Pós - Graduação em Matemática para professores. Anexo: Conteúdos Programáticos das Unidades Curriculares

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1 Pós - Graduação em Matemática para professores Anexo: Conteúdos Programáticos das Unidades Curriculares Métodos Finitos em Matemática M491 Nesta disciplina são abordados diferentes tópicos de matemática discreta e com relevância para o ensino secundário, como são exemplos: os temas básicos de teoria de grafos, os métodos de contagem, as relações de recorrência e as funções geradoras. Procura-se realçar os métodos utilizados, a construção de algoritmos e a resolução de problemas de tal modo que o aluno, recorrendo a bibliografia adequada, seja capaz de abordar de modo crítico um tema novo na área. Educação Matemática CE491 Criação de um espaço de discussão/reflexão sobre aspectos fundamentais do ensino/aprendizagem da Matemática (em particular sobre desafios postos aos professores na sala de aula) e sobre a investigação em Educação Matemática (em particular sobre contributos da investigação para a melhoria da aprendizagem dos alunos e da prática lectiva dos professores e para o seu desenvolvimento profissional). História da Análise M413 Evolução dos principais conceitos da análise matemática e dos métodos utilizados na resolução de problemas. Reflexão epistemológica sobre as diferentes fases da evolução histórica da análise matemática (rigor arquimediano, métodos de descoberta no século XVII, aritmetização da análise no século XIX). Métodos Matemáticos em Ciência M492 Apresentam-se diferentes abordagens para a modelação matemática noutras ciências, dando-se realce a procedimentos característicos de pesquisa nessas áreas. Os 1

2 problemas estudados têm forte componente aplicada e as resoluções são conteúdo apropriado à divulgação da matemática. Utilização de Computadores no Ensino da Matemática CE492 Utilização (nalguns casos, incluindo a programação) de vários programas disponíveis e adequados ao ensino, tais como o 'Geometer's Sketchpad' ou o "C.A.R." (para a geometria interactiva) e o 'Mathematica', o 'Maple' ou o "Maxima" (para o cálculo simbólico/numérico e para a representação gráfica). Eventual utilização do Latex (com o programa TexnicCenter, por exemplo) para escrita de texto. História da Geometria M459 Evolução de conceitos e métodos de resolução de problemas geométricos. Estudo da história e epistemologia de um ou mais temas relevantes da Geometria, de que são exemplo as tentativas de axiomatização das Geometrias, a história da Geometria Projectiva, a história das Geometrias Não-Euclideanas. Discussão das diferentes abordagens para o estudo da Geometria (sintética, analítica, axiomática, etc.). Tópicos de Matemática Aplicada I M481 Horas de contacto: 35T + 21TP + 14OT 1. Elementos de Programação Linear. Motivação do modelo por algumas das suas aplicações. Método simplex; problemas duais. Utilização de software do domínio público. 2. Elementos de optimização numérica. Métodos elementares de optimização de funções a uma e a n variáveis. 3. Estatística I. Introdução ao software R-project. Geração (simulação) e importação de dados. Conceitos de amostragem. Análise, representação e redução de dados: medidas de localização e dispersão e representações gráficas. Interpretação dos resultados. 4. Matemática Financeira. Elementos básicos: taxas de juro e taxas de desconto. Operações a curto prazo; operações a longo prazo. Rendas. Amortização de empréstimos bancários, obrigacionistas e de compra de habitação. Utilização de folha de cálculo. Tópicos de Matemática Aplicada I I M482 Horas de contacto: 35T + 21TP + 14OT 2

3 1. Equações Diferenciais. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Aplicação a diversos problemas tais como: datação por carbono 14, crescimento de populações, problemas de misturas, problemas de geometria. 2. Probabilidades. Conceitos básicos de probabilidade. Probabilidade condicional. Independência de acontecimentos. Variáveis aleatórias. Distribuições de probabilidade. Modelo probabilístico para o decaimento radioactivo. A datação por carbono 14 apreciada do ponto de vista probabilístico. 3. Estatística II. Regressão. Representação e análise de dados bivariados. Coeficientes de correlação linear. Regressão linear. Análise, interpretação e utilização da regressão linear. 4. Análise Numérica. Noções de erro absoluto e relativo, casas decimais, algarismos significativos e regras de arredondamento. Representação de números em máquina e erros de arredondamento e truncatura. Resolução de equações por métodos iterativos. Teoria dos Números e Criptografia M242 Algumas cifras clássicas e a sua cripto-análise. Descrição detalhada de algumas cifras e protocolos contemporâneos. Testes de primalidade e de factorização. Estatística Aplicada M372 Conteúdos Programáticos: Testes de hipóteses paramétricas: testes mais potentes e testes uniformemente mais potentes, lema de Neyman-Pearson. Relação entre intervalos de confiança e testes de hipóteses. Análise da variância. Testes do qui-quadrado. Testes de ajustamento. Testes do sinal, de Wilcoxon e de Mann-Whitney-Wilcoxon. Análise da correlação linear. Regressão linear simples e múltipla. Estimadores dos mínimos quadrados. Análise em componentes principais. Álgebra Computacional M342 Algoritmos eficientes para operações elementares de polinómios e para a resolução de equações polinomiais, Interpolação, Bases de Gröbner, Integração simbólica e aplicações. 3

4 Métodos Matemáticos em Biologia e Medicina M386 Dinâmica populacional de uma só espécie. Dinâmica populacional de duas ou mais espécies: presa-predador, competição, mutualismo. Modelos epidemiológicos de doenças infecciosas. Farmacocinética. Cinética das reacções químicas e enzimáticas. Lógica e Fundamentos M381 Cálculo proposicional. Lógica de primeira ordem. Axiomática dos números naturais. Construção dos números reais. Introdução à teoria axiomática de conjuntos. Ordinais e cardinais. Eventual referência aos teoremas de incompletude de Godel. Geometrias Não Euclideanas M351 A disciplina deve abordar uma ou várias geometrias não euclideanas, sendo possível escolher entre várias abordagens e tópicos, como Geometria Projectiva sintética e analítica, Modelos Projectivos de Cayley-Klein das geometrias euclideana, hiperbólica e elíptica, Geometria de Inversão e Geometria Conforme, Geometria Hiperbólica, Geometria Esférica e Elíptica ou Geometria do ponto de vista de Klein. Teoria dos Jogos M383 Jogos combinatórios. Jogos em forma normal. Escolha aleatória de uma estratégia; estratégias de equilíbrio. Jogos cooperativos; estratégias evolucionariamente estáveis. Jogos em forma de coligação. Jogos não cooperativos. Equações Diferenciais M222 4

5 1. Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem; 2. Sistemas de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem ; 3. Teoria Qualitativa; 4. Equações diferenciais ordinárias lineares de 2ª ordem; 5. Transformadas de Laplace; 6. Equações em derivadas parciais. Modelos Matemáticos M182 Tratamento analítico e numérico de: equações diferenciais ordinárias, retratos de fase, estabilidade. Exemplos: desintegração radioactiva; populações com ou sem crescimento limitado; sistemas mecânicos; circuitos eléctricos; sistemas predadorpresa; modelos de epidemias. Iteração de sistemas lineares, valores e vectores próprios: matrizes de Lesley; modelos para populações; aquacultura. Equações diferenciais parciais e séries de Fourier: equações do calor, da onda e de Laplace. Órbitas de Satélites EEG242 Horas de contacto: 28T + 42PL Movimento não perturbado. Principais acções que condicionam o movimento de um satélite terrestre. Acções de origem gravitacional: Campo gravitacional terrestre, atracção de um terceiro corpo, marés terrestres. Acções não gravitacionais: Pressão da radiação solar, resistência do ar. Perturbações das órbitas de satélites terrestres. Integração numérica das equações do movimento. História e Tópicos Fundamentais de Astronomia AST423 Horas de contacto: 30TP + 20 OT + 20O As origens da astronomia; a astronomia nalgumas civilizações da Antiguidade; astronomia na Grécia Antiga; de Eratóstenes a Ptolomeu; a Idade das Trevas; da astronomia árabe à latina; a importância das universidades na revolução heliocêntrica; de Copérnico a Galileu; o trabalho de Newton; o universo das estrelas; o nascimento da astrofísica; estudo do Sol; catalogação de estrelas; Hubble e a expansão do Universo. Escalas de distâncias e de tempos. A esfera celeste. Sistemas de coordenadas. O movimento aparente dos astros. Sistemas de tempo. A Paralaxe. Teoria da radiação. Equilíbrio termodinâmico. A aproximação de corpo negro. A lei de Planck. A grandeza das estrelas. A equação de Pogson. Grandeza absoluta de uma estrela. Módulo da distância. Espectroscopia. As leis de Kirchhoff. Classificação espectral de estrelas. O diagrama Hertzsprung-Russell. Populações e enxames. Propriedades e distribuição dos enxames na nossa Galáxia. 5