Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais fechado para a adição, o elemento 0 S e gera Z como grupo. Seja A N, definimos

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1 SEMIGRUPOS NUMÉRICOS IRREDUTÍVEIS J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO 1. Introdução Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais fechado para a adição, o elemento 0 S e gera Z como grupo. Seja A N, definimos k < A >= { n i a i : k N, a 1,..., a k N}, i=1 o qual é um semigrupo numérico se e somente se m.d.c(a) = 1. Usualmente A é conhecido como um sistema de geradores de < A > e dizemos que A é minimal se nenhum subconjunto próprio de A gerar S. Temos que qualquer semigrupo S é finitamente gerado; isto é existem n 0,..., n p S tal que S =< n 0,..., n p > e designamos n 0 e p+1 como a multiplicidade e a dimensão de imersão, respectivamente. Além disto o conjunto N \ S é finito e referimo-nos ao maior inteiro não pertencente a S como o número de Frobenius e denotamo-lo por g(s) (estas designações são escolhidas a partir das relações entre os semigrupos numéricos e a Geometria Algébrica, ver [5]). Todo o semigrupo numérico S gerado pelo conjunto {n 0,, n p } é isomorfo ao monóide quociente N p+1 /σ (ver [13]) com σ uma congruência em N p+1. Rédei mostra em [9] que a congruência σ em N p+1 é finitamente gerada e portanto existe ρ um subconjunto de N p+1 N p+1 tal que σ = ρ. Ao conjunto ρ chamamos apresentação para S e dizemos que ρ é uma apresentação minimal se nenhum subconjunto próprio de ρ gerar σ. Vamos caracterizar uma apresentação minimal em termos da conexidade de certos grafos, esta ideia foi introduzida por Rosales (ver por exemplo [10]). Demonstra-se que o cardinal de qualquer apresentação minimal para S é menor ou igual a n 0(n 0 1) (n 0 1 p) (ver [1]). Vamos estudar uma classe de semigrupos numéricos bastantes estudados, os semigrupos numéricos irredutíveis, em virtude dos resultados obtidos a partir destes em Geometria Algébrica. Definimos um semigrupo numérico irredutível como um semigrupo numérico que não pode ser expresso como intersecção de dois semigrupos numéricos que 1

2 J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO o contenham propriamente. A partir de [6] and [] concluímos que a classe de semigrupos irredutíveis com número de Frobenius ímpar (respectivamente par) é a mesma que a classe dos semigrupos numéricos simétricos (respectivamente pseudo-simétricos). Por outro lado os semigrupos irredutíveis com número de Frobenius ímpar (respectivamente par) significam geometricamente curvas de Gorenstein [8] (respectivamente curvas de Kunz [] ). Começamos por caracterizar os semigrupos numéricos irredutíveis dando especial atenção aos seus conjuntos de Apéry. Estudamos e explicitamos uma familia de semigrupos numéricos irredutíveis com multiplicidade 3 e 4. Refinamos a cota superior para a cardinalidade duma apresentação minimal para um semigrupo numérico, em função da sua multiplicidade e da sua dimensão de imersão, no caso irredutível. A terminar fazemos o estudo destes semigrupos irredutíveis com máxima dimensão de imersão.. Terminologia e resultados prévios Seja (N, +) um semigrupo de números naturais, dizemos que um semigrupo numérico é um subconjunto de N fechado para a soma, contem o elemento 0 e gera Z como grupo. A partir desta definição obtemos o seguinte: (1) Existe um elemento máximo que não pertence a S, a este elemento chamamos número de Frobenius e denotamo-lo por g(s). () S tem um único sistema minimal de geradores {n 0 < n 1 < < n p } e o máximo divisor comum dos seus elementos é igual a um. Seja F = {a 0 X a p X p a 0,..., a p N} um monóide comutativo livre{x 0,..., X p } e ϕ : F S um epimorfismo de monóides ϕ(a 0 X a p X p ) = a 0 n a p n p. Se σ é o kernel de ϕ (i. é, xσy se ϕ(x) = ϕ(y)), então S é isomorfo a F/σ (ver [13]). Rédei mostra em [9] que a congruência σ é finitamente gerada e portanto existe ρ = {(x 1, y 1 ),..., (x t, y t )} F F tal que σ é uma congruência em F gerada por ρ. O conjunto ρ é uma apresentação para o semigrupo S e dizemos que ρ é uma apresentação minimal se nenhum subconjunto próprio de ρ gerar σ. Seja Sum semigrupo numérico com {n 0 < n 1 < < n p } um sistema minimal de geradores e ϕ : F S definido como anteriormente. Denotamos por σ o kernel da congruência de ϕ e, para n S \ {0}, denotamos por [n] = {x F ϕ(x) = n} (o conjunto das imagens inversas

3 SEMIGRUPOS NUMÉRICOS IRREDUTÍVEIS 3 de n por ϕ). Vamos definir em [n] a seguinte relação de equivalência R: a 0 X a p X p R b 0 X b p X p se existem os elementos k 00 X k 0p X p, k 10 X k 1p X p,, k j0 X k jp X p [n] tal que e a 0 X a p X p = k 00 X k 0p X p b 0 X b p X p = k j0 X k jp X p e k i0 k i k ip k i+1p 0 para todo i {0,... j 1}. Seja P = {X 1,..., X t } uma partição de um conjunto X e γ X X uma relação binária em X. Definimos o grafo G γ, associado a γ relativamente á partição P, como o grafo cujos vertices são elementos X i em P e existe uma aresta X i X j, com i j, em G γ quando existem x X i e y X j tal que (x, y) γ γ 1. Os seguintes resultados podem ser encontrados em [10]. Proposition 1. Seja P = {X 1,..., X t } o conjunto das R-classes contidas em [n] com n S. Se γ é uma apresentação para S, e γ n = γ ([n] [n]), então o grafo associado a G γn relativamente á partição P de [n] é um grafo conexo. Proposition. Seja γ um subconjunto de σ tal que G γn é conexo para todo n S. Então γ é uma apresentação para S. Theorem 3. Se γ σ então γ é uma apresentação para S se e somente se G γn é conexo para todo n S. Em seguida apresentamos um método algorítmico para determinar uma apresentação minimal de um semigrupo numérico a partir do seu sistema minimal de geradores. Para n S definimos o grafo G n = (V n, E n ) tal que V n = {n i {n 0,..., n p } n n i S}, E n = {n i n j n (n i + n j ) S, i, j {0,..., p}, i j}. O resultado seguinte dá-nos uma relação entre as R-classes e o número de componentes conexas de G n. Proposition 4. ([10]) Se n S \{0}, então o número de componentes conexas de G n é igual ao número de R-classes of [n].

4 4 J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO Vamos agora definir γ n, com n S, da seguinte forma: 1) se G n é não conexo e G 1 n = (Vn 1, En), 1..., G r n = (Vn r, En) r são as suas componentes conexas para i {1,..., r} escolhemos um vértice n ki Vn i e um elemento α i = (a 0,..., a p ) tal que ϕ(α i ) = n e a ki 0, então γ n = {(α 1, α ),..., (α 1, α r )}. ) se G n é conexo, então γ n =. A partir dos resultados anteriores obtemos o seguinte: Theorem 5. ([10]) O conjunto γ = n N γ n é uma apresentação minimal para S. Concluímos que para obter uma apresentação minimal para um semigrupo numérico temos que fixarmos-nos apenas nos elementos n S tais que o grafo correspondente G n não seja conexo. O próximo resultado dá-nos o número de elementos candidatos n S cujo o grafo pode ser não conexo. Theorem 6. ([10]) Seja {n 0 < n 1 < < n p } um sistema minimal de geradores S. Então G n é não conexo se existe w Ap(S, n) \ {0} e j {1,..., p} tal que n = w + n j. 3. Caracterização dos semigrupos numéricos irredutíveis O objectivo desta secção é dar uma caracterização para os semigrupos numéricos irredutíveis. Para n S \ {0} denotamos por 0 = w(1) < w() < w(n) os elementos minimais de S nas respectivas classes de congruência mod n. Denotamos por Ap(S, n), o conjunto Apéry de n in S (ver [1]), o conjunto {0 = w(1) < w() < < w(n)}. É conhecido (ver [13]) que Ap(S, n) = {x S : x n / S}. Facilmente se verifica o seguinte: Lemma 7. Seja S um semigrupo numérico. (1) S {g(s)} é um semigrupo numérico. () g(s) = w(n) n. (3) {0, n 1,..., n p } Ap(S, n 0 ). Dizemos que um semigrupo numérico é irredutível se não pode ser expresso como intersecção de dois semigrupos que o contenham propriamente. Theorem 8. As afirmações seguintes são equivalentes: 1) S é irredutível, ) S é maximal no conjunto de todos os semigrupos com número de Frobenius g(s),

5 SEMIGRUPOS NUMÉRICOS IRREDUTÍVEIS 5 3) S é maximal no conjunto de todos os semigrupos que não contém g(s). Proof. 1) ) Suponhamos S um semigrupo numérico tal que S S e g(s) = g(s). Então S = (S {g(s)}) S. Mas se S é irredutível, deduzimos que S = S. ) 3) Suponhamos S um semigrupo numérico tal que S S e g(s) / S. Então S {g(s) + 1, g(s) +,...} é um semigrupo numérico que contém S com número Frobenius g(s). Portanto, S = S {g(s) + 1, g(s) +, } e assim S = S. 3) 1) Sejam S 1 e S dois semigrupos numéricos que contém S propriamente. Então, por hipótese, g(s) S 1 e g(s) S. Portanto S S 1 S e assim S é irredutível. Usando [6] e [] obtemos o seguinte resultado. Proposition 9. 1) Se g(s) é ímpar, então S is irredutível se e somente se para todo h, h Z, tal que h+h = g(s), temos que h S ou h S (i. é, S é simétrico). ) Se g(s) é par, então S é irredutível se e somente se para todo h, h Z \ { g(s) }, tal que h + h = g(s), temos que h S ou h S (i. é, S é pseudo-simétrico). Em seguida estudamos o conjunto Ap(S, n) de um semigrupo numérico irredutível S com numero de Fobenius ímpar ou par. O resultado seguinte é conhecido (ver [1], [3] ou [11]). Proposition 10. Seja n S \ {0} com Ap(S, n) = {0 = w(1) < w() < < w(n)}. Então S é irredutível com número de Frobenius ímpar (i. é, S é simétrico) se e somente se w(i) + w(n i + 1) = w(n) para todo i {1,..., n}. Proof. Para i {1,..., n} como w(i) Ap(S, n), então w(i) n / S assim, pela Proposition 9, obtemos que w(n) w(i) = g(s) (w(i) n) S. Assim w(n) w(i) Ap(S, n) porque w(n) Ap(S, n). Reciprocamente, se x S trivialmente temos que g(s) x / S. Por outro lado, se x / S existe i {1,..., n} tal que x = w(i) kn com k N\{0}, então g(s) x = g(s) w(i)+kn = g(s)+n w(i)+(k 1)n S. Lemma 11. Se S é irredutível com número de Frobenius par e n S \ {0}, então g(s) + n Ap(S, n). Proof. Temos que g(s) / S então, atendendo á Proposition 9 e que ( g(s) + n) + ( g(s) n) = g(s), obtemos que g(s) + n S.

6 6 J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO Proposition 1. Seja S um semigrupo numérico com número de Frobenius par e n S \ {0}. Então S é irredutível se e somente se Ap(S, n) = {0 = w(1) < w() <... < w(n 1) = g(s)+n} { g(s) +n} e w(i) + w(n i) = w(n 1) com i {1,..., n 1}. Proof. Atendendo a que g(s) é par, então g(s) + n Ap(S, n) e g(s) + n < max Ap(S, n). Se i {1,..., n 1}, então w(i) n / S e w(i) n g(s). Usando a Proposição 9, obtemos que g(s) (w(i) n) S e assim w(n 1) w(i) = g(s) + n w(i) S. Por outro lado deduzimos que w(n 1) w(i) Ap(S, n) porque w(n 1) Ap(S, n). Além disso w(n 1) w(i) g(s) + n caso contrário teríamos que w(i) = g(s). Facilmente se verifica que w(i) + w(n i) = w(n 1). Reciprocamente, seja x / S e x g(s). Tomando w Ap(S, n) tal que w x(mod n), temos que x = w kn para algum k N \ {0}. Distinguimos dois casos. (1) Se w = g(s) + n, então g(s) x = g(s) ( g(s) + n kn) = g(s) + (k 1)n. Além disso, como x g(s) tem-se k 1, portanto k. Logo obtemos que g(s) x S. () Se w g(s) + n, então g(s) x = g(s) (w kn) = g(s) + n w + (k 1)n S. Observamos que se S é um semigrupo numérico com dois geradores minimais {n 0, n 1 } então S é irredutível, visto Ap(S) = {0, n 1, n 1,..., (n 0 1)n 1 }. Por outro lado para todo o semigrupo numérico S tem-se que µ(s) m(s) (ver lema 7). Proposition 13. Seja S um semigrupo numérico irredutível. 1) Se g(s) é ímpar e m(s) 3, então µ(s) m(s) 1. ) Se g(s) é par e m(s) 4, então µ(s) m(s) 1. Proof. 1. Se {m(s), n 1,, n µ(s) 1 } é um sistema minimal de geradores de S então {0 < n 1 < < n µ(s) 1 } Ap(S, m(s)) e n µ(s) 1 w(n). Portanto µ(s) m(s) 1.. Suponhamos que µ(s) = m(s), então S é gerado minimalmente por {m(s), n 1,..., n m(s) 1 } e assim obtemos Ap(S, n) = {0 < n < < n m(s) 1 } {n 1 = g(s) + m(s)}. Por hipotese m(s) 1 3 então n 1 n n m(s) 1. Usando a Proposição 1 obtemos que n m(s) 1 n S, donde obtemos que

7 SEMIGRUPOS NUMÉRICOS IRREDUTÍVEIS 7 {m(s), n 1,..., n m(s) 1 } não é um sistema minimal de geradores para S. Donde concluímos µ(s) m(s), portanto µ(s) m(s) 1. Recordar que atendendo á observação feita depois da Proposição 1, que se µ(s) = então S é irredutível. Em seguida vamos estudar os semigrupos numéricos irredutíveis com µ(s) = 3 e µ(s) = 4. Além disso obtemos que se m(s) = 4 e S é irredutível então µ(s) 3, porque de 1) e ) da Proposition 13, se m(s) 4 então µ(s) m(s) 1. Vamos então estudar os seguintes casos: 1) S é irredutível com m(s) = µ(s) = 3, ) S é irredutível com m(s) = 4 e µ(s) = 3. Theorem 14. Seja S um semigrupo numérico. Então, as condições seguintes são equivalentes: 1) S é irredutível com m(s) = µ(s) = 3, ) S é gerado por {3, x + 3, x + 3} em que x é um inteiro positivo não múltiplo de 3. Proof. 1) ) Se m(s) = µ(s) = 3, então {3, n 1, n } é um sistema minimal de geradores de S. A partir Proposição 13 deduzimos que g(s) é par e pela Proposição 1 obtemos que Ap(S, 3) = {0, n 1 = g(s) + 3, n = g(s) + 3}. Fazendo x = g(s) temos que n 1 = x+3 e n = x+3. Donde se conclui que x não é múltiplo de 3, porque x = g(s) / S. ) 1) Temos que {3, x + 3, x + 3} é um sistema minimal de geradores para S e assim m(s) = µ(s) = 3 e Ap(S, 3) = {0, x + 3, x + 3}. Concluímos que x + 3 = g(s) + 3 e portanto g(s) + 3 = x + 3. A partir da Proposition 1 podemos afirmar que S é irredutível com g(s) par. O semigrupo numérico S = 3, 3 + x, x + 3 é um MED-semigrupo (MED significa máxima dimensão de imersão que é µ(s) = m(s)). Aplicando os resultados obtidos em [1] deduzimos que o cardinal de apresentação minimal para S é 3, isto é: ρ = {(X 1, X 0 + X ), (X, (x + 1)X 0 + X 1 ), ((x + )X 0, X 1 + X )}. Vamos agora estudar os semigrupos numéricos irredutíveis com m(s) = 4 e µ(s) = 3. Delorme prova em [4] que um semigrupo S gerado minimalmente por {n 0, n 1, n } é intersecção completa e somente n se n i j, n k para {i, j, k} = {0, 1, }, onde (n (n j,n k ) (n j,n k ) j, n k ) denota o m.d.c(n j, n k ). Além disso, Herzog prova em [7] que S, nas condições anteriores, é simétrico se e somente se é intersecção completa.

8 8 J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO Theorem 15. Seja S um semigrupo numérico. Então, as seguintes condições são equivalentes: 1) S é irredutível com número de Frobenius ímpar, m(s) = 4 and µ(s) = 3, ) S é gerado por {4, x, x + y} com y N \ {0} e x um inteiro maior ou igual que 3. Proof. 1) ) Se m(s) = 4 e µ(s) = 3, é {4, n 1, n } é um sistema minimal de geradores para S. Atendendo à observação anterior, para que S seja simétrico, consideramos dois casos: a) Suponhamos que d = (4, n 1 ) e n 4, n 1 d d. Notar que d = e n 1 = x com x ímpar maior ou igual a 3. Além disso como 1 = (4, n 1, n ) então n é um ímpar e n, x assim n = x + y (de facto todo o ímpar em, x é deste tipo). b) Suponhamos que d = (n 1, n ) e 4 n 1 d, n d. Portanto n 1 = d, n = k d com k ímpar e d ímpar maior ou igual a 3. Donde concluímos que n = d + (k 1)d com (k 1)d par. Fazendo x = d e y = (k 1)d obtemos o resultado desejado. ) 1) Claramente = (4, x) e x + y 4, x, assim S é simétrico. Vejamos que {4, x, x + y} é um sistema minimal de geradores para S, assim: 1) x + y / 4, x, visto x + y é ímpar, ) x / 4, x + y, visto se x = a4 + b(x + y) com a, b N, então como x é par não múltiplo de 4 e que x + y é ímpar, deduzimos que b, contradizendo que (x + y) > x. Como S = 4, x, x + y, é simétrico, temos que g(s) = 3x + y 4. Por outro lado S é também intersecção completa, então ρ = {(X 1, xx 0 ), (X, yx 0 + X 1 )} é uma apresentação minimal para S. Vamos em seguida estudar os semigrupos irredutíveis S com número de Frobenius par, m(s) = 4 e µ(s) = 3. Theorem 16. Seja S um semigrupo numérico. Então, as seguintes condições são equivalentes: 1) Sé irredutível numerical com número de Frobenius par, m(s) = 4 e µ(s) = 3, ) S é gerado por {4, x +, x + 4} com x ímpar maior ou igual que 3. Proof. 1) ) Suponhamos que {4, n 1, n } é um sistema minimal de geradores para S. Atendendo ao Lema 11 obtemos que g(s) + 4 Ap(S, 4) e assim distinguimos dois casos:

9 SEMIGRUPOS NUMÉRICOS IRREDUTÍVEIS 9 a) Se g(s) + 4 pertence ao sistema minimal de geradores para S, usando a 1, deduzimos que Ap(S, 4) = {0, n 1 = g(s) + 4, n, n = g(s) + 4}. Fazendo x = g(s), então n 1 = x + 4 e n = x +. Além disso x é ímpar, caso contrário (4, n 1, n ) 1. b) Se g(s) + 4 não pertence ao sistema minimal de geradores para S, então Ap(S, 4) = {0, n 1, n, g(s) + 4}. Donde concluímos que g(s) + 4 = n 1 ou g(s) + 4 = n. Se g(s) + 4 = n 1 então, by Proposition 1, concluímos que n 1 n S, contradizendo que {4, n 1, n } é um sistema minimal de geradores para S. ) 1) Suponhamos que {4, x +, x + 4} é um sistema minimal de geradores para S, então m(s) = 4 e µ(s) = 3. Facilmente se verifica que Ap(S, 4) = {0, x +, x + 4, x + 4}. Assim g(s) = x donde Ap(S, 4) = {0, g(s) + 4, g(s) + 4, g(s) + 4}. Usando a Proposição 1 obtemos que S é irredutível. Temos que S = 4, x +, x + 4 x, então g(s) = x. Aplicando [7] e atendendo que S não é simétrico (donde S não é intersecção completa), temos que apresentação minimal para S é igual a: ρ = {(X, X 0 + X 1 ), (3X 1, kx 0 + X ), (tx 0, X 1 + X )} com k = 3(x+) (x+4) and t = (x+4)+(x+). Notar que 3(x + ) (x + 4) 4 4 é múltiplo de 4 se e somente se x é ímpar, e (x + 4) + (x + ) é múltiplo de 4 se e somente se x é ímpar. 4. Uma cota máxima para o cardinal duma apresentação minimal para um semigrupo numérico irredutível Nesta secção damos uma cota máxima para o cardinal duma apresentação minimal para um semigrupo numérico irredutível, denotamola por #M RS. Seguidamente particularizamos este estudo para o caso dos semigrupos numéricos irredutíveis com máxima dimensão de imersão.

10 10 J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO Supor que {n 0 < n 1 < < n p } um sistema minimal de geradores para S. Em [1] é mostrado o seguinte resultado. Proposition 17. Seja S um semigrupo numérico. Então #MRS n 0(n 0 1) (n 0 1 p). Em [11] esta cota é melhorada para o caso dos semigrupos irredutíveis com número de Frobenius ímpar. Proposition 18. Se S semigrupo irredutível com número de Frobenius ímpar, n 0 3 e p, então #MRS (n 0 )(n 0 1) 1 + (p + n 0 ). Em seguida provamos um resultado análogo para um semigrupo irredutível S com número de Frobenius par. A partir de [1] podemos deduzir o resultado seguinte. Proposition 19. Seja S um semigrupo numérico irredutível com g(s) par e p 3. Se {n 0, n 1,..., n p, g(s)} é um sistema minimal de geradores para S = S {g(s)}, g(s) > n 0 com n i e n 0 estão na mesma componente conexa de G g(s)+n0 +n i para todo i {1,..., p}, então temos que #MRS + p + = #MRS. Aplicando a Proposição 1 e como p 3 concluímos que g(s) + n 0 n i + n j para algum i, j {1,..., p} donde g(s) > n 0. Portanto, {n 0, n 1,..., n p, g(s)} é um sistema minimal de geradores para S = S {g(s)}, visto que a partir de [1] obtemos n p = g(s) + n 0, o qual contradiz a Proposição 1 para p 3. Lemma 0. Seja S um semigrupo numérico irredutível com g(s) par e p 3. Se i {1,..., p}, w Ap(S, n 0 ) com n 0 e n i em diferentes componentes conexas G w+ni, então para todo w Ap(S, n 0 ) tal que w w S \ {0} temos que w + n i Ap(S, n 0 ). Proof. Vamos supor que w + n i / Ap(S, n 0 ), então temos que w + n i n 0 S. Seja s S \ {0} tal que w = w + s com j {0,..., p} e s n j S. Então, w + n i (n i + n j ) S e w + n i (n j + n 0 ) S. Portanto, concluímos que n i n j, n j n 0 E w+ni e assim n i e n 0 estão na mesma componente conexa de G w+ni. Lemma 1. Seja S um semigrupo numérico irredutível com g(s) par e p 3. Para todo i {1,..., p}, tem-se que n 0 e n i estão na mesma componente conexa de G g(s)+n0 +n i.

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