colisões, sepre focando casos particulares, tais coo colisões e ua diensão ou duas diensões onde a colisão é perfeitaente elástica. Contudo, e u caso real coo o desejado, tais siplificações não são possíeis e lea a erros grosseiros na siulação. Desta fora pretende-se apresentar u equacionaento ateático para tratar a colisão tridiensional de partículas granulares. Este equacionaento poderá ser usado e siuladores de sisteas granulares. Várias técnicas coputacionais tê sido usadas para retratar sisteas granulares. Grande atenção te sido dada à dinâica olecular e aos autôatos celulares. Dippel e

2 Wolf (999) usara dinâica olecular para siular o descarregaento de grãos e silos. Já os autores Kohring et al (995), Kozicki e Tejchan (005) e Sila e Bernardes (00) usara autôatos celulares para odelar o eso problea. O equacionaento apresentado no presente trabalho foi proposto inicialente por Sid (007) e se ostra de acordo co o esperado fisicaente. A ipleentação de tal equacionaento foi feita usando-se o abiente de desenoliento Borland Delphi 7 e OpenGL para a isualização da siulação.. Colisões elásticas e inelásticas A colisão entre dois corpos pode ser de dois tipos: elástica ou inelástica. Ua colisão elástica é caracterizada pela conseração da energia do sistea (cinética e potencial), assi sendo a energia do sistea antes da colisão te o eso alor da energia ao final da colisão. No entanto, no decorrer da colisão, no tepo de contato, ocorre troca de energia (cinética e potencial) entre os corpos. Na fase da deforação a energia cinética é transforada e potencial, não ocorrendo co isso perda de energia (coo por exeplo: efeito joule, so e outros tipos de energia dissipatia), isto deido à perfeita deforação do aterial. Coo conseguinte, a olta à fora inicial do aterial perite que a energia potencial arazenada seja transforada e energia cinética. Meso ariando a energia cinética e potencial a energia ecânica do sistea peranece inalterada. Durante o tepo de ipacto (ou de contato) a energia cinética é transforada parcialente e energia potencial, que será arazenada, e tabé dissipada. Deido ao fato da colisão não ser elástica, parte da energia é utilizada nas deforações peranentes do aterial. No entanto o oento linear é conserado. E sua na colisão inelástica a energia inicial do sistea é aior que a energia final do sistea. Na colisão inelástica, ou parcialente elástica, o coeficiente de restituição do aterial está copreendido no interalo entre 0 e, da seguinte fora: 0 e < Quando o coeficiente de restituição (e) é próxio de (u) iplica pouca dissipação de energia. Para o caso e que este for igual a 0 (zero) ocorrerá a áxia perda de energia cinética. Chaaos este caso de colisão perfeitaente inelástica ou anelástica. A equação do oento linear de ua colisão inelástica é dada por: p i p f Onde p i é o oento linear inicial e p f o final. Para dois corpos colidindo e ua diensão te-se que: Onde: + + (equação do oento linear) i i f f e são as assas dos corpos e, respectiaente; i e i são as elocidades iniciais dos corpos e, respectiaente e

3 f e f são as elocidades finais dos corpos e, respectiaente. Para colisões de dois corpos e duas diensões podeos escreer a elocidade dos corpos após a colisão co: f i. ( ) + i. + + e f i. + i. + ( ) + 3. Colisões e três diensões A colisão e três diensões pode ser tratada de fora análoga à colisão e duas diensões. Contudo, deido à adição de ais ua diensão existirão agora dois ângulos necessários para a deterinação do etor elocidade do segundo corpo após a colisão. É coneniente representar tais ângulos e coordenadas polares e, assi sendo, as coponentes x e y deste etor pode ser expressas e teros da coponente z e destes ângulos. Assi sendo, as equações da conseração do oento e da energia pode ser escritas coo: + () z, z,'. z,' x, x,'. z,' ( θ ). cos( ϕ) + () y, y,'. z,' ( θ ). sin( ϕ) + (3) ( ) ( + ) x, + y, + z, x,' + y,' + z,' z,'.( + tan ( θ )) (4) Pode-se assuir que o corpo dois esteja e repouso, isto é x, 0, y, 0 e z, 0, e x, x,. Tal hipótese não afetará o resultado final do equacionaento ua ez que esta hipótese será descartada posteriorente pelo referenciaento explicito à elocidade do corpo dois. Resolendo a equação () para z,', a equação () para x,' e a equação (3) para y,' teos:. z,' z,' z, (5). ( θ ).cos ( ϕ) z,' x,' x, (6). ( θ ).sin ( ϕ) z,' y,' y, (7) Inserindo as equações (5), (6) e (7) na equação (4) resulta e u ua equação quadrática para z,' a qual, após anipulações algébricas, resulta na solução:

4 z,' [ z, + tan( θ).(cos( ϕ). x, + sin( ϕ). y,) ] ( + + ) + tan ( θ). (8) Pode-se calcular agora as coponentes da elocidade após a colisão usando as equações 3 e 5 7, assi sendo: + (9) z, ' z, z,' x, ' x, + tan( ).cos( ϕ). y, ' y, + tan( ).sin( ϕ). θ (0) z,' θ (). z,' z,' z,' z, () θ ϕ z,' (3) x, ' x, tan( ).cos( ). θ ϕ z,' (4) y, ' y, tan( ).sin( ). 4. Resultados Usando as equações a 4 foi ipleentado u prograa e Borland Delphi 7 para siular a colisão tridiensional entre dois corpos. Para a isualização dos resultados foi criada ua janela usando a linguage OpenGL de fora que fosse possíel isualizar e tepo real a siulação. A figura apresenta três telas do prograa de siulação que, a grosso odo, consiste e ua caixa cúbica onde os corpos e fora de esferas se encontra confinados. No instante inicial as esferas são lançadas do topo da caixa. Estas possue, ainda alé, coponentes x e y e sua elocidade. Assi sendo, a queda das esferas não é ertical.

5 (a) (b) (c) Figura. Três oentos diferentes da siulação da queda lire de cinco esferas. (a) as cinco esferas são lançadas do topo da caixa, possuindo elocidade e x, y e z. (b) oentos depois as esferas já se choca entre si, co as paredes laterais e co o chão e (c) esferas e repouso. Nota-se na figura que as esferas, por estare subetidas à graidade, te oiento descendente e, deido ao fato de perdere energia, a altura que estas chega após cada colisão co o chão diinui co o passar do tepo. No final da siulação as esferas fica rolando no chão. Contudo, neste instante as colisões entre elas ainda existe, eso que agora e duas diensões, e são tratadas pelas esas equações que nas colisões fora do plano da base da caixa. A colisão ocorre no oento e que a distância entre dois centros for igual à soa dos raios das duas esferas que se chocara. Se e ua dada iteração a distância

6 entre dois centros for enor que a soa dos raios dee-se oltar no tepo da siulação e calcular o instante de tepo e que a colisão realente ocorreu. Após esta etapa calcula-se as noas elocidades das esferas e retorna-se o tepo da siulação. Se este passo não for obserado singularidades coo duas esferas interpenetrando-se (e não ais se desgrudando ) ocorrera durante a siulação. Para o controle do tepo de siulação é solicitado u dado de entrada, de odo que o usuário possa ter aior controle sobre o passo desejado. Contudo, é iportante que tais siuladores use passos de tepo adaptatios, de odo que e nenhua iteração o increento na posição de ua esfera será suficienteente grande para que ela interpenetre outra esfera ou extrapole os liites da caixa. Assi sendo, pode-se calcular o t de odo que a elocidade das esferas atenda ua deterinada tolerância (dado de entrada) ou nunca seja superior à unidade de copriento. Ua ez que as esferas pode ser ipleentadas usando-se u etor (no software desenolido optou-se por criar ua classe para descreer as esferas e outra para o sistea de esferas coo u todo) a pilha de eentos a sere processados acaba sendo o próprio etor, de odo que percorre-se o etor alterando as posições das esferas e erificando se houe algua colisão. Ua aneira de elhorar a perforance de siulador é ipleentar o conceito de células, onde as colisões são aaliadas apenas entre esferas de ua esa célula. 5. Conclusões O algorito apresentado para cálculo das elocidades após ua colisão considerando esta ocorrendo e três diensões se ostra fisicaente correto e plausíel. Siulações co ais de quinhentas esferas usando ua interface e tepo real co o OpenGL se ostra ineficientes para coputadores de pequeno porte, pois se consoe uito tepo coputacional para a geração da interface gráfica. Coo o odelaento abordado no presente trabalho pode ser usado e jogos eletrônicos, este se ostra utlizáel, ua ez que não é proáel que u jogo necessite controlar o oiento de árias centenas de esferas siultaneaente. Referências Allen M. P., Tildesley, D. J. Coputer Siulation of Liquids. New York: Oxford Uniersity Press, p. Dippel, S., Wolf, D. E. Molecular dynaics siulations of granular chute flow. Coputer Physics Counications, Elseier, n., p , 999. Herrann, H. J. Siulating granular edia on the coputer, In: 3rd Granada Lectures in Coputational Physics, Garrido & Marro (Springer Heidelberg, 995), p. 67.

7 Herrann, H. J. and Luding, S. Modeling Granular Media on the Coputer. In: Continuu Mechanics and Therodynaics, 998. Herrann, H. J. Coputer siulations of granular edia. Bideau & Hansen, 993. Kohring, G. A., Melin, S., Puhl, H., Tilleans, H. J., Veröhlen, W. Coputer siulations of critical, non-stationary granular flow through a hopper. Coputer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Elseier,. 4, p. 73-8, 995. Kozicki, J., Tejchan, J. Siulations of flow patterns in silos with a cellular autoaton: part. TASK Quarterly,. 9, n., p. 8 0, 005. Kozicki, J., Tejchan, J. Siulations of flow patterns in silos with a cellular autoaton: part. TASK Quarterly,. 9, n., p. 03 4, 005. Sila, A. C., Bernardes, A. T. Siulação coputacional do escoaento de grãos e silos. Exacta, São Paulo,. 8, n., p , 00. Sid, T. (007) Elastic and Inelastic Collision in Three Diensions, Julho. Rapaport, D. C. The Art of Molecular Dynaics Siulation.. ed. Cabridge: Cabridge Uniersity Press, p.