Redução de Problemas Estratégia de busca outras abordagens

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1 Redução de Problemas Estratégia de busca outras abordagens Huei Diana Lee e Newton Spolaôr Até então consideramos estratégias para as quais o espaço de busca é representado por meio de Grafos OU Objetivo: encontrar um único caminho até a meta Outro tipo de estrutura, o Grafo E/OUé útil para representar soluções de problemas que podem ser resolvidos por meio da decomposição em problemas menores, os quais precisam todos ser resolvidos Redução de Problemas A decomposição gera arcos denominados de Arcos E Os Grafos E/OU são compostos por dois tipos de arcos: Arco E: podem apontar para qualquer número de nós sucessores, todos devendo ser solucionados para que esse arco aponte para uma solução Redução de Problemas A decomposição gera arcos denominados de Arcos E Os Grafos E/OU são compostos por dois tipos de arcos: Arco OU: podem apontar para diversos sucessores, sendo que apenas um precisa ser solucionado para que esse arco aponte para uma solução Grafo E/OU Para tratar esse tipo de grafo é necessário um algoritmo semelhante ao A*, porém com capacidade para tratar Arcos E apropriadamente Vejamos o exemplo... 1

2 Como nó A está no fim do melhor caminho atual, expandir ele O custo de cada arco OR é 1 Logo, o custo do caminho A-D é igual a custo(d) + 1 = 6 O custo de cada arco OR é 1 Logo, o custo do caminho A-D é igual a custo(d) + 1 = 6 O custo do arco E envolvendo B e C é dado por custo(b) + custo(c) = 9 2

3 Dados os dois custos calculados, o custo do caminho A-D é o menor. Logo, D é escolhido para expansão Dados os dois custos calculados, o custo do caminho A-D é o menor. Logo, D é escolhido para expansão O custo do arco E envolvendo E e F é dado por custo(e) + custo(f) = 10. Logo, custo(d) deve ser atualizado Ao atualizar custo(d), se observa que o custo do arco E envolvendo B e C é menor. Logo, esse arco é explorado na sequência 3

4 Como o custo do caminho B-G é menor, o custo de B é atualizado de acordo custo(b) = custo(g)+1 = 6. Como resultado, é necessário atualizar o custo do arco envolvendo B e C, atingindo o custo 12 Como o caminho para D se tornou a melhor opção, novamente ele é escolhido para exploração O algoritmo segue até que uma solução seja encontrada, ou até que todos os caminhos tenham sido explorados sem que nenhuma solução seja encontrada Problemas de Satisfação de Restrições (Constraint Satisfaction Problems CSP) Classe de problemas que satisfazem algumas propriedades estruturais além dos requisitos básicos para problemas em geral Um CSP consiste de Um conjunto de variáveis Um domínio para cada variável Um conjunto de restrições CSP - Variáveis O estado (mundo) é definido como uma atribuição de valores para um conjunto de variáveis Cada variável V pertence a um domínio dom(v) de possíveis valores Modelo: uma atribuição de valores para as variáveis que satisfazem todos as restrições 4

5 CSP - Variáveis Os domínios podem ser de vários tipos Booleano: dom(v) = 2 Finito: o domínio contém um número finito de valores Infinito, mas Discreto: o domínio é contável, porém infinito Contínuo: exemplo números reais entre 0 e 1 O conjunto de estados que podem ser gerados a partir de um conjunto de variáveis é denominado possíveis mundos Palavras Cruzadas: Variável: lacuna (palavra a ser preenchida) Domínio: palavras da língua portuguesa de tamanho correto para uma lacuna Variáveis: todas as lacunas Possíveis mundos: todos os modos de atribuição de palavras possíveis para todas as lacunas Problema de Schedule: Variável: uma tarefa que precisa ser agendada (ex.: cursos na universidade) Domínio: as diferentes combinações de horários e localizações para uma tarefa (ex.: horário/local para um curso) Variáveis: as diferentes tarefas que precisam ser agendadas Possíveis mundos: todas as atribuições de horário/local possíveis para todas as tarefas Problema das n-rainhas Variável: localização de uma rainha em um tabuleiro de xadrez Domínio: as diferentes coordenadas de uma rainha Variáveis: localizações das n rainhas existe um total de n rainhas (origem do nome) Possíveis mundos: todas as localizações possíveis de todas as rainhas Restrições restringem os valores que uma ou mais variáveis podem assumir definem as propriedades da solução Restrição unária: envolve uma única variável; o mesmo efeito pode ser conseguido utilizando um domínio menor Restrição n-ária: envolve restrição sobre domínios de n variáveis; podem sempre ser representadas por restrições binárias (o caso mais utilizado) com novas variáveis Restrições Restrições podem ser especificadas por meio de: Uma lista com domínios válidospara cada variável participante da restrição Uma funçãoque retorna TRUE quando variáveis assumem valores que satisfazem a restrição Um possível mundo que satisfaz um conjunto de restrições envolvidas, em que cada restrição assume valores que são consistentes com aquela restrição 5

6 Palavras Cruzadas: Variável: lacuna (palavra a ser preenchida) Domínio: palavras da língua portuguesa de tamanho correto para uma lacuna Variáveis: todas as lacunas Possíveis mundos: todos os modos de atribuição de palavras possíveis para todas as lacunas Restrição:?? Palavras Cruzadas: Variável: lacuna (palavra a ser preenchida) Domínio: palavras da língua portuguesa de tamanho correto para uma lacuna Variáveis: todas as lacunas Possíveis mundos: todos os modos de atribuição de palavras possíveis para todas as lacunas Restrição: palavras possuem as mesmas letras em pontos nos quais as lacunas correspondentes se interceptam Problema de Schedule: Variável: uma tarefa que precisa ser agendada Domínio: as diferentes combinações de horários e localizações para uma tarefa Variáveis: as diferentes tarefas que precisam ser agendadas Possíveis mundos: todas as atribuições de horário/local possíveis para todas as tarefas Restrições:?? Problema de Schedule: Variável: uma tarefa que precisa ser agendada Domínio: as diferentes combinações de horários e localizações para uma tarefa Variáveis: as diferentes tarefas que precisam ser agendadas Possíveis mundos: todas as atribuições de horário/local possíveis para todas as tarefas Restrições: tarefas não podem ser agendadas no mesmo local e no mesmo horário Problema de Schedule: Variável: uma tarefa que precisa ser agendada Domínio: as diferentes combinações de horários e localizações para uma tarefa Variáveis: as diferentes tarefas que precisam ser agendadas Possíveis mundos: todas as atribuições de horário/local possíveis para todas as tarefas Restrições: certas tarefas não podem ser agendadas em locais distintos no mesmo horário Problema das n-rainhas Variável: localização de uma rainha em um tabuleiro de xadrez Domínio: as diferentes coordenadas de uma rainha Variáveis: localizações das n rainhas Possíveis mundos: todas as localizações possíveis de todas as rainhas Restrição:?? 6

7 Problema das n-rainhas Variável: localização de uma rainha em um tabuleiro de xadrez Domínio: as diferentes coordenadas de uma rainha Variáveis: localizações das n rainhas Possíveis mundos: todas as localizações possíveis de todas as rainhas Restrição: nenhuma rainha pode atacar a outra Como resolver? Caso genérico de CSP com domínios finitos é NP-hard, então não podemos esperar encontrar um algoritmo genérico eficiente Porém, podemos tentar: Encontrar algoritmos que sejam rápidos em casos típicos Identificar casos especiais para os quais os algoritmos são eficientes Como resolver? Caso genérico de CSP com domínios finitos é NP-hard, então não podemos esperar encontrar um algoritmo genérico eficiente Porém, podemos tentar: Encontrar algoritmos aproximados que podem encontrar soluções rapidamente, mesmo que não possam prover garantias teóricas Desenvolver algoritmos paralelos ou distribuídos de modo que hardware adicional possa ser empregado Gerar e testar Algoritmo: Gerarpossíveis mundos (estados) um por vez a partir do espaço de atribuições Testaros mundos para verificar se violam as restrições Esse procedimento é capaz de resolver qualquer CPS Porém o tempo para execução é proporcional ao tamanho do espaço de estados Sempre exponencial em relação ao número de variáveis Muito longo para muitos problemas de CPSs CSP como problema de busca Busca: framework apropriado para tratar CSP Nós: atribuições de valores para um subconjunto de variáveis Vizinhos de um nó: nós em que valores são atribuídos a uma variável adicional Nó inicial: atribuição vazia (nenhuma variável com valores associados) Nó folha: um nó no qual um valor é associado a cada variável Nó meta: nó folha que satisfaz todas as restrições Busca não informada para CSP Busca em Profundidade sem verificação de violação de restrição Busca em Profundidade com Backtracking Lembrete: o caminho para a meta não é importante 7

8 Busca não informada para CSP Consistência de Arcos Um estado é arco-consistente se toda variável possui um valor em seu domínio que é consistente com cada uma das restrições naquela variável Pode ser alcançada por meio da sucessiva eliminação de valores que são inconsistentes com alguma restrição A medida que valores são eliminados, outros valores podem se tornar inconsistentes, pois eram baseados naqueles valores => Propagação de restrição Busca não informada para CSP Melhores resultados podem ser alcançados com uma escolha cuidadosa de que variável instanciar e que valor atribuir 8

9 Resolvemos o problema sem busca alguma! Essa idéiaintuitiva é denominada de heurística da Variável-mais-restrita (most-constrained-variable) (valores restantes mínimos) Utilizada em conjunto com ForwardChecking(caso especial de Consistência de Arcos que verifica que valores ainda são permitidos para cada variável, dadas as escolhas até o momento) A cada passo a variável com menor possibilidade de valores é escolhida para ter um valor atribuído (variável com o menor número de valores válidos) Fator de expansão diminuído! E quanto ao valor a ser atribuído? Heurística do Valor-menos-restritivo (leastconstrained-value): escolher um valor que exclua um número menor de valores em variáveis conectadas à variável corrente por meio de restrições Outra abordagem é utilizar métodos de melhoramento iterativo: Atribuir valores para todas as variáveis Aplicar operadores de modificação para mover a configuração em direção a uma solução 9

10 Problema das 8 rainhas Melhoramento iterativo + CSP: métodos de Heurística Reparadora, pois reparam as inconsistências na configuração corrente Ao selecionar uma variável, a heurística mais óbvia é escolher o valor que resulta em um número mínimo de conflitos com outras variáveis -> Heurística de Conflitosmínimos Problema das 8 rainhas Problema das 8 rainhas Problema das 8 rainhas Problema das 8 rainhas Exercício A partir do último tabuleiro apresentado, faça a movimentação de mais uma rainha e resolva os conflitos correspondentes Contabilize quantas peças tiveram que ser movidas na sua solução 10

11 Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Processo centrado em detectar principais diferenças entre o estado atual e o estado meta Envolve gerar a meta e então as submetas Quando submetas completadas, a meta é atingida Bastante utilizada em planejamento quando devemos escolher as regras a serem aplicadas GPS (Newell e Simon, 1963): imitar protocolos humanos de resolução de problemas Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Exemplo: Objetivo: ter uma cerca branca em volta do jardim Se temos uma cerca marrom: selecionar operadores que envolvem mudança de cor Se não temos nenhuma cerca: considerar operadores que envolvam, primeiramente, a construção de uma cerca Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Pare Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Pare Pare: essa ação move o disco grande para o pino errado 11

12 Análise Meios-Fins (Means-Ends Analysis) Pare: essa ação move o disco grande para o pino errado Pare Lembrete: a chave para análise meios-fins envolve reduzir a diferença entre o estado inicial e o final Busca Tabu Algoritmos estocásticos de busca local podem ficar presos em platôs (por quê?) Uma das maneiras de prevenir ciclos é manter um lista tabu dos k últimos nós visitados A ideia é não incentivar a visita de um nó que já está na lista tabu Origem do nome tabu Em algumas implementações, um nó na lista só pode ser visitado após um limite ser atingido Esse método pode ser caro se k for grande Busca Tabu - aplicações Bioengenharia Finanças Manufaturamento Scheduling Muitas aplicações similares à Têmpera Simulada (Simulated Annealing) Referências Material Didático Prof. Kevin Leyton-Brown University of British Columbia, 2005 Russel, S. e Norvig, P. Artificial Intelligence: A modern approach, Prentice Hall, 1995 Rich, E. e Knight, K. Artificial Intelligence, McGraw Hill, 1991 Material Didático Prof. Daniel Smilek University of Waterloo, 2005 Referências Alvarez-Valdes, R. et al. Assigning students to course sections using tabu search. Annals of Operations Research. Vol. 96 (2000) p Bozkaya, Burcin. A tabu search heuristic and adaptive memory procedure for political districting. European Journal of Operational Research. Vol. 144 (2003) p Chopra, R. Artificial Intelligence, S. Chand Publishing, 2012 Referências indicadas no curso 12