APRENDIZAGEM COOPERATIVA À DISTÂNCIA EM MATEMÁTICA

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1 1 APRENDIZAGEM COOPERATIVA À DISTÂNCIA EM MATEMÁTICA Luiz Carlos Guimarães IM-UFRJ Rafael Garcia Barbastefano CEFET/RJ Francisco Roberto Pinto Mattos UERJ/CP II/COPPE-UFRJ Thiago Guimarães Moraes IBM/COPPE-UFRJ - thiagomoraes@yahoo.com Resumo Este trabalho apresenta três casos de uso com uma nova ferramenta, desenvolvida para o trabalho colaborativo em geometria, usando a Internet como canal de interação entre os participantes. Grupos com diferentes níveis de escolaridade foram observados, variando de alunos de ensino médio a professores em disciplinas de mestrado. Palavras-Chave Educação a distância, aprendizagem colaborativa em matemática Abstract This work reports controlled experiments with a new tool, designed for collaborative work in geometry using the Internet as the channel of interaction between the participants. Groups with different levels of schooling were observed, ranging from middle school-level students to in service teachers doing graduate work. Keywords Distance learning, collaborative learning in mathematics 1. Introdução O uso de aprendizagem colaborativa vem despertando cada vez mais a atenção de pesquisadores em todo o mundo, o que tem se refletido no número de artigos publicados sobre este tema em bases bibliográficas como o Web of

2 2 Science. Esta evolução pode ser observada na figura 1, que revela um aumento significativo nos últimos anos Figura 1 Referências sobre Aprendizagem Colaborativa no Web of Science. Boa parte desse crescimento, após a década de 90, se deve ao desenvolvimento de ferramentas computacionais de apoio à aprendizagem colaborativa (Computer-supported collaborative learning - CSCL), cuja aplicação facilitaria a aprendizagem em grupo. Verifica-se na literatura uma série de resultados que apontam para o aprofundamento do entendimento de conceitos, desenvolvimento de habilidades e maior criatividade em ambientes CSCL (Alavi, 1994; Turvey, 2005). Uma grande contribuição para o desenvolvimento destas ferramentas computacionais de apoio à aprendizagem colaborativa são as pesquisas que retratam aplicações apresentadas como estudos de casos. Por outro lado, encontramos poucas publicações referenciadas sobre aprendizagem colaborativa apoiada por computadores em matemática, talvez porque a aprendizagem em matemática desenvolveu-se historicamente como uma atividade individual. Tradicionalmente os alunos acompanham aulas expositivas e estabelecem rotinas de estudos, isolados uns dos outros. Há relatos de experiências com aprendizado em grupos inseridos no ensino tradicional,

3 3 porém, restritos às séries do ensino básico. A partir dos anos 90, matemáticos publicam relatos de casos em que o aprendizado cooperativo é introduzido em classes presenciais de matemática em cursos de graduação. Podemos encontrálos em Davidson (1990) onde são apresentadas várias estratégias para aprendizagem cooperativa em matemática, utilizando pequenos grupos. As sugestões ali colocadas representam uma alternativa didática às aulas expositivas e à aprendizagem individual. Outros trabalhos têm discutido resultados de pesquisas que apontam a eficiência e a validade deste método de ensino (Davidson, et al 2001, Hagelgans, 1995). O presente trabalho apresenta três experiências realizadas com uma ferramenta colaborativa síncrona destinada ao ensino de geometria, o Tabulæ. Inicialmente, apresentamos resultados relacionados à aprendizagem colaborativa em matemática. Na seção 3, apresentamos referências da literatura sobre CSCL. Em seguida, na seção 4, apresentamos o Tabulae e o modelo de colaboração adotado. Dedicamos a seção 5 à análise de três experiências com o programa aplicado a grupos diferentes de alunos. 2. Aprendizagem Colaborativa em Matemática Davidson, et ali, (2001), Fenton, et ali, (2001) relatam casos de sucesso em abordagens de aprendizado cooperativo com alunos de cursos de graduação de universidades americanas, em disciplinas de Cálculo, Álgebra, Estatística, Matemática Discreta, dentre outras. Estas técnicas de aprendizado cooperativo têm sido implementadas através de diferentes abordagens, porém, na quase totalidade os casos, através do estabelecimento de atividades de grupo presenciais, em sala de aula, trabalhos de casa, ou atividades em laboratórios. Para este artigo não estabelecemos distinções teóricas a respeito de Aprendizagem Colaborativa ou Aprendizagem Cooperativa, deixando esta diferenciação para um outro trabalho. A aprendizagem colaborativa de um modo geral representa uma alternativa didática às aulas expositivas e à aprendizagem individual. Davidson, et ali (2001) destacam algumas vantagens relacionadas com aprendizagem em grupo em matemática:

4 4 Os problemas em matemática, muitas vezes apresentam mais de uma forma de resolução. A aprendizagem em grupo possibilita a verificação destas varias soluções. Em Matemática, ele oferece muitas possibilidades para explorarmos problemas mais sofisticados, que não seriam adequados às restrições de uma sala de aula tradicional. Ela oferece a possibilidade dos estudantes discutirem conjecturas, proporem problemas e, trabalharem juntos, no grupo, para solucioná-los. Os estudantes sentem-se à vontade para fazerem perguntas aos seus pares quando estão em pequenos grupos, mais do que quando estão diante do professor na sala de aula tradicional, participando em discussões que envolvem toda a classe. Problemas de matemática são apropriados para discussões em grupo, pois suas soluções podem ser demonstradas através de raciocínio lógico. Quando os estudantes trabalham em pequenos grupos são maiores as possibilidades para visualizarem abordagens alternativas, do que quando assistem as resoluções do professor, que geralmente são vistos como autoridade no objeto de ensino. Quando estudantes trabalham em pequenos grupos são maiores as possibilidades de apresentarem soluções distintas para o mesmo problema. Deste modo, Davidson, et al (2001) defendem a utilização de pequenos grupos para aprendizado em matemática por oferecerem oportunidades para que todos os estudantes tomem parte de modo ativo e significativo no processo de ensino. Assim, procedimentos metodológicos baseados em Aprendizado Colaborativo e aplicados a pequenos grupos de estudantes propiciam um mecanismo social de apoio possibilitando discussões que facilitam um maior entendimento dos conceitos por parte dos estudantes envolvidos.

5 5 3 O Aprendizado Colaborativo e as Tecnologias de Informação e Comunicação TIC As novas Tecnologias de Informação e Comunicação TIC têm proporcionado uma série de inovações no ensino. Atividades colaborativas têm sido implementadas em diferentes áreas de ensino através de computadores e encontramos na literatura especializada grande número de ferramentas computacionais projetadas para que proporcionem aos estudantes uma coparticipação na construção do conhecimento e propriamente do ambiente de aprendizagem (Ellis, et al 1991). Pesquisas no campo de Computer Supported Collaborative Learning (CSCL) tem se orientado a adaptar ferramentas colaborativas educacionais, desenhadas de modo que o ambiente computacional permita processos interativos. Os mais diversos desenvolvimentos de ferramentas nesta área visam aumentar a motivação e promover um maior grau de produtividade nos processos de ensino. Muitas ferramentas desenvolvidas se destacam pelo trabalho síncrono, onde cada participante interage com seus pares. Entretanto, encontramos poucas publicações sobre aprendizagem colaborativa e, em particular, sobre CSCL em matemática. Algumas possíveis justificativas para isto podem ser encontradas em alguns autores citados por Nason & Woodruff (2004). Entendemos que o conceito de Aprendizado Colaborativo, quando aplicado à matemática através de ferramentas CSCL, pode incentivar atividades em grupo que visem o desenvolvimento do raciocínio matemático, através de habilidades relacionadas com a linguagem matemática em processos de comunicação com os pares. A organização de pequenos grupos de estudantes em abordagens de Aprendizado Colaborativo tem por objetivo estimular a participação de todos na construção do conhecimento matemático. Atividades com estas características possibilitam abordagens de aspectos pouco usuais em sistemas tradicionais de ensino tais quais: Explorar soluções alternativas para tarefas e problemas propostos, Discutir conceitos, idéias gerais ou procedimentos para uma solução,

6 6 Checar a compreensão pelos indivíduos pertencentes aos grupos Identificar confusões e erros Comparar diferentes abordagens para um problema De um modo geral, encontramos uma boa receptividade por parte dos estudantes quando associamos o ambiente computacional à aprendizagem matemática (Guimarães, et al, 2005). Nason & Woodruff (2004), apontam dificuldades relacionadas ao aprendizado colaborativo apoiado por computadores em matemática. Destacam como um difícil problema a ser enfrentado pela comunidade acadêmica, o estabelecimento de comunidades de aprendizado matemático através de ferramentas CSCL. Estes autores apontam como fatores que contribuem para estas dificuldades as limitações presentes na maioria das ferramentas utilizadas para representações matemáticas e a conseqüente deficiência para promover o discurso matemático. Deste modo tornam-se difíceis implementações de atividades próprias à construção do conhecimento matemático. Encontramos na literatura ferramentas desenvolvidas para funcionamento online (Web-based) em modelos síncronos e assíncronos, com aplicações em E- learning. Em cursos a distância, ferramentas colaborativas (Web-based) podem contribuir para diminuir o processo de isolamento entre os estudantes e sincronizar o aprendizado, reduzindo as diferenças de ritmo entre os alunos. Marjanovic (1999) já apontava a predominância na literatura de textos dedicados ao estudo de ferramentas assíncronas, o que se manteve desde então. O número de iniciativas relatando experiências, bem como desenvolvimento de ferramentas síncronas é significativamente inferior ao encontrado com ferramentas assíncronas. Em matemática, não é diferente. Existem poucos relatos na literatura, mas alguns exemplos são: o Algebra Jam (Singley et al. 2000), destinado ao estudo de curvas, o estudo exploratório de variáveis numéricas de Bricker et al. (1995), VRMath Virtual Reality Learning Environment a 3D Microworld for Learning 3D Geometry, desenvolvido por Yeh & Nason (2004). Alguns problemas são verificados na realização de sessões síncronas de aprendizagem colaborativa. Kreijns et al. (2003) aponta que o simples fato de existir a possibilidade técnica de colaboração proporcionada por uma ferramenta

7 7 por si só não motiva a colaboração efetiva. Além disso, a colaboração proporcionada por ferramentas computacionais eventualmente pode focar unicamente em aspectos educacionais, negligenciando aspectos psicológicos e culturais do processo de colaboração em si, inerentes ao processo educacional. Marjanovic (1999), relata a inibição de alguns estudantes ao trabalharem em um ambiente colaborativo, principalmente se suas idéias contradizem as do professor. Por outro lado, a autora também faz menção ao aparecimento de tipos de estudantes que dominam discussões em ambientes colaborativos. Talvez o principal problema de ambientes colaborativos síncronos de aprendizagem seja a limitação do número de participantes nos processos de troca de informações. Podemos encontrar fóruns de cursos a distância com mais de 100 alunos interagindo, mas este número se torna extremamente limitado em ambientes síncronos com maior grau de liberdade para os participantes, como os Single Display Groupwares (Bricker, 1998). 4. Tabulæ Colaboração Síncrona em Geometria O desenvolvimento e domínio da linguagem matemática, e conseqüentemente dos seus símbolos, têm como campo fértil os procedimentos investigativos para resolução de problemas. A disponibilidade de novas tecnologias pode interferir de modo positivo nos processos de investigação. Um exemplo é a utilização de softwares de Geometria Dinâmica em procedimentos para resolução de problemas de Geometria. O desafio que se coloca é a busca por ferramentas que permitam a modelagem dos diversos modos de atuação em uma sala de aula de matemática, buscando superar as dificuldades e limitações como as apresentadas em Nason & Woodruff (2004). Na busca desta superação, estamos desenvolvendo, uma ferramenta que procura superar aquelas limitações. Esta ferramenta está em desenvolvimento já há alguns anos, e versões preliminares de sua implementação já foram descritas anteriormente (Guimarães, et al 2002). A atual versão descrita por Moraes (2006), tem sido aplicada desde 2004 a diversificados grupos de ensino. Estes experimentos tem merecido diversificadas análises. Em primeiro momento,

8 8 observamos a viabilidade da ferramenta como instrumento de aprendizagem. A partir de uma resposta positiva, estamos analisando aspectos técnicos e pedagógicos com objetivo de implementarmos mudanças que visem sofisticá-la de modo a torná-la um efetivo instrumento de ensino aprendizagem. Para tal desenvolvemos desde 2004 alguns experimentos que nos servem como referências para nossos estudos. Neste trabalho vamos analisar um caso de cada uma das experiências realizadas. Estudantes de anos do Ensino Básico atuando em grupos de 2 ou 3 para resolver problemas propostos conectados a rede local em laboratório de informática em uma Escola Pública. Estudantes de graduação em Matemática da UFRJ resolvendo problemas de Geometria do Curso de Fundamentos de Matemática conectados a rede local em laboratório de informática. Estudantes de graduação em Matemática da UFRJ resolvendo problemas de Geometria e conectados através da Internet. Professores da rede pública de ensino do Rio de Janeiro, alunos do curso de Mestrado Profissional em Ciências e Matemática do CEFET/RJ. O desenvolvimento de ambientes colaborativos projetados com características de CSCL permite mais uma possibilidade para investigações na Aprendizagem Matemática: a análise dos possíveis benefícios cognitivos proporcionados pela introdução destas ferramentas em processos de ensino e aprendizagem. Um aspecto a ser investigado é o nível de influência da introdução destas ferramentas na aquisição de determinadas competências matemáticas, e, em especial, quando os alunos trabalham em grupos baseados em suporte por redes de participantes. Um aspecto a ser observado é o desenvolvimento da capacidade para comunicar-se matematicamente. Os projetos das TIC como ferramentas didáticas merecem uma investigação a respeito dos acessórios necessários para se obter maior eficiência relacionada ao ensino de matemática. Dentre os acessórios didáticos, estariam roteiros de apoio orientados à promoção de discussões e análises de

9 9 procedimentos matemáticos, enquanto mediadores da aprendizagem. Desde os projetos de software até a concepção didática para sua utilização, estudos específicos devem ser feitos de modo que as TIC recebam os devidos ajustes para se adequarem às especificidades dos conteúdos matemáticos. O ambiente tecnológico deve permitir a comunicação matemática, através de implementações que a facilitem. Através da análise dos experimentos observamos algumas características necessárias às ferramentas CSCL, para que promovam o Aprendizado matemático. Fundamentalmente, destacamos que esta deve permitir a construção de conceitos matemáticos e alimentar processos mentais destas construções nos estudantes ao mesmo tempo em que provêem uma base experimental para reflexão. A utilização de solução de problemas para pequenos grupos pode permitir aos estudantes refletirem sobre as construções realizadas através de ferramentas computacionais e convertê-los para construções mentais dos conceitos matemáticos. A ferramenta computacional deve oferecer aos responsáveis pelo processo de ensino, mecanismos didáticos que permitam respostas às seguintes questões: Os estudantes construíram os conceitos mentais a respeito do que foi proposto? Neste processo os estudantes estão aprendendo matemática? O modelo teórico para apoiar o processo de ensino-aprendizagem utilizado nos estudos de caso analisados neste trabalho é uma combinação das vantagens inerentes à aprendizagem colaborativa com a sofisticação tecnológica do software de matemática. É sabido que a aprendizagem colaborativa além de favorecer o aprendizado, também facilita a articulação de idéias. Isso porque estudantes em grupo podem discutir o mérito de uma solução diferente e aprender outras estratégias para resolver o mesmo problema. Por outro lado, o software de matemática é uma alternativa tecnológica para apoiar o processo de ensinoaprendizagem, além de ser também um ambiente adequado para o estudante explorar problemas de natureza matemática.

10 10 O processo de ensino-aprendizado em questão ocorre da seguinte forma: uma atividade composta por questões ou problemas é apresentada para ser discutida e analisada pelos estudantes organizados em pequenos grupos de trabalho. O principal aspecto de colaboração deste modelo está justamente na disposição do espaço de trabalho dos estudantes. Este é composto por um único espaço público e por espaços privados. Assim, os estudantes aprendem a compartilhar suas idéias e comparar métodos alternativos para resolver um problema. O espaço individual contemplado neste modelo permite que os estudantes organizem suas idéias antes de expô-las a análise critica dos outros participantes do grupo (Mattos, et al 2005). As contribuições individuais quando disponibilizadas no espaço compartilhado, tornam-se parte do conhecimento em desenvolvimento pelo grupo. Elas representam subsídios adicionais para fomentar a discussão e negociação. A manipulação desses objetos compartilhados, ou a transferência de elementos da área privada para o domínio público deve ser controlado, pois o acesso irrestrito a área pública pode tornar a atividade confusa e improdutiva. Então, um conjunto de três papéis que cada membro pode assumir durante o desenvolvimento da atividade é o artifício definido para controlar e coordenar a interação entre os estudantes. No processo de ensino-aprendizagem é importante ter papéis definidos porque assim se atribui responsabilidades, direitos e deveres. Com o rodízio desses papéis, cada um pode expor seu ponto de vista de acordo com o papel assumido. O modelo em questão, definido por Moraes em (2006), contempla o rodízio de papéis e essa variação de privilégios é perceptível aos envolvidos no processo. A transparência com relação a quem recebe ou deixa de possuir determinado papel torna-se necessária para que cada participante possa direcionar sua atenção ao membro correto, de acordo com o papel que este esteja assumindo. Os seguintes papéis estão definidos no modelo: Expositor - O privilégio para acrescentar bem como remover objetos da área pública. Esse papel especial é dado apenas a um único usuário por

11 11 vez, inibindo dessa forma potenciais problemas de concorrência decorrentes do acesso simultâneo a informação. Coordenador cuidará de redefinir o expositor sempre que for conveniente, pois a qualquer instante, o papel de expositor poderá ser transferido a um outro membro, para que este possa expor suas idéias a todos os membros do grupo. Aluno participante que observa, interage e executa a atividade. O aluno sempre poderá modificar e interagir com as construções geométricas apresentadas na área pública, através da transferência destes objetos para sua área privada. Considerando que as interações entre os participantes serão realizadas pelo intermédio de um meio computacional, torna-se importante a existência de um canal de comunicação de fácil acesso e que minimize a ausência da interação através de gestos ou pela comunicação verbal. Portanto, neste modelo é previsto que a comunicação entre os participantes acontecerá através de ferramentas de Chat e de desenho. Com a ferramenta de Chat, os estudantes podem trocar mensagens textuais, de modo a negociar suas estratégias e/ou justificar seus respectivos pontos de vistas. Através do desenho compartilhado é possível esboçar as idéias utilizando a representação gráfica que a notação Matemática exige. O desenho facilita a comunicação entre os estudantes e, conseqüentemente, o entendimento. A comunicação síncrona apresenta-se, então, como uma característica essencial para apoiar esse processo, pois sempre que um novo conteúdo for adicionado ao espaço compartilhado, todos os participantes terão, em tempo real, acesso a essas mudanças. 5. Casos de utilização Os casos apresentados representam recortes em cada um dos experimentos realizados. As atividades constantes do primeiro caso fizeram parte do curso regular de matemática para alunos de nível básico (13-14 anos) com

12 12 dificuldades de aprendizado em Matemática, e fez parte do currículo regular destes alunos. Estas atividades fizeram parte das avaliações regulares dos alunos. Os casos restantes são análises sobre grupos voluntários em atividades que embora pertençam aos currículos regulares dos referidos cursos, foram desenvolvidas como atividades extras. 5.1 Caso 1: Estudantes de anos do Ensino Básico Grupo A Atividade realizada em rede local no laboratório de informática. Para esta atividade os alunos formaram grupos de 2 e 3. A forma como os alunos foram agrupados foi previamente determinada pelo professor-coordenador da sessão colaborativa. Em cada sessão o acesso era permitido aos componentes do grupo e ao professor. Objetivo: Desenvolver uma estratégia para calcular a área de polígonos construídos na área pública, utilizando apenas a fórmula para cálculo da área de um triângulo. Roteiro: Usando apenas a fórmula A b h 2 = desenvolva uma estratégia para calcular a área da figura disponibilizada na área pública do grupo (Figura 2) 1. Cada aluno, individualmente, deverá explicar nos Comentários do Tabulæ Colaborativo cada passo da estratégia utilizada. Figura 2. Figura encontrada na área pública: Grupo A. A seguir trechos da comunicação estabelecida entre os alunos Áurea e Alexandre. Cabe ressaltar que durante o curso regular estes alunos apresentavam dificuldades de aprendizado e antes deste período especial de recuperação haviam obtido notas muito baixas. 1 Foram apresentados diferentes polígonos para cada grupo.

13 13 Alexandre: quem eh grupo A?! Áurea: euu!!! Áurea: por acaso a gente pode medir pra poder saber a área??? Professor: Vocês devem seguir o que pede o roteiro Alexandre: se puder, eh só fazer base menor + base maior vezes altura divido por 2 Áurea: tipo...eu já tô fazendo aqui! A gente divide em dois triângulos e depois vai vendo as medidas Áurea: vou perguntar pro professor se pode modificar a figura Áurea: eu dividi o trapézio em dois e depois eu vou medir Alexandre: tem que fazer 2 triângulos retângulos e um quadrado? Professor: Alexandre por quê vc afirma que a terceira figura é um quadrado? Alexandre: Pelos 4 lados... tah errado Alexandre: Áurea num se esquece de nomear os pontos! Alexandre: naum c esquec d fazer a altura! seleciona ponto e a reta oposta a ele, faz uma reta perpendicular e depois esconde a reta... e faz c/ o outro triângulo e deixa só a altura! Alexandre: a area total deu !! c achou isso?? Alexandre: a area do triangulo ACB deu Alexandre: e do BDC deu Áurea: vou fazer agora Alexandre: blz, c precisar d ajuda fala!! Tivemos sorte de pegar uma das figuras mais fáceis... nomeio td certinhu tipo... Área do triângulo... Alexandre: Áurea o qq eh pra escrever nos comentários?? Áurea: todos os passos do trab... os dados...tudo. Comentários sobre a atuação dos estudantes durante a sessão colaborativa: Destacamos este recorte dentre muitos outros similares para ressaltar aspectos de interesse das investigações matemáticas que a possibilidade da gravação de um registro de atividade transforma em evidência. O aluno Alexandre demonstra conhecer uma fórmula que calcula a área da figura que lhe parece ser um trapézio, apesar de em nenhum momento ele a identificar pelo nome. Uma dificuldade que aparece na maioria das sessões colaborativas é a leitura dos roteiros, revelando uma dificuldade dos alunos, de um modo geral, com a leitura de textos. Isto reflete uma situação presente em sala de aula, quando a maioria dos alunos quer logo que alguém os diga o que deve ser feito. A atividade colaborativa conduz o aluno à leitura, com atenção, do roteiro e da comunicação por Chat que estabelece com o colega de sessão. Ao final, observamos que, novamente, ao invés de ler o roteiro com as recomendações para a solução, Alexandre pergunta à colega sobre o que fazer. Quando o Alexandre lê o roteiro,

14 14 usa como estratégia dividir a figura em dois triângulos retângulos, e a terceira figura, um quadrilátero nada regular, ele o denomina por quadrado e comunica sua estratégia à Áurea. Este erro para a nomenclatura do quadrilátero reflete dificuldades em conceituar e diferenciar figuras planas, muito comuns e presentes em diversas das sessões colaborativas. Isto revela dificuldades trazidas de anos anteriores e não resolvidas. Podemos observar que ele, apesar da nomenclatura errada, elaborava uma estratégia que o levaria a uma solução. Porém, após o comentário do professor, abandonou sua estratégia e foi em frente seguindo a estratégia elaborada por Áurea. Aparentemente, ele ficou inseguro para continuar sua estratégia, após a indicação de erro pelo professor em sua nomenclatura para o quadrilátero. Áurea dividiu o trapézio em dois triângulos e, com a ajuda do Alexandre determinou a altura relativa e calculou corretamente os valores. Interpretamos a pergunta que Áurea faz sobre modificar a figura, do seguinte modo: na verdade ela não estava querendo usar os atributos da Geometria Dinâmica e movimentála. Parece-nos que para ela mudar a figura é vê-la como dois triângulos. É importante ressaltar, que apesar de fazerem o mesmo trabalho trocando informações sobre a sua solução, cada um apresentou uma estratégia inicial diferente para a solução. E acabaram optando por mesma estratégia para resolver o problema. Este é um caso onde as negociações e os processos interativos para resolver a atividade ocorreram sem problemas. A atuação do professor nas sessões colaborativas para resolução dos problemas ficou restrita a sinalização de possíveis caminhos a serem seguidos, ou ainda, indicações de erros. Durante as sessões sempre foi prioritariamente incentivado o processo interativo entre os alunos. Bonk, at al, (2004) comentam sobre a utilização de ferramentas colaborativas em processos de aprendizagem: If writing is thinking, then such online forums and shared workspaces should be powerful allies in the assessment of student understanding of key course concepts. This permanence of the online environments also can foster student self-reflection on their conceptual learning as well as instructor evaluation of the effectiveness of various online teaching techniques.

15 Caso 2: Estudantes de graduação em Matemática da UFRJ Grupo de três alunos utilizando o Tabulæ Colaborativo para comunicação em laboratório, porém a comunicação entre eles se deu somente através dos mecanismos de comunicação do software. Objetivo: Resolver uma questão apresentada no Exame Nacional de Cursos para formandos em matemática, utilizando Geometria Dinâmica e Colaboração. Roteiro: 1. Resolução de problema de Geometria Espacial. 2. O problema apresentado na área pública deverá ser resolvido na área privada do software de cada estudante 3. Construir a figura, e através dos mecanismos de comunicação do Tabulæ Colaborativo discutir com os estudantes do grupo as possíveis soluções. O problema: Em um cubo, CC é uma aresta e ABCD e A B C D são faces opostas. O plano que contém o vértice C e os pontos médios das arestas AB e AD determinam no cubo uma seção que é um: (A) triângulo isósceles. (B) triângulo retângulo. (C) quadrilátero. (D) pentágono. (E) hexágono. Para este caso optamos por descrever os procedimentos de colaboração, explicitando as figuras correspondentes a cada fase da solução e omitindo a transcrição dos diálogos do Chat: Descrição do processo de negociação para resolução do problema: Da observação inicial, percebemos que após visualização do problema, o grupo consegue a transcrição dos dados do problema para uma figura na tela do Tabulæ. A figura 3 é a representação mental do problema apresentado, que foi construído em conjunto pelo grupo. Observamos que cada estudante do grupo conseguiu, após alguma troca de informações uma representação visual correta para o problema. Cabe observar que representamos apenas a visualização de um dos estudantes, e que cada um construiu sua própria representação na área privada do Tabulæ.

16 16 Figura 3. Figura inicial. A partir do problema representado, a primeira construção que observamos em suas áreas privadas foi a seguinte: ligar os pontos M e N ao ponto C, construindo um triângulo isósceles, como na figura abaixo, copiada da solução de um deles. Figura 4 Primeira construção realizada pelos estudantes em suas áreas privadas. Após algumas movimentações experimentadas na tentativa em confirmar o polígono, os estudantes iniciam uma discussão sobre o que visualizaram em suas telas concluindo que o triângulo MNC não poderia ser solução. O Aluno I argumenta que MC é interior ao cubo e logo os outros concordam com esta afirmação, partindo cada componente do grupo para a procura da solução correta. Durante a discussão, o professor que coordena a sessão colaborativa argumenta com a possibilidade de usarem os conceitos de Geometria de posição, observando as retas suporte das arestas. A partir deste momento utilizam conceitos de projeção sobre planos e conseguem rapidamente determinar a solução correta, apresentando como solução a figura abaixo:

17 17 Figura 5 Solução correta encontrada pelos estudantes. Quando apresentada no Exame Nacional de cursos em 2000, esta questão apresentou índice muito pequeno de acertos. Como é uma questão que depende basicamente da construção de um modelo visual, a utilização de um software de Geometria Dinâmica ajudou bastante na solução. Porém, mesmo após a visualização do problema, a solução inicial apresentada por todos os estudantes do grupo foi a de um triângulo isósceles, o que estava errado. A utilização do Chat para comunicação permitiu a colaboração entre os estudantes, que assim puderam verificar que a solução estava errada, e, a partir de uma sugestão do professor, puderam compreender o caminho para a solução correta. 5.3 Caso 3: Alunos de Mestrado Profissional em Ciências e Matemática do CEFET/RJ Este experimento foi realizado com um grupo de quatro alunos conectados através da Internet. Da mesma participaram dois professores que monitoraram a realização das sessões e trocaram informações de maneira privada através de ferramenta de Chat. O Mestrado Profissional em Ciências e Matemática do CEFET/RJ é um programa com três anos que atinge principalmente professores de matemática e física do ensino fundamental e médio do Estado do Rio de Janeiro. Em uma disciplina destinada ao estudo de aplicações de programas de Geometria Dinâmica ao ensino foram realizadas quatro sessões colaborativas com o Tabulæ, com duração de cerca de duas horas cada. Em cada sessão foi proposto um problema para ser discutido e resolvido pelo grupo. Destacamos para este estudo o mesmo problema apresentado no estudo de caso 2, com algumas adaptações. Para este experimento optamos por apresentar a questão acompanhada da figura que a representa.

18 18 Em processos semelhantes ao do relatado no caso 2, os alunos chegaram à solução do problema. O fato de estarem trabalhando em grupo, mas conectados à distância, pouco alterou o processo que os levou à solução do problema, em comparação com uma interação presencial. Observando o conjunto de experiências realizadas com este grupo de alunos, verificamos os seguintes aspectos: Uma sessão expositiva inicial foi suficiente para aprendizagem da ferramenta a curva de aprendizagem da ferramenta colaborativa não é longa. A primeira sessão foi suficiente para entendimento dos elementos da sessão colaborativa. Alunos com maior desempenho em geometria tiveram mais desenvoltura no ambiente colaborativo, e foram mais atuantes nas sessões. Eventualmente, as sessões levam a um melhor uso do programa de geometria dinâmica e, portanto, do programa na sua versão colaborativa. Os alunos que tinham papel de expositor privilegiavam a área de construção geométrica em detrimento do Chat Quando os alunos obtinham o status de expositor de uma sessão, passavam a atuar apenas na área geométrica, não utilizando o Chat para explicar o que estavam fazendo. Eventualmente, se esse comportamento se confirmar, isto talvez possa indicar a necessidade de uma interface que envolva sempre a transmissão de voz. 6 Conclusões A partir das experiências iniciais, atuais projetos de aplicações que estamos implementando e das discussões acadêmicas a que submetemos nossas pesquisas, pretendemos desenvolver o Tabulæ Colaborativo de modo a agregar funcionalidades que melhorem a comunicação matemática e permitam aos estudantes refletirem sobre os seus processos mentais e de seus pares. Segundo Hung (2001), o protocolo de interação/comunicação deve permitir aos estudantes: Conjecturar, Negociar e Identificar as idéias a respeito dos conceitos envolvidos, para a aplicação ou experimentação sobre as idéias desenvolvidas no problema. Isto envolve a habilidade para concretizar as idéias desenvolvidas nos processos de elaboração de conjecturas e negociações.

19 19 Para cada atividade realizada neste modelo de Aprendizado Colaborativo Apoiado por Computador pretendemos estabelecer a seguinte estrutura: Regras: Os estudantes devem elaborar conjecturas, negociá-las com seus pares e organizar suas idéias. Objetivos: Entender os conceitos matemáticos Atividades: Focalizar os diversos aspectos do problema matemático proposto Comunicação: Entre estudantes, e entre estes e o professor Produto: A solução matemática do problema. Referências 1. Alavi, M. (1994) Computer-Mediated Collaborative Learning: An Empirical Evaluation. MIS Quarterly, 18, Bonk, J.C., Wisher, R. A., Lee, J. Y. (2004) Moderating Learner-Centered E- Learning:Problems and Solutions, Benefits and Implications, In T.Roberts (Ed.), Online Collaborative Learning: Theory and Practice, pp , 2004, London:Infosci. 3. Bricker, L.J., Tanimoto, S.L., Rothenberg, A.I., Hutama, D.C. & Wong, T.H (1995) Multiplayer activities that develop mathematical coordination. In CSCL'95: First International Conference on Computer Support for Collaborative Learning, Bricker, L., Inkpen, K., Stewart, J., Myers, B. and Poltrock, S. (1998) Single Display Groupware: Exploring Computer Support for Co-Located Collaboration. Panel submitted to ACM CHI'99, Pittsburgh,PA. 5. Davidson, N. A., Reynolds, B. E., Rogers, E. C., (2001) Introduction to Cooperative Learning in Undergraduate Mathematics, in COOPERATIVE LEARNING IN UNDERGRADUATE MATHEMATICS Issues That Matter and Strategies That Work, pp. 1-11, The Mathematical Association of America, USA, Ellis, C.A., Gibbs, S.J., Rein, G.L. (1991) Groupware: some issues and experiences. Communications of the ACM v. 34 (1)

20 20 7. Fenton, W. E., Reynolds, B. E., Davidson, N. A., Baker, B. M., Berger, R., Szpilka, A. M. (2001) Classroom Strategies fo Cooperative Learning, in Cooperative Learning In Undergraduate Mathematics, pp , The Mathematical Association of America, USA, Mattos, F. R. P., Guimarães, L.C., Moraes, T. G., (2005 ) Tabulæ, um software para um modelo colaborativo de ensino, Memórias del VII Simposio de Educación Matemática, eds. Sagula, J. E., Chalé, P. C. 1ª ed. Buenos Aires: Edumat. 9. Hung, D. W. L., (2001), Conjectured ideas as mediating artifacts for the.appropriation of mathematical meanings Journal of Mathematical Behavior 20, pp Kreijns, K.,Kirschner, P., Jochems, W. (2003) Identifying the pitfalls for social interaction in computer-supported collaborative learning environments: a review of the research Computers in Human Behavior Marjanovic, O. (1999) Learning and teaching in a synchronous collaborative environment Journal of Computer Assisted Learning, 15, Morais, T.G., (2006) Um Modelo para Colaboração Síncrona em Geometria Dinâmica, Dissertação de mestrado submetida ao Corpo Docente do Instituto de Matemática e Núcleo de Computação Eletrônica da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Março, Nason, R., & Woodruff, E. (2004). Online collaborative learning in mathematics: Some necessary innovations. In T. Roberts (Ed.), Online collaborative learning: Theory and practice (pp ). London: Infosci. 14. Singley, M.K., Singh, M., Fairweather, P., Farrel, R. & Swerling, S. (2000) Algebra Jam: Supporting Teamwork and Managing Roles in a Collaborative Learning Enviroment. In. Proceedings of CSCW 00 Philadelphia, Turvey, K. (2005) Towards deeper learning through creativity within online communities in primary education Computers & Education 46, 3, Yeh, A., Nason, R., (2004) Toward a Semiotic Framework for Using Technology in Mathematics Education: The Case of Learning 3D Geometry, ICCE2004 Conference, Asia-Pacific Society for Computers in Education. In Proc.International Conference on Computers in Education, Australia, 2004.