A simulação no cálculo da incerteza da medição

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1 A simulação no cálculo da incerteza da medição MACHADO, Vicente Departamento Acadêmico de Eletrônica Centro Federal de Educação Tecnológica do Paraná - (CEFET-PR), Av. Sete de Setbro, 65 CEP Fone: , Fax: vmachado@cefetpr.br - Resumo Este artigo faz uma comparação entre a forma tradicional de cálculo de incertezas de medição, segundo o para Expressão da Incerteza de Medição [] (tradução do ISO GUM-99) e a simulação matática. O artigo toma por base um explo prático de cálculo de incerteza associações de resistores e série. As simulações foram feitas utilizando o método de Monte Carlo através do software Weibull 6 da Reliasoft [], com cálculos complentares pela planilha eletrônica Excel. O trabalho t como objetivo verificar a validade dos cálculos de incerteza de medição, feitos segundo o para Expressão da Incerteza de Medição algumas situações práticas. Palavras-chave: Metrologia, Incerteza de medição, Simulação matática. Abstract - This article makes a matching enters the traditional form of calculation of uncertainties in measurent, according to Guide to the Expression of Uncertainty in Measurent [] (translation of the ISO-GUM -99) and the mathatical simulation. The article takes for base a practical example of calculation of uncertainty in associations of electrical resistances in parallel and series. The simulations had been made using Monte Carlo method through software Weibull 6 of the Reliasoft [], with backing calculations for the electronic spread sheet Excel. The work has as objective to verify the validity of the calculations of uncertainty in measurent, made according to Guide to the Expression of Uncertainty in Measurent in some practical situations. Key-words: Metrology, Uncertainty in measurent, Mathatical simulation. Introdução Metrologia é a ciência da medição. Todas as medições estão afetadas por erros que pod ser provenientes do mensurando, do instrumento de medição e/ou de grandezas de influência externa. Considerando que os erros não pod ser perfeitamente conhecidos, pode-se afirmar que o resultado da medição está afetado de uma incerteza. Quando se relata o resultado da medição de uma grandeza física é obrigatório que, seja dada alguma indicação quantitativa da qualidade do resultado, de forma que aqueles que a utilizam possam avaliar sua confiabilidade. S essa indicação, resultados de medições não pod ser comparados, seja entre eles mesmos ou com valores de referência fornecidos numa especificação ou numa norma. É portanto, necessário que haja um procedimento prontamente implentado, facilmente compreendido e de aceitação geral, para caracterizar a qualidade de um resultado de uma medição, isso é, para avaliar e expressar sua incerteza. Resta saber o quão exato é o cálculo da incerteza da medição, já que procedimentos padrões são utilizados [], deixando muitas vezes o metrologista na dúvida, se estes são a melhor forma de determinar a incerteza da medição. A forma alternativa para cálculo da incerteza é através da simulação matática. Consegue-se na simulação uma melhor compreensão da metodologia, e uma maior confiança nos resultados. Essa forma de cálculo ainda não é muito utilizada, devido à falta de sistas computacionais que automatiz o processo de cálculo, bastante complexo para ser feito utilizando-se ferramentas dissociadas. Fontes de incertezas Em uma medição exist muitas fontes de incertezas, tais como []: Definição incompleta do mensurando; Amostras não representativas do mensurando; Condições ambientais não compensadas ou compensadas inadequadamente no resultado da medição; Erros de leitura cometidos pelo operador; Erros devido à resolução do instrumento; Valores inexatos de constantes e parâmetros utilizados na obtenção do resultado (tolerâncias);

2 Aproximações e simplificações adotadas nos procedimentos de medição / calibração e ou ensaio; Variações registradas repetidas medições do mensurando, obtidas sob mesmas condições. Resultado de uma medição Chama-se de resultado de uma medição o valor atribuído a um mensurando obtido por medição. Deve-se indicar claramente se o resultado refere-se ao resultado corrigido ou não e se corresponde ao valor médio de várias medições. A Figura mostra os efeitos que compõ o resultado de uma medição. Nota-se uma componente aleatória que utiliza métodos estatísticos na sua determinação e uma componente sistática, que dependendo do caso pode ser corrigida. Na figura o resultado é indicado com um nível de confiança de 95%. Resultado da medição (RM) Efeitos sistáticos Efeitos sistáticos conhecidos Valores obtidos medições Efeitos aleatórios Efeitos sistáticos desconhecidos RM = Rc ± U U. RM = resultado da medição; Rc = resultado corrigido; U = incerteza exp andida; uc = incerteza combinada; k = fator de abrangência ( k = 95% e k = 99% ) = k u c U = k. uc R c Figura Resultado da medição com intervalo simétrico de incerteza expandida []. ) Determinar o modelo matático que relaciona a grandeza de entrada com a de saída, y = f ( x, x,..., xn) ; ) Identificar todas as correções a ser feitas ao resultado da medição; ) Listar componentes sistáticos da incerteza associados a correções, e tratar os efeitos sistáticos não corrigidos como parcelas de incerteza; 4) Atribuir valores de incertezas e distribuições de probabilidades, com base conhecimentos experimentais práticos ou teóricos; 5) Calcular a incerteza padrão ( u i ) para cada componente de incerteza; 6) Calcular a incerteza combinada ( u c ) ; 7) Calcular a incerteza expandida (U ). Correção Efeitos sistáticos conhecidos residuais : Pode-se classificar os tipos de incertezas Resultado corrigido R c RM = Rc ± U 95 Incerteza de medição U 95 Para fator de abrangência de 95% Figura Efeitos que determinam o resultado de uma medição []. A Figura detalha mais as componentes do resultado de uma medição para um intervalo simétrico de incerteza. Procedimento de cálculo da incerteza da medição O procedimento para cálculo da incerteza da medição, segundo o para expressão da incerteza de medição [], envolve os seguintes passos: a) A incerteza Tipo A que é obtida por meios que envolv a análise estatística de observações repetitivas do mensurando; b) A incerteza Tipo B obtida por meios que não envolvam a análise estatística, tais como: Certificados de calibração; Especificações dos instrumentos e padrões; Dados técnicos de fabricantes; Livros e manuais técnicos; e Estimativas baseadas na experiência. A determinação da incerteza padrão combinada de medições diretas é obtida como sendo a raiz quadrada da soma quadrática das u, não diversas incertezas padrão ( ) i correlacionadas envolvidas no processo de medição, conforme equação. c [( u ) + ( u ) + ( u ) + ( u ) ] u = +... n ()

3 Para o caso genérico que todas as grandezas de entrada são independentes, ou não correlacionadas a incerteza padrão de y, onde y é a estimativa do mensurando Y, é obtida pela combinação apropriada de incertezas padrão das estimativas das entradas x, x,..., xn. Essa incerteza padrão combinada da estimativa y é representada por u c, conforme a equação. u c N f = u ( xi ) () i= xi As derivadas parciais f xi são iguais a f X i e avaliadas para X i = xi. Essas derivadas denominadas de coeficientes de sensibilidade, descrev como a estimativa de saída varia, com alterações nos valores das estimativas das entradas x, x,..., xn. Quando as grandezas de entrada são correlacionadas a expressão apropriada para a variância combinada u c, associada com o resultado de uma medição é dada pela equação. u c N N f f = u( xi, x j ) () x x i= j= i Estudo de Caso j Quer se determinar qual a incerteza da associação de resistores e série. Como qualquer componente, variações do processo produtivo imped que os resistores sejam completamente iguais, t-se assim as tolerâncias dos resistores, que são especificadas por meio de percentagens do valor nominal, entre as quais a resistência se encontra. Para o resistor utilizado, o fabricante especifica uma tolerância de ± 5%, não indicando qual a percentag de abrangência desta tolerância. Nesse estudo de caso para simplificação, vai-se considerar apenas as tolerâncias dos resistores como componente única da incerteza. Fazendo-se 0 medições resistores de k ohm [4] (supondo-se medições ideais), determinou-se que os resistores obedeciam uma distribuição Normal, e apresentavam média de µ = 00, 5 Ω e desvio padrão σ = 8, 9 Ω. Para efeito de simplificação da análise vai-se considerar associações de resistores, todos iguais a k ohm. A Figura mostra a distribuição de valores obtida das medições, que indicam um perfeito enquadramento à uma distribuição Normal. Figura Distribuição dos resistores de k ohm medidos. Cálculo das incertezas de acordo com o guia Para o caso da associação (série ou ) dos resistores, t-se que considerar como grandezas não correlacionadas, já que as tolerâncias dos resistores são independentes umas das outras. A fórmula para cálculo da associação de resistores pode ser R simplificada para resistores iguais para R eq =, n sendo n o número de resistores. Para resistores R eq = n. R. A partir do desvio padrão pode-se calcular o desvio padrão experimental da média, dado pela equação 4 e calculado aproximadamente para o caso, conforme apresenta a equação 5. n s ( q) = ( x i x) (4) n i= s 8,9 s = = = 0, 8 Ω (5) n 0 Os cálculos das incertezas nas associações e série, considerando-se apenas as tolerâncias dos resistores, para várias associações de resistores pod ser vistos na Tabela.

4 Tabela Cálculo da incerteza na associação e série de resistores. Associação paralela Associação série Num de resistores f x Cálculo da incerteza ( 0,8 ) 0 ( 0,8 0) 0 ( 0,8 0) 00 ( 0,8 00) ( 0,8) x ( 0 0,8) 0 x ( 0 0,8) 0 x ( 00 0,8) 00 x Simulação matática no cálculo das incertezas Resultado da med. RM = RC ± U 68% (4,5 ± 0,5)Ω (00,4 ± 0,)Ω (50, ± 0,)Ω (0,0 ± 0,)Ω (00,6 ± 4,)Ω (005, ± 5,7)Ω (0070,7 ± 7,6)Ω (005, ± 8,)Ω Faixa de variação da resistência (68%) (4,0 5,0)Ω (00, 00,6)Ω (50,0 50,4)Ω (0,0 0,)Ω (006,4 04,8)Ω (0009,7 006,0)Ω (9998, 04,)Ω (9954, 064,5)Ω Na simulação matática das distribuições utilizou-se o método de Monte Carlo para a simulação dos 0 valores de acordo com uma distribuição Normal ( µ = 00,5Ω e σ = 0, 8Ω). A geração dos valores foi feita pelo software Weibull 6 da Reliasoft [], método de análise (MLE) máxima verossimilhança e cálculo das associações na planilha Excel. Outras formas de geração de valores, de acordo com uma distribuição foram apresentados por Dodson [5]. Dodson propõe métodos de geração de valores utilizando-se planilhas eletrônicas tais como o Excel. A simulação matática para resistores de k ohm apresentou média de 4,4 ohms e desvio padrão de,7 ohms. Assim o limite superior para 68 % de probabilidade ficou 6, ohms e o inferior,7 ohms. A Figura 4 mostra a distribuição de valores obtida. A Tabela apresenta as simulações para várias associações de resistores e série com as respectivas incertezas obtidas. A tabela apresenta também a variação dos Figura 4 Distribuição de valores de resistores de k Ohm. valores superior e inferior para abrangência de 68% considerando-se uma confiança de 90%. Tabela - Simulação de resistores e série, método de Monte Carlo. Num de resistores e desvio padrão Ω Inter. de confiança 90% Int. para abrangência de 68% Lim inf Ω Lim sup Num de resistores e desvio padrão Ω Inter. de confiança 90% Int. para abrangência de 68% Lim inf Ω Lim sup µ = 4,4 σ =,7 Lim sup Lim inferior,0,4,7 6, 6,5 5,8 µ = 00, σ = 5,5 Lim sup Lim inferior 997,5 99,8 994,7 05,4 08, 0,6 Associação paralela 0 0 µ = 00, σ = 0, µ = 50, σ = 0, Lim sup 00, 00,0 Lim inferior 00,0 Lim sup 50, 50, Lim inferior 50, 00,7 00,6 00,6 50, 50, 50, Associação série 0 0 µ = 006 σ = 4,6 µ = 0069 σ = 6, Lim sup Lim inferior Lim sup Lim inferior µ = 0,0 σ = 0,0 Lim sup 0,0 Lim inferior 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 00 µ = 0040 σ = 6,5 Lim sup Lim inferior

5 Comparação dos resultados Uma comparação entre os resultados obtidos pela simulação matática, com os cálculos feitos segundo o guia pode ser vista na Tabela. Na tabela são apresentados os limites superior e inferior da média da simulação para 68% de abrangência e os limites extros para um nível de confiança de 90%. Comparados aos valores obtidos de acordo com o guia. A tabela também apresenta os intervalos calculados de forma percentual. Tabela - Comparação dos métodos de determinação da incerteza Tipo de assoc. Res. Incertezas Ω L.I. Ω L.S. Amp. Ω,7 6,,4,4 6,5 4, 4,0 5,0 0,9 Representação gráfica das incertezas Intervalo percentual 4,4Ω ± 0,5% 4,5Ω ± 0,6% 4,5Ω ± 0,% Res. 00,0 00,0 00, 00,6 00,7 00,6 0,6 0,7 0,5 00,Ω ± 0,% 00,4Ω ± 0,% 00,4Ω ± 0,% 99,7 99,9 00, 00, 00,5 00,7 0 Res. 50, 50, 50,0 50, 50, 50,4 0, 0, 0,4 50,Ω ± 0,% 50,Ω ± 0,% 50,Ω ± 0,4% 49,7 49,9 50, 50, 50,5 00 Res. 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0, 0 0 0, 0,0Ω ± 0% 0,0Ω ± 0% 0,0Ω ± 0,8% 9,8 9,9 0 0, 0, Res. 994,7 99,8 006,4 05,4 08, 04,8 0,7 6,5 8,4 00,Ω ± 0,5% 00,Ω ± 0,6% 00,6Ω ± 0,% Res , , , 005,5Ω ± 0,% 006,0Ω ± 0,% 005,Ω ± 0,% Res , , , 0069,0Ω ± 0,% 0069,0Ω ± 0,% 0070,7Ω ± 0,4% Res , , , 0040,0Ω ± 0,% 0040,0Ω ± 0,% 005,Ω ± 0,8%

6 Conclusões Observando-se os gráficos da Tabela pode-se concluir que o método de cálculo de incerteza proposto pelo, para a situação particular desse estudo de caso: ) É menos conservador, ou seja, o intervalo de incerteza é menor, que a simulação matática, quando o número de resistores associados é pequeno (menor do que 0), isto válido tanto para a associação paralela como para a série. As diferenças chegaram a 0,4% para menos para a incerteza calculada segundo o guia; ) Para 0 resistores tanto associados como, as amplitudes das incertezas são praticamente iguais; ) Para mais de 0 resistores associados ou série as incertezas indicadas pelo são mais conservadoras, do que a simulação matática, ou seja, os intervalos da incerteza são maiores. As diferenças chegaram a 0,7% a mais para a incerteza calculada segundo o guia; Pôde-se comprovar que o método proposto pelo pode ser considerado válido, para uma condição média de utilização, mas os erros pod aumentar muito quando se trabalha com casos específicos, como seria o caso de uma grande quantidade de resistores associados. Esse artigo de maneira nenhuma esgota o assunto que deve ser explorado novos estudos, principalmente, quanto à associação de vários tipos de distribuição, tais como Normal, Triangular, Retangular, Lognormal e outras, como seria o caso do levantamento de incertezas devido a vários fatores. Com respeito a esse assunto o professor Waeny [6] declara que não é possível combinar desvios padrão provenientes de distribuições distintas. Acredita-se que com o aumento da capacidade de processamento dos atuais computadores, os sistas de simulação matática já são viáveis e dev facilitar muito o cálculo da incerteza, fornecendo resultados b mais confiáveis, é claro que a incerteza devido a não adequação dos efeitos incidentes exatamente a uma distribuição teórica continuará existindo. Referências Bibliográficas [] ABNT, IMETRO e SBM. para expressão da incerteza de medição. ISBN , ª Ed. Rio de Janeiro: Serifa Editoração e Informática S/C Ltda, 998. [] RELIASOFT. Software Weibull Análise de confiabilidade. de treinamento. Reliasoft Brasil, 00. [] FIDÉLIS, G.;SCHOELER, N. Curso incerteza de medição. Fundação CERTI UFSC: 998. [4] ROHM. Short form catalog 9 Electronic components and devices. 99. [5] DODSON, B. Reliability modeling with spreadsheets. ASQ s 5 rd Annual quality congress proceedings [6] WAENY, J.C.C. Estará errado o guia ISO? Alguns problas a ser discutidos. II Congresso Sul-Americano de Metrologia. Sista Paranaense de Metrologia e Ensaios Paraná Metrologia, 999.