TREND STRIPS E NÍVEIS DE RUÍDO ADICIONADOS A UM MAPA SENOIDAL

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1 167 TREND STRIPS E NÍVEIS DE RUÍDO ADICIONADOS A UM MAPA SENOIDAL Antônio Carlos da Silva Filho Uni-FACEF Introdução Trend Strips (TS) são uma nova técnica de análise da dinâmica de um sistema, quando se dispõe de uma série temporal. Existem os mais variados tipos de sistema na natureza. Alguns são previsíveis, enquanto que outros são aleatórios, existindo toda uma gama de sistemas entre um caso e outro. O trabalho científico tem entre seus objetivos o de caracterizar um dado sistema, já que esta caracterização é, normalmente, o primeiro passo para que se possa conhecer as suas propriedades. Outro objetivo é o de extrair consequências como, por exemplo, fazer previsões. Caracterizar um sistema é algo que pode ser feito de maneiras as mais variadas. Neste trabalho, o interesse está na pureza da dinâmica que o sistema experimenta, ou seja, no nível de ruído aleatório que começa por destruir a dinâmica que o sistema exibe sem o ruído. Existem na literatura vários testes para se caracterizar a dinâmica de um dado sistema (SPROTT, 2003). Podemos usar testes estatísticos para caracterizar se uma série é autocorrelacionada ou não, por exemplo e podemos usar parâmetros que vêm da teoria dos sistemas dinâmicos (como a Dimensão de Correlação), para tentar caracterizar se a dinâmica subjacente é caótica ou não (TSONIS, 1992). Este trabalho lida com uma ferramenta que foi recentemente proposta na literatura (FILHO, 2012) para a análise, caracterização e previsão de séries temporais (HAMILTON, 1994) e que é explorada com a intenção de realizar parte desta caracterização. Esta ferramenta é chamada de Trend Strip (TS) e será aqui aplicada a um mapa senoidal. 1 Desenvolvimento da Pesquisa

2 168 Este trabalho usa as TS binárias, onde a quantidade de estados descritos, p, chamada aqui de base, é igual a dois (na notação adotada a seguir a quantidade de estados está colocada entre colchetes). Seja dada uma série temporal, X, constituída por uma sequência numérica de dados obtidos experimentalmente, observacionalmente ou através de simulações no computador. A partir desta série pode-se construir uma segunda série, Y, formada a partir da seguinte condição binária: se o valor de x(i) é maior ou igual ao valor de x(i-1), atribui-se a y(i) o valor 1 ; caso contrário, atribui-se a y(i) o valor 0. Um exemplo que exibe estas séries acopladas está na tabela 1: Tabela 1. Trecho de uma série temporal (x) com o indicador de dinâmica (y) e as Trend Strips correspondentes de comprimentos 1 a 3 i x(i) y(i) TS1[2](i) TS2[2](i) TS3[2](i) Fonte: Confeccionada pelo autor As TS são então construídas a partir da função auxiliar Y. Elas são formadas a partir dos valores de Y numa posição qualquer e de alguns valores de Y em posições anteriores. O número de valores utilizados é denominado de comprimento da TS, denotado aqui por N. Assim, no exemplo acima, as primeiras TS de comprimento N = 1, obtidas a partir da posição i = 2, denominadas TS1[2], são as seguintes:

3 169 TS1[2](2) = 1 TS1[2]((3) = 1 TS1[2] (4) = 0 etc. Já as TS de comprimento N = 2 só podem ser obtidas a partir da posição i = 3 e as primeiras são as seguintes: TS2[2]((3) = 11 TS2[2]((4) = 10 TS2[2]((5) = 01 etc. i = 4): As primeiras TS de comprimento N = 3 são, então (obtidas a partir da posição TS3[2]((4) = 110 TS3[2] (5) = 101 TS3[2] (6) = 011 etc. Quantas TS binárias diferentes, para um dado N, podem, então, ser formadas? A resposta é simples e fornece a quantidade m(n): m(n) = quantidade de diferentes TS que podem ser formadas para um dado N = 2 N Se houver p estados, m(n) = p N. Nas simulações a seguir, as TSN[p] serão ordenadas de 1 até m(n), começando com aquelas apenas com valores 1 e terminando com aquelas somente com valores 0. Para N = 4 (valor que será usado nos exemplos deste trabalho), as seguintes m(4) = 16 TS4 podem ser obtidas: TS4[2] 1 = 1111 TS4[2] 2 = 1110

4 170 TS4[2] 3 = 1101 TS4[2] 4 = 1100 TS4[2] 5 = 1011 TS4[2] 6 = 1010 TS4[2] 7 = 1001 TS4[2] 8 = 1000 TS4[2] 9 = 0111 TS4[2] 10 = 0110 TS4[2] 11 = 0101 TS4[2] 12 = 0100 TS4[2] 13 = 0011 TS4[2] 14 = 0010 TS4[2] 15 = 0001 TS4[2] 16 = 0000 senoidal: Foram obtidas séries temporais deterministas e periódicas usando o mapa y(x) = sen(x) TS. Estas serão as séries aqui analisadas, com e sem ruído, com o auxílio das 2 Objetivos O objetivo deste trabalho foi o de investigar a influência de níveis crescentes de ruído sobre os espectros das TS. Para tanto, foi selecionado um mapa periódico típico, o Mapa Senoidal. 3 Metodologia

5 171 Este trabalho faz uma exploração computacional de um mapa determinista, sendo, portanto, um trabalho que analisa dados simulados, usando a ferramenta aqui proposta. 4 Análise dos Dados e Resultados Foram gerados, no computador, dados para cada sistema descrito acima. Como os dados podem ter diferentes níveis de autocorrelação, foi utilizada a Função de Autocorrelação para construir, a partir da série original, uma série com os dados não muito correlacionados. A Função de Autocorrelação pode ser definida por (TSONIS, 1992): 1 C( ) lim ( x)( x) N i i N x x 1 C(0) lim ( x)( x) N i i N x x onde N, nestas equações, refere-se ao número de dados nas séries e o segundo termo dentro de cada parêntesis refere-se ao valor médio dos dados. Os valores de τ, neste trabalho vão de 1 a 200. Um ótimo estimador da quantidade de pontos que devem ser pulados até que se tenha um ponto não muito correlacionado com o anterior é: 1 C( ) C(0) 2 O valor de τ que satisfaz a esta relação indica, aproximadamente, o tempo de descorrelação da série e será aqui chamado de passo. Após considerado este valor e construída uma segunda série, trabalhou-se com de dados em cada uma, a fim de ter resultados bastante robustos. O sistema aleatório resultou em um passo igual a 1, enquanto que o sistema periódico resultou em um passo igual a 84. São apresentados, a seguir, os resultados obtidos, exibidos aqui para TS binárias de comprimento N = 4. Tem-se, neste caso, um total de 16 TS diferentes. O

6 172 espectro das frequências com que cada uma aparece é a variável a ser analisada aqui. Todas as figuras representam casos com dois estados e comprimento igual a 4. A figura 1 representa o espectro das TS para o caso aleatório. A figura 2 representa o espectro das TS para o caso periódico (mapa senoidal). Pode-se observar que em todos os casos, para cada tipo de série, há diferenças significativas em relação à dinâmica do espectro. 14 base =2, n =4, total de Trend Strips =16 porcentagem de ocorrências de cada de Trend Strip tipo de Trend Strip Figura 1. Espectro das Trend Strips para o caso aleatório, com 2 estados e comprimento igual a base =2, N =4, total de Trend Strips =16 porcentagem de ocorrências de cada Trend Strip tipo de Trend Strip

7 173 Figura 2. Espectro das Trend Strips para o caso periódico, com 2 estados e comprimento igual a 4. Os valores das frequências encontradas nestes vários espectros (figuras 1 e 2) estão exibidos na tabela 2: Tabela 2. Valores das frequências (%) dos quatro tipos de sistemas analisados, para base = 2 e N = 4, num total de 16 Trend Strips Trens Strip Aleatório Periódico (seno) TS4[2] 1 = TS4[2] 2 = TS4[2] 3 = TS4[2] 4 = TS4[2] 5 = TS4[2] 6 = TS4[2] 7 = TS4[2] 8 = TS4[2] 9 = TS4[2] 10 = TS4[2] 11 = TS4[2] 12 = TS4[2] 13 = TS4[2] 14 = TS4[2] 15 =

8 174 TS4[2] 16 = Fonte: Confeccionada pelo autor O que ser propõe neste trabalho é a possibilidade de caracterizar a dinâmica destes vários sistemas através do espectro das TS. Como exemplo, seja o caso periódico e algumas de suas variações, exibidas na figura base =2, n =4, total de Trend Strips =16 16 porcentagem de ocorrências de cada Trend Strip tipo de Trend Strip Figura 3. Espectro das Trend Strips, com 2 estados e comprimento igual a 4, para os casos: (a) aleatório puro (linha grossa contínua); (b) periódico puro (linha grossa tracejada); (c) periódico com ruído de 25% (linha fina tracejada) e (d) periódico com ruído de 50% (linha fina contínua). Como é mostrado na figura 3, ao adicionar um ruído à série original, a dinâmica já não será mais a mesma e os valores da série temporal serão alterados. Como a série periódica aqui considerada é nada mais do que a função seno, cuja amplitude (variação da variável dependente) é igual a 2, o nível do ruído adicionado ou subtraído será medido em função de um percentual desta amplitude. Adicionando um ruído aleatório uniforme à série, com níveis variando de 1% a 100%, nota-se uma convergência do espectro das TS para o caso aleatório puro. Esta movimentação pode ser apreciada na figura 5, onde são colocados os espectros das TS para o caso aleatório puro e para três casos periódicos: um puro, um com ruído de 25% e um com ruído de 50%. Esta convergência pode ser melhor apreciada acompanhando-se a variação frequencial de um particular tipo de TS. A figura 4 a seguir exibe tal variação para a TS4[2] 2 :

9 Caso periódico com níveis crescentes de ruído aleatório uniforme: base =2, n =4, total de Trend Strips =16, Trend Strip = 1110 A abscissa 110 não corresponde a nenhum ruído, mas ao caso aleatório puro 16 porcentagem de ocorrências da Trend Strip porcentagem de ruído aleatório uniforme Figura 4. Frequência encontrada para a TS4[2]2 do caso periódico puro e com níveis crescentes de ruído aleatório uniforme adicionado ou subtraído. A abscissa 110 não corresponde a nenhum um nível de ruído, mas ao caso aleatório puro. A figura 6 indica que há uma convergência bem forte para o espectro do caso aleatório puro já a partir de um nível de ruído ao redor de 75%. O mesmo tipo de convergência, embora com outros padrões de aproximação, é encontrado para todas as outras TS4[2]. CONCLUSÃO As Trend Strips são uma nova ferramenta que podem auxiliar na análise de séries temporais. Elas resumem alguns aspectos da dinâmica da série, mas podem, quando olhadas coletivamente, caracterizar o estado da série como um todo. Neste trabalho, elas foram usadas como marcadores do nível de ruído adicionado a um mapa periódico. No caso aqui analisado, os espectros das várias séries obtidas convergiram para o de uma série aleatória quando o nível de ruído ficou ao redor de 75%. Trabalhos futuros devem explorar se o espectro como um todo ou a frequência de alguma TS em particular podem ser usados como medidores do nível de ruído de um dado sistema.

10 176 Referências HAMILTON, J. D. Time Series Analysis, Princeton University Press, Princeton, FILHO, A. C. S., SOUZA, R. M. e LIMA, F. G. Trend Strips: A New Tool to Analyze Financial Series, Journal of Academy of Business and Economics, n. 12, 49-54, SPROTT, J. C. Chaos and Time-Series Analysis. Oxford: New York, 506 p., TSONIS, A. A. Chaos: from theory to applications, Plenum Press, New York, 348 p., 1992.