Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada

Transcrição

1 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Tese de Doutorado FOLHEAÇÕES, SEPARATRIZES E CURVAS INVARIANTES EM SUPERFÍCIES Edileno de Almeida Santos Rio de Janeiro 26 de Março de 2017

2

3 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Edileno de Almeida Santos FOLHEAÇÕES, SEPARATRIZES E CURVAS INVARIANTES EM SUPERFÍCIES Tese apresentada ao Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada como requisito parcial para a obtenção do título de doutor em Matemática. Orientador: Jorge Vitório Pereira Rio de Janeiro 2017

4

5 Abstract In this thesis we discuss two dierent topics. First, from the analysis of the triviality of the logarithmic conormal bundle over invariant curves, we give a new proof of the Separatrix Theorem and some extensions of this important result. Secondly, inspired by Brunella's work on minimal models for foliations, in particular by his very special foliation, we study when an invariant rational nodal curve of positive self-intersection determines the foliation, and we show, under some natural hypothesis, the three possible foliations. Keywords: Holomorphic Foliations, Separatrices, Invariant Curves. v

6

7 Resumo Nesta tese discutimos dois diferentes temas. Primeiro, a partir do estudo da trivialidade do brado conormal logarítmico restrito a curvas invariantes, somos levados a uma nova prova do Teorema da Separatriz e fazemos algumas pequenas extensões desse importante resultado. Em segundo, inspirados pelo trabalho de Brunella sobre modelos minimais de folheações, em particular pela sua folheação muito especial, investigamos quando uma curva racional nodal invariante determina a folheação, mostrando, sob certas hipóteses naturais, as três folheações possíveis. Palavras-chave: Folheações Holomorfas, Separatrizes, Curvas Invariantes. vii

8

9 Sumário Abstract v Resumo vii 1 Introdução Estudo Local Estudo Global Preliminares Folheações Holomorfas em Superfícies Redução de Singularidades Índices para Curvas Invariantes Teorema do Índice de Hodge Grupo de Néron-Severi O Teorema do Índice de Hodge Superfícies Regradas Superfícies de Hirzebruch Existência de Fibração Resíduos Conceitos Básicos Representação Residual Grupo de Picard de Curvas Divisor Residual ix

10 4 Existência de Separatriz Representação Residual Trivial e Separatrizes O Teorema da Separatriz Representação Residual Torção e Separatrizes Folheações com Feixe Normal Q-Gorenstein Folheações Especiais Logaritmicidade Três Folheações Muito Especiais A Folheação Muito Especial de Brunella Segunda Folheação Muito Especial Terceira Folheação Muito Especial Folheações de Riccati Rigidez das Folheações Muito Especiais Ciclos Invariantes Proposições e Lemas Básicos Prova do Teorema (Teorema 3) Cálculos Preliminares Auto-interseção Auto-interseção Auto-interseção Auto-interseção Auto-interseção > Construção de Curvas Racionais Nodais

11 CAPÍTULO 1 Introdução Neste trabalho, estamos interessados em aspectos locais e globais da teoria de folheações holomorfas em superfícies complexas. 1.1 Estudo Local Dentro desse contexto, cuja origem remonta a trabalhos de H. Poincaré, uma das primeiras questões da teoria foi quanto à existência de curva invariante (separatriz) passando por singularidade isolada de um campo de vetores holomorfo em (C 2, 0), problema já apresentado em 1854 por C. Briot e J. Bouquet. A solução denitiva veio muitos anos depois, em 1982, quando C. Camacho e P. Sad provaram em [7] o seguinte Teorema (da Separatriz). Seja v um campo de vetores holomorfo denido em vizinhança de 0 C 2 com singularidade isolada na origem. Então existe curva invariante por v passando por 0 C 2. Posteriormente, em 1988, C. Camacho publicou em [5] uma extensão desse resultado para folheações denidas em superfícies singulares: Teorema. Seja X uma superfície complexa normal irredutível. Suponhamos que o grafo dual da resolução da singularidade p X seja uma árvore. Então todo germe de folheação holomorfa, singular em p, admite uma curva invariante passando por p. 1

12 Uma prova bastante elegante foi apresentada por M. Sebastiani em [29] (veja também descrição de M. Brunella em [2]). No caso do Teorema da Separatriz para superfícies não singulares, outras demonstrações foram realizadas por M. Toma em [32] e J. Cano em [9]. Nosso primeiro objetivo nesta tese será apresentar uma prova alternativa do Teorema da Separatriz para superfícies singulares. Acreditamos que nossa demonstração seja direta e transparente, além de permitir extensões do teorema a superfícies singulares onde o grafo dual da resolução da singularidade da superfície não é uma árvore. Se X é uma superfície com apenas singularidades normais, uma folheação holomorfa em X é simplesmente uma folheação holomorfa em X Sing(X). Os feixes tangente T F e normal N F são denidos tomando as imagens diretas via a inclusão X Sing(X) X dos feixes tangente e normal da folheação subjacente em X Sing(X). Em [5], C. Camacho fornece um exemplo para não existência de separatriz em dimensão dois. Seja π : Y X uma resolução da singularidade normal p X, onde π 1 (p) = E = E 1 + E 2 + E 3 é curva a cruzamentos normais simples e cada E j é suave de auto-interseção Ej 2 < 0. O argumento consiste em construir folheação reduzida sem sela-nó em vizinhança da curva (invariante) E tal que Sing(F) E = Sing(E). O grafo dual Γ de E é um ciclo, conforme abaixo ilustrado: Figura 1.1: Ciclo de três curvas invariante. IMPA 2 Março, 2017

13 Edileno de Almeida Santos E1 λ 1,2 λ 1,3 E2 λ2,3 E3 onde λ ij = CS(F, C i, p ij ), {p ij } = E i E j. Assim λ 1,2 + λ 1,3 = E 2 1; 1 λ 1,2 + λ 2,3 = E 2 2; = E λ 2,3 λ ,3 As condições acima são sucientes para construir uma folheação em vizinhança da curva E como desejado (ver prova apresentada por Lins-Neto do teorema principal em [19]). Se os λ ij não forem racionais positivos, a folheação será reduzida. Deste modo, ao contrair a curva E num ponto p, obtem-se uma folheação em superfície singular sem separatriz passando pela singularidade p. Surge então a questão: Quais condições podemos exigir da folheação para que exista separatriz mesmo quando o grafo dual da resolução do ponto singular da superfície não é uma árvore? Os capítulos 3 e 4 desenvolvem respostas ao questionamento acima. Primeiro, no Capítulo 3 investigamos relações entre folheações e suas curvas invariantes por meio do brado conormal logarítmico, em particular analisamos a situação em que tal brado restrito à curva é trivial, o que nos leva às noções de resíduos e representação residual (Teoremas e 5.1.3). A partir de tais ideias, no Capítulo 4 apresentamos uma nova demonstração do Teorema da Separatriz e fazemos algumas extensões desse resultado com hipóteses envolvendo o grafo dual da resolução da singularidade da superfície ou o feixe normal da folheação (Teoremas 4.1.1, 4.3.3, e 4.4.5). Desses resultados, destacamos o principal: Teorema 1 (Teorema 4.4.1). Seja F uma folheação na superfície singular normal X. Seja f : Y X aplicação bimeromorfa que resolve a singularidade p X e tal que a folheação induzida G = f F possui apenas singularidades reduzidas em E = f 1 (p). Se G não possui sela-nó em E e o feixe normal de F é Q-Gorenstein, então F possui separatriz passando por p. IMPA 3 Março, 2017

14 No teorema acima, um feixe S numa superfície singular é dito Q-Gorenstein se existe um inteiro positivo k > 0 tal que a k-ésima potência S k é localmente trivial (mesmo nas singularidades). A demonstração do teorema consiste em mostrar que a representação residual é torção de ordem k (a representação é do grupo fundamental de Γ em C, onde Γ é o grafo dual do divisor excepcional E = n i=1 E i de f). Essa representação corresponde à obstrução para que possamos associar a cada componente irredutível E i de E um número complexo µ i (chamado um resíduo ao longo de E i ) de modo que o índice de Camacho-Sad num ponto de cruzamento p ij de duas componentes E i e E j ao longo de uma delas seja igual a menos o quociente dos números µ i e µ j (mais precisamente, CS(F, C j, p ij ) = µ i µ j ). Ocorrendo que a representação é trivial, isto é, k = 1, o número de separatrizes por pontos de Sing(G) (E Sing(E)) não suportadas em E será maior do que ou igual à dimensão do Q-espaço vetorial gerado pelas combinações Q-lineares dos resíduos µ 1,..., µ n (associados às componentes E 1,..., E n ) e δ 1,..., δ m (resíduos associados às separatrizes não suportadas em E que intersectam E), conforme Teorema Sendo tal dimensão maior do que ou igual a 1, concluímos que existe separatriz por ponto de E, mas não suportada em E, a qual se projeta por f em separatriz passando pela singularidade p. Se a representação não é trivial, mas é torção de ordem k, o truque do recobrimento nos permite levantar a folheação G de modo que a representação residual correspondente será trivial, donde se conlui também a existência de separatriz (Teorema 4.3.3). De um modo geral, sendo C = n i=1 C i curva compacta invariante por uma folheação reduzida F tal que Sing(C) são singularidades reduzidas não degeneradas, onde cada C i é uma componente irredutível de C, indicamos por Sep(F, C) = S S m as separatrizes (germes) não suportadas em C passando por pontos de Sing(F) (C Sing(C)) que são singularidades não degeneradas. Seja D = C + Sep(F, C) e ρ = ρ (F,D) : π 1 (Γ) C a representação residual de F ao longo de D. Então vale o Teorema 2 (Teorema 4.1.1). Suponhamos que F não possui separatriz fraca suportada em C e que a representação ρ = ρ (F,D) seja trivial, com resíduos µ 1,..., µ n ao longo de C e δ 1,..., δ m ao longo de Sep(F, C), isto é, com divisor residual R = Res(F, D) = n µ i C i + i=1 m δ k S k. k=1 IMPA 4 Março, 2017

15 Se a matriz de interseção [C i C j ] ij de C é invertível, então n m #Sep(F, C) = m dim Q ( µ i Q + δ k Q) 1 i=1 k=1 Vamos explicar melhor as ideias envolvidas. Seja C = n i=1 C i curva qualquer invariante por uma folheação reduzida F tal que Sing(C) são singularidades reduzidas não degeneradas, onde cada C i é uma componente irredutível de C. A representação residual ρ (F,C) : Γ C pode ser assim obtida: dado um caminho contínuo fechado em Γ, partindo do vértice C 1 digamos, associamos arbitrariamente um número complexo não nulo µ 1 a C 1 e cada vez que o caminho passa por um vértice C k de Γ associamos um número µ k C de maneira que se o caminho sai de um vértice C i para outro vértice C j percorrendo a aresta p ij que os liga, então o quociente dos números associados deve ser igual a menos o quociente dos autovalores de um campo gerador da folheação (mais precisamente, µ i µ j = CS(F, C j, p ij )), mas quando o caminho volta ao vértice inicial C 1 pode ocorrer de o número inicialmente associado a C 1 ter sido alterado por um fator α C, o qual será, por denição, a imagem em C da classe do caminho em π 1 (Γ, C 1 ). Se C é compacta e ocorrer Sing(F) C = Sing(C), então o brado conormal logarítmico restrito à curva N F O X(C) C é determinado pela representação residual (Proposição 3.3.2), em particular N F O X(C) C = O C se, e somente se, ρ (F,C) é trivial. Esta é a ligação entre a representação residual e o brado normal da folheação. 1.2 Estudo Global Mais recentemente, em [2] e [3], M. Brunella introduziu o conceito de modelo minimal para folheações holomorfas em superfícies (uma versão folheada dos modelos minimais de Zariski para superfícies algébricas). Partindo-se de uma noção preliminar de modelo relativamente minimal, deni-se como modelo minimal um modelo relativamente minimal que é único a menos de transformações bimeromorfas. Nesse contexto, o seguinte resultado é muito importante: Denição (Curvas Excepcionais de primeiro tipo). Estas são curvas racionais não singularees com auto-interseção 1. Frequentemente chamamos tais curvas ( 1)-curvas. Uma propriedade muito útil das ( 1)-curvas é dada pelo IMPA 5 Março, 2017

16 Teorema ([1], página 97). Seja Y uma superfície não singular, E Y uma ( 1)-curva e π : Y X a aplicação contraindo E. Então p = π(e) é não singular em X. A ideia de obter folheações minimais consiste em contrair o máximo possível de ( 1)-curvas invariantes por uma folheação reduzida de modo que a folheação resultante ainda permaneça reduzida. É demonstrado em [2] que a noção de minimalidade apresentada esquematicamente acima é equivalente à seguinte: Denição Seja F uma folheação reduzida numa superfície compacta X. Dizemos que a folheação F é minimal se, para toda folheação reduzida G em superfície compacta Y, uma aplicação bimeromorfa φ : Y X que leva G em F é de fato um morsmo. No entanto, nem toda folheação adimitirá um modelo minimal. exceções estão precisamente descritas no teorema de Brunella abaixo ([2]): Tais Teorema. Seja F uma folheação holomorfa numa superfície complexa compacta X sem modelo minimal. Então F é bimeromorcamente equivalente a uma folheação na lista abaixo: 1. bração racional; 2. folheação de Riccati não trivial; 3. a folheação muito especial descrita na página 58 de [2]. As folheações apresentadas nos itens (1) e (2) no enunciado do teorema anterior formam uma numerosidade de classes bimeromorfas de folheações sem modelo minimal. A folheação dita especial do item (3) é realmente especial, pois ela apresenta uma caracterização em termos de uma de suas curvas algébricas invariantes, a saber vale o seguinte teorema de Brunella ([2]): Teorema. Seja F uma folheação numa superfície complexa compacta X e seja C X uma curva racional nodal com um único nó p C, invariante por F e com C 2 = C C = 3. Suponha que p é uma singularidade reduzida não degenerada de F e que é a única singularidade de F em C. Então F é única a menos de transformações birracionais. IMPA 6 Março, 2017

17 A folheação birracionalmente única dada pelo teorema acima será chamada folheação muito especial de Brunella (veja subseção para denição precisa). Surge então a questão: O que acontece se mantivermos as hipóteses do teorema acima a menos de trocar C 2 = C C = 3 por C 2 = C C = n > 0? Relembremos o seguinte teorema de Kodaira: Teorema (Theorem 6.2, Chapter IV, [1], página 160). Uma superfície compacta X é projetiva se, e somente se, existe em X um brado linear L tal que L 2 > 0. Sendo C 2 > 0, ca justicado o uso que fazemos do termo birracional em lugar de bimeromorfo. A m de facilitar o discurso, faremos uma denição. Denição Seja F uma folheação numa superfície complexa X. Um link para F é uma curva racional nodal C X com apenas um nó p C tal que: 1. C é positiva, isto é, C 2 = n > 0; 2. C é F-invariante; 3. p é uma singularidade reduzida não degenerada de F e é a única singularidade de F em C. Figura 1.2: Link. No Capítulo 5, inspirados pelo trabalho de Brunella sobre modelos minimais de folheações, estudamos folheações reduzidas com curva racional nodal IMPA 7 Março, 2017

18 invariante. Então desenvolvemos alguns resultados úteis sobre folheações de Riccati (Proposição ). No Capítulo 6 demonstramos o Teorema 5.2.3, o qual classica as folheações reduzidas em superfícies complexas compactas que admitem curva racional nodal invariante de auto-interseção positiva com singularidade reduzida não degenerada (um link conforme Denição 1.2.5). Teorema 3 (Teorema 5.2.3). Seja F uma folheação numa superfície compacta complexa X e seja C X um link para F. Então temos apenas três possibilidades, cada uma única a menos de transformações birracionais: 1. C 2 = 1 e F é birracional a uma folheação E 1 em Bl 3 (P 2 )/α, onde α Aut(Bl 3 (P 2 )) e Bl 3 (P 2 ) é um blow-up de P 2 em três pontos não colineares; 2. C 2 = 2 e F é birracional a uma folheação E 2 em P 1 P 1 /β, β Aut(P 1 P 1 ); 3. C 2 = 3 e F é birracional a uma folheção E 3 em P 2 /γ (folheação muito especial de Brunella), γ Aut(P 2 ). Nos casos de auto-interseção C 2 = 1, 2 e 3, a demonstração desse teorema consiste em adaptar a prova do teorema de Brunella. O caso C 2 = 4 se exclui Figura 1.3: C 2 3 blow-ups. diretamente pela hipótese da folheação ser reduzida no link. Supondo que exista folheação com link de auto-interseção C 2 > 4, após alguns blow-ups partindo do ponto de nó p C, o transformado estrito de C terá autointerseção nula. E assim a folheação resultante será uma folheação de Riccati, um absurdo em face do resultado que demonstraremos para folheações de Riccati: IMPA 8 Março, 2017

19 Teorema 4 (Proposição ). Seja F uma folheação numa superfície complexa compacta X. Seja C = C C n uma curva conexa invariante, onde cada C i é uma curva suave. Suponhamos que C Sing(F) = Sing(C) = i j C i C j são singularidades reduzidas não degeneradas e #C i Sing(F) > 1, i = 1,..., n. Se F é Riccati com respeito a uma bração racional π : X B, então toda bra de π por um ponto de C Sing(F) está completamente suportada em C. Nossas demonstrações originais dos teoremas 3 e 4 encontram-se em [28]. IMPA 9 Março, 2017

20

21 CAPÍTULO 2 Preliminares 2.1 Folheações Holomorfas em Superfícies Uma folheação holomorfa (singular) numa superfície complexa (suave) X é dada por uma cobertura aberta {U i } i I de X e 1-formas holomorfas ω i com singularidades isoladas em U i tais que U i U j ω i = g ij ω j onde g ij OU i U j. O cociclo {g ij } dene um brado linear holomorfo N F, chamado o brado normal de F. Alternativamente, podemos denir uma folheação holomorfa por meio de uma cobertura {U i } i I e campos vetoriais holomorfas v i com singularidades isoladas em U i tais que U i U j v i = f ij v j onde f ij O U i U j. O cociclo {f 1 ij } dene um brado linear holomorfo T F, chamado o brado tangente de F. O conjunto singular de F, indicado por Sing(F), é o subconjunto discreto de X denido por para todo índice i. Sing(F) U i = {p U i ; v i (p) = 0} 11

22 Assim, F é uma folheação holomorfa regular em X Sing(F) e podemos aplicar todo o estudo da teoria de folheações regulares (folhas, holonomia,...) em F, considerando sua restrição ao complementar de seu conjunto singular. Seja p Sing(F) e v um campo vetorial holomorfo que dene a folheação em vizinhança da singularidade p. Sejam λ 1 e λ 2 os autovalores da parte linear (Dv)(p) de v em p. Denição A singularidade p é chamada singularidade reduzida se 1. λ 1 0 ou λ 2 0; 2. se λ 1 λ 2 0, então λ 1 /λ 2 não é um número racional positivo. Uma singularidade reduzida p é dita não degenerada se ambos os autovalores λ 1 e λ 2 forem não nulos. Caso contrário, p é chamada sela-nó. Neste texto, grosso modo, tratamos da seguinte situação geral: C X é uma curva invariante pela folheação F. Se a singularidade p pertence à curva C, dizemos que C é uma separatriz de F passando por p. Vamos fazer a seguir um breve apanhado dos resultados sobre separatrizes de singularidades reduzidas que necessitaremos nos próximos capítulos. Referências gerais são [8] e [22]. No que se segue, λ é o quociente de autovalores ou λ = 0. Figura 2.1: Duas separatrizes passando pela singularidade p. 1) λ C (R {0}) ("domínio de Poincaré") Pelo clássico Teorema de Linearização de Poincaré, a folheação é linearizável em vizinhança de p: em coordenadas convenientes (x, y) com centro em p, a folheação é gerada pela 1-forma xdy λydx. Existem exatamente duas separatrizes: {x = 0} e {y = 0}. A holonomia de cada separatriz é conjugada, a menos de inversão, ao germe de difeomorsmo exp(2πiλ ±1 ), onde o expoente de λ depende da separatriz escolhida. IMPA 12 Março, 2017

23 Figura 2.2: Duas separatrizes passando pela singularidade p. 2) λ R ("domínio de Siegel") Embora neste caso a linearização nem sempre seja possível, como antes ainda temos exatamente duas separatrizes passando por p, dadas por {x = 0} e {y = 0} em coordenadas convenientes (x, y). Figura 2.3: Uma ou duas separatrizes passando pela singularidade p. 3) λ = 0 (sela-nó) Pelo Forma Normal de Dulac, em coordenadas convenientes, a folheação F é dada pela 1-forma (x(1 + ay k ) + yf(x, y))dy y k+1 dx onde k N +, a C e f é uma função holomorfa que se anula em p = (0, 0) até ordem k. A curva {y = 0} é uma separatriz, chamada separatriz forte. Algumas vezes, por exemplo se f 0, existe uma segunda (no máximo!) separatriz passando por p, suave e transversal à primeira, chamada separatriz fraca. IMPA 13 Março, 2017

24 2.1.1 Redução de Singularidades Vamos considerar uma folheação F numa superfície U, gerada por um campo vetorial v ou uma 1-forma ω com singularidades isoladas. Seja p U uma singularidade de F e π : Ũ U o blow-up em p. Localmente podemos "limpar"o anulamento de π (ω) ao londo do divisor excepcional π 1 (p), de modo a obter 1-formas com singularidades isoladas. Obtemos assim uma folheação F = π (F) em Ũ tal que F Ũ π 1 (p) é equivalente a F U {p}. Teorema (de Seidenberg, [2], página 13). Dado um ponto singular p U de uma folheação F em U, existe uma sequência de blow-ups σ : Ū U sobre p tal que a folheação F = σ (F) tem apenas singularidades reduzidas sobre σ 1 (p). O processo dado pelo teorema anterior será chamado redução da singularidade p. Denição Uma singularidade p de uma folheação F é chamada dicrítica se existem innitas separatrizes passando por p. Figura 2.4: Singularidade dicrítica p de F. Como consequência do Teorema de Seidenberg acima, temos a IMPA 14 Março, 2017

25 Proposição (Proposition 1, Chapter 1, [2], página 15). Uma singularidade p de uma folheação F é dicrítica se, e somente se, existe uma sequência de blow-ups σ : Ũ U sobre p e uma componente irredutível E 0 do divisor excepcional σ 1 (p) = E que não é invariante pela folheação induzida F = σ (F) Índices para Curvas Invariantes Consideremos uma folheação F dada por uma 1-forma holomorfa ω com singularidade isolada em p. Seja C uma separatriz de F passando por p, isto é, C é uma curva invariante que passa pela singularidade. Suponhamos que C é dada pela equação local reduzida f = 0. Então vale o seguinte lema: Lema ([18]). Existem germes de funções holomorfas g e h, relativamente primos e não identicamente nulos sobre C, e germe de 1-forma holomorfa η tais que gω = hdf + fη. Denição O Índice de Camacho-Sad de F com respeito à curva C no ponto p é dado por CS(F, C, p) = 1 2π 1 Exemplo Seja F uma folheação induzida em vizinhança de 0 C 2 por C η h. ω = x(λ 1 + yf(x, y))dy y(λ 2 + xg(x, y))dx onde λ 1, λ 2 são não nulos e f(x, y), g(x, y) são holomorfas. C 1 : {y = 0} e C 2 : {x = 0} são separatrizes. Temos CS(F, C 1, 0) = λ 2 /λ 1 e CS(F, C 2, 0) = λ 1 /λ 2. Se p C é um ponto regular da folheação, convencionaremos CS(F, C, p) = 0. Para uma curva compacta C existe um número nito de singularidades da folheação sobre C, logo podemos denir CS(F, C) = CS(F, C, p). p C IMPA 15 Março, 2017

26 Teorema (do Índice de Camacho e Sad, [7]). Se a curva C é compacta e F-invariante, então CS(F, C) = C 2. Denição O Índice Z de F com respeito à curva C no ponto p é dado por Z(F, C, p) = 1 2π (h/g) 1 C d(h/g). Exemplo Seja F uma folheação induzida em vizinhança de 0 C 2 por ω = x(λ 1 + yf(x, y))dy y(λ 2 + xg(x, y))dx onde λ 1, λ 2 são não nulos e f(x, y), g(x, y) são holomorfas. C 1 : {y = 0} e C 2 : {x = 0} são separatrizes. Temos Z(F, C 1, 0) = 1 e Z(F, C 2, 0) = 1. Se p C é um ponto regular da folheação, convencionaremos Z(F, C, p) = 0. Para uma curva compacta C existe um número nito de singularidades da folheação sobre C, logo podemos denir Z(F, C) = Z(F, C, p). p C Vale o seguinte resultado: Teorema (Proposition 7 de [3]). Se a singularidade p de F não possui sela-nó em sua redução e sendo C a união de todas as separatrizes por p, então Z(F, C, p) = 0. A fórmula de interseção do brado normal a seguir será muito importante. Teorema (Proposition 3, [2], página 25). Seja F folheação numa superfície complexa X e seja C X uma curva compacta suave F-invariante. Então N F C = N C O C (Z(F, C)). Se D X é uma curva conexa qualquer (não necessariamente suave) invariante pela folheação, então N F D = D 2 + Z(F, D). IMPA 16 Março, 2017

27 2.2 Teorema do Índice de Hodge Esquematizamos a seguir denições e resultados no âmbito da Geometria Complexa que serão utilizados neste texto. Seguimos [1] e [16] Grupo de Néron-Severi Primeiro vamos explorar a relação entre o grupo de Picard de uma variedade compacta Kähler X e o grupo de cohomologia H 1,1 (X) := H 1,1 (X, C). Relembremos a sequência (exata curta) exponencial: 0 Z O O 0. Em particular, obtemos o morsmo de cobordo Pic(X) = H 1 (X, O ) H 2 (X, Z) o qual pode ser composto com o morsmo H 2 (X, Z) H 2 (X, C) induzido pela inclusão Z C. Se X é Kähler compacta, temos a decomposição H 2 (X, C) = H 2,0 (X) H 1,1 (X) H 0,2 (X). O morsmo H 2 (X, C) H 2 (X, O X ), induzido pela inclusão C O X, e o morsmo H 2 (X, C) H 0,2 (X) = H 2 (X, O X ), dado pela projeção na primeira parcela da decomposição acima, coincidem (veja Lemma de [16]). A sequêmcia exata longa em cohomologia obtida da sequência exponencial mostra que a composição Pic(X) H 2 (X, Z) H 2 (X, C) H 2 (X, O X ) = H 0,2 (X) é trivial. Portanto, a imagem de Pic(X) H 2 (X, C) está contida na imagem de H 2 (X, Z) H 2 (X, C) e, se X é Kähler compacta, também no núcleo da projeção H 2 (X, C) = H 2,0 (X) H 1,1 (X) H 0,2 (X) H 2,0 (X). Como H 2 (X, R) H 2 (X, C) é invariante por conjugação complexa e contem a imagem de H 2 (X, Z) H 2 (X, C), então obtemos que a imagem de Pic(X) H 2 (X, C) está contida em H 1,1 (X, Z) := Im(H 2 (X, Z) H 2 (X, C)) H 1,1 (X). E vale a IMPA 17 Março, 2017

28 Proposição (Teorema de Lefschetz para (1,1)-classes, Proposition de [16]). Seja X uma variedade compacta Kähler. Então Pic(X) H 1,1 (X, Z) é sobrejetivo. E no caso de superfícies vale mais geralmente a Proposição (Teorema de Lefschetz para (1,1)-classes, Theorem 2.13 de [1]). Seja X uma superfície compacta. Então Pic(X) H 1,1 (X, Z) é sobrejetivo. Denição A imagem de Pic(X) H 2 (X, R) H 2 (X, C) é o grupo de Néron-Severi NS(X) da variedade X, que gera um subespaço real NS(X) R := NS(X) R H 2 (X, R) H 1,1 (X). O Teorema de Lefschetz acima diz que a inclusão natural NS(X) H 1,1 (X, Z) é uma igualdade. Denição Seja X uma variedade compacta complexa. O posto da imagem Pic(X) H 2 (X, R) é chamado o número de Picard ρ(x). Então, se X é uma variedade Kähler compacta, vale ρ(x) = posto(h 1,1 (X, Z)) = posto(ns(x)) O Teorema do Índice de Hodge Enunciemos agora o importante Teorema (Teorema do Índice de Hodge, Corollary de [16]). Seja X uma superfície Kähler compacta, então a forma de interseção H 2 (X, R) H 2 (X, R) R (α, β) α β tem índice (2h 2,0 (X)+1, h 1,1 (X) 1). Restrita a H 1,1 (X) a forma tem índice (1, h 1,1 (X) 1). Notemos que NS(X) R é a imagem da aplicação Pic(X) R H 2 (X, R) H 1,1 (X). Em vista do Teorema 1.2.4, podemos enunciar a seguinte consequência direta do Teorema do Índice de Hodge, a qual será utilizada algumas vezes neste X IMPA 18 Março, 2017

29 trabalho: se X é uma superfície complexa compacta, C X é uma curva compacta com C 2 > 0 e D é um R-divisor tal que C D = 0, então D 2 0 e D 2 = 0 se, e somente se, a classe de D em NS(X) R H 2 (X, R) H 1,1 (X) H 2 (X, C) H 1,1 (X) é zero. 2.3 Superfícies Regradas Seguiremos [1] e [14]. Denição Chamaremos superfície regrada a uma superfície complexa compacta X que é o espaço total de um brado localmente trivial sobre uma curva complexa B, de bra P 1 e grupo estrutural P SL(2, C). Da teoria geral de brados mais o Princípio GAGA (espaços vetoriais analíticos sobre curvas são algébricos), segue o Teorema (Proposition 4.1 de [1]). Todo brado analítico com bra P n e grupo estrutural P GL(n + 1, C) sobre uma curva compacta suave B é isomorfo a P(V ), o projetivizado de um espaço vetorial algébrico V de posto n + 1 sobre B. De fato, uma superfície regrada pode ser caracterizada por uma bração sobre uma curva suave compacta cujas bras são todas isomorfas a P 1 ([1], página 190). Indiquemos por Num(X) o grupo de divisores módulo equivalência numérica, isto é, D 1 num D 2 se para todo divisor D em X tivermos D 1 D = D 2 D. Teorema (Proposition 2.3 de [14]). Seja π : X B uma superfície regrada, s 0 a classe da imagem de uma seção holomorfa e f a classe de uma bra. Então onde Z é gerado por s 0 e também Pic(X) Z π (Pic(B)) Num(X) = Zs 0 Zf determinado pelas relações s 0 2 = e, s 0 f = 1, f 2 = 0. IMPA 19 Março, 2017

30 Figura 2.5: Superfície regrada Superfícies de Hirzebruch Quando B = P 1, um teorema clássico de Grothendieck ([12]) garante que todo brado vetorial algébrico sobre B é isomorfo a uma soma direta de brados lineares. Logo, toda superfície regrada sobre P 1 é da forma P(O P 1 O P 1(n)) para algum n 0 (pois Pic(P 1 ) = Z e P(V L) = P(V ) para todo brado linear L em B). Obtemos assim a n-ésima superfície de Hirzebruch Σ n := P(O P 1 O P 1(n)). As superfícies Σ n são todas birracionalmente equivalentes a P 1 P 1, logo a P 2. Se n > 0 e C n = P(O P 1(n)) Σ n, então Cn 2 = n (veja [1], página 191). Em particular, temos Teorema (Proposition 4.2 de [1]). As superfícies de Hirzebruch Σ n são todas birregularmente distintas. Exceto Σ 0 = P 1 P 1, cada uma dessas superfícies possui apenas uma bração racional localmente trivial. IMPA 20 Março, 2017

31 2.3.2 Existência de Fibração O seguinte resultado será crucial: Teorema (Proposition 4.3 de [1]). Seja X uma superfície compacta e C uma curva racional suave em X. 1. se C 2 = 0, então existe uma modicação (composição de blow-downs) φ : X Y, onde Y é "regrada", tal que C não intersecta curva excepcional de φ e φ(c) é uma bra de Y ; 2. se C 2 > 0, então X é ou P 2 ou uma superfície de Hirzebruch ou o blow-up de uma dessas superfícies. Assim, do item 1 do teorema acima, se C X é uma curva racional suave com auto-interseção C 2 = 0 na superfície compacta X, então X é obtida por uma sequência de blow-ups a partir de uma superfície regrada. IMPA 21 Março, 2017

32

33 CAPÍTULO 3 Resíduos 3.1 Conceitos Básicos Sejam X uma superfície complexa e C X uma curva. Denição Uma 1-forma logarítimica ω num aberto U X com polos em C é uma 1-forma meromorfa em U com a seguinte propriedade: para todo p U existe uma vizinhança V U de p tal que n df i ω V = ω 0 + g i f i onde ω 0 é uma 1-forma holomorfa em V, f i e g i são funções holomorfas em V e cada f i é uma equação reduzida de uma componente irredutível de C V. Em geral estaremos interessados na situação em que C = n i=1 C i X é um divisor a cruzamentos normais simples (simple normal crossing divisor), em cujo caso obtemos a seguinte sequência exata: n 0 Ω 1 X Ω 1 X(log C) O Ci 0 onde Ω 1 X (log C) é o feixe localmente livre (de posto 2) de 1-formas logarítmicas (veja Lemma 8.16 de [34]) e a última aplicação é dada pelo resíduo, denido como segue: se, localmente, ω V = ω 0 + i=1 n i=1 i=1 g i df i f i 23

34 então o resíduo de ω ao longo de C i é dado por Res(ω) Ci = g i {fi =0}. Verica-se facilmente que essa denição independe das escolhas envolvidas (f i, g i, ω 0 etc.). No contexto de folheações temos a denição a seguir. Denição Seja F uma folheação em X e suponhamos que a curva C seja F-invariante. Diremos que a folheação F é logarítmica em (X, C) quando, dado p C, ω 1-forma denindo F em vizinhança V de p e f equação reduzida de C V, a 1-forma meromorfa ω f polos em C. for logarítimica com Se a curva C possui apenas singularidades a cruzamentos normais, então toda folheação F em X tangente a C é logarítmica em (X, C). Neste caso, o brado L = N F O X (C) é chamado brado conormal logarítmico. Se a curva é um divisor a cruzamentos normais simples, então a aplicação de resíduo induz uma sequência exata: 0 N F N F O X (C) Observemos que uma coleção de seções locais η j de N F O X(C) denidas em abertos V j determina uma coleção de resíduos Res Vj C i (η j ) como seções locais de N F O X(C) Ci, para cada i = 1,..., n. n i=1 Exemplo Seja a 1-forma logarítmica fechada Então dy ω = λ 1 y λ dx 2 x. Res {x=0} (ω) = λ 2 O Ci e Res {y=0} (ω) = λ 1. Relembremos a forma normal a seguir: IMPA 24 Março, 2017

35 Teorema (THÉORÈME 1, [22], página 521). Seja F folheação dada por uma 1-forma holomorfa ω em vizinhança de 0 C 2 com singularidade isolada na origem e parte linear λ 1 xdy λ 2 ydx. Suponhamos que λ 1, λ 2 são não nulos e λ 1 /λ 2 e λ 2 /λ 1 não são inteiros > 1. Então existe uma mudança de coordenadas em vizinhança da origem tal que, nas novas coordenadas, a folheação é dada pela 1-forma λ 1 x(1 + xy(...))dy λ 2 y(1 + xy(...))dx Exemplo Segue do teorema acima que se a folheação F tem singularidade reduzida não degenerada em 0 C 2, então podemos encontrar uma expressão logarítmica para a folheação como segue: de modo que η = λ 1 (1 + xy(...)) dy y λ 2(1 + xy(...)) dx x Res {x=0} (η) = λ 2 e Res {y=0} (η) = λ 1. Vemos assim que o quociente de resíduos é igual a menos o quociente de autovalores. Notemos que se a curva C é compacta e ω é uma seção global em vizinhança de C de N F O X(C), então o resíduo em cada componente irredutível C i é constante. Fixemos uma curva compacta C X com singularidades a cruzamentos normais simples. Seja F uma folheação reduzida tangente a C. Proposição Se a folheação reduzida F não possui sela-nó em C, então existem vizinhança U de C e 1-formas logarítmicas em abertos contidos em U denindo NF O X(C) U tais que os resíduos obtidos são localmente constantes. Demonstração. Fora dos pontos singulares de F em C, podemos escolher seções locais do brado conormal logarítmico com qualquer resíduo xado em C. Em vizinhanças dos pontos singulares, seções locais com resíduo constante são obtidas via Exemplo Como consequência do Teorema , temos a proposição a seguir: IMPA 25 Março, 2017

36 Proposição Se a folheaçõa reduzida F não possui sela-nó na curva compacta invariante C = n i=1 C i, onde cada C i é uma curva suave, e C Sing(F) = Sing(C) = i j C i C j então NF O X (C) Ci = O Ci i = 1,..., n. Demonstração. O índice Z é zero nos pontos de C i C Sing(C) e vale 1 nos pontos de C i Sing(C). Logo N F Ci = N Ci O Ci (Z(F, C i )) = N Ci O Ci (C i Sing(C)) = N Ci O Ci ( j i C j C i ) = O X (C) Ci Observação A Proposição acima também é consequência da (prova da) Proposição Com efeito, primeiro notamos que os resíduos tem cociclo de transição igual ao cociclo de N F O X(C) restrico a C (em vizinhança dum ponto singular de C temos duas componentes para o cociclo, cada uma delas com valor dado pelas transições dos respectivos resíduos). Em particular, em cada componente C i, o cociclo de transição dos resíduos nos dá um cociclo para N F O X(C) Ci. Podemos escolher seções locais denindo N F O X(C) ao longo de uma vizinhança de C i todas com o mesmo resíduo xado em C (ao longo de C i ), logo segue a trivialidade de N F O X(C) Ci. De nossa discussão acima também obtemos a Proposição Suponhamos que a folheação reduzida F não possui selanó na curva compacta invariante C = n i=1 C i, onde cada C i é uma curva suave, e C Sing(F) = Sing(C) = i j C i C j. Então N F O X (C) C = O C IMPA 26 Março, 2017

37 se, e somente se, existem δ 1,..., δ n C, abertos V l formando vizinhança de C em X e seções η l de NF O X(C) Vl tais que i = 1,..., n. V l C i Res Ci (η l ) = δ i Demonstração. Suponhamos N F O X(C) C = O C. Então, multiplicando as seções locais η l dadas pela Proposição por constantes não nulas convenientes, podemos supor que o cociclo de transição dos resíduos é constante igual a 1. Então, em cada componente C i, vale para constante δ i C, i = 1,..., n. V l C i Res Ci (η l ) = δ i Reciprocamente, suponhamos que existam as seções locais η l como acima. Então, evidentemente, o cociclo de transição dos resíduos é constante igual a 1 e, portanto, N F O X(C) C é trivial. Observação Seja p C 1 C 2, onde C 1 e C 2 são curvas suaves. Se C = C 1 C 2 é invariante por uma folheação F reduzida não degenerada em p e η é uma seção local em vizinhança de p denindo N F O X(C), então o quociente Res C1 η/res C2 η independe de η e é igual a menos o quociente de autovalores da folheação em p. Isso é consequência do Teorema (veja Exemplo 3.1.5). Figura 3.1: Quociente de resíduos é igual a menos o quociente de autovaloes em p. Nossas discussões anteriores e a observação acima nos levam naturalmente ao conceito a seguir. IMPA 27 Março, 2017

38 3.2 Representação Residual Seja F uma folheação holomorfa numa superfície complexa X. Suponhamos que F deixa invariante uma curva C = n i=1 C i com as seguintes propriedades: 1. C 1,..., C n são curvas suaves; 2. todas as singularidades de F em C são reduzidas; 3. Sing(C) = i j C i C j são singularidades reduzidas não degeneradas de F. A m de simplicar a exposição, vamos supor #C i C j 1 se i j (a menos de realizar alguns blow-ups, não há perda de generalidade). Se i j e C i C j, seja {p ij } = {p ji } = C i C j. Associado ao divisor F-invariante C temos o seu grafo dual Γ, onde cada vértice representa uma curva C i e cada aresta ligando dois vértices representa a interseção dos mesmos no ponto p ij. O grafo será dirigido, orientado pela ordem dos índices de seus vértices, isto é, uma aresta p ij ligando um vértice C i a outro vértice C j será orientada no sentido de C i para C j se i < j. (Existe uma escolha arbitrária na orientação do grafo, mas isso não afetará nosso estudo.) A cada aresta p ij, com i < j, associamos o número δ ij = CS(F, C j, p ij ) C. (Notemos que se a folheação é reduzida não degenerada em p ij, então δ ij = CS(F, C j, p ij ) = α ij /β ij = Res Ci /Res Cj onde α ij, β ij são autovalores no ponto p ij associados a um campo local que dene a folheação.) Assim, obtemos um elemento σ = σ (F,C) H 1 (Γ, C ) e (equivalentemente) uma representação ρ = ρ (F,C) : π 1 (Γ) C a ser chamada representação residual. Em certos casos, a representação acima corresponde à obstrução para a trivialidade do brado linear N F O X(C) C. Explicitamente, temos a IMPA 28 Março, 2017

39 Proposição Suponhamos que a folheação reduzida F não possui selanó na curva compacta invariante C = n i=1 C i, onde cada C i é uma curva suave, e C Sing(F) = Sing(C) = i j C i C j. Então N F O X (C) C = O C se, e somente se, a representação residual ρ (F,C) é trivial. Demonstração. Se N F O X(C) C = O C, então a Proposição anterior (3.1.9) mais a Observação acima (3.1.10) implicam que a representação ρ (F,C) trivial. Reciprocamente, suponhamos a trivialidade da representação residual. Então existem δ 1,..., δ n C tais que δ i /δ j = δ ij = Res Ci /Res Cj. Assim, é possível escolher seções locais do brado conormal logarítmico em vizinhanças das singularidades de C com resíduo δ i ao longo de C i, i = 1,..., n (Observação ). Fora dos pontos singulares de C, podemos escolher o resíduo que bem quisermos, então tomamos seções nocais com resíduo δ i ao longo de C i. Portanto, tais seções locais trivializam o brado conormal logarítmico em C (via resíduos). Denição Um ciclo de curvas racionais suaves (ou simplesmente um ciclo) é uma união de um número nito de curvas racionais suaves em posição geral (cruzamentos normais) C i, i = 1,..., m, m > 1, tal que: se m = 2, então #C 1 C 2 = 2; se m > 2, então #C i C (i+1) = #C 1 C m = 1, i = 1,..., m 1, caso contrário #C i C j = 0. Exemplo Se o grafo dual Γ de C é contrátil, então a representação ρ (F,C) é trivial. Exemplo Seja uma folheação F que deixa invariante um ciclo de curvas racionais C = C 1 + C 2 + C 3, onde Cj 2 = 1, j = 1, 2, 3, e tal que Sing(F) C = Sing(C) são singularidades reduzidas não degeneradas de F. (Por exemplo, considere a folheação dada por ω = xdy λydx em P 2, onde λ C Q 0.) é IMPA 29 Março, 2017

40 Edileno de Almeida Santos Figura 3.2: Ciclo de três curvas racionais invariante. O grafo dual de C é C1 δ 1,2 δ 1,3 C2 δ2,3 C3 onde os δ ij representam o cociclo em H 1 (Γ, C ) correspondente à representação residual. Assim δ 1,2 + δ 1,3 = 1; 1 δ 1,2 + δ 2,3 = 1; = 1. δ 2,3 δ 1,3 Vemos facilmente que neste caso a representação ρ (F,C) é sempre trivial. 3.3 Grupo de Picard de Curvas Seja C = n i=1 C i uma curva complexa compacta (conexa!), onde cada C i é uma curva suave, e Γ o grafo dual de C. Vamos descrever os brados lineares em C que tem a propriedade de ser trivial em restrição a cada uma das componentes irredutíveis C i, i = 1,..., n. IMPA 30 Março, 2017

41 Proposição Seja T (C) = {F Pic(C); F Ci = O Ci, i = 1,..., n}. Então T (C) H 1 (Γ, C ) Hom(π 1 (Γ), C ). Demonstração. Consideremos a sequência exata curta 1 O C n OC i i=1 onde o morsmo com imagem em p Sing(C) p Sing(p) C 1 C é dado por quociente (para isto usamos uma ordenação dos índices a m de xar como proceder tais divisões): se k < l e q C k C l, uma seção local de n i=1 O C i com valor λ k em q C k e λ l em q C l tem imagem com valor λ k /λ l em q (como seção de C ). Obtemos então a sequência exata longa em cohomologia p Sing(C) 1 C n C C Pic(C) i=1 p Sing(C) n Pic(C i ) 1. i=1 Então Hom(π 1 (Γ), C ) H 1 (Γ, C ) p Sing(C) C Im( n i=1 C p Sing(C) C ) p Sing(C) C Ker( p Sing(C) C Pic(C)) Im( C Pic(C)) p Sing(C) Ker(Pic(C) = T (C) n Pic(C i )) i=1 Assim, um brado linear F Ker(Pic(C) n Pic(C i )) = Im( C Pic(C)) i=1 p Sing(C) IMPA 31 Março, 2017

42 Edileno de Almeida Santos determina um elemento em H 1 (Γ, C ) (logo uma representação ρ F : π 1 (Γ) C ) e reciprocamente um elemento em H 1 (Γ, C ) determina um brado linear como acima. A situção de nosso interesse consiste da curva C = n i=1 C i, com singularidades a cruzamentos normais simples e invariante por uma folheação F reduzida, sem sela-nó e singular apenas nos pontos de cruzamentos da curva, e do brado conormal logarítmico L = N F O X(C) restrito à curva C, de modo que conforme a Proposição seguir. F = L C Ker(Pic(C) n Pic(C i )) À luz do que zemos acima, podemos escrever o diagrama comutativo a i=1 1 H 1 (Γ, C ) Pic(C) n Pic(C i ) 1 i=1 1 C n i=1 C p Sing(C) C Pic(C) n Pic(C i ) 1 i=1 1 C C n i=1 C C i p Sing(C) C 1 1 O C n i=1 O C i p Sing(C) C 1 L Res n i=1 O Ci De nossos argumentos anteriores segue a generalização da Proposição IMPA 32 Março, 2017

43 Proposição Suponhamos que a folheação reduzida F não possui selanó na curva invariante C = n i=1 C i, onde cada C i é uma curva suave, e C Sing(F) = Sing(C) = i j C i C j. Então o brado linear F = N F O X(C) C é determinado pela representação residual ρ (F,C). Isto é, ρ F = ρ (F,C). Demonstração. Basta notar que F = N F O X (C) C Ker(Pic(C) n Pic(C i )). i=1 3.4 Divisor Residual Se a representação ρ (F,C) é trivial, então existem δ 1,..., δ n C tais que δ ij = δ i /δ j e, assim, podemos denir, a menos de multiplicação por constante não nula, o divisor residual R = Res(F, C) = n δ i C i. i=1 A m de tornar a denição precisa, determinamos o divisor residual impondo que δ 1 = 1, de modo a obter solução única em δ 2,..., δ n (o que, obviamente, depende da ordem das componentes de C). Exemplo Suponhamos agora D = n C i + m i=1 k=1 S k com C 1,..., C n curvas suaves compactas e S 1,..., S m sendo as separatrizes (germes) não suportadas em C passando por singularidades reduzidas não degeneradas de F em C Sing(C). Suponhamos que a representação ρ (F,D) seja trivial, com divisor de resíduos R = Res(F, D) = n m µ i C i + δ k S k. i=1 k=1 IMPA 33 Março, 2017

44 Suponhamos que a folheação não possui separatriz fraca suportada em C. Então para j = 1,..., n. R C j = n µ i C i C j + i=1 = µ j (C 2 j + i j m δ k S k C j j=1 µ i µ j C i C j + = µ j (C 2 j CS(F, C j )) = 0 m k=1 δ k µ j S k C j ) IMPA 34 Março, 2017

45 CAPÍTULO 4 Existência de Separatriz 4.1 Representação Residual Trivial e Separatrizes Seja F uma folheação holomorfa numa superfície complexa X. Suponhamos que F deixa invariante uma curva compacta C = n i=1 C i com as seguintes propriedades: 1. C 1,..., C n são curvas suaves; 2. todas as singularidades de F em C são reduzidas; 3. Sing(C) = i j C i C j são singularidades reduzidas não degeneradas de F. Indiquemos por Sep(F, C) = S S m as separatrizes (germes) não suportadas em C passando por pontos de C (Sing(F) Sing(C)) que são singularidades não degeneradas. Seja D = C + Sep(F, C) e ρ = ρ (F,D) residual de F ao longo de D. : π 1 (Γ) C a representação Teorema (Teorema 2). Suponhamos que F não possui separatriz fraca suportada em C e que a representação ρ = ρ (F,D) seja trivial, com 35

46 resíduos µ 1,..., µ n ao longo de C e δ 1,..., δ m ao longo de Sep(F, C), isto é, com divisor residual n m R = Res(F, D) = µ i C i + δ k S k. i=1 k=1 Se a matriz de interseção [C i C j ] ij de C é invertível, então n m #Sep(F, C) = m dim Q ( µ i Q + δ k Q) 1 i=1 k=1 Demonstração. Consideremos a matriz de interseção de C com C+Sep(F, C), A = [C i C j C i S k ]. Seja o C-divisor em X dado por n m R = µ j C j + δ k S k. j=1 k=1 Então C i R = R C i = 0, para i = 1,..., n. Logo A(µ 1,..., µ n, δ 1,..., δ m ) = (0,..., 0) C n. Sendo a matriz de interseção [C i C j ] invertível, então a matriz A tem posto n, logo a igualdade acima corresponde a n relações Q-linearmente independentes (com coecientes inteiros) entre µ 1,..., µ n, δ 1,..., δ m. Logo n m dim Q ( µ i Q + δ k Q) m = #Sep(F, C). i=1 k=1 Uma consequência interessante é o seguinte Corolário Suponhamos que a representação ρ (F,C) seja trivial. Se a matriz de interseção [C i C j ] ij de C é invertível, então existe separatriz S por ponto de C Sing(C) não suportada em C e que não é separatriz fraca de sela-nó. Demonstração. Com efeito, se não há sela-nó em Sing(F) (C Sing(C)) com separatriz fraca suportada em C, então o Teorema implica na existência de ponto singular da folheação em Sing(F) (C Sing(C)) por onde passa separatriz não suportada em C e que não é separatriz fraca de sela-nó. Caso contrário, se existe sela-nó em Sing(F) (C Sing(C)) com separatriz fraca suportada em C, então a separatriz forte não está suportada em C. IMPA 36 Março, 2017

47 4.2 O Teorema da Separatriz Seja F uma folheação holomorfa singular numa superfície complexa X. Suponhamos que F deixa invariante uma curva C = n i=1 C i com as seguintes propriedades já costumeiras: 1. C 1,..., C n são curvas suaves; 2. todas as singularidades de F em C são reduzidas; 3. Sing(C) = i j C i C j são singularidades reduzidas não degeneradas de F. Particularmente interessante é estudar o caso em que a representação ρ = ρ (F,C) associada a uma curva excepcional é trivial. Relembremos a noção: Denição (Curvas Excepcionais). Uma curva conexa, compacta, reduzida C numa superfície não singular X é chamada excepcional se existe um bimeromorsmo π : X Y tal que C é excepcional para π, i.e., se existe uma vizinhança aberta U de C em X, um ponto y Y, e uma vizinhança V de y em Y, tal que π leva U C biholomorcamente sobre V {y}, onde π(c) = y. Também iremos expressar essa situação dizendo que C é contraída em y. Então nos será útil o seguinte resultado clássico: Teorema (Grauert's criterion, [1], página 91). Uma curva conexa, compacta, reduzida C = n i=1 C i com componentes irredutíveis C i numa superfície lisa é excepcional se, e somente se, a matriz de interseção [C i C j ] é negativa denida. Veremos agora o que podemos concluir supondo trivialidade da representação residual e excepcionalidade da curva. O teorema abaixo é de fato uma consequência direta do Corolário 4.1.2, pois toda matriz negativa denida é invertível, mas preferimos dar uma prova independente, porém no mesmo espírito. Teorema Se a curva C é compacta e excepcional e a representação ρ = ρ (F,C) é trivial, então existe ao menos uma singularidade p Sing(F) (C Sing(C)) e separatriz passando por p não suportada em C e que não é separatriz fraca de sela-nó. IMPA 37 Março, 2017

48 Demonstração. Se a representação ρ é trivial (equivalentemente se σ é trivial), então existem λ 1,..., λ n C tais que CS(F, C j, p ij ) = λ ij = λ i /λ j se i < j. Logo, sendo p ij singularidade reduzida não degenerada de F, temos CS(F, C j, p ij ) = λ i /λ j e CS(F, C i, p ij ) = λ j /λ i. Consideremos o C-divisor n R = λ i C i. i=1 Suponhamos, por absurdo, a não existência de separatriz não suportada em C que não é separatriz fraca de sela-nó passando por singularidade da folheação em C Sing(C) = C i j C i C j. Assim, os possíveis pontos singulares em C i j C i C j são selas-nós com separatriz forte em uma das componentes de C e separatriz fraca (se existe) não suportada em C, logo o índice de Camacho-Sad nesses pontos é nulo ao longo de C. Portanto, como já tivemos ocasião de calcular noutra ocasião, vale R C j = n λ i C i C j i=1 = λ j (C 2 j + i j λ i λ j C i C j ) = λ j (C 2 j i j CS(F, C j, p ij )C i C j ) = λ j (C 2 j CS(F, C j )) = 0 para j = 1,..., n. Podemos escrever onde R 1 e R 2 são R-divisores. Então R = R 1 + 1R 2 R C j = 0 R 1 C j + 1R 2 C j = 0 IMPA 38 Março, 2017

49 logo R 1 C j = 0 e R 2 C j = 0, para j = 1,..., n. Isto implica R 2 1 = 0 e R 2 2 = 0. Mas R 0, logo R 1 0 ou R 2 0, portanto a matriz de interseção [C i C j ] i j não é negativa denida, contrariando a excepcionalidade de C, pelo Critério de Grauert acima. Como consequência temos um critério para existência de separatriz em superfície singular (normal). Corolário Seja F uma folheação na superfície singular normal X. Seja π : Y X aplicação bimeromorfa que resolve a singularidade p e tal que a folheação induzida G = π F é reduzida. Suponhamos que exista uma subcurva conexa C = n i=1 C i E = π 1 (p) tal que a folheação G é reduzida não degenerada nos cruzamentos Sing(C) = i j C i C j e G não possui separatriz fraca de sela-nó suportada em C. Se a representação ρ = ρ (G,C) é trivial, então F possui separatriz passando por p. Demonstração. A curva C é excepcional, logo estamos em condições de aplicar o Teorema Assim, existe singularidade q C Sing(C) e separatriz (de G) passando por q mas não suportada em E (pelas hipóteses do enunciado). Tal separatriz projeta-se pela aplicação π numa separatriz de F passando por p. Corolário (Generalização do Teorema da Separatriz por Camacho, [5]). Seja F uma folheação na superfície singular normal X. Seja E o divisor excepcional obtido pela resolução da singularidade p X seguida da redução de singularidades da folheação. Se o grafo dual de E é uma árvore, então existe separatriz passando por p. Demonstração. Com efeito, basta mostrarmos que existe sub-curva conexa C E nas condições do enunciado do Corolário anterior, pois tal sub-curva também terá grafo dual contrátil, logo a representação ρ (G,C) será trivial. Seguimos um argumento de M. Toma em [32]. Seja Λ Γ o subgrafo consistindo da união das arestas de Γ que não conectam vértices por um cruzamento em sela-nó, ou seja, retiramos de Γ as arestas que correspondem aos cruzamentos em sela-nó. Notamos que retirar uma dessas arestas divide um grafo contrátil em duas componentes, uma correspondendo à componente da separatriz forte e outra correspondendo à componente da separatriz fraca. Fazendo esse processo de remoção de aresta indesejada e sempre xando a componente que resta correspondente à separatriz forte, ao nal obtemos uma IMPA 39 Março, 2017