Bons Raios te Meçam Medir o Raio da Terra

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1 Bons Raios te Meçam Medir o Raio da Terra Resultados Finais dos dados obtidos No dia 21 de Junho de 2013, dia do solstício de Verão no hemisfério norte do planeta, diversas instituições fizeram medições da altura solar máxima com o objectivo de se determinar o valor do raio terrestre. Os procedimentos estão descritos em detalhe no folheto e nas páginas web disponibilizadas para o efeito. Partindo dos valores medidos e constantes no ficheiro.xls enviado por Carlota Simões, trataram-se os dados seguindo as sugestões de Rui Agostinho do OAL/FCUL. Depuração dos dados 1- Houve que fazer alguns ajustes, nos poucos casos que tinham discrepâncias entre o valor da distância linear ao Trópico de Câncer constante no ficheiro e o valor real obtido pelo mapa da Google ou pelo cálculo da mesma usando uma Terra esférica (raio constante). Como há uma pequena diferença (dezena de quilómetros) entre o valor do elipsóide (Google?) e o cálculo da circunferência, usou-se o último, por ser fácil de obter. 2- Também se conferiram os valores das coordenadas geográficas apresentadas, que correspondiam às do mapa Google, havendo apenas alguns sinais a ajustar. 3- Nas instituições em que faltava a hora da observação assumiu-se a do trânsito solar no meridiano local. 4- As medições do comprimento da sombra e da altura do gnómon foram usadas sem restrições. Tratamento dos dados A partir dos dos dados deduziu-se o ângulo zenital do sol e a distância ao Trópico de Câncer (TC), que se apresentam de seguida. 1: Museu da Ciência da Univ. de Coimbra dsttc= km, z= ±0.38 2: CCV de Estremoz dsttc= km, z= ±0.15 3: Obs. Astronómico da Univ. de Coimbra dsttc= km, z= ±0.16 4: EB Vale de Milhaços dsttc= km, z= ±0.63 5: ES do Príncipe, S. Tomé dsttc= km, z= ±0.32 6: ES de Francisco Franco, Funchal dsttc= km, z= ±0.37 7: CCV de Constância dsttc= km, z= ±0.44 8: Dep. de Matemática, Univ. dos Açores dsttc= km, z= ±0.29 9: Observatório Astronómico de Lisboa dsttc= km, z= ± : Centro de Astrofísica da Univ. do Porto dsttc= km, z= ± : Planetário Calouste Gulbenkian, CCV dsttc= km, z= ±0.15 A) No cálculo da distância ao TC foi feito o seguinte micro-melhoramento: calculou-se a distância da instituição ao local da Terra que nesse dia e hora (de observação) tinha o sol mesmo no zénite. Para isso, foram calculadas as coordenadas do sol para esse dia e hora e usada a sua declinação, em vez da latitude do TC. Este cuidado só era necessário no caso da medição na ilha do Príncipe, feita a 22 de Junho.

2 B) Não sabendo dos procedimentos efectuados em todas as instituições mas como se pretendia comparar os resultados, foram usadas como estimativas das incertezas nas medições efectuadas, os seguintes valores: a) Δcomprimento da sombra= 5 mm b) Δaltura do gnómon= 4 mm c) Δângulo de verticalidade do gnómon= 0 Isto permitiu estimar uma incerteza Δz para o ângulo zenital z medido, e propagá-la para o cálculo do raio da Terra, derivado das medições efectuadas pela instituição. Resultados por instituição Museu da Ciência da Univ. de Coimbra Latitude= 40 12' 37.6"" Longitude= -8 25' 26.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 35m 31.47s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às 13.6 h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 31.84s Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 25.5 cm" num gnómon de 84 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 16 53' 12.4" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 72 51' 3.7" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 22' 51.1" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 2.2 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 73 13' 28.7" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 16 46' 31.3" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 16 30' 47.5" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 24.9 cm" num gnómon de 84 cm de altura CCV de Estremoz Latitude= 38 50' 35.0"" Longitude= -7 35' 5.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 32m 10.07s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 31.14s Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km

3 Comprimento da sombra= 58 cm"num gnómon de 206 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 15 43' 29.1" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 74 0' 47.1" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 8' 48.5" RaioTerra deduzido: ± 56.5 km => ΔR/R= 0.9 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 74 35' 31.3" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 15 24' 28.7" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 15 8' 44.9" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 55.8 cm" num gnómon de 206 cm de altura Observatório Astronómico da Univ. de Coimbra Latitude= 40 12' 24.0"" Longitude= -8 25' 48.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 35m 32.94s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 31.77s Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= cm" num gnómon de cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 16 27' 8.8" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 73 17' 7.4" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 9' 37.2" RaioTerra deduzido: ± 61.4 km => ΔR/R= 1.0 %. Erro absoluto ΔRt= 21.7 km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 73 13' 42.3" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 16 46' 17.7" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 16 30' 33.9" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 56.3 cm" num gnómon de cm de altura EB Vale de Milhaços Latitude= 38 37' 32.9"" Longitude= -9 9' 41.4" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 38m 28.56s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 32.18s " Dec solar= 23 26' 6.2"

4 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 14.7 cm" num gnómon de 52 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 15 47' 6.7" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 73 57' 9.5" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 37' 37.9" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 3.9 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 74 48' 33.4" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 15 11' 26.6" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 14 55' 42.8" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 13.9 cm" num gnómon de 52 cm de altura ES do Príncipe, S. Tomé Latitude= 1 38' 13.0"" Longitude= 7 25' 12.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 12h 32m 21.88s = h Medições feitas no dia {22,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " Raio solar angular= ' = " RA solar= 6h 5m 30.34s " Dec solar= 23 25' 46.2 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 39 cm"num gnómon de 100 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 21 18' 20.8" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 68 25' 55.4" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 19' 15.5" RaioTerra deduzido: ± 95.9 km => ΔR/R= 1.5 %. Erro absoluto ΔRt= 66.4 km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 68 12' 26.8" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 21 47' 33.2" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 21 31' 49.4" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 39.5 cm" num gnómon de 100 cm de altura ES de Francisco Franco, Funchal Latitude= 32 39' 6.3"" Longitude= ' 15.2" UT do trânsito solar no meridiano do local: 14h 9m 27.21s = h

5 Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 36.86s " Dec solar= 23 26' 6.1 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 14 cm"num gnómon de 84.4 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 9 25' 5.8" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 80 19' 10.4" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 21' 56.7" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 3.8 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 80 46' 59.8" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 9 13' 0.2" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 8 57' 16.4" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 13.3 cm" num gnómon de 84.4 cm de altura CCV de Constância Latitude= 39 28' 26.5"" Longitude= -8 20' 19.2" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 35m 11.03s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 31.63s Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= cm" num gnómon de 73 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 15 52' 3.4" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 73 52' 12.8" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 26' 25.1" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 2.7 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 73 57' 39.8" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 16 2' 20.2" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 15 46' 36.4" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 20.6 cm" num gnómon de 73 cm de altura

6 Dep. de Matemática, Univ. dos Açores Latitude= 37 44' 24.0"" Longitude= ' 36.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 44m 28.81s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+0) " RA solar= 6h 1m 33.05s " Dec solar= 23 26' 6.2 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 26 cm"num gnómon de 108 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 13 32' 9.1" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 76 12' 7.1" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 17' 15.6" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 2.1 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 75 41' 42.2" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 14 18' 17.8" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 14 2' 34.0" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 27.0 cm" num gnómon de 108 cm de altura Observatório Astronómico de Lisboa Latitude= 38 42' 37.4"" Longitude= -9 11' 11.0" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 38m 34.53s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 32.28s " Dec solar= 23 26' 6.2 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 62.5 cm" num gnómon de cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 14 59' 16.5" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 74 44' 59.7" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 7' 42.9" RaioTerra deduzido: ± 53.9 km => ΔR/R= 0.8 %. Erro absoluto ΔRt= 10.6 km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 74 43' 28.8"

7 Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 15 16' 31.2" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 15 0' 47.4" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 62.6 cm" num gnómon de cm de altura Centro de Astrofísica da Univ. do Porto Latitude= 41 9' 3.0"" Longitude= -8 38' 18.1" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 36m 22.94s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 31.66s Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= cm" num gnómon de 103 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 17 44' 22.7" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 71 59' 53.5" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 18' 27.5" RaioTerra deduzido: ± km => ΔR/R= 1.7 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 72 17' 3.3" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 17 42' 56.7" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 17 27' 12.9" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 32.4 cm" num gnómon de 103 cm de altura Planetário Calouste Gulbenkian, CCV Latitude= 38 41' 56.0"" Longitude= -9 12' 34.5" UT do trânsito solar no meridiano do local: 13h 38m 40.10s = h Medições feitas no dia {21,6,2013} às h (com Hora de Verão=+1) " RA solar= 6h 1m 32.18s " Dec solar= 23 26' 6.2 Distância circular da Instituição ao paralelo do sol zenital dsttc= km Comprimento da sombra= 54 cm"num gnómon de 200 cm de altura ângulo zenital medido no bordo superior solar: Zb= = 15 6' 34.5" Altura do Sol no ponto central Hcentro= = 74 37' 41.7" => incerteza no ângulo zenital Δz= = 0 9' 4.2"

8 RaioTerra deduzido: ± 62.3 km => ΔR/R= 1.0 %. Erro absoluto ΔRt= km Teórico: Altura do Sol no meridiano local: = 74 44' 10.2" Teórico: ângulo zenital ao ponto central solar Zc= = 15 15' 49.8" Teórico: ângulo zenital ao bordo superior solar Zb= = 15 0' 6.0" Teórico: Comprimento da sombra mínima= 53.6 cm" num gnómon de 200 cm de altura Existem algumas diferenças entre os valores aqui calculados e os apresentados na file.xls enviada, mas creio que estes serão mais fiáveis (até prova em contrário). Como se pode ver os resultados são muito bons individualmente, sendo o maior erro absoluto (no raio terrestre) de -340,5 km, associado ao uso de um gnómon de apenas 52 cm de altura. O Raio da Terra deduzido com todos os dados Mais interessante é considerar que todos os dados conjuntamente para fazer uma estimativa da raio da Terra. Para isso basta usar a equação z(rad) = dsttc/rterra É importante escrevê-la assim, pois considera-se que a distância do local de observação ao TC não tem erros ou incertezas associados (variável independente), o que só acontece na medição da altura do gnómon e sua sombra (variável dependente). Fez-se um ajuste de regressão linear aos dados do tipo: z( )= m dsttc + b Como z(rad) = z( ) π/180 => m = 180/(π Rterra) /km Obtiveram-se os seguintes coeficientes e incertezas padrão, respectivos: b= 0,2282 ± 0,1706 ( ) m= 0, ± 0, /km Daqui se deduz que: Rterra = 180/(π m) = 6384 ± 68 km O resultado é excelente pois, considerando que o raio equatorial da Terra = 6378,14 km, tem-se um erro absoluto de apenas 6 km! A incerteza provém de algumas medições que não foram realizadas com a melhor precisão possível. Também houve a colaboração crucial de S. Tomé e Príncipe que, como tem uma medição individual óptima numa latitude muito diferente, contribui com muito peso para este resultado histórico. Veja-se o gráfico em baixo. Cá esperamos pelo equinócio de Setembro para repetirmos esta experiência e conseguirmos superar os resultados obtidos pelos satélites. Haja fé! Rui Agostinho (OAL, 1 Julho 2013)

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