Estudo de Metaheurísticas Aplicadas ao Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas

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1 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS Diretoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa de Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional Estudo de Metaheurísticas Aplicadas ao Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática e Computacional, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática e Computacional. Aluno : Giselle Paranhos de Andrade Orientador : Prof. Dr. Sérgio Ricardo de Souza Co-Orientador : Prof. Dr. Moacir Felizardo de França Filho Belo Horizonte - MG Dezembro de 2012

2 A474m Paranhos, Giselle Andrade, Estudo de Metaheurísticas Aplicadas ao Problema de Sequenciamento de Cirurgias Eletivas/ Giselle Paranhos de Andrade - Belo Horizonte: CEFET- MG, : il. Inclui Bibliografia. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática e Computacional) - Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais Orientador: Sérgio Ricardo de Souza. Co-Orientador: Moacir Felizardo de França Filho. 1 - Agendamento de cirurgias eletivas - Teses. 2 - Sequenciamento de Tarefas. 3 - Máquinas Paralelas. 4 - Otimização. 5 - Metaheurísticas. R. Souza, Sérgio. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais. III. Título. CDU ii

3 iii Dedico esta dissertação à minha família com muito amor.

4 Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus por iluminar os meus caminhos e por oferecer saúde ao meu corpo e a minha mente. Ao meus pais, Sebastião Paranhos (in memmorian) e Geralda Pereira, pelo apoio incondicional e pelo exemplo de honestidade e integridade a mim concedidos. Aos meus irmãos Gilson, Geraldo, Gilmar, Gildásio, Gilvane, Gildete, Gilza, Gilmara e Gislene (in memmorian), pela confiança, apoio, amor e também pela compreensão nos momentos de ausência. A todos os meus meus sobrinhos por tornarem os meus dias mais prazerosos e coloridos. A Giselle Favacho (Gigi), pelo amor, carinho e cuidado, e a quem eu devo minha eterna gradidão, inclusive por realizar a primeira revisão desta dissertação. As amigas Elaine, Adriana, Fatinha, Sra. Efigênia (in memmorian), em especial Suely Alvim (Su) por todos os gestos de amor, carinho e apoio recebidos. Por todos os momentos de consolo, por sempre ter as palavras certas para me dizer e também por ter sempre a disponibilidade para me ouvir. Tudo isto me deu força e coragem para prosseguir e finalizar esta maravilhosa conquista em minha vida. Ao amigo Gustavo de Morais Teotônio, presente em todos os momentos de minha vida, inclusive no desenvolvimento deste trabalho. Ao meu orientador, professor Sérgio Ricardo de Souza, pela confiança, apoio e disponibilidade constante. Aos Professores do CEFET-MG Moacir, Flávio Luiz Cardeal, Paulo Almeida, Rodrigo e, em especial Elizabeth Wanner. Aos amigos Antônio de Assis, Marley e Leidimar pelo total incentivo, contribuição, apoio e paciência. Aos grandes amigos conquistados no CEFET-MG José Maurício, Juliana, Carol, Nilmar, Jeanderson, Saulo, Cássia, Moisés, Marcellus, Sophia Nóbrega, Flaviana, Giselle Xavier, Mayra, Líllian, Flávia Magnani, Solange e, em especial Eduardo Camargo de Siqueira, pelo grandioso apoio e torcida sempre. A todos aqueles que me acompanharam ao longo deste processo e que continuam no meu caminho, agradeço profundamente a possibilidade de descoberta e de crescimento em cada momento. Aos membros da banca examinadora, professores Thiago Ferreira de Noronha, Sérgio Ricardo de Souza, Moacir Felizardo de França Filho e Rogério Martins Gomes, pelas valiosas contribuições. A Lenise, que sempre com muita dedicação e gentileza me auxiliou nas questões burocráticas na secretaria. Aos diretores dos hospitais que me acolheram e propiciaram a realização deste trabalho. iv

5 v Bem sei que tudo posso, e nenhum dos planos de Deus podem ser frustrados. (Jo 42:41-42)

6 Resumo Esta dissertação aborda o Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas (PACE). O PACE caracteriza-se por um conjunto de cirurgias que devem ser realizadas em um conjunto de salas cirúrgicas em um determinado período de tempo, com o uso de um determinado conjunto de recursos. Sendo assim, o PACE consiste em alocar recursos cirúrgicos para a realização de cirurgias eletivas em hospitais. Os recursos em análise são o conjunto de cirurgiões que atendem no hospital analisado; os equipamentos necessários à realização de uma certa cirurgia; os demais profissionais necessários à realização da mesma, como anestesistas e enfermeiros; além das salas para a realização das cirurgias, salas de recuperação pós-anestésica e leitos de Unidades de Tratamento Intensivo (caso necessários). Este problema será tratado como um Problema de Programação de Máquinas Paralelas, uma classe de Problemas de Agendamento, considerando-se a analogia entre salas e máquinas e entre cirurgias e tarefas. O objetivo do PACE é, então, minimizar o makespan, ou seja, minimizar o instante de término da última cirurgia. Como trata-se de um problema NP-Difícil, a metodologia adotada é a aplicação das metaheurísticas GRASP (Greedy Randomized Adaptive Search Procedure), ILS (Iterated Local Search), VNS (Variable Neighborhood Search) e IGS (Iterated Greedy Search) para a sua solução. São utilizados oito movimentos de vizinhança, na forma de realocação e troca. Os movimentos são realizados alterando-se a sequência de realização das cirurgias ou as salas em que estas serão realizadas. As metaheurísticas desenvolvidas são testadas utilizando-se noventa instâncias propostas nesta dissertação, desenvolvidas a partir de dados reais fornecidos por quatro hospitais de grande porte localizados na região metropolitana de Belo Horizonte. Os resultados computacionais obtidos são analisados utilizando-se o Teste de Kruskal-Wallis e gráficos BoxPlot. Palavras-chave: Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas, Eficiência de Serviços Cirúrgicos, Sequenciamento de Tarefas, Metaheuristicas. vi

7 Abstract This paper addresses the problem of scheduling Elective Surgeries (PACE). The PACE is characterized by having a set of operations that must be performed in a surgical suite of offices in a given period of time, using a particular set of resources. Thus, the PACE is to allocate resources for performing surgical elective surgery in hospitals. The resources in question are the set of surgeons attending the hospital analyzed; equipment necessary to perform a certain surgery, other professionals required to achieve the same, as anesthetists and nurses; beyond the halls to perform the surgeries, rooms post-anesthesia recovery beds and intensive care units (if necessary). This problem is treated as a Programming Problem Machine Parallels, a class of scheduling problems, considering the analogy between machines and between rooms and surgeries and tasks. The purpose of PACE is then minimize the makespan, ie minimize the moment of completion of the last surgery. As it is NP-Hard, the methodology is the implementation of the Greedy Randomized Adaptive metaheuristics GRASP Search Procedure), ILS (Iterated Local Search), VNS (Variable Neighborhood Search) and IGS (Iterated Greedy Search) for its solution. Eight movements are used neighborhood, in the form of relocation and return. The movements are performed by altering the sequence of complete surgery or premises where these are performed. The metaheuristics developed are tested using ninety instances proposed in this paper, developed from actual data provided by four large hospitals located in the metropolitan region of Belo Horizonte. The computational results are analyzed using the Kruskal-Wallis and boxplots. KEYWORDS: Surgical Case Scheduling Problem, Efficiency Surgical Services, Job Scheduling, Metaheuristics vii

8 Sumário 1 Introdução Justificativa Objetivos Metodologia Estrutura do Trabalho Caracterização do Problema Classificação dos Problemas de Sequenciamento Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado Formulação Matemática para o PACE Revisão Bibliográfica do Problema Estudado Planejamento de Casos Mistos Planejamento Mestre de Cirurgias Agendamento de Casos Eletivos Uma Análise da Bibliografia Modelos Matemáticos para o PACE Modelo Matemático de Kharrajal, Albert e Chaabanel Modelo Matemático de Belien, Demeulemeester e Cardoen Modelo Matemático de Pham e Klinkert Comparação entre os Modelos Matemáticos Heurísticas Estudadas Heurísticas Construtivas Heurísticas de Refinamento Método de Descida Método Randômico de Descida Metaheurísticas Algoritmos Desenvolvidos Considerações Iniciais Sequenciamento de Cirurgias Representação de uma Solução Estruturas de Vizinhanças Função de Avaliação Busca Local Algoritmos Propostos Greedy Randomized Adaptative Search Procedure Iterated Local Search Função Perturbação da Solução viii

9 5.7.3 Variable Neighborhood Search Iterated Greedy Search Experimentos Computacionais Instâncias Propostas para o PACE Resultados Análise dos Experimentos Computacionais Desempenho Computacional Análise Estatística Gráficos BoxPlot Conclusões Gerais e Trabalhos Futuros Conclusões Gerais Sobre as Variáveis Comparadas Sobre o Teste de Probabilidade Empírica Sobre o Teste Kruskal-Wallis Sobre o Teste BoxPlot Trabalhos Futuros Publicações Originadas desta Dissertação REFERÊNCIAS 71 ix

10 Lista de Tabelas 2.1 Tempos de Processamento das cirurgias Tempos de Preparação(setup) das cirurgias Classificação dos Trabalhos sobre Sequenciamento de Cirurgias Eletivas Resumo das referências bibliográficas sobre o Planejamento de Cirurgias Eletivas Informações das Instâncias Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Instâncias utilizadas e suas características - Grupo Parâmetro das Implementações Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Comparação entre GRASP, ILS, VNS e IGS para instâncias do Grupo Notação usada no Teste de Kruskal-Wallis Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h15, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 38,34 e uma significância P-valor= 2, Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h25, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 75,15 e significância P-valor= 3, Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h35, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 79,62 e significância P-valor= 3, Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h55, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 35,21 e significância P-valor= 1, Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h65, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 80,53 e significância P-valor= 2, Resultado para o Teste de Kruskal-Wallis acerca da Instância h90, com Kruskal- Wallis qui-quadrado χ 2 = 70,34 e significância P-valor= 3, x

11 Lista de Figuras 2.1 Exemplo de um possível sequenciamento para o Exemplo Exemplo de Gráfico de Gantt mostrando a realização de duas cirurgias com todos os recursos necessários Exemplo de uma solução inicial do PACE. São consideradas 15 cirurgias realizadas em 2 salas cirúrgicas durante 5 dias contínuos e com um makespan igual a Exemplo de uma solução final do PACE. Após as realocações, o makespan diminui para 106 slots Processo de Planejamento de Cirurgias Eletivas Exemplo de disponibilidade dos recursos Representação esquemática do funcionamento do Método da Descida, no caso de uma função contínua Representação da solução por meio de dois vetores Representação Movimento Troca Sequencia Representação Movimento Realoca Sequencia Representação Movimento Troca Salas Representação Movimento Realoca Salas Representação Movimento Troca Sequencia Bloco Representação Movimento Realoca Sequencia Bloco Representação Movimento Troca Salas em Bloco Representação Movimento Realoca Salas em Bloco Gráfico Total de Resultados por Metaheurística Gráfico Desvio Padrão(%) Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico de Probabilidade Empírica acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h Gráfico BoxPlot acerca da instância h xi

12 Lista de Algoritmos 1 Heurística de construção gulosa de uma solução inicial Heurística de construção aleatória de uma solução inicial Método de Descida Pseudocódigo do Método Randômico de Descida Pseudocódigo Busca Local - Método Randômico de Descida Pseudocódigo GRASP Pseudocódigo ILS Pseudocódigo Perturbação Pseudocódigo VNS Pseudocódigo IGS Pseudocódigo BuscaLocal para IGS xii

13 Capítulo 1 Introdução O aspecto gerencial da prestação de serviços de saúde nos hospitais está se tornando cada vez mais importante. Hospitais querem, por um lado, reduzir custos e melhorar os seus ativos financeiros e administrativos, e, por outro lado, considerando a natureza da prestação do serviço, querem também elevar o nível de satisfação do paciente. Uma unidade hospitalar que é de particular interesse é o Centro Cirúrgico (CC), ou melhor, a exploração das salas cirúrgicas, uma vez que o CC é o setor que mais gera custos ao estabelecimento de saúde e mesmo assim, segundo Macario et al. (1995), é o principal centro de receita da instituição. Os fatores mencionados acima são tratados no Problema de Sequenciamento de Cirurgias, conhecido na literatura inglesa como Surgical Case Scheduling (SCS), consistindo basicamente na alocação de recursos hospitalares para casos cirúrgicos, bem como a definição do melhor instante para a sua realização. Esta tarefa tem um papel decisivo na utilização de recursos hospitalares de forma eficiente, e é considerado um problema clássico de otimização combinatória pertencente à classe NP-Difícil, segundo Carter e Tovey (1992). O gerenciamento de salas cirúrgicas é prejudicado por sua sensibilidade a diversos fatores. Segundo Etzioni et al. (2003), isso se deve aos conflitos de prioridades e às preferências das partes interessadas, mas, também, devido à escassez de recursos de alto valor. Somado a estes fatores, é necessário lembrar da necessidade de antecipação de quadros sociais que possam diretamente interferir na saúde da população e imediatamente alterar o comportamento do atendimento. Os gestores de saúde têm que antecipar o aumento de demandas, como envelhecimento da população, por exemplo. Estes fatores têm claramente salientado a necessidade do desenvolvimento de um planejamento adequado para o agendamento de cirurgias. Para Jebali et al. (2006), a programação das salas cirúrgicas, com a finalidade de reduzir custos e ao mesmo tempo manter uma boa qualidade do atendimento, tornou-se uma das grandes prioridades nas instituições de saúde. Ainda de acordo com Jebali et al. (2006), determina-se que o agendamento de cirurgias seja realizado por meio de um cronograma e que este contenha as cirurgias a serem realizadas em uma determinada sala, assim como todos os recursos atribuídos a cada cirurgia, observando o período de uma semana ou de um único dia. Doravante, denotar-se-á o SCS como PACE (Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas), que consiste em agendar cirurgias previamente conhecidas, desconsiderando casos de cirurgias de emergência. Para a resolução do PACE é programado, nesta pesquisa, um sequenciamento semanal de cirurgias eletivas por meio de um cronograma, no qual é possível analisar a disponibilidade de cada recurso necessário à realização das cirurgias. A metodologia adotada tem, 1

14 1.2 Justificativa 2 como objetivo, minimizar o makespan, ou seja, o instante de término da última cirurgia, garantindo, assim, a realização de todas as cirurgias agendadas. 1.1 Justificativa O Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas (PACE) pertence à classe de problemas combinatórios e apresenta grande relevância na área de Pesquisa Operacional. O problema em questão trata de um tema presente no contexto das organizações hospitalares, pois, segundo Macario et al. (1995), o centro cirúrgico é o principal centro de receita da instituição, sendo responsável por 2/3 da receita financeira de um hospital. Basicamente envolve a construção de um sequenciamento de cirurgias eletivas, tendo em vista que já é de conhecimento a duração da cirurgia, o tempo de higienização demandado, bem como o seu porte. O estudo sobre a automatização do agendamento de cirurgias eletivas pode ser justificado pelas seguintes razões: Dificuldade de Resolução: a construção de um sequenciamento que atenda a todos os interesses envolvidos é uma tarefa extremamente difícil. Pode-se afirmar que, frequentemente, a simples construção de um sequenciamento válido, ou seja, um sequenciamento que atenda somente às restrições básicas, já é uma tarefa complexa; Importância Prática: como mencionado, um sequenciamento de cirurgias que atenda um hospital nos aspectos propostos pode diminuir as listas de espera por cirurgias; pode aumentar a eficiência do bloco cirúrgico; melhorar a satisfação tanto do paciente quanto da equipe cirúrgica e possibilitar uma gestão eficiente dos recursos da instituição. Sendo assim, o estudo desse problema tem grande importância prática na área da saúde; Importância Teórica: problemas de sequenciamento, como o PACE são classificados como NP-difíceis, segundo Carter e Tovey (1992), ou seja, são problemas de resolução com elevada complexidade computacional. Logo, progressos alcançados na resolução de problemas desse tipo são um dos grandes desafios na área da Pesquisa Operacional. 1.2 Objetivos O presente trabalho tem, como objetivo geral, o estudo da resolução, via metaheurísticas, do Problema de Sequenciamento de Cirurgias Eletivas. Pretende-se com esse trabalho a realização de uma abordagem que reúna diferentes aspectos promissores (no sentido de metaheurísticas, análise de vizinhanças e técnicas de busca local), em busca da implementação de uma técnica que apresente eficiência e robustez, contribuindo na resolução da classe de problemas desta natureza. Para tanto, este trabalho se propõe a atingir os seguintes objetivos específicos: Pesquisar diferentes técnicas metaheurísticas aplicáveis ao problema tratado; Gerar instâncias com dados reais de hospitais pesquisados; Avaliar e pesquisar diferentes estruturas de vizinhança para exploração do espaço de busca para a resolução do problema;

15 1.4 Metodologia 3 Realizar análises e comparações que sejam conclusivas quanto ao comportamento das técnicas utilizadas na resolução do problema e também quanto à qualidade das soluções encontradas frente aos resultados existentes na literatura. 1.3 Metodologia Esta dissertação tem, como objetivo, realizar um estudo acerca da aplicação de metaheurísticas para a resolução do PACE. Deste modo, primeiramente, é feita uma revisão bibliográfica sobre o tema. Para a solução do problema em análise, são implementadas quatro diferentes metaheurísticas adaptadas para o PACE, a saber: Greedy Randomized Adaptative Search Procedure (GRASP), Iterated Local Search (ILS), (Variable Neighborhood Search) (VNS) e Iterated Greedy Search (IGS). Os algoritmos foram implementados na plataforma IDE Borland C++ Builder 6.0, na linguagem C++. Os testes foram realizados em computadores com processador Core 2 Quad 2.1 GHz, memória RAM de 3GB e sistema operacional Windows Seven Ultimate. Para realizar os testes, foram utilizadas 90 instâncias geradas durante a pesquisa, por meio de dados e informações referentes ao ano de 2012, em quatro hospitais de grande porte localizados na região metropolitana de Belo Horizonte. As instâncias compreendem os dados primordiais do sequenciamento de cirurgias eletivas, sendo eles: a quantidade de salas cirúrgicas disponíveis, leitos de UTI, leitos de recuperação pós-anestésica, cirurgiões, anestesistas e enfermeiros. Com a finalidade de testar a eficiência dos métodos desenvolvidos, foram realizados experimentos computacionais, que consistem na aplicação destes métodos sobre as instâncias propostas. Os resultados encontrados são comparados com a solução inicial, que, neste trabalho, compreende os resultados da primeira fase da metaheurística GRASP, ou seja, são utilizados os resultados advindos somente da fase de construção da metaheurística, sem a aplicação da busca local. Apresentam-se também gráficos de probabilidade empírica para demonstrar o comportamento dos algoritmos durante sua execução. Além disto, é realizada uma análise estatística por meio do teste de Kruskal-Wallis e dos gráficos boxplot, para efetivamente demonstrar a qualidade dos resultados obtidos. 1.4 Estrutura do Trabalho O restante deste trabalho é organizado da seguinte maneira. No Capítulo 2, apresenta-se a classificação dos problemas de sequenciamento, a descrição do problema de sequenciamento abordado e sua formulação matemática. No Capítulo 3, é apresentada a revisão bibliográfica do sequenciamento de cirurgias eletivas, modelos matemáticos de várias autorias e outros trabalhos relacionados ao problema. No Capítulo 4, são apresentadas as heurísticas estudadas para a solução do problema. Apresenta-se uma descrição das heurísticas construtivas, heurísticas de refinamento e metaheurísticas. No Capítulo 5, descrevem-se a representação do problema, as estruturas de vizinhanças, a função de avaliação do objetivo do problema, além da descrição detalhada das quatro metaheurísticas implementadas para a resolução do PACE. O Capítulo 6 descreve as instâncias utilizadas e os resultados encontrados a partir da aplicação dos algoritmos implementados às instâncias de teste. No Capítulo 7, apresenta-se a análise dos resultados encontrados, utilizando gráficos e procedimentos estatísticos. Finalmente, no Capítulo 8, descrevem-se as conclusões gerais acerca do trabalho realizado, as propostas de trabalhos futuros e expõem-se as publicações realizadas durante este trabalho.

16 Capítulo 2 Caracterização do Problema Este capítulo caracteriza o Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas. Na Seção 2.1, são apresentadas variações conhecidas na literatura para o problema de sequenciamento de tarefas. A Seção 2.2 caracteriza detalhadamente o problema de sequenciamento abordado neste trabalho. É apresentada, na Seção 2.3, uma proposta de modelo matemático para o problema aqui tratado. O Problema de Agendamento de Cirurgias Eletivas tratado nesta dissertação é um problema de otimização combinatória, uma vez que visa maximizar ou minimizar uma função definida sobre um certo domínio finito. Visa, contudo, a utilização ótima de um conjunto de recursos, de acordo com sua disponibilidade. Assim, para a solução deste problema, nesta dissertação são usados métodos metaheurísticos, que, se por um lado não garantem a obtenção de soluções ótimas de instâncias do problema abordado, por outro, permitem que soluções de qualidade sejam encontradas em tempo computacional satisfatório. 2.1 Classificação dos Problemas de Sequenciamento Os problemas de sequenciamento ou de programação de tarefas são classificados, por Pinedo (2008), como: (a) Sequenciamento em uma máquina (single-machine): considera-se a existência de uma única máquina e todas as tarefas são processadas nesta máquina; (b) Sequenciamento em máquinas paralelas (parallel machines): considera-se a existência de m máquinas em paralelo. Estas máquinas podem ser homogêneas, heterogêneas ou completamente não relacionadas. Cada tarefa pode ser processada em qualquer uma das máquinas. De acordo com Bazaraa et al. (1992), há três classes de problemas com máquinas paralelas: (i) Máquinas Idênticas: os tempos de processamento de uma dada tarefa são os mesmos em todas as máquinas; (ii) Máquinas Uniformes (Proporcionais): os tempos de processamento de cada tarefa variam de acordo com um padrão simples entre as máquinas. Esta variação está associada a um fator de proporcionalidade (e é a mesma para todas as tarefas); (iii) Máquinas Não-Relacionadas: os tempos de processamento das tarefas variam entre as máquinas, mas em um padrão completamente arbitrário. 4

17 2.2 Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado 5 (c) Flow shop: em um ambiente flow shop com m máquinas, considera-se a existência de m estágios em série. Cada estágio poderá ser constituído por uma ou mais máquinas. Neste tipo de problema, cada tarefa deve ser processada em cada um dos m estágios na mesma ordem. Os tempos de preparação podem ser diferentes para cada tarefa nos diferentes estágios. O flow shop pode ser classificado da seguinte maneira: (i) Regular Flow Shop: considera-se a existência de uma única máquina em cada estágio; (ii) No-Wait Flow Shop: neste problema, as operações para uma determinada tarefa são processadas de forma contínua do início ao fim. Não há interrupção em alguma das máquinas ou entre as máquinas; (iii) Flexible (Hybrid) Flow Shop: considera-se a existência de mais de uma máquina em cada estágio; (iv) Assembly Flow Shop: em um ambiente Assembly Flow Shop com dois estágios, considera-se a existência de k + 1 máquinas diferentes. Dadas n tarefas, em que cada tarefa passa por k + 1 operações, as k primeiras operações serão conduzidas ao primeiro estágio em paralelo, restando ao segundo estágio a operação final, também conhecida como operação de montagem; (d) Job shop: considera-se a existência de m máquinas diferentes e cada tarefa possui sua rota de processamento. Nesta rota, algumas máquinas podem não ser usadas e outras podem ser repetidas; (e) Open shop: este ambiente é semelhante ao Job shop. No entanto, cada tarefa deve ser processada uma única vez em cada uma das m máquinas seguindo qualquer rota de processamento. A rota a ser seguida é uma das variáveis de decisão do problema. 2.2 Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado O problema abordado no presente trabalho é classificado como Problema de Programação em Máquinas Paralelas Idênticas, no qual o objetivo é a minimização do makespan. De acordo com as definições de Pinedo (2008), ele pode ser denotado por P m C max. O Problema de Programação em Máquinas Paralelas Idênticas caracteriza-se por um conjunto de n tarefas, neste caso, N = {1,...,n}, a serem processadas por um conjunto de m máquinas idênticas M 1,...,M m, com as seguintes características: (a) cada tarefa deve ser processada exatamente uma vez e por apenas uma máquina; (b) cada tarefa i possui um tempo de processamento p i ; (c) existem tempos de preparação entre as tarefas, denominados s nk, em que as tarefas n e k serão processadas, nesta ordem. Estes tempos de preparação são independentes da sequência, pois esta já é conhecida; (d) todas as tarefas estão liberadas para processamento no início do horizonte de programação; (e) não sendo admitidas interrupções no processamento de nenhuma delas.

18 2.2 Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado 6 S S t Figura 2.1: Exemplo de um possível sequenciamento para o Exemplo 2.1. O objetivo é encontrar um sequenciamento das n tarefas nas m máquinas, de forma a minimizar o tempo de conclusão do sequenciamento, o chamado makespan ou C max. O estudo desta dissertação segue o modelo apresentado por Pham e Klinkert (2008), que propõe uma extensão do Problema de Agendamento chamada Multi-Mode Blocking Job Shop, porém, na presente dissertação, sob a visão de Problemas de Máquinas Paralelas. Nesse modelo, os autores utilizam técnicas de Programação Inteira Mista. Com o objetivo de solucionar o PACE usando as características do problema de programação em máquinas paralelas, define-se, no presente trabalho, a equivalência entre máquina e sala cirúrgica; e entre tarefa e cirurgia. O exemplo a seguir ilustra essa correspondência. Exemplo 2.1 Considere uma situação de agendamento de cirurgias eletivas em um hospital. A Tabela 2.1 mostra os tempos de processamento, em unidades de tempos, de sete cirurgias a serem realizadas em duas salas cirúrgicas, nomeadas como S 1 e S 2. A Tabela 2.2 contém os tempos de setup de cada cirurgia. A Figura 2.1 ilustra um possível sequenciamento para este exemplo. Tabela 2.1: Tempos de Processamento das cirurgias n p n Tabela 2.2: Tempos de Preparação(setup) das cirurgias n t setup Na Figura 2.1, observa-se que a cirurgia 6 é alocada à sala S 2 na terceira posição, com tempo de processamento p 6 = 12, tendo a cirurgia 4 como predecessora e a cirurgia 3 como sucessora. As partes hachuradas na figura correspondem aos tempos de setup ou higienização das salas. O instante de término da última cirurgia, ou seja, o makespan para este sequenciamento, é equivalente a 65 unidades de tempo. Para iniciar o processo de sequenciamento de cirurgias eletivas, é necessário um estudo antecipado sobre todos os recursos disponíveis para a realização das cirurgias, tanto dos recursos humanos (cirurgiões, enfermeiros e anestesistas), quanto dos recursos materiais, como salas cirúrgicas, sala de recuperação pós-anestésica (RPA), unidade de tratamento intensivo (UTI), e equipamentos diversos utilizados no ato da cirurgia.

19 2.2 Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado 7 A Figura 2.2 ilustra o princípio de formação de Módulos. Estes modos compreendem todos os recursos envolvidos em determinada cirurgia. Veja, por exemplo, que a cirurgia 1 inicia-se no estágio pré-operatório no instante de tempo t 0 com o enfermeiro E 3. No estágio seguinte, classificado como estágio operatório, realiza-se de fato o procedimento cirúrgico e a cirurgia 1. Esta cirurgia é alocada na sala S 2, com a participação do cirurgião C 3, enfermeiro E 2 e anestesista A 2, utilizando o conjunto de equipamento Eq 2. Após a cirurgia, já no terceiro e último estágio, o paciente se recupera na sala RPA. Já a cirurgia 2 inicia-se também com o enfermeiro E 3, e ocorre na sala S 1, com a participação do cirurgião C 1, enfermeiro E 1 e anestesista A 1, utilizando o equipamento Eq 1, e que, após a cirurgia, o paciente também se recupera na sala RPA. Figura 2.2: Exemplo de Gráfico de Gantt mostrando a realização de duas cirurgias com todos os recursos necessários. Na Figura 2.3 é apresentada uma solução inicial de um agendamento semanal, contemplando 5 dias (segunda à sexta-feira), entre 07 horas e 19 horas. O período disponível para o agendamento corresponde a doze horas diárias e mais duas horas, pois a última cirurgia

20 2.3 Descrição do Problema de Sequenciamento Abordado 8 pode iniciar-se às 19 horas e deve ter duração máxima de duas horas, totalizando, então, quatorze horas de agendamentos diários, o que corresponde a setenta horas semanais. Para melhorar a administração dos pedidos de agendamento de cirurgias e considerando a média de duração das mesmas, o período disponível para o agendamento é dividido em slots de 30 minutos. Por exemplo, uma cirurgia com duração de duas horas possui 4 slots de tempo. Esta prática se faz necessária, uma vez que os relatórios estudados apresentaram cirurgias com duração de quinze e vinte e cinto minutos, e além disto, o tempo médio de higienização das salas varia entre trinta minutos e uma hora. Considerando que, para cada dia, são disponibilizados 28 slots, tem-se então um total de 140 slots para o agendamento semanal de cirurgias. Nesta pesquisa, considerou-se, para o intervalo de higienização ou tempo de setup, a utilização de 1 ou 2 slots de tempo. A Figura 2.3 ilustra um agendamento contemplando 15 cirurgias realizadas em cinco dias da semana. Os slots hachurados representam a duração de higienização das salas, que podem variar de um a dois slots, de acordo com a duração da cirurgia. O makespan corresponde ao instante de término da última cirurgia, no caso, a cirurgia de número 15, que foi concluída no slot 139. S1 S Seg Ter Quar Qui Sex 139 t Figura 2.3: Exemplo de uma solução inicial do PACE. São consideradas 15 cirurgias realizadas em 2 salas cirúrgicas durante 5 dias contínuos e com um makespan igual a 139. A Figura 2.4 apresenta uma solução final para o agendamento semanal apresentado na Figura 2.3. Observe que todas as cirurgias agendadas para a sala S 1 durante a sexta-feira foram realocadas para outros dias da semana; que é possível realocar a cirurgia de número 15, agendada para a sala S 1 durante a sexta-feira, para a sala S 2 na segunda-feira; que as cirurgias 13 e 14, agendadas para a sala S 2, podem ser agendadas para quarta-feira nesta mesma sala. Com estas realocações, o makespan diminui para 106 slots. S 1 S Seg 28 Ter 56 Quar 84 Qui 112 Sex t Figura 2.4: Exemplo de uma solução final do PACE. Após as realocações, o makespan diminui para 106 slots.

21 2.3 Formulação Matemática para o PACE Formulação Matemática para o PACE Nesta seção é apresentado o modelo matemático proposto para o Problema de Sequenciamento de Cirurgias Eletivas - PACE - em estudo nesta dissertação. Seja, então, a seguinte notação, utilizada para a definição de índices e conjuntos neste modelo matemático: C: conjunto de cirurgias i; K: conjunto de salas cirúrgicas k; M: conjunto de médicos disponíveis no hospital; A: conjunto de anestesistas disponíveis no hospital; F: conjunto de enfermeiros disponíveis no hospital; E: conjunto de equipamentos disponíveis no hospital; C m : conjunto de cirurgias com a participação do cirurgião m, de modo que C m C; C a : conjunto de cirurgias com a participação do anestesista a, de modo que C a C; C f : conjunto de cirurgias com a participação do enfermeiro f, de modo que C f C; C e : conjunto de cirurgias com a utilização do equipamento e, de modo que C e C; d i : corresponde ao período de tempo de duração da cirurgia i; TH i : período de tempo de higienização da sala cirúrgica após a conclusão da cirurgia i; L: expectativa de valor de makespan, ou valor muito alto. As variáveis de decisão do modelo são, então: x it : definida como variável inteira binária, de modo que x it = 1 se a cirurgia i inicia-se no instante t; e x it = 0, caso contrário; y ij : definida como variável inteira binária, de modo que y it = 1 se a cirurgia (tarefa) i precede imediatamente a cirurgia (tarefa) j; e y ij = 0, caso contrário; s i : definida como variável inteira, é o instante de início da cirurgia i; O modelo matemático proposto para o problema de Sequenciamento de Cirurgias Eletivas (PACE), segundo os termos definidos, é, então, dado por:

22 2.3 Formulação Matemática para o PACE 10 min z = C max +β i s i (2.1) C max s i +d i i (2.2) s i = tx it i (2.3) i x it = 1 i (2.4) t C +1 j j=0, j i C +1 j j=0, j i C y ij = 1 i (2.5) y ji = 1 i (2.6) y 0i = K (2.7) j=1 C y j0 = K (2.8) j=1 y ij +y ji 1 (i,j) (2.9) s j s i (TH i +d i )y ij M (1 y ij ) (i,j) (2.10) t =t+d i x it + x jt 1 i C m ; m ;t = 1,...,(L d i ) (2.11) j Cm j i t =t+d i x it + x jt 1 i C a ; a ;t = 1,...,(L d i ) (2.12) j Ca j i t =t+d i x it + x jt 1 i C f ; f ;t = 1,...,(L d i ) (2.13) j C f j i t =t+d i x it + x jt 1 i C e ; e ;t = 1,...,(L d i ) (2.14) j Ce j i x it {0, 1} (2.15) y ij {0, 1} (2.16) s i N (2.17) A descrição desse modelo é apresentada a seguir. A expressão (2.1) é a função objetivo do problema modelado e minimiza o makespan e a soma dos tempos de início das cirurgias, privilegiando, assim, as cirurgias de duração mais curtas. A expressão (2.2) define o makespan como sendo o instante de início de conclusão da última cirurgia. A expressão (2.3) define o tempo de início da cirurgia i.

23 2.3 Formulação Matemática para o PACE 11 A expressão (2.4) estabelece que cada cirurgia i tem um e somente um instante de início. A expressão (2.5) estabelece que cada tarefa (cirurgia) tem um e somente um sucessor imediato. A expressão (2.6) estabelece que cada tarefa (cirurgia) tem um e somente um predecessor imediato. A expressão (2.7) estabelece que a cirurgia fictícia 0 (inicial) tem exatamente K sucessores. Implementa as K salas cirúrgicas. A expressão (2.8) estabelece que a cirurgia fictícia J + 1 (final) tem exatamente K predecessores. Implementa, em conjunto com a expressão (2.7), as K salas cirúrgicas. A expressão (2.10) estabelece que, se a cirurgia i precede imediatamente à cirurgia j, o início da cirurgia j, dado por s j, deve ser posterior à higienização da sala após a conclusão da cirurgia i. A expressão (2.11) impede o início de qualquer cirurgia j C m enquanto a cirurgia i C m, i j, estiver em andamento. As expressões (2.12), (2.13) e (2.14) garantem, mutatis mutandis, a mesma consideração com respeito a anestesistas, enfermeiros e equipamentos, respectivamente. A expressão (2.9) estabelece que, se i precede j, então j não pode preceder i. Por fim, as expressões (2.15) e (2.16) garantem o caráter binário das variáveis x it e y ij, respectivamente, enquanto a expressão (2.17) garante a integralidade da variável s i.

24 Capítulo 3 Revisão Bibliográfica do Problema Estudado Segundo Proenca (2010), o processo de planejamento de cirurgias eletivas pode ser dividido em três fases. Estas três fases e seu ciclo de precedência são visualisadas na Figura 3.1. Fase 1 Planejamento de Casos Mistos Fase 2 Planejamento Mestre de Cirurgias Fase 3 Agendamento de Casos Eletivos Figura 3.1: Fases do Processo de Planejamento de Cirurgias Eletivas. Na Fase 1, a disponibilidade em horas das salas cirúrgicas é distribuída pelos diferentes cirurgiões ou equipes cirúrgicas. Situada em um nível estratégico de decisão e, geralmente, realizada anualmente, esta fase é denominada por Planejamento de Casos Mistos (Case Mix Planning). A distribuição do tempo pode ter em conta a capacidade operativa de cada cirurgião ou grupo cirúrgico e a quantidade esperada de pacientes ao longo do correspondente horizonte temporal. A Fase 2 envolve o desenvolvimento de cronograma. Trata-se de um documento cíclico, que define o número e o tipo de salas de operações disponíveis, as horas em que as salas estão abertas, definindo, ainda, cirurgiões ou grupos de cirurgia que têm prioridade sobre o tempo das salas de operações. Esta fase designa-se por Planejamento Mestre de Cirurgias (Master Surgery Planning) e enquadra-se em um nível tático da gestão hospitalar. O horizonte temporal nesta fase do planejamento é mais reduzido do que na fase anterior. 12

25 3.2 Planejamento de Casos Mistos 13 Finalmente, na Fase 3, é estabelecido o planejamento de cada cirurgia em uma base diária. Esta fase situa-se em um nível operacional e é designada por Agendamento de Casos Eletivos (Elective Case Scheduling). O presente trabalho restringe-se à Fase 3. Trabalhos de revisão bibliográfica sobre a aplicação de pesquisa operacional no planejamento de cirurgias são apresentados em Magerlein e Martin (1978), Przasnyski (1986) e Cardoen et al. (2010). Na seção seguinte, são apresentados artigos encontrados na literatura que se enquadram dentro das três fases de planejamento de cirurgias eletivas. 3.1 Planejamento de Casos Mistos Hughes e Soliman (1978) apresentam um trabalho em programação linear para definir o número de pacientes a serem tratados, de modo a maximizar o retorno financeiro líquido total do hospital. São consideradas restrições de capacidade de recursos, baseados na quantidade de leitos, tempo de salas de parto, cirurgias e tempo de utilização de recursos para a realização de exames complementares de diagnóstico por imagem (TAC). Robbins e Tuntiwongpiboon (1989) apresentam um modelo que maximiza as margens obtidas com restrições de disponibilidade de recursos para servir os vários grupos. Estas restrições incluem a limitação de leitos de internação e de tempo disponível, quer ao nível de pessoal médico, quer ainda ao nível de equipamentos de diagnóstico. Blake e Carter (2002) apresentam uma abordagem determinística em que formulam o problema da seleção de Planejamento Misto de Casos em dois modelos de programação linear por metas. O método de resolução dos problemas não é especificado. Testi et al. (2007) apresentam um trabalho que envolve hierarquicamente as três fases do planejamento, de modo que a solução de uma fase é entrada da fase seguinte. Na fase de Planejamento Misto de Casos, apresentam um modelo em programação linear inteira para definir o número de sessões afetadas a cada especialidade, de modo a maximizar os benefícios obtidos. O modelo considera a capacidade das salas de cirurgias e valores mínimos para o número de sessões a atribuir a cada especialidade cirúrgica. Para a segunda fase do planejamento, apresentam uma abordagem em programação linear inteira para afetar as salas e os dias às unidades cirúrgicas. 3.2 Planejamento Mestre de Cirurgias Segundo Blake e Carter (2002), o cronograma de cirurgias compõe um calendário cíclico que define o número e o tipo de salas cirúrgicas disponíveis; a hora em que as salas serão abertas; o nome do procedimento cirúrgico; e o cirurgião ou grupos de cirurgiões que devem ser priorizados para o agendamento. Assim, propõem um modelo de programação inteira que minimiza a suboferta de horas médias ponderada, ou seja, é alocado, para cada grupo cirúrgico, um número máximo de horas possível. Em Blake e Joan (2002), os autores apresentam uma abordagem idêntica, mas utilizam o CPLEX para obter uma solução inteira admissível inicial, e melhoram esta solução por meio de uma heurística. Belien e Demeulemeester (2007) propõem uma série de modelos para a construção de agendamentos de cirurgias com o nivelamento da taxa de ocupação nos leitos de internação. São considerados modelos estocásticos, seguindo uma distribuição multinomial. Para a solução, utiliza-se uma série de heurísticas de programação inteira mista (MIP), com base em uma meta-heurística, com o objetivo de minimizar a escassez de leitos. Os modelos desenvolvidos envolvem dois tipos de restrições. A primeira certifica se cada cirurgião (ou grupo cirúrgico) obtém um número específico de blocos em salas de cirurgias. A segunda

26 3.3 Agendamento de Casos Eletivos 14 limita os blocos disponíveis em cada dia. Além disso, o número de pacientes operados por bloco e o tempo de permanência de cada paciente operado são dependentes do tipo de cirurgia. Belien et al. (2009) apresentam três objetivos fundamentais para o sucesso na resolução de problemas de agendamento de cirurgias. O primeiro objetivo é nivelar a taxa de ocupação nas diferentes unidade de internação; o segundo objetivo é classificar as salas e considerar grupos de cirurgiões com a mesma especialidade médica ocupando a mesma sala; e o terceiro e último objetivo é tornar o agendamento mais simples possível e repetitivo, evitando grandes mudanças no cronograma entre uma semana e outra. Para solucionar este problema, os autores utilizaram técnicas de programação inteira mista (MIP), envolvendo otimização multiobjetivo linear e quadrática e a meta-heurística Simulated Annealing (SA). 3.3 Agendamento de Casos Eletivos Ozkarahan (1995) apresenta uma abordagem que contempla, separadamente, os dois procedimentos incluídos nesta fase do planejamento das cirurgias. Para o agendamento das cirurgias, utiliza uma abordagem de programação por metas, em que pretende-se minimizar a ociosidade das salas e o tempo excedido. O modelo é resolvido com o programa LINDO. Em Ozkarahan (2000), o mesmo autor testa a abordagem anterior em um hospital da Turquia. Este trabalho assume uma agenda diária, previamente atribuída, para ser usada por cada especialidade cirúrgica. Para além das metas já utilizadas, o autor considera o desvio negativo do tempo marcado, para cada especialidade, em relação ao tempo previamente estipulado; prioridades quanto à escolha da sala; importância relativa de cirurgias (classificada pelos cirurgiões); e os leitos disponíveis na Unidade de Tratamento Intensivos (UTI). Gerchak et al. (1996) desenvolveram um modelo de programação dinâmica estocástica para o agendamento antecipado das cirurgias eletivas sob demanda incerta para a cirurgia de emergência. Os algoritmos descritos para o nivelamento da ocupação resultante dos leitos foi desenvolvido em função da agenda principal de cirurgias. Hsu et al. (2002) apresentam uma abordagem determinística para o agendamento de cirurgias eletivas em um centro de cirurgia ambulatorial, em que se pretende minimizar o número de enfermeiros em serviço na sala de recuperação pós-cirúrgica, como também o momento de saída do último paciente desta unidade. Os autores desenvolvem uma metodologia usando a meta-heurística Tabu Search. Guinet e Chaabane (2003) apresentam um modelo em programação linear inteira para agendar cirurgias eletivas para um dia, uma sala de cirurgia e um período específico, de modo a minimizar os custos de intervenção, que são definidos pelos custos de funcionamento da sala em tempo regular e em tempo extraordinário e pelo tempo de espera do paciente (custos de hospitalização do mesmo). O modelo permite a marcação de cirurgias em tempo extraordinário. No entanto, limita o tempo regular e extraordinário utilizado em cada sala de operações. Todas as cirurgias propostas no planejamento são marcadas. Jebali et al. (2006) apresentam uma abordagem em dois passos em que consideram, separadamente, os dois procedimentos sobre os quais a literatura divide a fase de Agendamento de Casos Eletivos. No primeiro passo, alocam as cirurgias às salas (Advance Scheduling), de modo a minimizar os custos de utilização em tempo extraordinário e de subutilização das salas de operações, envolvendo, ainda, a minimização do tempo entre o dia da admissão e o dia da cirurgia de cada paciente cirúrgico. São restrições do modelo o limite de tempo regular e extraordinário permitido no planejamento, a capacidade do número de camas na Unidade de Tratamento Intensivo e o tempo máximo de cirurgia para cada cirurgião. Ambos os problemas são resolvidos com o uso do CPLEX.

27 3.4 Uma Análise da Bibliografia 15 Pham e Klinkert (2008) apresentam um modelo em programação linear inteira mista, baseado uma nova extensão do Job Shop Scheduling Problem denominada Multi-Mode Blocking Job Shop. O modelo define um período de início para cada uma das três fases necessárias na realização de uma cirurgia (pré-operatório, intervenção e pós-operatório) e aloca um conjunto de recursos necessários à realização da cirurgia, com o objetivo de minimizar o período de início da última cirurgia a ser realizada. O problema é resolvido com o CPLEX. 3.4 Uma Análise da Bibliografia Uma classificação da bibliografia apresentada está mostrada na Tabela 3.2, a partir da classificação apresentada na Tabela 3.1. Tabela 3.1: Classificação dos Trabalhos sobre Sequenciamento de Cirurgias Eletivas Item Tipo Classificação Scheduling Problem 1 Sistema de Sequenciamento em Bloco 2 Sistema de Sequenciamento Aberto Modelo Matemático 1 Programação Inteira Binária 2 Programação Inteira 3 Programação Inteira Mista 4 Otimização Multicritério 5 Otimização Não-Linear 6 Otimização de Programação Dinâmica Estocástica 7 Modelo de Simulação 8 Otimização Estocástica Solução Adotada 1 Método Exato 2 Método Heurístico Critério 1 Número de leitos usados 2 Custo 3 Critério Financeiro 4 Utilização da UTI 5 Duração de Cirurgias 6 Limites de Estadia 7 Makespan 8 Eficiência da sala 9 Utilização da sala 10 Produtividade OT 11 Overtime 12 Idade do Paciente 13 Leitos de Recuperação Pós-Anestésica 14 Número de Enfermeiros em Leitos de RPA 15 Paciente Prioritário 16 Bem estar do Paciente 17 Tempo de Espera do Paciente 18 Receita 19 Risco de Não Realização 20 Risco de Falência Pessoal 21 Cancelamento da Cirurgia 22 Satisfação Pessoal 23 Duração Total 24 Tempo Ocioso 25 Undertime Recursos 1 Camas 2 Equipamentos/materiais cirúrgicos 3 Staff Horizonte de Planejamento 1D 1 Dia 1-2W 1-2 Semanas Mais >2 Semanas