Mecânica e Ondas. c) Qual é a amplitude da defleção em Oy? (Depende do tempo residência t do electrão entre as placas de comprimento l.

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1 Mecânica e Ondas Série Docentes da disciplina: Orfeu Bertolami, Ana M. Martins e Mario J. Pinheiro Licenciaturas em Eng. Mecânica e Naval Departmento de Física e Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear, Instituto Superior Técnico, Av. Rovisco Pais, & Lisboa, Portugal Phone: (Dated: April 7, 2008) I. DINÂMICA. TRABALHO. CAMPO GRAVÍTICO. 1) (Forças eléctricas) Num tubo de raios catódicos um electrão é acelerado ao longo de uma diferença de potencial V 0 (canhão electrónico). Chamaremos de eixo Oz ao eixo central do tubo e aos eixos transversais Ox e Oy. Dois pares de placas de defleção deflectem o electrão transversalmente para fora do eixo central de modo a incidir sobre um ponto específico do écran. a) Qual é a componente da velocidade longitudinal v z do electrãp após abandonar o canhão electrónico? 2eV Res:) v z = 0 m ) b) Depois de deixar o canhão electrónico, o electrão não se encontra mais sujeito a qualquer força ao longo de Oz. Suponha que uma tensão V é aplicada nas placas de defleção Oy, separadas de d. Qual é a componente da aceleração no eixo Oy? Res: a y = F y m = ev md ) c) Qual é a amplitude da defleção em Oy? (Depende do tempo residência t do electrão entre as placas de comprimento l.) Res: t = l v z, y = V l2 V ) 0d 2) (Forçs) Um dos exemplos mais importantes de movimento circular é o comportamento de partículas electricamente carregadas na presença de campos magnéticos: F mag = q v B (1) onde q é a carga eléctrica da partícula (positiva ou negativa). Imagine a partícula de carga positiva movendo-se num plano onde o campo magnético B aponta perpendicularmente para baixo do plano do movimento. a) Mostre que esta força não realiza trabalho sobre a carga. b) Como se conclui da análise anterior, não pode haver variação no módulo de v. Mas a sua direcção varia com o tempo. Mostre que a carga descreve um círculo de raio R = mv qb. 3) (Energia mecânica) Um bloco parte do repouso escorregando 5 m para baixo num plano inclinado que faz um ângulo de 37 0 com a horizontal. O coeficiente de atrito entre o bloco e o plano é 0.2. Electronic address: mpinheiro@ist.utl.pt versão 1.0

2 2 a) Qual é a velocidade do bloco depois de escorregar 5 m? Res: v = 2g(h cos 37 0 ) = 6.6 m/s) b) Qual seria a velocidade do bloco se o coeficiente de atrito fosse desprezável? Res: v = 7.7 m/s. ) (Campo gravítico, conservação da energia mecânica) Qual deverá ser a rapidez comunicada a um foguetão de modo a escapar do campo gravítico terrestre? Res: v = 2gR T ) 5) Uma mola de constante k = 100 N/m está ligada a uma massa m = 0.6 kg que pode deslizar sem atrito sobre uma mesa horizontal. Comprime-se a mola fazendo-a encurtar 0.1 m. Encosta-se à massa m uma esfera de massa M = 0. kg, liberta-se a mola. Supondo que a esfera desliza sem rolar, qual a velocidade com que se separa de m? Res: v = 1 m/s) 6) (Aceleração da gravidade) a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície lunar, g l (quando comparada à aceleração da gravidade na superfície terrestre, g t ) se o diâmetro da Lua é 1 do diâmetro da Terra e a sua densidade é 2 3 do da Terra? b) Um astronauta, com o seu fato espacial e equipamento completo,pode saltar 61 cm verticalmente na superfície terrestre fazendo um máximo esforço. Qual a altura máxima do salto sobre a Lua? II. MOMENTO LINEAR E A SUA CONSERVAÇÃO; COLISÕES; SISTEMAS DE MASSA VARIÁVEL 7) (Canhão sobre via férrea) Um canhão instalado sobre um vagão com 70 toneladas de massa dispara um óbus a 5 o e com a rapidez de 200 m/s. Calcule a velocidade de recuo do canhão. Suponha que o vagão encontra-se inicialmente parado. 8) Um vagão move-se sem atrito, em linha recta, sobre um plano horizontal, como ilustra a Fig. 1. A sua massa é M = 500 kg. No instante t = 0 a sua velocidade é v = 7 m/s. Nesse instante começa a receber areia de uma tremonha fixa ao solo (ver figura). A areia cai verticalmente, em relação ao solo. A massa de areia recebida é no total m = 200 kg. Qual a velocidade do vagão a partir do instante t 1 em que deixa de receber areia? b) No instante t 2 o vagão, que continha m = 200 kg de areia além da sua massa M = 500 kg e se movia com velocidade v 1, começa a esvaziar a reia através de um tubo vertical. Qual é a velocidade do vagão no instante t 2 em que já perdeu 100 kg de areia? 9) Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos iguais quando se encontra a 2000 m de altura. No instante da explosão a velocidade é de 60 m/s. Após a explosão um dos fragmentos desloca-se para baixo com uma velocidade de 80 m/s (em relação ao referencial próprio da granada nesse instante). Determine: a) A posição do centro de massa após 10 s da explosão. b) A quantidade de movimento total do sistema em relação ao centro de massa. c) Como varia a quantidade de movimento? 10) (Partícula de massa variável) Uma partícula parte do repouso em queda no campo gravítico terrestre atravessando uma nuvem imóvel. Em resultado da condensação da água, a massa m da partícula aumenta ao longo da queda; a sua taxa de crescimento dm dz dt é igual a kmv, onde v = dt é a rapidez no instante t e k uma constante. Determine v em função de z e z em função de t. Res) v 2 = g k [1 exp( 2kz)] e 1 exp( 2kz) = tanh2 kgt

3 3 FIG. 1: Tremonha e vaga o. 11) (Sistema de massa varia vel) Um fogueta com massa total M = kg, eleva-se verticalmente da sua posic a o de repouso. Os gases sa o expelidos a velocidade de 1800 m/s relativamente ao fogueta o e a taxa de variac a o da massa e de 580 kg/s durante os 0 s em que a combusta o se processa. Determine a acelerac a o ascencional do foguete nos instantes t = 0 s, t = 20 s e t = 0 s. ve dm 2 2 Res) dv dt = g m dt = 19 m/s. No instante t = 20 s, tem-se m(t) = kg, donde resulta a = 33 m/s ; 2 quando t = 0 s, tem-se m(t) = kg, donde se conclui que a = 71.2 m/s. 12) (Dina mica de um sistema de pontos materiais; centro de massa, momento angular) Considere uma massa pontual, m, com velocidade ~v0 = v0~ex e que choca com um halter parado formado pelas massas 2m e m ligadas rigidamente a uma dista ncia 2l por uma barra de massa despreza vel (ver Fig.??). Depois do choque as duas massas m ficam coladas. ~ CM e V ~CM antes e depois do choque. a) Descreva o momento do centro de massa determinando R vo t+3x2 y3 y3 vo t+3x2 Res) xc =, yc = 2 ; r cm = i + j 2. b) Descreva o movimento do halter depois do choque calculando o mo dulo de velocidade angular da rotac a o em torno do centro de massa. o Res) Li = Lf lmvo = Iω ω = lmv = 2 rad/s.. I c) Calcule a energia cine tica dissipada no choque. Res) K = 9. J (Aplicac a o nume rica: v0 = 5 m/s, l = 0.5 m, m = 1 kg) 13) O pe ndulo balı stico e um sistema usado para medir a velocidade de projecteis tais como balas. A bala e disparada contra um bloco de madeira suspenso por um fio ficando presa no bloco. Depois da colisa o o bloco de madeira e a bala movem-se em conjunto atingindo uma altura h. a) Mostre que na o ha conservac a o da energia cine tica nesta colisa o; b) Suponha que a altura que o bloco de madeira com a bala atingem e h = 5.0 cm, a massa da bala e mb = 5 g e a massa do bloco de madeira e Mb = 1.0 kg. Calcule a velocidade inicial da bala e a energia dissipada durante a colisa o.

4 1) Uma espingarda de massa 7 kg dispara uma bala de 10 g que sai do cano com uma velocidade horizontal de 300 m/s. a) Se a espingarda se puder mover livremente, qual é a sua velocidade de recuo? b) A bala atravessa posteriormente num bloco de metal de 2 kg que se encontra inicialmente em repouso suspenso de um fio de aço, emergindo do bloco com um quarto da velocidade inicial. Determinar a altura máxima atingida pelo bloco depois de ter sido atravessado pela bala. c) Calcule a variação de energia mecânica do sistema bala + bloco durante o choque. 15) Duas bolas de massas diferentes movem-se com velocidades iguais em módulo e em sentidos opostos colidindo frontalmente. Uma delas fica em repouso após a colisão. Se o choque for elástico, determine a relação entre as massas das duas bolas. 16) Uma massa m, movendo-se na horizontal com uma velocidade v o, embate frontalmente num pêndulo de massa m. a) Se as duas massas permanecerem ligadas, qual será a altura máxima atingida pelo pêndulo? b) Se a colisão for elástica qual será a altura máxima atingida pelo pêndulo? 17) Considere um choque frontal de uma massa m 1 que se desloca com velocidade v, com uma massa m 2 em repouso. Após o choque, m 1 desloca-se com velocidade v/2 e m 2 com velocidade 3v/2. a) Determine a razão entre as massas considerando o choque elástico; b) Se o choque fosse perfeitamente inelástico (as massas ficam ligadas), qual a velocidade final do conjunto? 18) Dois vagões de massa m A = 10 ton e m B = 20 ton chocam em frontalmente. O vagão A desloca-se com uma velocidade de 72 km/h; o vagão B está em repouso. a) Se o choque for elástico, qual a velocidade dos vagões depois do choque? b) Se os vagões permanecerem unidos depois do choque, qual a velocidade do conjunto? c) No caso da alínea b), calcule a energia dissipada no choque. 19) Uma massa m com velocidade v choca elasticamente contra uma parede. a) Qual a velocidade depois do choque? b) Calcule a transferência de momento linear e de energia para a parede. 20) Uma bola de 20 g choca com uma parede tendo no instante do choque uma velocidade de 10 m/s na horizontal, como se mostra na Fig.??. a) Calcule a perda de energia cinética no choque; b) Se o mesmo choque se tivesse dado na Lua, onde a aceleração da gravidade vale 1/6 da da Terra, a que distância da parede iria cair a bola? 21) Uma bola A, de massa m A e velocidade v A = 6 e x (m/s), choca com uma bola B, de massa m B = m A /2 e velocidade v B = 5 e x (m/s). Sabendo que após o choque a velocidade da bola A é de v A = 3 m/s e que faz um

5 5 FIG. 2: Bola choca com a parede. FIG. 3: Colisão entre 3 corpos. ângulo de 60 o com o eixo Ox, determine a velocidade da bola B depois do choque. 22) Considere os três corpos indicados na Fig. 3 e admita que o movimento se dá no plano horizontal. a) Supondo que os corpos A e B têm uma massa m = 1 kg, que o corpo A colide frontalmente com B e o choque é elástico. Calcule as velocidades no referencial do laboratório dos corpos A e B depois do choque, bem como a fração da energia cinética de A que passa para B, isto é, E Bfinal /E Ainicial. b) Se o corpo B apenas tivesse 0.5 kg de massa, quais seriam agora as velocidades de A e B após o choque, e qual seria a fração de energia que é transmitida de A para B? c) Um corpo A é lançado contra o corpo B (de massa 0.5 kg), o qual, por sua vez, irá colidir com o objecto C. Sabendo que existe um atrito constante dado por F atrito = 2 P, em que P é o peso do corpo, e supondo elástico o choque entre os dois corpos, calcule a velocidade mínima com que deve ser lançado o corpo A para que o objecto C seja atingido. 23) Uma granada cai verticalmente e explode em dois fragmentos quando se encontra a 2000 m de altura. No instante da explosão a velocidade é de 60 m/s. Após a explosão, um dos fragmentos desloca-se para baixo com uma velocidade de 80 m/s (em relação ao referencial próprio da granada nesse instante). Determine: a) A posição e a velocidade do centro de massa 10 s após a explosão; b) A quantidade de movimento do sistema em relação ao referencial do centro de massa; c) Como varia a quantidade de movimento total do sistema? 2) Uma bomba em queda vertical rebenta em dois fragmentos que se afastam fazendo ambos o mesmo ângulo com

6 6 FIG. : Plano inclinado. a vertical. Os dois fragmentos chegam ao mesmo tempo ao solo. Mostre que os dois fragmentos têm a mesma massa. 25) Um corpo de massa 2m é lançado de um avião a uma altura de 2000 m do solo com uma velocidade de v o = 90 e x 7.7 e y (m/s). Quando se encontra a 320 m do solo, o corpo fragmenta-se em dois pedaços iguais que se deslocam verticalmente no seu referencial próprio. O fragmento lançado para baixo (no referencial próprio) atinge o solo 1.5 s após a fragmentação. Determine: a) A posição do centro de massa do corpo em função do tempo atá atingir o solo; b) Em que ponto cai o centro de massa? c) O intervalo de tempo e a distância entre os pontos de queda dos dois fragmentos. 26) Um bloco de massa m 1 = 3 kg desliza sem atrito num plano inclinado. O bloco está ligado por meio de um fio de massa desprezável a outro bloco, de massa m 2 = 2 kg, suspenso de uma roldana. Calcule a aceleração de cada bloco e a tensão no fio. 27) Considere o sistema de roldanas de massa desprezável representado na Fig. 5. a) Determine as acelera cões das massas m 1 e m 2 ; b) Determine as tensões nos fios. 28) Dois astronautas jogam à bola no espaço em condiçõoes de ausência de peso. O primeiro astronauta, que tem 80 kg, lança a bola ao outro, que tem 70 kg. Sabendo que a massa da bola é de 8 kg e que esta é lançada com uma velocidade de 10 m/s. Calcule: a) A velocidade de recuo do primeiro astronauta depois de ter lançado a bola? b) A velocidade do conjunto bola + segundo astronauta após este ter recebido a bola? 29) Uma criança de massa m c = 30 kg sentada num carrinho de massa m v = 50 kg lança para trás pedras de massa m p = 2 kg com velocidade v = 5 m/s (medida no referencial do centro de massa do sistema). Admita que o carrinho pode rolar sem atrito e que no instante inicial se encontra em repouso e contem 20 pedras. a) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançado a primeira pedra; b) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançdo a segunda pedra; c) Teria sido mais vantajoso (para aumentar a velocidade do carrinho) ter lançado as duas pedras ao mesmo tempo (admitindo que as pedras saem ambas com a mesma velocidade v)?

7 7 FIG. 5: Roldanas. FIG. 6: Três pêndulos de massa m e comprimentos iguais. d) Calcule a velocidade do carrinho após a criança ter lançado a n-ésima pedra. 30) Uma bola de borracha de massa m = 2 kg é deixada cair na vertical de uma altura h o = 1.5 m e no primeiro ressalto atinge uma altura h 1 = 1.2 m. Para um choque deste tipo, em que um dos corpos envolvidos (neste caso o solo) é considerado como tendo uma massa infinita (pelo que não se move), define-se coeficiente de restituição ε pela relação v = εv em que v e (v ) são, respectivamente, as velocidades antes e depois do choque. a) Calcule o coeficiente de restituição do primeiro ressalto; b) Calcule o intervalo de tempo que decorre até à paragem da bola, admitindo que o coeficiente de restituição do choque da bola com o solo se mantéem constante; c) Nas condições da alínea anterior, calcule a energia dissipada no n-ésimo choque. 31) O sistema representado na Fig. 6 é constituído por três pêndulos de massas e comprimentos iguais. No instante inicial, A é largado da altura h com velocidade inicial nula. a) Se os choques forem elásticos, qual é a altura máxima atingida pelo pêndulo C? Que acontece aos outros pêndulos após o choque?

8 b) Se apóos o choque da esfera A as três esferas ficarem ligadas entre si, qual a altura máxima atingida pelo conjunto? 32) Considere a seguinte colisão no plano xy. O corpo de massa m 1 = m, com velocidade inicial v 1 = 2 e x (m/s), paralela ao eixo x, colide elasticamente (mas não frontalmente) com o corpo de massa m 2 = m, inicialmente em repouso. Determine o ângulo α 2 que o vector velocidade de m 2 depois da colisão faz com o sentido positivo de eixo x e o seu módulo u 2, sabendo que a velocidade final do primeiro corpo, u 1, faz um ângulo de 30 o com o eixo Ox. 33) Um foguete com uma massa inicial M 0 (em que está incluída a massa do combustível) é lançado verticalmente da superfície da Terra. O foguete queima combustível a uma taxa constante a (kg/s) e os gases produzidos na combustão são ejectados com velocidade u (relativamente ao foguete). a) Mostre que a velocidade do foguete no instante t é dada por v(t) = gt + v log M o M(t), (2) onde M(t) = M0 at é a massa do foguete nesse instante. Para deduzir esta fórmula, bem como as das restantes alíneas, despreze a variação de g com a altitude e a rotação da Terra; b) Por integração da velocidade obtida na alínea a), obtenha a expressão que dá a altura do foguete no instante t: z(t) = ut u M(t) a log M o M(t) 1 2 gt2. (3) 8 c) Se o combustível se gastar no instante t 1 ficando o foguete a partir daí com uma massa M 1, verifique que a altura máxima atingida pelo foguete é dada por: ( z max = u2 log M ) 2 ( o Mo ut 1 log M ) o 1. () 2g M 1 M o M 1 M 1 3) Uma nave espacial espacial desloca-se com uma velocidade de m/s relativamente à Terra. A certa altura os motores são ligados e expelem combustível para o exterior, no sentido oposto ao do movimento da nave, com uma velocidade de m/s relativamente à nave. a) Qual a velocidade da nave relativamente à Terra quando a sua massa se reduz a metade, relativamente ao instante em que foram ligados os motores (suponha que pode desprezar as forças exteriores, tal como a força gravítica da Terra). b) Calcule a força de propulsão sabendo que os motores queimam o combustível e o comburente a uma taxa de 50 kg/s.