Análise Numérica. Trabalho Prático 1 Decomposição LU e Integração Numérica

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1 Universidade Federal de Minas Gerais Departamento de Ciência da Computação Análise Numérica Trabalho Prático 1 Decomposição LU e Integração Numérica Professor: Frederico Ferreira Campos Filho Alunos: Bruno Xavier da Silva (brunoxs@dcc.ufmg.br) Diego de Moura Duarte (diegomd@dcc.ufmg.br)

2 Decomposição LU: Belo Horizonte 22 de Abril de 2008 O objetivo da primeira parte do trabalho era a implementação, na forma de subprogramas, dos algoritmos de decomposição LU do livro Algoritmos Numéricos 2ªedição. O programa lê um arquivo de nome matriz.dat onde a primeira linha é a ordem N da matriz, as linhas subsequentes devem conter as linhas da matriz de ordem N em seguida as linhas devem conter as linhas do vetor indepente que também possui comprimento N. A matriz a ser decomposta deve ter no máximo ordem 100 se for necessário uma decomposição de uma matriz de ordem superior é necessário apenas modificar o formato de leitura do arquivo matriz.dat o que é bastante simples. Conforme pedido na especificação o programa após ler os parâmetros de entrada realiza a decomposição PA=LU, resolve o sistema Ly=Pb, resolve o sistema Ux=y, calcula o determinante da matriz A, acha a norma-2 do vetor resíduo que é dada por r= b-ax 2 e grava os resultados no arquivo matriz.saida. Utilizando o programa para resolver o sistema que foi passado na especificação, as configurações do arquivo de entrada e a saída gerada para tal sistema são mostradas logo abaixo. Temos primeiro a ordem da matriz, depois a matriz e abaixo deste, o vetor indepente. O NC(número de chamada do primeiro aluno da dupla) é igual a quatro. Matriz.dat

3 Matriz.saida Decomposicao LU Matriz= Vetor Indepente= Matriz apos decomposicao LU Solucao= Determinante= Residuo=

4 Norma Segunda= Na impressão dos valores foram utilizados quatro casas decimais exceto para o vetor resíduo e para a norma segunda com o objetivo de mostra que apesar de eles serem muito pequenos ele não são iguais a zero o que seria a conclusão obtida devido ao erro de arredondamento do computador. Código em Fortran da Decomposição LU program main integer i, j, N real*8 Det real*8, dimension(:,:), allocatable :: Matriz real*8, dimension(:), allocatable :: Pivot real*8, dimension(:), allocatable :: Solucao real*8, dimension(:), allocatable :: Vetor_Ind real*8, dimension(:), allocatable :: y real*8, dimension(:), allocatable :: Residuo real*8, dimension(:,:), allocatable :: A real*8 Norma open(25, file='matriz.dat', status='old') open(10, file='matriz.saida', status='old') write(10, *) "\t\tdecomposicao LU\n" read(25, *) N allocate(matriz(n, N))

5 allocate(pivot(n)) allocate(solucao(n)) allocate(vetor_ind(n)) allocate(y(n)) allocate(residuo(n)) allocate(a(n,n)) read(25, *) (Matriz(i,j), j=1, n) read(25, 6) Vetor_Ind(i) close(25, status='keep') do j=1, n A(i,j) = Matriz(i,j) write(10,*) "\nmatriz=" write (10, 6) (Matriz(i,j), j=1, n) write(10,*) "\nvetor Indepente=" write (10, 6) Vetor_Ind(i) call Decomposicao_LU(N, Matriz, Det, Pivot) call Subs_Suce_Pivotal(N, Matriz, Vetor_Ind, Pivot, y) call Subs_Retroativas(N, Matriz, y, Solucao) call CalResiduo(N, A, Solucao, Vetor_Ind, Residuo) call Norma2(N, Residuo, Norma) write(10,*) "\nmatriz apos decomposicao LU" write (10, 6) (Matriz(i,j), j=1, n) write(10,*) "\nsolucao=" write (10, 5) Solucao(i)

6 write(10,*) "\ndeterminante=" write(10, 5) Det write(10,*) "\nresiduo=" write (10, 7) Residuo(i) write(10,*) "\nnorma Segunda=" write(10, 7) Norma close(10, status='keep') 5 format(f10.4) 6 format(100f10.4) 7 format(f30.24) C Decomposição LU C subroutine Decomposicao_LU(N, A, Det, Pivot) real*8 Det, Amax, Mult, t, m, r real*8 A(N, N) real*8 Pivot(N) integer N, i, j, k, p Pivot(i)=i Det=1 do j=1, n-1 p=j Amax=abs(A(j,j)) do k=j+1, n if (abs(a(k,j))>amax) then Amax=abs(A(k,j)) p=k if

7 if (p/=j) then do k=1, n t=a(j,k) A(j,k)=A(p,k) A(p,k)=t m=pivot(j) Pivot(j)=Pivot(p) Pivot(p)=m Det=-Det if Det=Det*A(j,j) if(abs(a(j,j))/=0) then r=1/a(j,j) do i=j+1, n Mult= A(i,j)*r A(i,j)=Mult do k=j+1, n A(i,k)=A(i,k) - (Mult*A(j,k)) if Det=Det*A(n,n) C Substituições Sucessivas Pivotal C subroutine Subs_Suce_Pivotal(ordem, Matriz, Vetor_Ind, Pivot, y) integer ordem real*8 Matriz(ordem,ordem) real*8 Vetor_Ind(ordem) real*8 Pivot(ordem) real*8 y(ordem) real*8 Soma integer k, i, j k= Pivot(1) y(1)=vetor_ind(k) do i=2, ordem Soma=0

8 do j=1, i-1 Soma= Soma + Matriz(i,j) * y(j) k=pivot(i) y(i)= Vetor_Ind(k) - Soma C Substituições Retroativas C subroutine Subs_Retroativas(N, U, d, x) integer N, i, j real*8 U(N,N) real*8 d(n) real*8 x(n) real*8 Soma x(n)=d(n)/u(n,n) i = N-1 do while(i>=1) Soma=0 j=i+1 do while(j<=n) Soma = Soma+U(i,j)*x(j) j = j+1 x(i) = (d(i) - Soma)/U(i,i) i = i-1 C Calcula Resíduo C subroutine CalResiduo(N, Matriz, x, Vetor_Ind, Residuo) integer N real*8 Matriz(N,N) real*8 x(n) real*8 Vetor_Ind(N) real*8 Residuo(N)

9 real*8 Produto(N) call Mult(N, Matriz, x, Produto) call Sub(N, Vetor_Ind, Produto, Residuo) C Multiplica Matriz por Vetor C subroutine Mult(N, Matriz, vetor, Produto) integer N, i, j real*8 temp real*8 Matriz(N,N) real*8 vetor(n) real*8 Produto(N) do i=1, N temp = 0. do j=1, N temp = temp + Matriz(i,j)*vetor(j) Produto(i) = temp C Subtrai Vetores C subroutine Sub(N, Vetor1, Vetor2, Subtracao) integer N, i real*8 Vetor1(N) real*8 Vetor2(N) real*8 Subtracao(N) do i=1, N Subtracao(i) = Vetor1(i) - Vetor2(i)

10 C Calcula Norma C subroutine Norma2(N, Vetor, Norma) integer N, i real*8 Vetor(N) real*8 temp real*8 Norma real*8 Somatorio Somatorio = 0. do i=1, N Somatorio = Somatorio + (Vetor(i)*Vetor(i)) Norma = dsqrt(somatorio) Integração Numérica: O objetivo da segunda parte do trabalho era a implementação, na forma de subprogramas, dos algoritmos de integração numérica do livro Algoritmos Numéricos 2ªedição. O programa lê um arquivo de nome integral.dat onde a primeira linha é o limite inferior de integração, a segunda é o limite superior de integração, a terceira é a tolerância e a quarta é o número máximo de iterações. A integral a ser calculada deve a ter a sua função de integração escrita no código do programa enquanto os outros parâmetros devem ser modificados no arquivo integral.dat o que é bastante simples. Conforme pedido na especificação, o programa após ler os parâmetros de entrada ele chama a subrotina para integração iterativa, imprime os resultados intermediários, o valor da integral, a menor diferença relativa obtida e a condição de erro e grava os resultados no arquivo integral.saida. Utilizando o programa para resolver a integral que foi passada na especificação, as configurações do arquivo de entrada e a saída gerada para tal integral são mostradas logo abaixo. O NC(número de chamada do primeiro aluno da dupla) é igual a quatro. Integral.dat e-8 20.

11 Integral.saida Integracao Limite Inferior = Limite Superior = Tolerancia = Iteracoes = Iter n Integral Dif.Relativa E E E E-009 Delta = E-009 Integral = CondErro = 0 Código em Fortran da Integração Numérica program main integer n integer CondErro

12 real*8 a, b, Integral, Toler, IterMax, Delta open(100, file='integral.dat', status='old') read(100, *) a read(100, *) b read(100, *) Toler read(100, *) IterMax close(100, status='keep') open(200, file='integral.saida', status='old') write(200,*) "\t\tintegracao\n" write(200,'(a, f10.4)')"limite Inferior =\n",a write(200,'(a, f10.4)')"\nlimite Superior =\n",b write(200,'(a, f33.24)')"\ntolerancia =\n",toler write(200,'(a, f10.4)')"\niteracoes =\n",itermax call GL_Iter(a,b,Toler,IterMax,Integral,Delta,CondErro) close(200, status='keep') 5 format(f10.4) C Gauss-Legre-Iterativo C subroutine GL_Iter(a,b,Toler,IterMax,Integral,Delta,CondErro) integer CondErro real*8 a, b, Toler, IterMax real*8 Integral,Delta,Int2 integer Iter, n1, n2 Iter = 1 n1 = 5 n2 = 8 call Gauss_Legre(a,b,n2,Int2,CondErro)

13 c write(200, *) "\n\titer\t n\tintegral\t\tdif.relativa" write(200, *) Iter, n2, Int2 Repita 10 Iter = Iter+1 n = n1 + n2 call Gauss_Legre(a,b,n,Integral,CondErro) if(integral /= 0) then Delta = abs((integral-int2)/integral) else Delta = abs(integral-int2) if write(200, *) Iter, n, Integral, Delta if(delta <= Toler.or. Iter == IterMax) then goto 20 if Int2 = Integral n1 = n2 n2 = n goto write(200,*) "\ndelta =" write(200, *) Delta write(200,*) "\nintegral =" write(200, *) Integral write(200,*) "\nconderro =" write(200, *) CondErro if(delta<=toler)then CondErro = 0 else CondErro = 1 if

14 C PesAbsGL C subroutine PesAbsGL(n, A, T, CondErro) integer n, m, i, j integer CondErro real*8 A(n) real*8 T(n) real*8 pi real*8 z, z1 real*8 p1, p2, p3, p4, pp if( n < 1 ) then CondErro = 1 return if CondErro = 0 pi = m = aint(0.5 * (n+1)) do i=1, m z=cos(pi*(i-0.25)/(n+0.5)) c REPITA 30 p1 = 1 p2 = 0 do j=1, n p3 = p2 p2 = p1 p1 = ((2*j-1)*z*p2-(j-1)*p3)/j pp = n*(z*p1 - p2)/(z*z - 1) z1 = z z = z1-p1/pp if(abs(z-z1) >= 1e-15)then goto 30 if T(m i) = z A(m i) = 2/((1-z*z)*pp*pp)

15 C Gauss-Legre C subroutine Gauss_Legre(a, b, n, Integral, CondErro) integer CondErro, n, i, k real*8 a, b, c, Integral, e1, e2, c1, c2, t, x real*8, dimension(:), allocatable :: Avet real*8, dimension(:), allocatable :: Tvet real*8 temp allocate(avet(n)) allocate(tvet(n)) Integral=0. call PesAbsGL(n, Avet, Tvet, CondErro) if (CondErro/=0) then return if e1=(b-a)/2 e2=(a+b)/2 if (mod(n,2)==0) then c1=1 c2=0.5 else c1=0 c2=1 if k=dint(i-0.5 * (n+1)+ Sinal(i-0.5 * (n+c1)) * c2) temp = k t=sinal(temp)*tvet(abs(k)) x= e1*t + e2 y=f(x) c=avet(abs(k)) Integral= Integral + y*c

16 Integral=e1*Integral C Sinal C function Sinal(Valor) real*8 Valor if(valor>0.) then Sinal=1 if if(valor<0.) then Sinal=-1 if if(valor == 0) then Sinal=0 if C F(x) (Função a ser integrada) c function F(x) real*8 x, temp, NC NC=4. temp=sin(5*x)*sin(5*x) temp= NC + temp F=dsqrt(temp)