Oficina 7 1º trimestre - Disciplina: Matemática (Objetivo 3.6) Números Primos, Quadrados Perfeitos e Investigações

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1 Centro Educacional Sesc Cidadania Ensino Fundamental Anos Finais Goiânia, / fevereiro / º ano Turma: Nome do (a) Aluno (a): Professora: Mara Matias Oficina 7 1º trimestre - Disciplina: Matemática (Objetivo 3.6) Números Primos, Quadrados Perfeitos e Investigações Ciência+Tecnologia Busca matemática acaba em uma igreja Maior número primo do mundo é descoberto por engenheiro voluntário nos EUA. A descoberta foi feita no local mais improvável: o computador de uma igreja em um bairro de Memphis, Tennessee. O maior número primo já registrado foi descoberto no fim de dezembro de 2017 por Jonathan Pace, um engenheiro eletricista de 51 anos que mora no estado do Tennessee, nos Estados Unidos, e trabalha para a empresa de entregas FedEx. Pelo feito, Pace tem direito a um prêmio de quase R$ 10 mil. A descoberta faz parte do projeto Grande Busca na Internet pelo Primo Mersenne (ou Gimps, na sigla em inglês), que desde 1996 reúne milhares de voluntários em todo o mundo e já descobriu 16 números primos. Para participar, basta ter um computador e instalar um programa gratuito: assim, eles "emprestam" o tempo livre de seus computadores para a realização de cálculos automáticos enviados por um servidor central. O objetivo é descobrir cada vez mais números primos, que são aqueles com os quais só é possível fazer uma divisão exata pelo número 1, ou pelo próprio número primo. "O número 3, por exemplo, é primo, porque você só pode dividir 3 por 1 ou por 3", explicou Pace. "O número 5, o 7 e o 11 também são primos. Mas o 9 não, porque você pode dividir 9 por 1, por 3 e por 9." A divisão exata é aquela em que o resultado é um número inteiro. Além do dinheiro (que, dependendo do número encontrado, pode chegar a mais de R$ 300 mil), os voluntários têm interesse no projeto para ajudar no avanço da matemática e também, quem sabe um dia, entrar para a história ao lado de grandes matemáticos do passado, como Euler e Euclides, que também estudaram os números primos. Na vida prática, esse tipo de número também tem algumas utilidades: eles já foram usados, por exemplo, na elaboração de algoritmos de criptografia, segundo explicam os responsáveis pelo projeto Gimps. Engenheiro do Tennessee, casado com uma professora de educação infantil e com dois filhos de 19 e 22 anos, Pace tem oficialmente um diploma de engenharia elétrica, mas diz que hoje a graduação feita por ele foi rebatizada de engenharia de computação. Ele é funcionário da FedEx desde 1990, mas sua paixão pela matemática vem desde o ensino médio, quando ele foi incentivado por um professor da área. Na data da descoberta, em 26 de dezembro, ele já era voluntário do projeto havia 14 anos e mantinha nada menos do que 18 computadores conectados ao servidor central do Gimps. "Lá em 2003 eu li uma reportagem na internet sobre a descoberta do 40º número primo Mersenne", contou ele. "Pensei que eu tinha a mesma chance que qualquer outra pessoa", explicou Pace. "Acho que em 2009 outra pessoa encontrou o número e levou o dinheiro. Mas naquela época eu já estava engajado, tinha quatro computadores no projeto." Agora, ele se tornou o nome por trás da descoberta do 50º número. A cada novo número encontrado, fica mais raro que outro apareça, mas acredita-se que existe uma quantidade infinita de números primos. M No release oficial divulgado pelo Gimps em 3 de janeiro deste ano, confirmando a descoberta, o número encontrado por Pace é chamado apenas pelo seu apelido (M ), ou por sua representação na forma reduzida (2 elevado à ª potência menos 1). O motivo é simples: ele tem 23 milhões de dígitos, o que dificulta sua representação. 1

2 Em um teste, o jornal tentou colar o número completo nesta reportagem, já sabendo que seria impossível. Dito e feito. A barra de texto congelou e, após 30 segundos, o navegador mandou avisar que havia travado. Então pensamos em divulgar apenas os 50 primeiros dígitos, já pedindo perdão por qualquer quebra de página estranha na sua visualização: A ideia seguinte foi fazer uma captura de tela com os dígitos em um tamanho legível. O resultado é uma imagem contendo os primeiros dígitos. Número primo x número primo Mersenne O número descoberto por Pace é considerado "raro" e se encaixa na categoria de "números primos Mersenne". A diferença entre um "Mersenne" e outros primos é que eles se encaixam em uma forma específica: 2 elevado à potência P menos 1. Eles foram batizados em homenagem a Marin Mersenne que, segundo o projeto Gimps, foi um monge francês famoso por estudar esse tipo de número há mais de 350 anos. O engenheiro explicou ao G1 que essa forma específica, introduzida pelo monge, sempre leva a um resultado binário. Isso quer dizer que incluir qualquer número no lugar de P leva o cálculo ou ao resultado 1, ou ao 0. Assim, é possível rodar softwares em computadores para que eles possam realizar um grande número de cálculos com números diferentes sem a supervisão humana. Esse é o trunfo do projeto Gimps, diz ele, para testar uma grande quantidade de números e descobrir quais são de fato primos, ou seja, quais representam as agulhas perdidas em um infinito palheiro. 2

3 Computador de igreja fez descoberta O computador que "tirou a sorte grande" e recebeu o número para fazer o cálculo pertence à Igreja de Cristo de Germantown, no Tennessee. Além de frequentador da congregação, Pace explicou que é também voluntário na manutenção dos computadores e dos sistemas de informática do local. As máquinas da congregação eram algumas das 18 que o engenheiro mantinha conectadas ao projeto Gimps. Por causa disso, ele diz que escolheu doar o prêmio em dinheiro à própria congregação, mas garante que vai seguir participando do projeto. "Não acredito que eu mereça um prêmio por, entre aspas, 'descobrir' isso. Eu não fiz nada mais do que outros voluntários nesse projeto. Então prefiro que ele seja doado para uma boa causa", explicou Pace por telefone. "Nossa tecnologia ainda é muito limitada, então esses números são cada vez mais difíceis de encontrar. Mas conforme os computadores forem ficando mais e mais rápidos, mais números primos serão descobertos." Fonte: cálculos: 3

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5 7-8 Conhecendo a área de um quadrado, você pode encontrar a medida do lado desse quadrado extraindo a raiz quadrada do número que expressa a área. Calcule, então, a medida do lado de um quadrado cuja área é 1296 unidades de área. 5

6 9- Determine a raiz quadrada exata: a) b) c) Decompondo em fatores primos e usando as propriedades da potenciação, dê o resultado das expressões: a) 32 5 : 8 7. b) : Investigação 1 a) O número 729 pode ser escrito como uma potência de base 3. Para verificar, basta escrever uma tabela com as sucessivas potências de 3: 3 0 = 3 1 = 3 2 = 3 3 = 3 4 = = = 3 7 = 3 8 = 3 9 = Para resolver os itens b e c você pode usar a máquina calculadora, se quiser. b) Complete e observe as seguintes potências de base = = 5 3 = 5 4 = 625 O último algarismo de cada uma destas potências é sempre 5. Será que isso também se verifica para as potências de 5 seguintes? Verifique no caso dos expoentes 5, 6, 7, 8, 9 e = 5 7 = 5 9 = 5 6 = 5 8 = = O que você observou? 6

7 c) Investigue o que ocorre com as potências de 6, utilizando o mesmo raciocínio do item b. 6 1 = 6 3 = 6 5 = 6 7 = 6 2 = 6 4 = = 6 8 = O que você observou? d) Investigue também as potências de 9 e as de 7 e anote as regularidades observadas. Obs. Obs. Investigação 2 e) Repare que os cubos dos primeiros números naturais obedecem às seguintes relações: Note que, no exemplo acima, 1 3 foi escrito como uma soma com um único número ímpar, 2 3 como a soma de dois números ímpares e 3 3 como a soma de três números ímpares. Você observou que o cubo de qualquer número pode ser escrito como 1 3 = = = continue = 5 3 = 6 3 = 7 3 = 8 3 = Investigação 3 a) Raciocínio Lógico = = = = Sendo assim, = b) Veja essa: Os produtos que abaixo indicados contêm um fator constante igual a 9: 9 X 9 = 81 9 x 98 = X 987 = X 9876 = Descubra o próximo produto c) Divida 20 por ½ e adicione 10. Qual é o resultado? Apresente os cálculos. 7