Sumário. Teoria de erros
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- Ivan Philippi Caetano
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1 Sumário Erros que afetam as medições. Média, desvios e incertezas. As operações com os algarismos significativos exigem o conhecimento da teoria de erros. Mas, algumas regras simples podem ajudar a evitar o exagero no uso de casas decimais, muitas vezes representando uma precisão que não corresponde à realidade. 1
2 Adição e subtração Exemplo 1. Adição A primeira parcela é a que tem menor número de casas decimais, o resultado final terá uma casa decimal. O resultado do cálculo deve ser apresentado com o número de casas decimais correspondentes à da parcela que tem menor número. Regras de arredondamento Existem duas correntes no que se refere a arredondamentos. A primeira, seguida nos computadores e máquinas de calcular, usa as seguintes regras: Só se pode suprimir um algarismo quando o número apresentar casas decimais. Se a casa decimal, imediatamente a seguir à escolhida para última, for 5, 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se uma unidade à casa decimal escolhida. Se a casa decimal, imediatamente a seguir à escolhida, for 0, 1, 2, 3 ou 4, deixa-se a casa decimal escolhida inalterada. Exemplos: 14,75 arredonda para 14,8 14,74 arredonda para 14,7 2
3 Regras de arredondamento A segunda corrente, conhecida pela regra do número par, é idêntica à primeira exceto quando logo a seguir à casa escolhida aparecer um 5, ou um 5 seguido apenas de zeros. Regras: Só se pode suprimir um algarismo quando o número apresentar casas decimais. Se o algarismo a suprimir é inferior a cinco, despreza-se esse número. Se o algarismo a suprimir é maior do que cinco, adiciona-se uma unidade ao algarismo anterior. Se o algarismo a suprimir é igual a cinco, então: - adiciona-se uma unidade ao algarismo anterior se este for ímpar. - o algarismo anterior permanece inalterável se for par. Regras de arredondamento Note-se que a regra anterior só se utiliza se não existirem algarismos diferentes de zero após o 5 a desprezar (6,5 = 6 mas 6, = 7). Os alunos poderão achá-la injusta uma vez que, ao reduzir as suas notas às unidades, um aluno com 13,5 e um com 14,5 teriam o mesmo resultado final: 14 valores. No entanto, é esta a regra definida pelas normas portuguesas. Norma NP-37 - Arredondamento dos valores numéricos, IGPAI (IPQ),
4 Adição e subtração Exemplo 2. Subtração A segunda parcela é a que tem menor número de casas decimais, o resultado final terá duas casas decimais. O resultado do cálculo deve ser apresentado com o número de casas decimais correspondentes à da parcela que tem menor número. Multiplicações e divisões Exemplo 3. Multiplicação 1,8 - tem 2 algarismos significativos 0,02 - tem 1 algarismo significativo O resultado do cálculo deve ser apresentado com o número de algarismos significativos do fator que tem menor número. 4
5 Multiplicações e divisões Exemplo 4. Divisão 500,8 - tem 4 algarismos significativos 24,1 - tem 3 algarismos significativos O resultado do cálculo deve ser apresentado com o número de algarismos significativos do fator que tem menor número. Cálculos em cadeia A = 4,18 tem três algarismos significativos B = 2,175 tem quatro algarismos significativos C = 1,2456 tem cinco algarismos significativos F = 5,151 tem três casas decimais NOTA: Estas regras não são Universais poderão variar, na nossa Escola adotámos estas. Suponha o seguinte cálculo A x B = D e D x C = E e E + F = G 1º passo 4,18 x 2,175 = 9,0915 Resultado: D = 9,0915 2º passo 9,0915 x 1,2456 = 11, Resultado: E = 11,3 3º passo 11,3 + 5,151 = 16,451 Resultado: G = 16,4 a) Passos 1 e 2. Faz-se o arredondamento no final das operações, de acordo com as regras enunciadas para a multiplicação. b) Passo 3. Depois, volta a fazer-se o arredondamento no final da operação, de acordo com as regras enunciadas para a soma. 5
6 Erros que afetam as medições Erros sistemáticos: Tem sempre as mesmas causas. Apresentam sempre a variação no mesmo sentido. São passíveis serem detetados e corrigidos. Exemplos: Má calibração dos aparelhos, deficiências do método utilizado ou das condições de utilização. Erros fortuitos ou acidentais ou aleatórios: Têm causas pontuais. São imprevisíveis. Variam de forma aleatória. Podem ser atenuados mas nunca eliminados. Exemplos: Deficiente leitura nas escalas dos aparelhos, más condições de operação, cansaço ou distração. Como se pode atenuar a precisão do resultado de medições? Média aritmética ou valor mais provável Em termos de probabilidades, o valor mais correto a atribuir à quantidade a medir é a média aritmética das leituras obtidas (valor mais provável): 6
7 Média aritmética ou valor mais provável Quantas mais vezes se repetir uma medida tanto maior é a probabilidade de eliminar os erros acidentais se se tomar para valor da mesma a média aritmética dos valores achados. Por muitas medidas que se façam não se consegue aumentar o número de algarismos significativos exatos no resultado. O que obtemos é uma garantia de que o número obtido está mais perto do verdadeiro valor da grandeza. Erro absoluto Para saber o erro absoluto é necessário saber o valor verdadeiro, X. 7
8 Erro absoluto O erro absoluto de uma medida é indeterminável, porquê? Porque pressupõem o conhecimento do valor exato X, e o valor exato é indeterminável. Logo não se podem determinar os erros absolutos de medidas; no entanto podem determinar-se as incertezas que se transmitem às medições diretas e indiretas. Incerteza absoluta O processo de tornear esta dificuldade consiste em trabalhar em termos de resíduos (ou desvios). E em vez de erro absoluto podemos falar em incerteza absoluta. Incerteza absoluta corresponde ao valor máximo dos módulos dos desvios das medidas em relação à média. 8
9 Exemplo No decurso de uma experiência foi necessário medir com certo rigor uma distância. Efetuaram-se para esse efeito as sete leituras seguintes (em mm): Como se representa o resultado final Significa isto que, dadas as condições em que foi efetuada a medição, o experimentador considera como provável que a distância tenha um valor compreendido entre 788,6 mm e 790,0 mm. 9
10 Incerteza relativa Chama-se incerteza relativa, r, ao valor do quociente entre a incerteza absoluta e o valor mais provável da medida. Se se tratar da incerteza relativa percentual, r % será: Resumindo: 10
11 Diferença entre exatidão e precisão dum resultado A precisão informa sobre a proximidade entre os resultados de duas ou mais medições de uma mesma grandeza e é afetada pelos erros acidentais. A exatidão informa sobre a aproximação entre o resultado da medição e o valor aceite como verdadeiro e se é afetada pelos erros sistemáticos. TPC Exercícios da APSA 07 que que ficarem por fazer. 11
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