MODELOS ESTATÍSTICOS DE FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA CRIAÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS

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1 MODELOS ESTATÍSTICOS DE FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE PARA CRIAÇÃO DE SÉRIES TEMPORAIS Renato S. Gomide, Ramon F. E. Campos, Marcus F. Vieira Programa de Pós-Gradução em Engenharia Elétrica e da Computação da Universidade Federal de Goiás, Escola de Engenharia Elétrica e de Computação, Laboratório de Bioengenharia e Biomecânica, Goiânia Goiás, renato.s.gomide@gmail.com Resumo - Este trabalho tem como finalidade apresentar um estudo que qualifica séries temporais artificiais criadas por métodos estatísticos. Por meio de uma série temporal real é dada a análise detalhada do comportamento da série (no domínio do tempo e da freqüência) com o intuito de extrair as principais características comportamentais para a criação das séries temporais artificiais. Os resultados deste estudo contribuem para auxiliar na tomada de decisão em relação ao método de criação de séries temporais artificiais para que estas possuam confiabilidade e similaridades estatísticas. Palavras-Chave Distribuição, estimação, função densidade de probabilidade, predição, série temporal. STATISTICAL MODELS OF PROBABILITY DENSITY FUNCTION FOR CREATION OF TIME SERIES Abstract The aim of this work is to present a study that qualifies artificial times series created by statistical methods. Based on a real time series is build a detailed analysis of the behavior of the series (in time and frequency domain) in order to extract the main behavioral features for creating artificial time series. The results of this approach contribute to assist in decision making related to creation method of the artificial time series improving its reliability and statistical similarities. 1 Keywords Distribution, estimation, probability density function, prediction, times series. I. INTRODUÇÃO A predição de séries temporais e identificação de sistemas são problemas bastante explorados. As soluções encontradas são utilizadas em vários segmentos comerciais (como o mercado de ações, telecomunicações, gestão estratégica...) e científicos (aplicações meteorológicas, comunicação de dados, simuladores...). Este estudo apresenta uma análise crítica de alguns métodos estatísticos de predição dado por estimadores e função distribuição de probabilidade (FDP) [1]. A grande dificuldade está na escolha da técnica de predição a ser utilizada em determinada aplicação. Há o uso de métodos que avaliam a qualidade da série temporal artificial em relação à série real. Algumas técnicas foram utilizadas neste estudo com o intuito de prover uma análise qualitativa das séries artificiais. O trabalho está organizado na descrição da série temporal real e a extração das características estatísticas da série. Logo após são apresentados os métodos utilizados para a geração de séries temporais artificiais. Finalmente é realizado um paralelo entre as séries e como pode ser efetuada a escolha da série que melhor representa a série real. II. ESTUDO DA SÉRIE TEMPORAL A série temporal utilizada no desenvolvimento deste trabalho foi obtida a partir do histórico de valores de fechamento diário das ações da empresa estatal Petrobrás (PETR4). Os dados coletados correspondem ao período de janeiro de 2003 até o dia quatro de novembro de 2010, totalizando amostras (Figura 1). Fig. 1. Evolução das ações da PETR4 no período de janeiro de 2003 até novembro de É importante destacar que a série temporal escolhida possui o comportamento crescente no decorrer de sua evolução, há apenas uma queda brusca no valor das ações devido a fatores econômicos da época [2]. A Tabela I mostra algumas características estatísticas da série em estudo (média, variância, desvio padrão, valor máximo e covariância). TABELA I Algumas características estatísticas da série temporal Atributo Valor Média 19,82 Variância 118,51 Desvio Padrão 10,88 Valor Máximo 47,72 Covariância 118,51

2 A FDP da série temporal foi extraída por meio do estimador Kernel Smoothing [3]. A Figura 2 apresenta a comparação da FDP obtida com o histograma da série temporal. Fig. 4. Série artificial e histograma obtido a partir da distribuição de Poisson Fig. 2. Comparativo entre a FDP obtida pelo estimador Kernel Smoothing e o histograma da série temporal O modelo de distribuição de Poisson (Figura 4) possui uma curva bastante característica, no qual a concentração das probabilidades não é simétrica, dividindo o eixo x no ponto médio. É possível notar que a área de um lado (que equivale à probabilidade) é mais concentrada que a do outro lado. Já o comportamento da série artificial obtida através do modelo de distribuição exponencial não teve coerência com a série real. Foram acrescentados valores bem além do valor máximo da série real. A Figura 5 apresenta este comportamento indesejado. É possível notar que os valores que extrapolam o valor máximo da série real possuem probabilidades significativas. Dado o estudo estatístico do comportamento da série temporal, é possível realizar a comparação das séries artificiais. A. Geração de Séries Artificiais Por Meio de Distribuições Foram produzidas séries artificiais de acordo com alguns modelos de distribuição: Normal, Poisson e Exponencial. A série artificial calculada a partir da distribuição normal apresentou os valores bem próximos à da série real, mas ainda com uma grande diferença: o histograma da série real apresenta dois picos próximos de 10 e 20, enquanto o histograma da série sintética apresenta apenas um pico próximo a 40, conforme apresentado na Figura 3. Fig. 5. Série artificial e histograma obtido a partir da distribuição exponencial A Tabela II lista o comparativo entre a média, valor máximo e variância da série temporal real e as séries artificiais geradas a partir de modelos de distribuição. Fig. 3. Série artificial e histograma obtido a partir da distribuição normal TABELA II Comparativo entre média, valor máximo e variância das séries artificiais e real Série Média Valor Variância Máximo Real 19,82 47, Normal 39,63 43,08 0,99 Poisson 40,96 106,91 225,31 Exponencial 228, , ,00

3 Esta primeira etapa do experimento permite observar que mesmo com séries que possuem a FDP próximas da série real, a distribuição dos valores ao longo do tempo pode fugir de contexto. O histórico da ação em questão possui o comportamento de crescimento, e avaliando os fatores econômicos (fator exógeno), há a certeza de que dificilmente haverá quedas bruscas. Mesmo não acompanhando a particularidade da série temporal em questão, a análise do sinal pode ser feita no domínio da freqüência, servindo também como critério de avaliação da eficácia do método de geração escolhido. A Figura 6 apresenta a comparação entre as densidades espectrais de potência das séries artificiais e real. A partir dos gráficos das densidades espectrais, é possível visualizar que a série artificial de distribuição Normal assemelha-se à série real. Já as séries artificiais obtidas através das distribuições de Poisson e Exponencial já estabilizam em valores próximos a 50 db. Esta análise permite capturar as freqüências do processo e auxiliar na identificação da periodicidade da série. B. Geração de Séries Artificiais Por Meio de Estimação de Função Densidade de Probabilidade Ao invés de utilizar modelos de distribuição clássicos, há métodos que extraem as FDPs de uma série não determinística. Neste experimento foram utilizados dois métodos: de Kolmogorov Smirnov e o Estimador de Densidade Kernel [4][3]. O método de Kolmogorov Smirnov possui como resposta a FDP de forma suavizada, pois a sua concepção consiste na composição de várias funções contínuas. Já o Estimador de Densidade Kernel constrói a FDP a partir da freqüência de ocorrência dos valores discretos. A Figura 7 ilustra as duas FDPs construídas. Fig. 7. Comparação entre as estimações das FDPs O Estimador de Densidade Kernel conseguiu reproduzir a FDP original de forma aceitável, pois manteve as particularidades da distribuição dos valores das ações. O comparativo entre as FDPs real e artificial (pelo Estimador de Densidade Kernel) é apresentado na Figura 8. Fig. 6. Densidades espectrais de potência das séries artificiais e real

4 A execução do teste de Aceitação-Rejeição se dá nos seguintes procedimentos: Gerar um número aleatório u; Gerar um número aleatório v a partir da função g(x); Se c * u f(v) / g(v), o valor é aceito; Caso contrário é calculado novos números aleatórios u e v para serem submetidos no teste. A série artificial criada pelo teste de Aceitação-Rejeição é apresentada na Figura 10. Fig. 8. Relação entre as FDPs real e artificial Para a geração de uma nova série artificial, foi escolhida a FDP obtida pelo Estimador de Densidade Kernel. Além disso, foi utilizado o teste de Aceitação-Rejeição para a inclusão dos valores artificiais [5]. A parametrização do teste de Aceitação-Rejeição deve satisfazer a condição da equação (1). Onde: f(x) - FDP da série sintética. c - Constante a ser escolhida. g(x) - FDP para geração. f ( x) c* g( x) (1) Na configuração do teste foi utilizado c igual a 2 (obtido de forma empírica) e a função g(x) uma função de distribuição normal. A visualização da configuração no plano cartesiano auxilia na compreensão do teste (Figura 9). A série g(x) * c representada pela cor rosa satisfaz a condição da equação (1). Fig. 10. Série artificial construída pelo teste de Aceitação-Rejeição Apesar da FDP obtida ser bastante fiel à original, o comportamento da nova série no domínio da freqüência é bem diferente (Figura 11). Fig. 10. Série artificial construída pelo teste de Aceitação-Rejeição O ganho do sinal estabiliza em torno de 20 db, podendo este ser ou não um critério de exclusão do método: irá depender do problema em questão. III. CONCLUSÕES Fig. 9. Configuração do teste de Aceitação-Rejeição Após a análise dos histogramas, funções densidade de probabilidade, atributos estatísticos (variância, desvio padrão, valor máximo...) e a análise espectral de análise de potência, foi possível escolher o modelo de distribuição Normal como o processo que possui maior semelhança com a série temporal real. Alguns histogramas e FDPs de outros modelos também ficaram próximos do ideal, porém a análise que tornou esta decisão viável foi o da estimação do espectro de potência. A análise da série temporal não pode ser vista apenas no domínio do tempo, é necessário também fazer a comparação no domínio da freqüência, pois há problemas em que determinadas freqüências não podem estar com o ganho fora da faixa esperada.

5 Os métodos estudados neste trabalho podem ser aplicados em problemas no qual o comportamento da série esteja enquadrado em uma faixa de valores independentes do tempo. São métodos fáceis de serem codificados e não possuem custo computacional significativo. Estudos futuros serão realizados com o objetivo de avaliar a criação de séries temporais utilizando redes neurais e neurofuzzy. Será explorada também a utilização de modelos paramétricos auto-regressivos. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] L. T. G. Fortes, F. D. S. Silva, Aplicação Potencial da Previsão Climática Probabilística na Gestão de Recursos Hídricos: o Caso de Cantareira, São Paulo, XVI Congresso Brasileiro de Meteorologia, Setembro [2] InsiderNews (2011). Petrobras: crise derruba ações no ano e transforma euforia em coisa do passado. Acedido em 20 de Maio de 2011, em: [3] A. W. Bowman, A. Azzalini, Applied Smoothing Tchiniques for Data Analysis, Oxford University Press, New York, [4] Z. I. Botev, J. F. Grotowski, D. P. Kroese, Kernel Density Estimation Via Diffusion, The Annals of Statistics, vol. 38, no. 5, pp , December [5] R. A. Kronmal, A. V. Peterson, A Variant of the Acceptance-Rejection Method for Computer Generation of Randon Variables, Journal of the American Statistical Association, vol. 76, no. 374, pp , June 1981.