Ordens de contato entre aplicações

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1 Ordens de contato entre aplicações Artigo Marcelo Polezzi (UEMS) Claudemir Aniz (UFMS) Neste artigo, motivaremo-nos pelo seguinte problema: Dadas duas aplicações contínuas f, g : R m R m, obter uma condição suficiente (e não trivial) para que Graf( f ) Graf(g) =, em que Graf( f )={(x, f (x)) x R m }. Daremos uma solução parcial para o caso unidimensional, relacionaremos o problema com o Teorema de Sharkovskii, no caso particular em que m = eg = id, e discutiremos resultados que apontam na direção contrária, em outras situações. Períodos e ordens de contato Denotaremos por N = {,,...} o conjunto dos números naturais. Para f : R m R m, definimos f = f e f n = f f n, para todo natural n. Diremos que o ponto a R m é um ponto periódico de f com período n quando n for o menor natural tal que f n (a) =a. Além disso, se n = dizemos que a é um ponto fixo de f. Seja Per n ( f ) o conjunto dos pontos periódicos de f com período n e Fix( f ) o conjunto dos pontos fixos de f. Seja também Per( f )={n N Per n ( f ) = }, que é o conjunto dos períodos que ocorrem em f. Dado um par de funções f, g : R m R m, dizemos que a é um ponto de contato de ordem n entre f e g, se n éo Este artigo é uma versão adaptada da referência [9]. menor natural tal que f n (a) =g n (a). O conjunto desses pontos será denotado por Con n ( f, g). Seja também Con( f, g) ={n N Con n ( f, g) = }, que é o conjunto de todas as ordens de contato entre f e g. Note que um ponto periódico (de período n) de f é um ponto de contato (de ordem n) entre f e id. Finalmente, dentro dessas definições, consideraremos a possibilidade de pontos de contato coincidirem com pontos periódicos. Seja Per n ( f, g) o conjunto dos pontos a R m tais que n é o menor natural tal que f n (a) =a = g n (a) e defina Per( f, g) ={n N Per n ( f, g) = }. Uma solução para o caso unidimensional Para o caso em que m = eg é a função identidade, nosso problema tem a seguinte solução. Proposição. Seja f : R R uma função contínua. Se Per n ( f ) = para algum n, então Fix( f ) =. A demonstração é uma aplicação direta do Teorema de Bolzano. Se f não tiver ponto fixo então ou f (x) > x para todo x R ou f (x) < x para todo x R. Tomemos o primeiro caso, sem perda de generalidade. Por indução, mostra-se facilmente que f n (x) > x, para qualquer x R e qualquer n N. Então não pode haver x e n tal que f n (x) =x. Essa proposição pode ser generalizada para ordens de contato, se a segunda função g for não decrescente. Teorema. Sejam f, g : R R funções contínuas, com g não decrescente. Se Con n ( f, g) = para algum n então também Con ( f, g) =. Matemática Universitária nº6 6

2 Demonstração. Como g é não decrescente, então o mesmo vale para todas as suas iteradas g i, i. Suponha que Con ( f, g) =. Pelo Teorema de Bolzano, concluímos que ou f (x) > g(x) para todo x R, ou f (x) < g(x) para todo x R. No primeiro caso, teremos g n (x) g n ( f (x)) = g n (g( f (x))) g n ( f (x)) = g n 3 (g( f (x))) g n 3 ( f 3 (x)) g( f n (x)) < f n (x). Ou seja, g n (x) < f n (x), para todo x R, o que é uma contradição, pois Con n ( f, g) =. Analogamente, a suposição de que f (x) < g(x) para todo x R irá também conduzir a uma contradição. Portanto Con ( f, g) =. O Teorema de Sharkovskii A Proposição pode também ser vista como um caso muitíssimo particular do Teorema de Sharkovskii. Antes de enunciarmos esse teorema, vamos dar mais algumas definições. Chamemos de α(n) o expoente da maior potência de que divide n. Por exemplo, se n = 0, então α(0) = 3. Agora consideremos os conjuntos N = {,, 6,...}, N + = {3,, 7, 9,...} e N = {,, 8, 6,...}, e vamos construir uma relação de ordem total em N, representada pelo símbolo. Dados a = b, aordem de Sharkovskii é definida de forma que a b se e somente se uma das condições é satisfeita: a N + e b N a, b N + e a < b a N \ N e b N a, b N \ N e α(a) < α(b) a, b N \ N e α(a) =α(b), a < b a, b N e α(a) > α(b) b = Agora, denotando por n p quando n p ou n = p, temos claramente que (i) a a, (ii) a b e b a implica a = b e (iii) a b e b c implica a c, para quaisquer a, b, c N. Com isso, o conjunto dos números naturais, ordenado pela ordem de Sharkovskii, é dado por O Teorema de Sharkovskii (veja, por exemplo, [], [3], [] e [7]) é um resultado notável em sistemas dinâmicos discretos. Teorema 3 (Teorema de Sharkovskii). (a) Seja f : R R uma função contínua. Se Per n ( f ) = en p, então Per p ( f ) =. ([0]) (b) Considere o conjunto S(n) = {p N n p}. Então, para todo n N, existe uma função contínua f n : R R tal que Per( f n ) = S(n). Além disso, existem funções contínuas g, h : R R tais que Per(g) = N {} e Per(h) =. ([]) Façamos agora algumas observações sobre o significado e as implicações desse belo teorema. I. A primeira parte diz, em particular, que se f : R R tem um ponto periódico de período 3 então obrigatoriamente tem pontos periódicos com período n, para todo natural n. Ou seja, se 3 Per( f ) então Per( f )=N. Esse corolário é conhecido como o Teorema de Li-Yorke, devido a Tien-Y. Li e James A. Yorke, que foi publicado em 97 ([6]), onze anos depois de Alexander N. Sharkovskii ter publicado seu artigo em russo ([0]). À época, não era tão raro descobrir-se que um resultado original já havia sido publicado na União Soviética, pois os artigos em russo não eram lidos e disseminados no ocidente. Yorke soube disso, em relação a seu trabalho, alguns anos após tê-lo publicado, quando teve um encontro inusitado com o próprio Sharkovskii, em Berlim, onde estava sendo realizado um congresso internacional. Sharkovskii o abordou durante um passeio de bote, tentando se fazer compreender, sem sucesso, por meio de gestos. Com a ajuda de um amigo polonês, Yorke compreendeu que Sharkovskii queria lhe dizer que seu resultado era apenas um pequeno corolário do teorema que ele já havia provado mais de uma década antes. Ao final, Sharkovskii se recusou a dar mais detalhes, mas se comprometeu a lhe enviar o artigo. II. Um exemplo da segunda parte do teorema (veja [6]) é o fato de que existem funções com pontos periódicos de período que, no entanto, não possuem pontos periódicos de período 3. Para isso, consideremos 6 Matemática Universitária nº6

3 3 f 3 f 3 f a função f : [, ] [, ], definida de forma tal que f () =3, f (3) =, f () =, f () =e f () =, e que seja afim em cada intervalo [n, n + ], n (se o leitor quiser uma função de R em R, basta estender com f (x) =3 se x e f (x) = se x ). Obviamente Per ( f ). Além disso, é fácil checar que existe um único ponto x 0 tal que f 3 (x 0 )=x 0, e que o mesmo está no intervalo [3, ] (veja a figura, ilustrando f, f e f 3 ). No entanto, nesse intervalo temos que f (x) =0 x, e daí f ( 0 3 )= 0 3. Logo x 0 = 0 3, implicando que Per 3( f )=. III. Outra observação é que Per( f ) é um conjunto finito se e somente se Per( f ) =, Per( f ) = {} ou Per( f )=S( n ), para algum n N. IV. A melhor estratégia para se demonstrar a primeira parte do teorema é a observação de que é suficiente provar que (i) se, para um natural m >, tivermos m Per( f ) então Per( f ); (ii) se, para um natural ímpar m 3, tivermos m Per( f ), então n Per( f ) para todo n > m; (iii) se, para um natural ímpar m 3, tivermos m Per( f ), então N Per( f ). A veracidade dos itens (i), (ii) e (iii) foi demonstrada por P. D. Straffin Jr. em []. No entanto, Bau-Sen Du ([3]) deu uma demonstração mais simples, na qual (ii) e (iii) são provados simultaneamente e (i) é provado de maneira diferente das já conhecidas até então (veja [] e []). V. Para a demonstração da segunda parte do Teorema de Sharkovskii é necessário que se faça o estudo de pontos periódicos de funções chamadas trapezoidais, construídas por meio de funções do tipo tenda. Um exemplo de tal tipo de função é f (x) = x para 0 x ef (x) = 0, caso contrário. Duas boas referências para esse resultado são os artigos de Saber Elaydi ([]) e de Bau-Sen Du ([3]). Observação. A fim de satisfazer a curiosidade do leitor interessado, e até mesmo despertar no mesmo a admiração pela beleza das ideias envolvidas, daremos uma demonstração do Teorema de Li-Yorke no final deste artigo, como um apêndice. O seguinte resultado, devido a Kannan, Saradhi e Seshasai ([]) mostra que qualquer generalização do Teorema de Sharkovskii para dimensões mais altas tem que ser mais sutil. Teorema. Sejam m um número natural fixado e S N um dado subconjunto dos naturais. Então existe uma aplicação contínua f : R m R m tal que Per( f )=S. Isso nos diz, em particular, que um análogo da Proposição não vale para m. O seguinte contra-exemplo bidimensional mostra o mesmo, diretamente. Seja f (x, y) = ( x, y + x ) um difeomorfismo do plano. Como f n (x, y) = (( ) n x, y + n(x )), vemos facilmente que Fix( f )= e Per ( f )={(, y), (, y) y R}. Mais ainda, Per n ( f )=, n N, e Per n ( f )=, para todo natural n, porque todos os pontos que satisfazem f n (x) = x de fato satisfazem f (x) = x. Portanto Per( f )={}. Ordens de contato O Teorema de Sharkovskii diz, em particular, que o conjunto Con( f, id) não pode ser igual a um dado subcon- Matemática Universitária nº6 63

4 junto arbitrário dos naturais, para m =. O Teorema diz que Con( f, id) pode ser qualquer subconjunto dos naturais, se f for bem escolhida, em dimensão maior do que. Resta então a pergunta sobre o que pode ser Con( f, g) no caso unidimensional. De início, podemos apresentar exemplos em que Con( f, g) é um subconjunto dos naturais não previsto pelo Teorema de Sharkovskii. Nos três exemplos a seguir, que são de fácil verificação, S = Con( f, g) é um conjunto para o qual não existe f contínua tal que Con( f, id) =S. Exemplo. Sejam f (x) = x e g(x) = x +. Temos, claramente, que Graf( f ) Graf(g) = e que f = id = g. Logo Con( f, g) ={} e Con ( f, g) =R. Exemplo. Sejam f (x) =x + eg(x) = x +. Então Con n ( f, g) ={x = n} e Con n ( f, g) = para todo n N. Desta forma, Con( f, g) =N. Exemplo 3. Sejam f (x) = x + eg(x) = x +. Então Con ( f, g) = [0, ], Con 3 ( f, g) = {x = 3/} e Con n ( f, g) = para todo n N \{, 3}. Assim, Con( f, g) ={, 3}. Esses exemplos nos motivaram a ponderar sobre todas as possibilidades para o conjunto Con( f, g). Descobrimos então, para nossa surpresa, que Con( f, g) pode surgir como qualquer subconjunto dos números naturais, independentemente da dimensão. Isso é o que diz o teorema seguinte, cuja demonstração pode ser encontrada em nosso artigo [8]. Teorema. Sejam m um número natural fixado e S N um dado subconjunto dos naturais. Então existem aplicações contínuas f, g : R m R m tais que Con( f, g) =Se Con n ( f, g) =Per n ( f, g) para todo n S. De fato, o teorema diz até um pouco mais, porque garante que os pontos de contato sejam simultaneamente periódicos, com período igual à ordem de contato. Cabe aqui observar que, em geral, os conjuntos Con n ( f, g) e Per n ( f, g) podem ser bem diferentes. A título de exemplo, sejam f, g : [, ] [, ] tais que f () =, f () = 3, f (3) =, f () =, g() =, g() =, g(3) =, g() = 3 e, em cada intervalo [n, n + ], n =,, 3, f e g são afins. Temos então que {,, 3, } Per ( f, g), enquanto que Con ( f, g), Con 3 ( f, g) e {3, } Con ( f, g). De fato, dado n {,, 3, }, temos que f j (n) = n = g j (n), para j <, e f (n) = n = g (n). Logo {,, 3, } Per ( f, g). Temos também que f () = = g(), e daí Con ( f, g). Além disso, f j () = g j () para j < 3e f 3 () = = g 3 (), o que implica Con 3 ( f, g). Finalmente, para n = 3en = temos f j (n) = g j (n) se j <. No entanto, como f (n) =n = g (n) para n =,, 3,, concluímos que {3, } Con ( f, g). A essência da demonstração do Teorema reside na construção de pares de funções contínuas f, g : R R possuindo as propriedades desejadas. Para isso, fazemos uso de funções auxiliares, entre as quais estão f n, g n : [, n] [, n], com n, dadas por e f n (x) =n + x n x + se x n g n (x) = (n x)(n )+ se n x n se n x n Naturalmente, f n e g n são contínuas para cada n N. Além disso, não é difícil mostrar que Con( f n, g n )={n} e Con n ( f n, g n )={x = n}. Apêndice: o Teorema de Li-Yorke Teorema 6 (Teorema de Li-Yorke ([6])). Seja f : R R uma função contínua. Suponha que exista um ponto a R para o qual os pontos b = f (a), c= f (a) ed= f 3 (a) satisfaçam d a < b < c (ou d a > b > c). Então Per( f )=N. Não é difícil mostrar que se x 0 Per 3 ( f ) então os pontos x 0, f (x 0 ) e f (x 0 ) podem ser ordenados de modo a satisfazerem uma das duas condições do teorema (com d = a igual a um dos pontos). Portanto, em particular, a existência de um ponto periódico de período 3 garante a existência de pontos periódicos de todos os períodos. Para provarmos o teorema, vamos primeiro enunciar três lemas de caráter técnico, que são decorrentes do Teorema do Valor Intermediário. O leitor poderá encontrar as respectivas demonstrações em [6]. 6 Matemática Universitária nº6

5 Lema 7. Sejam G : R R uma função contínua e I um intervalo. Para qualquer intervalo compacto J G(I) existe um intervalo compacto I I tal que G(I )=J. Esse Lema 7 não é usado diretamente para provar o Teorema de Li-Yorke, mas é essencial para demonstrar o lema abaixo. Lema 8. Sejam f : R R uma função contínua e {I n } n=0 uma sequência de intervalos compactos, com I n+ f (I n ), para todo n 0. Então existe uma sequência de intervalos compactos Q n tais que Q n+ Q n I 0 ef n (Q n )=I n para todo n 0. Lema 9. Sejam G : R R uma função contínua e I um intervalo compacto tal que I G(I). Então existe um ponto p I tal que G(p) =p. Agora podemos demonstrar o Teorema de Li-Yorke. Faremos a prova para o caso d a < b < c, sendo o outro caso análogo. I n Seja k N um natural qualquer. Caso k =, defina = [b, c], para todo n 0. Caso contrário, defina a sequência de intervalos compactos {I n } n=0 dada por I n =[b, c] para 0 n k, I k =[a, b] e I k+n = I n para n 0. Como f ([b, c]) [b, c], f ([a, b]) [b, c] e f ([b, c]) [a, b], temos que I n+ f (I n ), para todo n 0. Então, pelo Lema 8, existe uma sequência de intervalos compactos Q n tais que Q n+ Q n [b, c] e f n (Q n )=I n, para todo n 0. Logo Q k Q 0 =[b, c] e f k (Q k )=I k = I 0 =[b, c] Q k. Daí, pelo Lema 9, f k tem um ponto fixo p k Q k. No entanto, p k não pode ser um ponto periódico de f com período menor do que k. De fato, suponha que p k Per j ( f ), com j < k. Neste caso, teríamos O f (p k )= {p k, f (p k ),..., f j (p k )} [b, c], pois f n (Q n ) = I n, para todo n 0eI n =[b, c] para 0 n k. Por outro lado, f k (p k ) I k =[a, b], e então seria preciso que tivéssemos f k (p k )=b. Daí, f k (p k )=f (b) =c, o que implicaria f k+ (p k )= f (c) =d a [b, c], que é uma contradição. Referências [] BHATIA, N. P.; EGERLAND, W. O. New proof and extension of Sarkovskii s theorem. Far East Journal of Mathematical Sciences, Special Volume, Part I, p. 3 67, 996. [3] DU, B.-S. A simple proof of Sharkovsky s theorem. American Mathematical Monthly, v., n. 7, p. 9 99, 00. [] ELAYDI, S. On a converse of Sharkovsky s theorem. American Mathematical Monthly, v. 03, n., p , 996. [] KANNAN, V.; SARADHI, P. V. S. P.; SESHASAI, S. P. A generalization of Sarkovskii s theorem to higher dimensions. Journal of National Academy of Mathematics, India, v., p. 69 8, 997. [6] LI, T.-Y.; YORKE, J. A. Period three implies chaos. American Mathematical Monthly, v. 8, n. 0, p , 97. [7] LÓPEZ JIMENEZ, V.; SNOHA, L. All maps of type are boundary maps. Proceedings of the American Mathematical Society, v., n. 6, p , 997. [8] POLEZZI, M.; ANIZ, C. A Sarkovskii-type theorem for pairs of maps. Far East Journal of Dynamical Systems,v.7, n., p. 6 7, 00. [9] POLEZZI, M.; ANIZ, C. A topological invariant for pairs of maps. Central European Journal of Mathematics, v., n., p , 006. [0] SHARKOVSKII, A. N. Coexistence of cycles of a continuous map of a line into itself. Translated from the Russian [Ukrain. Math. Zh., v. 6, n., p. 6 7, 96]. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, v., p , 99. [] SHARKOVSKII, A. N. On cycles and the structure of a continuous map. (In Russian). Ukrainïns kiĭ Matematichniĭ Zhurnal, v. 7, n. 3, p. 0, 96. [] STRAFFIN JR., P. D. Periodic points of continuous functions. Mathematics Magazine, v., n., p. 99 0, 978. Claudemir Aniz caniz@dmt.ufms.br [] BARTON, R.; BURNS, K. A simple special case of Sharkovskii s theorem. American Mathematical Monthly, v. 07, n. 0, p , 000. Matemática Universitária nº6 6