MEMORIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES DE FASE EM OSCILADORES NEURAIS

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1 MEMORIZAÇÃO DE INFORMAÇÕES DE FASE EM OSCILADORES NEURAIS Leandro Linhares Rodrigues (IC) 1 & Marcos Antonio Botelho Labmat Laboratório de Matemática Experimental Departamento de Matemática Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brazil llinhares@bol.com.br botelho@mat.ita.br RESUMO O presente trabalho visa utilizar conceitos geométricos e técnicas da teoria de sistemas dinâmicos não-lineares para abordar algumas questões ligadas à formação de padrões em agrupamentos de neurônios. Mais especi camente, o objetivo é estudar a sincronização de dois osciladores neurais idênticos perto de uma bifurcação de Hopf e estabelecer uma memorização de diferença de fases. ABSTRACT This work applies geometrical concepts and methods from the theory of nonlinear dynamical systems to approach some basic questions concerning pattern formation in clusters of neurons. More speci cally, the aim is to study the synchronization of two identical neural oscillators near a Hopf bifurcation in order to establish a memorization of phase di erence. Palavras-chave: Redes neurais; osciladores neurais; memorização de fase. 1INTRODUÇÃO Estamos supondo aqui um prévio conhecimento básico da biologia dos neurônios e de alguns termos neuro siológicos tais como axônios, dendrites e sinapses. Em particular, estaremos assumindo um postulado básico, conhecido como o princípio de Dale, que estabelece que um neurônio é excitatório ou inibitório. Ele é excitatório se o potencial da membrana pós-sináptica cresce, um processo que é chamado de despolarização. O aumentodopotencialdamembranafacilitaageraçãodeumaaçãopotencialnoneurônio pós-sináptico. Se o potencial pós-sináptico decresce (hiperpolarização), o neurônio présináptico é chamado de inibitório. A hiperpolarização normalmente impede a geração de uma ação potencial. O princípio de Dale tem um papel importante no modelamento matemático do cérebro como um sistema dinâmico porque ele impõe algumas restrições naturais na possível dinâmica das redes neurais. Este princípio pode ser colocado de maneira matemática nos seguintes termos: 0 Trabalho feito em iteração com o Departamento de Matemática e Física da Universidade de Taubaté. 1 Bolsista do PIBIC/CNPq.

2 Princípio de Dale. Suponha que x i 2 R, i =1;:::;n; denota um atributo siológico observável do i-ésimo neurônio, tal como amplitude ou fase das oscilações, potencial da membrana, atividades dos canais de íons nos axônios, variáveis descrevendo reações bioquímicas nas sinapses, etc. Assuma que aumentando x i corresponde a uma despolarização, e diminuindo-o corresponde a uma hiperpolarização. Considere um conjunto de neurônios descritos por um sistema dinâmico da forma _x i = f i (x 1 ;:::;x n ) ; i =1;:::;n ; (1) onde f i : R n! R é uma função suave que descreve a dinâmica do i-ésimo neurônio. Então, todos os coe cientes sinápticos do j-ésimo neurônio para os outros neurônios, s ij j ; i 6= j ; têm o mesmo sinal: Se s ij 0,paratodoi, entãooj-ésimo neurônio é excitatório, por ter um efeito excitatório no i-ésimo neurônio. Caso contrário, ele é inibitório. Osciladores neurais no cérebro consistem de populações de neurônios excitatórios e inibitórios interligados entre si e, eventualmente, em contatos com outras células distantes. A maneira como estas interligações se realizam de nem o que chamamos de organizações sinápticas e esta variedade de modos de organizações implicam em várias propriedades dinâmicas destas redes. O objetivo do presente trabalho é o de mostrar que algumas organizações sinápticas permitem que a rede memorize retardamentos no tempo ou informações de desvio de fases através do estudo de um modelo simpli cado. Embora a importância ounãodestetipomemorizaçãoéumaquestãoneuro siológicaaindaporserestabelecida, estamos interessados em entender quais condições devem ser impostas numa arquitetura de rede neural para garantir que ela possa memorizar diferenças de fases. Isto signi ca o seguinte: se, durante um período de aprendizagem, o neurônio A excita o neurônio B de maneira que B gera uma ação de potencial com um retardamento (time delay) ±, então ocorrem algumas mudanças de modo que sempre que A gera uma ação de potencial, entãoomesmoaconteceembcomomesmoretardamento±. Levando em conta que, num cérebro real, os neurônios tendem a gerar ações de potencial repetidamente, estaremos interessados na diferença de fases entre os neurônios A e B em vez do retardamento. Desta forma, se durante um período de aprendizagem, dois osciladores neurais geram ações de potencial com alguma diferença de fase, então eles podem reproduzir a mesma diferença de fase depois que a aprendizagem foi completada.para isto, iremos assumir que tanto as atividades excitatórias quanto as inibitórias de cada neurônio i =1;:::;n são descritas por variáveis unidimensionais x i 2 R e y i 2 R, respectivamente, e que a dinâmica de um oscilador neural é governada por 8 < _x i = f(x i ; y i )+"p i (x; y; ") ; (2) : _y i = g(x i ;y i )+"q i (x; y; ") 0, o que signi ca que a diminuição da atividade y i faz aumentar a atividade x i e que o aumento da atividade x i faz aumentar a atividade y i. Estaremos assumindo que o oscilador (2) se encontra em uma bifurcação de Andronov-Hopf supercrítica, o que signi ca uma perda suave da estabilidade do equilíbrio, ou seja, para valores positivos pequenos do parâmetro ", existe um ciclo limite estável numa vizinhança do antigo equilíbrio fazendo com que x(t) possa se aproximar do novo atrator e, assim, continuar pequeno. Neste contexto, nossa tarefa será converter (2) para um modelo canônico e deduzir uma condição necessária e su ciente para que tal rede possa memorizar e reproduzir informações de @x

3 2. MODELO CANÔNICO LOCAL PARA BIFURCAÇÕES DE HOPF No modelamento matemático do cérebro, pode acontecer de modelos diferentes de uma mesma estrutura cerebral gerarem resultados diferentes, uma vez que tais resultados podem depender de particularidades de algum modelo implícito. Uma estratégia para contornar estas eventuais disparidades é a de procurar originar resultados que sejam marcadamente independentes do modelo especí co e que possam ser observados numa classe bem ampla. Tal é o caso, por exemplo, se continuarmos obtendo essencialmente os mesmos resultados depois de adicionarmos mais parâmetros e variáveis num dado modelo. Uma abordagem e ciente consiste em estudar classes de modelos em vez de um modelo individual, fazendo uma redução de toda uma família a um de seus modelos que tenha um caráter universal em algum sentido e que, por isso, possa ser representativo da classe. Assim, dizemos que um modelo é canônico se existe uma mudança de variáveis contínua, inversível ou não, que transforma qualquer outro modelo da classe neste modelo especí- co. Claro que se a mudança de variáveis simpli cadora não for inversível, podemos perder informações mas, em compensação, ganhamos em generalidade. Vamos supor que as dinâmicas do cérebro possam ser descritas por um sistema de equações diferenciais do tipo _x = F (x); x 2X (3) onde X éumespaçodevariáveisdeestadoef : X!X é alguma função. Na prática, não conhecemos quais são o espaço X eocampovetorialf apropriados. Se este fosse o caso, poderíamos dizer que a equação (3) descreve o modelo matemático do cérebro. A saída mais usada para essa questão é imaginar um processo in nito de re namentos sucessivos, produzindo uma família de sistemas dinâmicos F = ff : X!X j 2 g onde é um conjunto de índices (que, eventualmente, poderia ser não-enumerável) e cada F é construído sucessivamente a partir de casos mais simples, pela adição de mais e mais dados ao modelo de forma a re etir cada vez melhor as peculiaridades do cérebro. Parece plausível supor que poderiam existir alguns resultados reproduzíveis por todos os sistemas dinâmicos em F ou, alternativamente, podemos postular que F denota, descritos de forma implicíta, todos os sistemas dinâmicos que descrevem completamente (em algum sentido) o cérebro humano. Porém, em vez de estudar cada membro de F isoladamente, vamos adotar o seguinte enfoque: Suponha que existe um sistema dinâmico _y = G(y); y 2Y; (4) tal que todo membro de F pode ser transformado em (4) por uma mudança de variáveis contínua. A esse modelo (4) chamamos de modelo canônico da família F. Com isto, podemos estudar o modelo canônico e extrair informações sobre todos os membros de F deumasóvez. Notemos que, a verdade, não é necessário determinar exatamente qual mudança de variáveis utilizar. Basta provar que tal mudança de variáveis existe. De nição. (i) Uma observação de x(t) é qualquer função de nida em X. Também, dizemos que a variável y(t) h(x(t)) é um observável. (ii) Um sistema dinâmico _x = F (x); x 2X tem _y = G(y); y 2Y;

4 como modelo se existe uma função contínua (observação) h : X!Y tal que, se x(t) é uma solução de (3), então y(t) =h(x(t)) éumasoluçãode(4). Quando h é um homeomor smo, dizemos que os sistemas dinâmicos são conjugados ( ou que são topologicamente equivalentes). (iii) Suponha que existe uma família F = ff : X!X j 2 g de sistemas dinâmicos _x = F (x) ; x 2X ; 2 (5) descrevendo o cérebro. Então, o sistema (4) éummodelo canônico para a família F se,paracadamembrof 2F existe uma observação contínua h : X!Ytal que as soluções de (5) são mapeadas às soluções de (4). Existe toda uma teoria para derivar modelos canônicos, quer por análise local, quer global. Pode-se mostrar que os neurônios precisam estar perto de limiares de atividades de maneira a participar não trivialmente da dinâmica cerebral, o que matematicamente signi ca que o equilíbrio corresponde a um ponto de bifurcação. Em particular, no caso de redes neurais perto de bifurcações de Hopf múltipla, temos o seguinte resultado que fornece um modelo canônico local nestas circunstâncias. Teorema 2.1 Se a rede neural fracamente acoplada _x i = f i (x i ; )+"g i (x; ; ½; ") ; x i 2 R 2 ; i =1; 2;:::;n (6) está perto de uma bifurcação múltipla de Andronov-Hopf e (") =" 1 + O(" 2 ), então existe uma mudança de variáveis x i (t) = p ei i "V t z i ( ) i e i it + O( p ") (7) ¹z i ( ) onde = "t éumtempolentoquetransformaaredeneuralem z 0 i = b i z i + d i z i jz i j 2 + onde 0 = 4 d ; b i ;d i ;z i 2 C d e os coe cientes sinápticos c ij 2 C são dados por c ij = nx c ij z j + O( p ") (8) j6=i ½!i D xj g i v j ; se i = j 0 ; se i 6= j (9) O sistema(8) é um modelo canônico para uma rede neural fracamente acoplada perto de uma bifurcação de Andronov-Hopf múltipla. (V. Hoppensteadt-Izhikevich[1] para a prova). 3. MEMORIZAÇÃO DE INFORMAÇÃO DE FASE Embora estaremos sempre considerando pares de osciladores neurais e conexões sinápticas somente em uma direção, ca subentendido que a rede consiste de vários osciladores neurais e que conexões sinápticas do mesmo tipo existem entre quaisquer dois osciladores em todas as direções. Assumindo, sem perda de generalidade, que o oscilador tem (0; 0) como um equilíbrio, vamos considerar uma rede com dois osciladores neurais conforme representada na gura 1.

5 Figure 1: Uma rede com dois osciladores neurais.. Neste caso, a rede é um sistema dinâmico que pode ser escrito na forma ½ _xi = f(x i ; y i )+"p i (x; y; ") _y i = g(x i ;y i )+"q i (x; y; ") ; i =1; 2 (10) em termos das funções sinápticas p i (x; y; 0) = f 0 ½ (x i; y i ) q i (x; y; 0) = g 0 ½ (x i;y i ) onde as constantes sinápticas s ijk são todas positivas e " 1. Denotando a matriz jacobiana no equilíbrio por a1 a L = 2 a 3 a 4 2X (s ij1 x j s ij2 y j ) (11) j=1 2X (s ij3 x j s ij4 y j ) (12) temos que o oscilador neural está numa bifurcação de Andronov-Hopf quando L satisfaz tr L = a 1 a 4 =0e det L = a 1 a 4 + a 2 a 3 > 0. Neste caso, podemos associar a cada oscilador neural sua freqüência natural = p det L = p a 2 a 3 a 1 a 4. O princípio de Dale implica que a 2 e a 3 são constantes não-negativas, mas, como a 1 = a 4,acondiçãodet L>0 implica que tanto a 2 quanto a 3 são positivas. Embora nem a 1 0 nem a 1 < 0 contradigam o princípio de Dale, por simplicidade vamos considerar apenas o caso a 1 = a 4 0. Do teorema 2.1 segue que a rede neural fracamente conectada (10) é governada pelo seguinte modelo canônico nas proximidades de bifurcação de Andronov-Hopf múltipla: j=1 z 0 i =( i + i! i ) z i +(¾ + i ) z i jz i j 2 + 2X c ij z j ; i =1; 2 (13) j6=i Não se conhece muito sobre aprendizagem no cérebro humano, mas nossas hipóteses mais importantes acerca da dinâmica de aprendizagem parecem consistentes com o que se observa na prática. Em termos de uma rede neural fracamente conectada [ _x i = f i (x i ; )+"g i (x 1 ; :::; x n ; ;½;")], estas hipóteses são: ² O aprendizado é descrito em termos de modi cações dos coe cientes c ij i =@x i. ² Para i e j xados o coe ciente w ij = "c ij se modi ca de acordo com equações da forma w 0 ij = h(w ij ;x i ;x j ): (14)

6 ² Usamos o tempo lento = "t para lidar com a terceira hipótese. ² h(w ij ; 0;x j )=h(w ij ;x i ; 0) = h(w ij ; 0; 0) = ~ h(w ij )= w ij + ±wij 2 + ::: para todos x i e x j,demodoqueh édaforma h(w ij ;x i ;x j )= w ij + x i x j + ± 1 w ij x i + ± 2 w ij x j + ±w 2 ij + :::. (15) Usando o fato de que os coe cientes w ij são de ordem " e de que as atividades de neurônios são de ordem p ", podemos usar a mudança de escala w ij = "c ij e x i = p "y i (i =1;:::;n) para obtermos a expressão c 0 ij = c ij + y i y j + O( p "); (16) chamada regrademodi caçãosinápticadehebbou regra de aprendizagem de Hebb. Assumiremos que (taxa de desvanecimento da memória ) e (taxa de plasticidade sináptica) são positivos e os mesmos para todas as sinapses. Seria razoável também pensarmos em termos de = ij e = ij. Assim, temos: Lema A regra de aprendizagem de Hebb para uma rede fracamente conectada de osciladores neurais pode ser escrita na forma c 0 ij = bc ij + k ij2 z i ¹z j + k ij3 ¹z i z j ; (17) onde k ij2 = (a 2 1 a 3 2)+ a 3 a 2 ¹ (a 2 3 a 3 4); (18) k ij3 = (a 2 1 a 3 3)+ a 3 a 2 ¹ (a 2 2 a 3 4); (19) = 1 2 (1 ia 4 ); sendo ij usado no lugar de ijk, i; j =1;:::;n; k =1; 2; 3; 4: Prova. (V. Rodrigues-Botelho[2]). Em termos do modelo canônico, a memorização de informação de fase signi ca o seguinte: Suponha que durante um período de aprendizagem as atividades z i ( ) do oscilador são dadas de maneira que as diferenças de fase Arg z i ¹z j são mantidas xas. Chamemos o padrão das diferenças de fase de imagem a ser memorizadas. Adicionalmente, suponha que os coe cientes sinápticos c ij evoluem de acordo com a regra (17). Então, dizemos que o modelo acnônico memorizou a imagem se existir um atrator no espaço C n dos z tal que, quando a atividade z( ) está no atrator, as diferenças de fase entre os osciladores coincidem com aquelas a serem aprendidas. Temos, então, o seguinte resultado: Teorema 3.1 Considere a rede fracamente conectada de osciladores neurais governada por nx z i =( i + i! i )z i +(¾ i + i i )z i jz i j 2 + c ij z j ; i =1; :::; n juntamente com a regra de aprendizagem (17). Suponha que os osciladores neurais possuam freqüências iguais (! 1 = ::: =! n =!), que a bifurcação de Andronov-Hopf seja supercrítica ( ¾ i < 0) eque i =0. Então, temos que tal rede consegue memorizar diferenças de fase de pelo menos uma imagem se e somente se i.e., a regra de aprendizagem (17) tem a forma j=1 k ij2 > 0 e k ij3 =0; (20) c 0 ij = bc ij + k ij z i ¹z j ; i 6= j; (21)

7 onde k ij =Re k ij2, i; j =1; :::; n, são números reais positivos. Prova. (V. Rodrigues-Botelho[2]). 4. CONCLUSÃO Agora que sabemos como k ij2 e k ij3 dependem das redes neurais fracamente conectadas originais, os resultados deste teorema podem ser reformulados em termos de (10). Para isto, basta aplicar a condição (20) à representação (18) e teremos o seguinte: Corolário. Uma rede fracamente conectada de osciladores neurais pode memorizar diferenças de fase se e somente se as razões de plasticidade satisfazem: e a 2 1 = a 3 3 ; a 2 2 = a 3 4 (22) k ij = a 2 1 a 3 2 > 0 (23) para cada i e j. Este resultado permite estabelecer que tipo de organizções sinápticas podem ou não memorizar informações de fase. Por exemplo, suponhamos que ij1 =0; para algum i 6= j. Isto signi ca que não há modi cação de sinapses entre o j-ésimo e o i-ésimo neurônios excitatórios, a não ser atro a, ou seja, um desaparecimento gradativo. Desta forma, mesmo que existisse uma sinapse s ij1 entre x j e x i no início, ela iria atro ar com o passar do tempo. Assim, sem perda de generalidade, podemos assumir que ij1 = 0 indica queéimpossíveltantoaformaçãoquantoocrescimentodesinapsesdex j para x i. As mesmas considerações podem ser aplicadas para ij2 ; ij3 e ij4. Chamando ij de razão de plasticidade, ele vai ser diferente de zero ou igual a zero se o contato sináptico entre os dois neurônios for possível ou não, respectivamente. Desta forma, de acordo com a condição (22), se uma das razões de plasticidade é zero, isto é, se o contato entre dois neurônios não é possível numa dada organização sináptica, então o mesmo deve acontecer com a outra razão de plasticidade correspondente. Isto signi ca que uma condição necessária para que umaorganizaçãosinápticapossamemorizarinformaçãodefaseéqueelasejatalquese um neurônio tem contatos sinápticos com algum oscilador neural, então ele deve ter acesso tanto aos neurônios excitatórios quanto aos inibitórios do oscilador neural. REFERÊNCIAS [1] Hoppensteadt, F.C. & Izhikevich, E.M.: Weakly Connected Neural Networks. Springer, [2] Rodrigues, L.L. & Botelho, M.A.: Organizações Sinápticas e Memorização de Informações em Osciladores Neurais. Relatório de Atividades, CNPq/Pibic. ITA, Agosto de [3] Verhulst, F.: Nonlinear Di erential Equations and Dynamical Systems. Springer- Verlag, Berlin, 1990.

8 MODELO MATEMÁTICO PARA A TEORIA COGNITIVISTA DOS FENÔMENOS MENTAIS Paulo Franca Bandel (IC) 1 & Marcos Antonio Botelho Labmat Laboratório de Matemática Experimental Departamento de Matemática Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brazil bandel@h8.ita.br botelho@mat.ita.br RESUMO Este trabaho apresenta a construção de uma formalização matemática que permite interpretar as correntes behaviorista e cognitivista em termos da teoria da realização canônica da Teoria de Controle de Sistemas Lineares. Em particular, é aqui mostrado que a representação de aspectos externos e comportamentais em termos de estados internos implica no conexionismo, ou seja, no cérebrocomoumemaranhadoderedesneurais. ABSTRACT This work presents the construction of a mathematical formalization that allows one to interpret behaviorism and cognitivism in terms of a canonical realization from the Linear Systems Control Theory. In particular, it is shown that the representation of external and behavioral aspects in terms of internal states implies connectionism, that is, the mind as a manifold of neural networks. Palavras-chave: Controle; realização; fenômenos mentais. 1INTRODUÇÃO Este trabalho procura aplicar métodos da teoria de controle de sistemas lineares para abordar questões básicas sobre o modelamento de funções cerebrais e prover um fundamento sistêmico-teorético para contribuirmos no debate de algumas questões polêmicas antagonizadas pelas escolas behaviorista e cognitivista de psicólogos. Em última análise, porém, nossa proposta é apresentar um modelo matemático que nos permita representar aspectos relevantes de qualquer tipo de objeto de processamento de informações que possa desempenhar atividades funcionais tais como, por exemplo, lembrar estímulos externos ou executar instruções para atividades como andar, ver e falar. Na primeira metade do século XX, a atitute behaviorista para livrar-se dos impasses de uma visão dualista mente-corpo foi eliminar toda noção de mente, estados mentais e representações mentais do foco das investigações teóricas e concentrar somente nos padrões 0 Trabalho feito em iteração com o Departamento de Matemática e Física da Universidade de Taubaté. 1 Bolsista do PIBIC/CNPq.

9 de estímulo-resposta dos comportamentos observáveis. Mais recentemente, uma proposta advogada por pesquisadores em Ciências Cognitivas tem sido considerar que um estado mental pode ser de nido por suas relações causais com outros estados mentais, e que tais estados mentais podem ser realizados por muitos sistemas. Em função destes aspectos gerais das duas escolas, parece-nos bastante natural, no presente estudo, representar a posição behaviorista através de um formalismo calcado nas relações de entrada-saída em sistemas de controle. Por outro lado, a proposta cognitivista pode ser representada através da descrição interna de sistemas de controle envolvendo a noção de estado, além das de entrada e de saída. Com isto, estaremos aqui usando o teorema da realização da teoria matemática de sistemas para comparar estas duas visões e explorar o formalismo introduzido para abordar várias questões sobre os processos do conhecimento e as inevitáveis considerações sobre as limitações desta abordagem matemática. Em linhas gerais, nosso problema será o de, a partir da representação externa de um comportamento inteligente através de padrões observáveis de estímulo-resposta, fazer corresponder uma descrição em termos de relações causais de estados internos que explique ou seja compatível com a representação externa. Para uma representação matemática do problema, vamos concentrar a abordagem em termos da teoria de sistemas lineares com evolução temporal discreta. Para a representação externa, a maneira como as respostas (ou sinais de saída) dependem dos estímulos (ou sinais de entrada) pode ser descrita por uma relação de entrada/saída (ou estímulo/resposta) expressa por um terno ª=( ; ;f), onde e são espaços vetoriais de dimensão nita e f é uma aplicação f :!. Supondo que temos um objeto processador de informações L; um padrão de estímulo-resposta de L é representado pela seqüência B L = f(u t ;y t+1 )g, para t =0; 1; 2; ::: u! L! y O comportamento externo do objeto L é descrito pela aplicação de estímulo/resposta f :! 2 7! 2 onde a seqüência de entrada (estímulo) é! = fu o ;u 1 ;u 2 ;:::g;! 2 ; u i 2 U; e a de saída (resposta) é = fy 1 ;y 2 ;y 3 ; :::g; 2 ; y i 2 Y:Estaremos assumindo que o modelo interno em termos dos estados cognitivos será descrito por meio de um sistema invariante no tempo, linear, de dimensão nita, com tempo discreto de nido por uma tripla fu; X; Y g de espaços vetoriais reais de dimensão nita e uma tripla de transformações lineares (matrizes, em última análise) A; B; C tais que ½ xt+1 = Ax t + Bu t ; x y t = Cx t=0 = x o (1) t Com isto, o problema básico de realização em espaços cognitivos pode nalmente ser colocado de maneira mais precisa nos seguintes termos: Dado um padrão de estímulo-resposta B L associadocomumadescriçãoexterna de L =( ; ;f;u;y), achar um modelo interno =(X; A; B; C) tal que B L = B, onde B é o padrão de estímulo-resposta de : No que segue, estaremos abordando este problema, num estudo calcado em Casti[1] e Fuhrmann[2]. 2. REALIZAÇÃO CANÔNICA DE SISTEMAS LINEARES Um número in nito de modelos podem satisfazer o requisito acima. Por este motivo, precisamos estabelecer um critério para selecionar dentre esta in nidade de candidatos, aquele que satisfaz os requisitos de uma maneira melhor, em algum sentido. A tal modelo ótimo daremos o nome de modelo canônico. Portanto, a realização canônica é caracterizada por um modelo interno cujo espaço de estados não contém elementos irrelevantes para um padrão de estímulo-resposta B.

10 Vamos assumir que o espaço de entradas é constituído de seqüências de vetores de R m, enquanto o espaço de saídas é constituído de seqüências de vetores de R p. Mais precisamente, = f(u 0 ;u 1 ;u 2 ;:::;u N ); u i 2 R m ;N<1; para algum N 2 Ng; (2) = f(y 1 ;y 2 ;y 3 ; :::) ; y i 2 R p g: (3) A função f :!, por sua vez, será representada através da relação de entrada-saída: Xt 1 y t = P t i u i ; t = 1; 2; 3; :::; (I/O) i=0 com P j são matrizes pertencentes a R pxm : Pode-se comprovar esta relação observando que a seqüência de entrada! =(u o ;u 1 ;u 2 ;:::u N ) é transformada na seqüência de saída =(y 1 ;y 2 ;y 3 ; :::) através da matriz triangular inferior de Toeplitz: 2 T = 6 4 P ::: P 2 P ::: P 3 P 2 P 1 0 ::: ; P i 2 R pxm : Assim, dada a aplicação f, tem-se determinada a seqüência B L = fp 1 ;P 2 ;P 3 ; :::g etemos, portanto, o isomor smo f» = fp 1 ;P 2 ;P 3 ; :::g. Feitas as considerações de linearidade, temos que uma realização de f consiste na construção de um espaço vetorial n-dimensional X (que, sem perda de generalidade, tomaremos X = R n ) e as matrizes reais A; B e C de ordens nxn, nxm e pxn, respectivamente. Este espaço X representa o espaço de estados do sistema, relacionado com os espaços de entrada e saída através das equações dinâmicas: x t+1 = Ax t + Bu t y t = Cx t ; x o =0; ( ) com x t 2 X; u t 2 R m ;y t 2 R p. Assim, dada uma seqüência de entradas! 2, vemosque gera uma saída 2. Se, para todo instante t, o par de entrada e saída (u t ;y t+1 ) de estiver coerente com o par (u t ;y t+1 ) I/O dado pela matriz T easrelaçõesdei/ocitadas, será caracterizado como um modelo interno para a descrição de I/O de f. Devese, então, obter uma relação que ligue a descrição de entrada-saída dada pela seqüência fp 1 ;P 2 ;P 3 ;:::g com a descrição de variáveis de estado de dada pelas matrizes A; B e C. ÉfácilverqueesteseráocasoseesomenteseP t = CA t 1 B; 8 t = 1; 2; 3:::, umacondição que indica a identidade de comportamentos de f e. Entretanto, há in nitos sistemas satisfazendo esta relação, de forma que necessitamos de condições adicionais que nos dê um critério para escolhermos de maneira inequívoca um modelo, o qual chamaremos de modelo canônico, dentre esta in nidade de candidatos: De nição (i) Dado qualquer modelo =(X; Á; h; x o ), dizemos que é completamente alcançável se para cada estado x 2 X, existe uma seqüência de entrada! 2 e um tempo T tal que x T = x. Isto é,! transfere o estado do sistema de x o (t=0) para x (t=t). (ii) Dado qualquer modelo =(X; Á; h; x o ), dizemos que é completamente observável se cada estado inicial x o pode ser identi cado somente a partir de seqüência de entrada do sistema e da observação da saída y t em um intervalo 0 <t T. (iii) é canônico se ele é, simultaneamente, completamente observável e completamente alcançável. Assim, temos os seguintes resultados, cujas provas podem ser encontradas nos livros usuais da Teoria de Controle ou Álgebra Linear (ver, por exemplo, Fuhrmann[2]).

11 Teorema da alcançabilidade: Um estado x 2 R n é alcançável a partir da origem para o sistema seesósex éuma combinação linear de colunas das matrizes B;AB;A 2 B; :: :; A n 1 B. Corolário. (i) Todo estado x 2 R n é alcançável (i.e., é completamente alcançável) se e só se a matriz D = B j AB j A 2 B j ja n 1 B possui posto n. (ii) Se um estado x 2 R n é alcançável, então não é alcançável em mais do que n passos. (iii) Os estados alcançáveis constituem um subespaço vetorial de R n, isto é, se x; y 2 R n são alcançáveis, então os estados x + y são todos alcançáveis para todos os reais e. Teorema da observabilidade: Um estado inicial x 0 2 R n não é observável pelo sistema seesósex o está contido no núcleo da matriz = C CA CA 2 CA n 1 T. Corolário. (i) Os estados não-observáveis formam um subespaço de R n. (ii) é completamente observável se e só se o posto de é n, i.e., ker =f0g: Finalmente, a existência do modelo canônico é garantida pelo seguinte Teorema da Realização. Dada uma função de entrada-saída f :!, sempre existe um modelo canônico =(A; B; C) tal que B L = B. Além disso, o modelo é único dentro de uma mudança de coordenadas no espaço de estados de dimensão in nita em questão. Este resultado pode ser expresso em termos cognitivos: Teorema da Cognição. Dado um padrão de estímulo-resposta B L ; sempre existe um modelo cognitivo com um comportamento dado por B tal que B L = B. Além disso, este modelo cognitivo é único. 3 A METÁFORA DINÂMICO-SISTÊMICA DO CÉREBRO Essencialmente, o que estabelecemos foi uma equivalência abstrata entre as escolas behaviorista e cognitivista, usando como ferramenta a realização canônica da teoria de sistemas lineares discretos e assumindo o postulado básico de que as informações dadas pelo padrão de comportamentos B são exatas. Por um lado, isto traz algumas conseqüências interessantes: primeiro, que apenas o cognitivismo dentre estas escolas pode eventualmente conduzir a uma teoria causal do comportamento inteligente e, segundo, que este processo de interiorização das relações de estímulo e comportamento observável resulta numa representação conexionista, em termos de redes neurais, para o cérebro. Por outro lado, existem várias limitações relevantes: neste nível de descrição, a dinâmica do cérebro deve ser melhor modelada por sistemas em tempo contínuo e não discreto; o modelo deixa totalmente em aberto a questão da mente, ou seja, de eventos mentais como sentimentos, pensamentos, percepção, dor, prazer, etc.; e a hipótese sobre a linearidade do modelo não corresponde ao caráter extremamente não-linear da dinâmica do cérebro. Porém, levando em consideração que, no balanço entre os resultados e as limitações, pudemos encontrar uma representação matematicamente formalizada e precisa do cognitivismo que, embora trazendo profundas limitações como metáfora para o cérebro humano, pelo menos permite vislumbrar alguma relevância em aplicações na área de inteligência arti cial. Vamos agora abordar alguns dos pontos acima. Primeiro, podemos adotar um postulado mais geral de unicidade expresso da seguinte forma, que chamamos de princípio da unicidade:

12 Se as informações B são exatas e completas, há um único sistema canônico que representa as informações dadas. O termo completo signi ca simplesmente que os dados B surgiram de um sistema pertencente a uma classe de sistemas a partir dos quais buscamos um modelamento. Neste caso, está-se tratando dos sistemas lineares. Desta forma, concluímos que todos os modelamentos ótimos de B são isomór cos, independentemente de sua origem linear ou nãolinear. Entretanto, a exigência de exatidão nos dados é fundamental, conforme podemos ver na seguinte situação. Suponhamos que as informações B consistem de pares (t; x t ) para t = 1; 2; 3; :::; N. Neste caso, a classe de sistemas é a dos polinômios, ou seja, o objetivo é encontrar um polinômio p tal que p(t) =x t ; t = 1; 2; 3; :::; N. Um modelo ótimo consiste, aqui, simplesmente no polinômio p de menor grau satisfazendo esta condição. De nossoestudo,seguequeoteoremadarealizaçãoparaesteproblemaéachamadafórmula de interpolação de Lagrange para as informações B. Assim, tem-se a fórmula: p (t) = NX Y z x t x t x t x j t=1 Embora não seja evidente que p representa a realização ótima, é possível provar esta assertiva utilizando algumas ferramentas básicas. A condição de que B écompletoé trivialmente satisfeita desde que para um determinado N assume-se em princípio que as informações são geradas por um polinômio. A condição de isomor smo é igualmente satisfeita se observarmos que o fato de p estar de acordo com as informações dadas determina o coe ciente dominante do polinômio em questão. Portanto, existe um único polinômio ótimo que está concordando com B. Entretanto, caso as informações não sejam fornecidas de forma exata, o panorama muda. Suponhamos, por exemplo, que tomemos uma quantidade muito grande de pontos (por exemplo, um milhão) que estão de acordo exatamente com uma curva do quarto grau, mas não com qualquer curva de grau superior. Utilizando a fórmula de Lagrange para modelar estas informações, obteremos um polinômio de grau 4. Introduzindo uma perturbação extremamente pequena nas informações, a fórmula de Lagrange nos conduzirá a um polinômio de grau 10 6 em um novo modelo. Isso ocorre porque esta fórmula utilizada é muito sensível a pequenos ruídos nas informações dadas. Assim, a complexidade do modelo p neste caso de informações contendo ruído depende de N. Agora, vamos abordar a tese subjacente do trabalho. Se tentarmos dar uma caracterização de alguma forma mais explícita dos elementos do espaço de estados X, irá transparecer uma informação que podemos expressar como a seguinte tese implícita no que foi aqui desenvolvido: Uma teoria causal do comportamento inteligente implica no conexionismo (i.e., o cérebro, ou a máquina inteligente, como um emaranhado de redes neurais). Vejamos. Até aqui, os elementos do espaço de estados X foram caracterizados simplesmente como pontos do espaço R n. Para uma melhor interpretação deste modelamento, devemos investigar de maneira mais profunda os estados. Um estado x 2 X representa uma codi cação da entrada! em sua forma mais compacta, sendo ainda consistente com a geração de uma saída segundo a função de entrada-saída f. Assim, pode-se a rmar que cada estado corresponde a uma classe equivalente de entradas. Neste caso, considera-se que duas entradas! e! 0 são equivalentes se geram a mesma saída regradas por f, ouseja,! ¼! 0 seesósef(!) =f(! 0 ). Assim, a codi cação! 7! x =[!] f pode ser vista como o caminho através do qual o sistema memoriza a entrada!. Mascom oquesepareceumaoperaçãodecodi cação? Amaneiramaissimplesdesevisualizaresta t6=j

13 operação é representar formalmente cada entrada! como um polinômio de grau N. Desta forma, recordando que! =(u 0 ;u 1 ;u 2 ; :::; u N ); u i 2 R m ; N < 1, vamos identi car o vetor! com o polinômio:! $ u 0 + u 1 :z + u 2 :z 2 + ::: + u N :z N =!(z) Convém observar que, nesta representação, z é apenas um símbolo indeterminado cujo papel é o de funcionar como um marcador de tempo para a entrada!. Desta forma, o símbolo z t corresponde ao tempo t em que a entrada u t é aplicada no sistema. Consideremos, agora, a matriz A que representa a estrutura interna. Utilizando a identi - cação entre as seqüências de entrada e polinômios, temos o isomor smo ¼ R m [z], ouseja, o isomor smo entre e o conjunto dos polinômios com coe cientes em R m. Seja ª A (z) o polinômio mínimo de A, ou seja, o polinômio não-nulo de menor grau possível tal que ª A (A) =0. Da teoria elementar de matrizes, temos que ª A (z) é um divisor do polinômio característico de A, que será de grau n se A 2 R nxn.daí,seguequedegª A (z) n. Um resultado, cuja demonstração foge do escopo deste trabalho mas pode ser encontrada na literatura, diz que x =[!] f 2 mod ª A (z). Em outras palavras, x éorestodadivisão do polinômio vetorial! pelo polinômio escalar ª A (z). Opontomaisimportanteasernotadodestedesenvolvimentodizrespeitoaofatoda codi cação ser determinada unicamente pela matriz A. Desta maneira, diferentes realizações irão codi car diferentemente as entradas e, portanto, teremos diferentes espaços de estado X. Portanto, o espaço de estados não é uma parte intrínseca ao comportamento observado do sistema. Ele é apenas uma construção matemática para prover uma maneira de lembrar os estímulos numa forma conveniente para gerar as respostas correspondentes. Acoisa camaisinteressanteaindaseexaminarmospictorialmenteaestruturadarealização canônica desenvolvida em nosso estudo, mostrada na gura 1. Figure 1: As inúmeras conexões paralelas da realização em estados internos. Nesta gura, os blocos representados por b ij e c ij representam, respectivamente, os elementos das matrizes B e C, e os blocos representados por (zi A i ) 1 consistem em decomposições de A na forma canônica de Jordan, ou seja: A» = diag (A 1 ;A 2 ;:::;A q )

14 O que é mais digno de nota nesta gura é o elevado grau de interconectividade entre os diversos elementos constituintes do modelo, o que prova nossa tese. Para nalizar, vamos encarar a incômoda constatação de que o modelo construído para fundamentar nossas considerações no campo da cognição é linear, quando, na verdade, uma característica básica do cérebro é que ele é uma estrutura marcadamente complexa e não-linear. No nível da realização, a equivalência entre o comportamento B e o modelo canônico f não depende da linearidade da aplicação de entrada-saída f. A hipótese da linearidade permite que o espaço de estados canônico possa ser descrito por meio de um dispositivo matemático bem simples, que são os polinômios, mas a equivalência em si poderia ser estabelecida sob hipóteses mais fracas em f. Portanto, pelo menos neste nível, a questão da linearidade acaba não sendo tão incômoda assim. No nível dinâmico, a constatação de que alguns fenômenos complexos podem ser descritos por sistemas determinísticos e relativamente simples como é o caso dos autômatos celulares e sistemas caóticos poderia ser animadora para, pelo menos em princípio, supor que padrões complicados poderiam surgir de um emaranhado de blocos lineares ou quase lineares (em algum sentido). Apesar disso, nossa convicção a este respeito é que a dinâmica cerebral precisaria realmente ser descrita através de unidades não lineares. Portanto, neste nível não temos nenhuma desculpa. No nível da aproximação, podemos considerar nossa construção como sendo uma aproximação linear para um fenômeno de natureza não-linear. Aqui, temos duas saídas. Por um lado, um fato conhecido da teoria de sistemas lineares é que qualquer comportamento f razoavelmente suave pode ser aproximado por um processo bilinear com precisão arbitrária. Daí, os mesmos problemas aqui endereçados poderiam ser abordados para o caso de sistemas bilineares. Por outro lado, podemos complementar uma realização canônica linear com um estudo de robustez da estabilidade do equilíbrio, uma vez que temos razões para supor que a dinâmica dos modelos representativos das redes neurais é interessante perto de equilíbrios. Por exemplo, podemos tentar explicar a correspondência do reconhecimento de um determinado aspecto de uma gura ambígua com a dinâmica perto de equilíbrios atratores; ou obter resultados de memorização de informações em organizações sinápticas em sistemas perto de bifurcação de Hopf, quando o equilíbrio passa a ser repulsor e surge um ciclo limite atrator. REFERÊNCIAS [1] Casti,J.L.: Reality rules. Picturing the world in mathematics. Vol. II. John Wiley & Sons, [2] Fuhrmann,P.A.: A polynomial approach to linear algebra. Springer, 1996.

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16 REALIZAÇÃO CANÔNICA DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Paulo Franca Bandel (IC) 1 & Marcos Antonio Botelho Labmat Laboratório de Matemática Experimental Departamento de Matemática Instituto Tecnológico de Aeronáutica São José dos Campos SP Brazil bandel@h8.ita.br botelho@mat.ita.br RESUMO Apresentamos aqui um procedimento de realização canônica que fornece um sistema linear de dimensão nita em tempo discreto, invariante no tempo, cuja resposta é a seqüência de Fibonacci sempre que a entrada é a seqüênca 1; 0; 0; 0;:::. Este resultado pode ser interpretado como a construção de uma estrutura (máquina) capaz de gerar a seqüência de Fibonacci. ABSTRACT We present a procedure of canonical realization that yields a discrete time nite-dimensional time invariant linear system whose output is the Fibonacci sequence whenever the input is the sequence 1; 0; 0; 0;:::. This result can be interpreted as the construction of a structure (machine) capable of generating the Fibonacci sequence. Palavras-chave: Algoritmo de Ho; realização; seqüência de Fibonacci. 1INTRODUÇÃO Vamos supor que uma caixa-preta, representada por uma relação de entrada e saída f :!! 7! ; com e sendo espaços vetoriais de dimensão nita, é tal que a seqüência de estímulos (entrada)! = f1; 0; 0;:::;0g 2 resulta na observação da resposta(saída) = f1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;:::g2, que é a seqüência de Fibonacci. Nosso problema consiste em apresentar um modelo interno em termos de variáveis de estado descrito por um sistema linear, invariante no tempo, de dimensão nita, em tempo discreto, de nido por uma tripla fu; X; Y g de espaços vetoriais reais de dimensão nita e uma tripla de matrizes fa; B; Cg satisfazendo x n+1 = Ax n + Bu n y n = Cx n (1) 0 Trabalho feito em iteração com o Departamento de Matemática e Física da Universidade de Taubaté. 1 Bolsista do PIBIC/CNPq.

17 e tal que explique, ou seja compatível, com a representação externa dada pela relação de entrada e saída f, ouseja,que(y n ) seja a seqüência de Fibonacci sempre que (u n ) seja a seqüência dada por u o =1e u n =0; para n 1. Representações internas deste tipo são chamadas de realizações em espaço de estados e os espaços U; X e Y são chamados de espaço de entradas, espaço de estados e espaço de saídas, respectivamente. 2 A SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Em 1202, Leonardo Fibonacci ( lius Bonacci), também conhecido como Leonardo de Pisa, escreveu seu famoso livro, o Liber Abaci (Livro do Ábaco), obra modelo por mais de um século e principal meio de introdução do sistema indo-arábico em toda a Europa cristã culta. Um dos mais famosos enigmas deste livro é o chamado problema dos coelhos, que pode ser assim enunciado: Suponhamos que no mês de janeiro de um certo ano haja um casal de coelhos, que gere um segundo casal no mês de fevereiro do mesmo ano. Um casal de coelhos torna-se produtivo após dois meses de vida e, a partir deste momento, produz um novo casa a cada mês. Supondo que não haja mortes, quantos casais de coelhos teremos no m de dezembro do mesmo ano? Podemos visualizar o enigma construindo a tabela abaixo, respeitando o seguinte código: A representa o número de casais que procriam no início do mês em questão. B,onúmerodecasaisquenãoprocriamnoiníciodomêsemquestão. C, o número de casais que nascem durante o mês em questão. D,onúmerodecasaisaotérminodomêsemquestão. MÊS A B C D Janeiro Fevereiro Março Abril Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro Cada uma das colunas A, B, C e D, lidas seqüencialmente, dá origem à chamada seqüência de Fibonacci, que é caracterizada pelo fato de que cada um de seus termos, após os dois primeiros, ser a soma dos dois termos anteriores. Esta seqüência aparece em vários outros contextos no mundo natural e apresenta várias propriedades interessantes. Para apresentar algumas delas, consideremos a seqüência expressa através da seguinte equação: n = n 1 + n 2 ; n =3; 4; 5;:::; 1 = 2 =1 (2) P1. Temos que lim n!1 n n 1 = p 5+1 2

18 ou, equivalentemente; lim n!1 n n+1 = p Esta razão ( razão áurea ) está presente na natureza e nos estudos de geometria: se construirmos, a partir de qualquer retângulo, um quadrado sobre o lado maior do primeiro retângulo, se construirmos posteriormente um segundo quadrado a partir do lado maior do novo retângulo (obtendo um terceiro retângulo), e se repetirmos in nitamente este procedimento, veri ca-se que a razão entre os lados do retângulo tendem à razão áurea. P ::: + n = n+2 1 P ::: + 2n = 2n+1 1 P ::: + 2n 1 = 2n P ::: + 2 n = n : n+1 P6. Se i e j são naturais, i é fator de ij : P7. Se n é divisível por 5, então a n é divisível por 5. P8. Os números de Fibonacci dão origem a determinantes de valor zero. Este fato ocorre devido à peculiar lei de recorrência da seqüência, recordando que se a soma de duas colunas adjacentes é igual aos termos correspondentes da coluna seguinte, o determinante da matriz é zero. Por exemplo, 2 det =0 e det 6 4 3OALGORITMODEREALIZAÇÃODEHO =0 Dado um padrão de entrada e saída B = f(u n ;y n+1 ) ;n=0; 1; 2;:::g expresso por uma relação f, representações internas como (1) fazem parte da teoria básica de sistemas lineares, caracterizadas através do conceito de modelo canônico. A questão é que um número in nito de modelos =(X; A; B; C) podem satisfazer os requisitos para ser uma representação interna que reproduza o padrão dado. Um modelo canônico seria a representação ótima, em algum sentido determinado, obtida por meio de um critério que permita selecionar um modelo interno que seja compacto no sentido do princípio da navalha de Occam, ou seja, cujo espaço de estados não contenha elementos irrelevantes para a reprodução do padrão de entrada e saída. Assim, este modelo ótimo, ou canônico, seria aquele tal que: (1) a entrada! transfere o estado inicial do sistema, x o, para qualquer estado dado x 2 X depois de algum tempo; e (2) qualquer estado inicial pode ser reconhecido univocamente apartirdoconhecimentodaseqüênciadeentrada(u n ) e da observação y n durante um intervalo de tempo 0 <n T. Dizemos que um sistema que satisfaz os critérios (1) e (2) é completamente alcançável e completamente obserável, respectivamente. A teoria de realização fornece a caracterização matemática precisa destes critérios, assim como a existência e unicidade do modelo ótimo na forma do seguinte teorema de realização: Dado um padrão de entrada e saída B = f(u n ;y n+1 ) ;n=0; 1; 2;:::g; de nido por uma função de entrada e saída f :!, sempre existe um modelo canônico =(X; A; B; C) que reproduza este padrão. Além disto, o modelo é único, no sentido de que todas as realizações canônicas são isomór cas.

19 Estes são resultados clássicos da teoria de sistemas lineares de dimensão nita (cf., por exemplo, Furhmann[1]). Em 1966, Ho-Kalman[2] apresentaram um algoritmo que permite construir esta realização canônica através do seguinte procedimento. Inicialmente, representemos a seqüência in nita B na forma de Hankel: 2 H = 6 4 P 1 P 2 P 3 P 4 ::: P 2 P 3 P 4 P 5 ::: P 3 P 4 P 5 P 6 :::.. Neste caso, H ij = P i+j 1. Seráassumidoqueaformain nitah possui um posto n ( nito); isso signi ca que todas as submatrizes r r de H possuem determinante igual a zero para r>n. A partir desta suposição, é possível inferir que existe r<1 tal que P r+j 1 =..... rx i:p i+j ; sendo i 2 R; 1 i r: Existem, portanto, matrizes S e T tais que In 0 SHT = ; 0 0 i=1 onde I n representaamatrizidentidadedeordemn. Utilizando-se as matrizes S e T,é possível obter uma realização canônica de B, conforme o algoritmo seguinte: Supondo que a matriz H possua posto nito n, uma realização canônica da seqüência B = fp 1 ;P 2 ;P 3 ; :::g édadapelosistema =(X; A; B; C) onde o espaço de estados X possui dimensão n e A = L n S ¾H TU n ; B = L n SHU m ; C = L p HT U n As matrizes ¾H; L n e U m representam, respectivamente, a matriz H deslocadaparaa esquerda (ou seja, deslocando todas as colunas uma posição à esquerda), a matriz que toma apenas as primeiras n linhas e, por m, a matriz que toma apenas as primeiras m colunas REALIZAÇÃO DA SEQÜÊNCIA DE FIBONACCI Vamos aplicar o algoritmo de Ho no caso que B = f(u n ;y n+1 ) ; n =0; 1; 2;:::g; onde u o =1e u n =0, n 1, e(y n ) é a seqüência de Fibonacci. Notando que as entradas e saídas são escalares, tem-se que qualquer sistema linear que satisfaça este comportamento deentradaesaídacorrespondeaumsistemacomm = p =1, i.e., um sistema de simples entrada e simples saída. Observando o modelo dinâmico x n+1 = Ax n + Bu n ; n 0 y n = Cx n ; n 1 ; x o = 0 0 com u n 2 R e x n 2 R 2 dados respectivamente por ½ 1 ; se n =0 n u n = e x 0 ; se n 1 n = n+1 e as matrizes A; B e C dsão adas por 0 1 A = 1 1 ; B = 1 1 ; C = 1 0 ; n 1

20 A relação P i = y i = CA i 1 B está perfeitamente satisfeita, enquanto que ambas as matrizes de alcançabilidade e observabilidade, dadas respectivamente por 1 1 C 1 0 D =[B j AB] = e = = 1 2 CA 0 1 possuem posto = 2 = n = dimx. Estas condições garantem que o sistema = (X; A; B; C) constitui um modelo canônico para a seqüência de Fibonacci. Neste contexto, a seqüência B dá origem à seguinte matriz na forma de Hankel: ::: ::: H = ::: Recordando da relação de recorrência (2) da seqüência de Fibonacci, nota-se que uma coluna é determinada pela soma das duas colunas precedentes; assim, veri ca-se a suposição de nitude no posto de H, ou seja, posto de H = n = 2. Desta forma, devemos xar nossasatençõesnasubmatriz deh de ordem 2 2 dada por: 1 1 H 2 = 1 2 Assim, devemos encontrar matrizes S e T que reduzam H 2 à sua forma canônica, ou seja, 1 0 SH 2 T = 0 1 Podemos constatar com facilidade que as matrizes e S = H 1 2 = T = I 2 = satisfazem tal relação. Além disso, a matriz deslocada para direita ¾H é dada por: 1 2 ¾(H 2 )= : 2 3 Aplicando, portanto, as relações indicadas pelo algoritmo de Ho: A = L 2 S ¾(H 2 )T U 2 = L 2 (H 1 2 ) ¾(H 2)(I 2 )U 2 de onde segue que Também, fornecendo A = B = L 2 SH 2 U 1 = L 2 H 1 2 H 2U 1 B = 1 0

21 e C = L 1 H 2 T U 2 = L 1 H 2 I 2 U 2 o que resulta C = 1 1 Com muita facilidade, é possível inferir que o sistema: x n+1 = x 1 1 n + 0 y n = 1 u n ; x o = 1 x n produz de fato a seqüência de Fibonacci como sua saída, utilizando a entrada-padrão u 0 =1;u t =0;t>0. Simples cálculos também conduzem à conclusão de que o sistema =(X; A; B; C) é completamente observável e alcançável, ou seja, é um sistema canônico para a seqüência de Fibonacci. REFERÊNCIAS [1] Fuhrmann, P.A.: A Polynomial Approach to Linear Algebra. Springer, [2]Ho,B.L.&Kalman,R.E.: E ective Construction of Linear State-variable Models from INput/Output Functions. Regelungstech, 14 (1966), [3] Casti,J.L.: Reality rules. Picturing the world in mathematics. Vol. II. John Wiley & Sons,