Análise de Arquitecturas Vectoriais em Receptores de GPS. Engenharia Electrotécnica e de Computadores

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1 Análise de Arquitecturas Vectoriais em Receptores de GPS Francisco Jorge Ramilo Jacinto Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Orientador: Prof. Fernando Duarte Nunes Júri Presidente: Prof. Nuno Cavaco Gomes Horta Orientador: Prof. Fernando Duarte Nunes Vogal: Prof. José Eduardo Charters Ribeiro da Cunha Sanguino Maio de 2016

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3 AGRADECIMENTOS Ao Professor Fernando Nunes por me ter dado a oportunidade de realizar a minha dissertação nesta área, tenho de agradecer também toda a disponibilidade e ajuda ao longo de todo este tempo. Aos meus pais e irmão pela compreensão e incentivo ao longo de todo o meu percurso académico. i

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5 RESUMO Com o número de dispositivos que necessitam de posicionamento GPS de forma constante a aumentar significativamente, cria-se a necessidade de tornar o sistema mais fiável e robusto. Uma das formas possíveis para melhorar a robustez é através do uso de receptores vectoriais. Esta dissertação tem como objectivo estudar e desenvolver um receptor vectorial. Este deve suportar a ocultação de um dos satélites por um dado período de tempo para observações com quatro satélites. Após terminar a ocultação deve recuperar a posição do utilizador o mais rapidamente possível, sem passar pela fase de aquisição. Na primeira parte da dissertação, apresenta-se o método usado pelo receptor escalar para fazer a aquisição e consequentemente o seguimento dos sinais de GPS. Em seguida, desenvolve-se o modelo do receptor vectorial. Para ambos os receptores foram desenvolvidos programas em linguagem Matlab. Estes programas são usados na parte final da dissertação e é com base nos resultados destes dois programas que são obtidas as conclusões finais. Os testes são realizados tendo em mente situações de uso normal de um receptor GPS, onde se consegue obter cobertura significativa da constelação de satélites e algumas condições mais adversas em que não é possível observar o número mínimo de satélites necessários para o normal funcionamento de um receptor convencional. Palavras-chave: GPS, Receptor Vectorial, Constelação, Filtro de Kalman, VDFLL iii

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7 ABSTRACT The increasing number of devices that require constant GPS positioning, brings up the necessity of making positioning more reliable and robust. One of the various ways of doing this is through the use of vector receivers. The goal of this dissertation is to study and develop a vector receiver. It must be capable of coping with the shadowing of one of the visible satellites for observations with four satellites. When the shadowing ends, the receiver must be capable of tracking the user position in the shortest amount of time, without returning to the acquisition process. In the beginning of this dissertation, the method used by the scalar receiver to do the signal acquisition and tracking of the GPS user is shown. The model for the vector receiver is then developed. Both receivers were developed in Matlab. These programs are used in the last part of the dissertation, and the final conclusions are based on the results from those programs. Tests are conducted having in mind the normal usage of a GPS receiver where is possible to have an unobstructed view of a significant part the satellites, and other tests are made in more adverse conditions, where there is no line of sight for the minimum of four satellites that are mandatory for the normal operation of a conventional GPS receiver. Keywords: GPS, Vector Receiver, Constellation, Kalman Filter, VDFLL v

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9 ÍNDICE Capítulo 1 Introdução História Motivação Estrutura da Dissertação Objectivos da Dissertação... 3 Capítulo 2 Conceitos Básicos de GPS Geração de sinais de GPS Diluição geométrica da precisão Transformação de coordenadas Escolha dos satélites visíveis Simulação de constelação... 9 Capítulo 3 Receptor de GPS Arquitectura do receptor DLL Correladores Modelo linear de um DLL Malha de seguimento de código Rate-Aided Análise do ruído PLL Malha de segunda ordem Análise do ruído Largura de banda Simulação do receptor Modelo do relógio do receptor Simulação em Matlab do erro do relógio Geração das pseudo-distâncias Filtro de Kalman Capítulo 4 Receptor Vectorial de GPS Arquitectura do receptor vectorial vii

10 4.1.1 VDFLL Correladores Discriminador de código normalizado Discriminador de frequência normalizado Simulação do receptor vectorial Modelo da dinâmica Modelo das observações Filtro de Kalman generalizado Capítulo 5 Resultados e discussão Trajectória circular Receptor escalar Receptor vectorial Análise de erros Receptor escalar Receptor vectorial Número de satélites Ângulo de máscara C/No em função do erro Ocultação de um dos satélites Capítulo 6 Conclusões Referências viii

11 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Contribuição das várias fontes de erro para a variância das pseudo-distâncias (link budget)... 7 Tabela 2 - Valores típicos de h 0 e h -2 para vários tipos de relógios usados em receptores GPS Tabela 3 - Dados de simulação Tabela 4 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real Tabela 5 - Variância do erro em metros quadrados, para cada coordenada Tabela 6 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real Tabela 7 - Variância do erro em metros quadrados, para cada uma das coordenadas LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Diagrama de blocos de um receptor de GPS genérico [10] Figura 2 - Diagrama de blocos de um receptor digital [10] Figura 3 - Delay locked loop com correladores early e late e discriminadores do tipo NELP (Noncoherent early-late power) [1] Figura 4 Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem [1] Figura 5 - Resposta ao escalão de um DLL de primeira ordem [1] Figura 6 - Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem com "rate aiding" [1] Figura 7 - Desempenho do DLL na presença de ruído branco gaussiano [1] Figura 8 - PLL genérico Figura 9 - Malha de Costas [1] Figura 10 - Resposta de segunda ordem a um escalão, largura de banda de ruído de 5 e 15 HZ e coeficiente de amortecimento de 0.2 e [1] Figura 11 - Desempenho de um PLL de Costas na presença de ruído branco gaussiano [1] Figura 12 - Desvio padrão do erro de fase como função da largura de banda do PLL quando é usado um TCXO [1] Figura 13 - Modelo de estado do relógio [13] Figura 14 - Fluxograma da geração das pseudo-distâncias Figura 15 - Fluxograma do filtro de Kalman generalizado [14] Figura 16 - Arquitectura do receptor tradicional [5] Figura 17 - Arquitectura de um receptor vectorial genérico [5] Figura 18 - Diagrama de blocos simplificado da arquitectura vectorial [17] Figura 19 VDFLL [17] Figura 20 - Desvios-padrão dos erros de sincronismo no DLL NELP usando sinais GPS C/A Figura 21 - Erro de cada coordenada em relação à posição real para o receptor escalar Figura 22 Erro de cada coordenada em relação à posição real para o receptor vectorial ix

12 Figura 23 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor escalar Figura 24 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor vectorial Figura 25 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor escalar Figura 26 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor vectorial Figura 27- Erro para cada coordenada em função do C/N o, usando o receptor escalar Figura 28 -Erro para cada coordenada em função do C/N o, usando o receptor vectorial Figura 29 - Erros de posição para o receptor vectorial, sem ocultação. Parâmetros da matriz R ii modificados Figura 30 - Erros de posição para a ocultação de um satélite, um segundo de duração Figura 31 - Erros de posição para a ocultação de um satélite, cinco segundos de duração Figura 32 - Erro de posição para a ocultação de um satélite durante dez segundos Figura 33 - Erro de posição para a ocultação de um satélite durante catorze segundos x

13 LISTA DE ABREVIATURAS AGC C/A BPSK CTL DLL ECEF EKF ENU EUA FLL GDOP GPS NCO NELP PLL PV RAAN RMS TCXO UERE VCO VDFLL Automatic Gain Control Coarse/Acquisition Binary Phase Shift Keying Carrier Tracking Loop Delay Locked Loop Earth-Centered, Earth-Fixed Extended Kalman Filter East-North-Up Estados Unidos da América Frequency Locked Loop Geometric Dilution of Precision Global Positioning System Numerically Controlled Oscillator Non-coherent early-late Power Phase Locked Loop Posição, Velocidade Right Ascension of the ascending node Root Mean Square Temperature compensated crystal oscillator User equivalent range error Voltage Controlled Oscillator Vector Delay/Frequency Locked Loop LISTA DE SÍMBOLOS ρ i δt c ε i Γ G Pseudo-distância entre o satélite i e o receptor Erro do relógio do receptor Velocidade da luz Erro gaussiano Vector de erros das pseudo-distâncias Matriz de geometria do sistema 2 σ UERE User Equivalent Range Error I Q RMS ε RMS Matriz identidade Matriz de covariância dos erros de posição Root mean squared Valor eficaz do erro xi

14 H φ u θ u α az ϵ R θ Ω α ω ν e 0 E M t st Ω t oe Ω e μ A C D(t) τ Δf Δθ T CO T C T EL S E S L N E N L l τ ε τ Matriz de GDOP Latitude do utilizador Longitude do utilizador Ângulo de azimute Ângulo de elevação Raio da trajectória Argumento da latitude do satélite Longitude do nó ascendente Inclinação da órbita Argumento do perigeu Anomalia verdadeira Excentricidade da órbita Anomalia excêntrica Anomalia média Instante de transmissão do sinal Taxa de variação do nó ascendente Tempo de referência da efeméride Taxa de rotação da Terra Constante gravitacional Comprimento do semi-eixo maior da órbita Potência do sinal recebido Sinal de navegação Atraso do sinal recebido Frequência de Doppler Erro de fase da malha de seguimento da portadora Intervalo de integração dos correladores Duração de chip Espaçamento early-late Saídas (early) dos correladores complexos Saídas (late) dos correladores complexos Componentes (early) do ruído (gaussianas) Componentes (late) do ruído (gaussianas) Saída normalizada do discriminador de código Ruído normalizado do discriminador xii

15 Capítulo 1 INTRODUÇÃO 1.1 História Na década de cinquenta, o objectivo do departamento de defesa dos Estados Unidos da América (EUA) era desenvolver um sistema que permitisse estimar a posição, velocidade e tempo de um receptor. Entre os requisitos assumia-se que o erro da posição não podia ser superior a 10m, o erro da velocidade não podia ser superior a 0,1 m/s e o erro do tempo devia ser inferior a 100 ns. O sistema deveria também poder ser usado por um número ilimitado de utilizadores, em todo o globo e sem interrupções e teria ainda de ser desenhado de tal forma que os inimigos dos EUA não tivessem acesso ao sistema [1]. Inicialmente, o departamento de defesa dos EUA decidiu disponibilizar o GPS para uso civil mas com precisão reduzida: inicialmente a precisão máxima para uso civil era de 500 metros; após consideração, o erro foi reduzido para 100 metros. O acesso à total capacidade do sistema era restrito e teria de ser encriptado para que apenas utilizadores autorizados tivessem acesso às potencialidades do sistema. Este acesso controlado foi mantido até ao final da década de noventa. O uso do GPS foi anunciado como sendo livre e gratuito para uso civil mas com restrições de precisão. Em 1983, um avião civil Coreano saiu da sua rota, devido a problemas de navegação, e entrou em espaço aéreo soviético sendo posteriormente abatido. Este acidente evidenciou os benefícios do uso do sistema GPS para a aviação civil. Nesta altura o sistema estava ainda a 10 anos de se tornar operacional. Apesar do entusiamo desta ferramenta para o uso civil, a Europa não queria estar dependente de um sistema controlado pelo exército de um governo estrangeiro. Assim, a União Europeia decide em 1999 iniciar o desenvolvimento do seu próprio sistema de navegação, Galileo. Devido a esta decisão por parte da União Europeia e a um estudo elaborado nos EUA, que sugeria o fim da degradação do sinal GPS para uso civil, este estudo concluía também que sem restrições o sistema GPS teria uma maior aceitação a nível internacional. A restrição que originava a diminuição da precisão foi desactivada a 2 de Maio de

16 1.2 Motivação Apesar de ter sido desenvolvido para o uso do exército Norte-americano, o GPS é hoje usado em muitas outras aplicações, militares e civis, muito para além do qual foi imaginado inicialmente. Actualmente é usado em aplicações tão diversas como aviação civil, controlo de tráfego, agricultura de precisão ou até em operações bancárias. O uso de aplicações onde uma falha do sistema GPS pode ter consequências graves, impõe naturalmente a necessidade de aumentar a capacidade do sistema para resistir a várias falhas possíveis de ocorrer. Algumas destas falhas podem ser devidas a perturbações atmosféricas ou obstruções físicas como por exemplo edifícios altos ou árvores. Existe também outro tipo de perturbações, como perturbações intencionais (jamming) causadas por aparelhos electrónicos desenhados para o efeito. Uma aplicação onde o sistema GPS não pode falhar é, por exemplo, durante a aterragem de um avião; a diferença de alguns metros pode fazer a diferença entre uma aterragem perfeita e uma catástrofe. Para superar estas vulnerabilidades, têm sido desenvolvidos ao longo dos anos novos tipos de receptores e novas arquitecturas, com a intenção de tornar o sistema mais fiável e robusto. Existem várias fontes que podem causar interferência no sistema GPS e dividem-se nos seguintes grupos: Atenuação devido a obstrução física: Aqui incluem-se obstruções devido ao ambiente em que o utilizador se encontra, e onde muitas vezes não existe linha de vista entre os satélites GPS e o receptor. Um exemplo são passagens por baixo de pontes, tuneis, folhagem densa e estradas estreitas rodeadas por prédios muito altos (canyons urbanos). Nestes ambientes a relação sinal-ruído pode ser reduzida para valores inferiores a 5 db-hz, enquanto que onde existe boa visibilidade da constelação GPS, a relação sinal-ruído varia entre 35 e 55 db-hz [2]. Interferências rádio: A potência dos sinais que chegam à terra vindos dos satélites é muito fraca, na ordem dos Watt, pelo que se revela fácil que exista interferências. Estas interferências podem ser intencionais, geradas por aparelhos que geram ruido, ou podem ser interferências causadas por estações emissoras, como é o caso das antenas emissoras de televisão ou de rádio. Perturbações atmosféricas: No caminho entre o satélite e o receptor, o sinal GPS atravessa varias camadas da atmosfera terrestre, uma dessas camadas é a ionosfera, que age como um meio dispersivo para este tipo de sinais. A existência de tempestades ionosféricas pode mesmo levar a que o sistema GPS fique indisponível. Uma arquitectura que tem atraído muitas atenções é a arquitectura vectorial, pois permite resolver alguns destes problemas [3] [4] [5] [6] [7] [8]. Com a arquitectura vectorial é possível obter estimativas da posição em locais em que o sinal de GPS está muito atenuado. Ao contrário 2

17 da arquitectura escalar, a possibilidade desta arquitectura operar com sinais fracos e onde o receptor se pode mover a grande velocidade, torna-a numa arquitectura desejável. 1.3 Estrutura da Dissertação Esta dissertação encontra-se dividida em seis capítulos. O primeiro capítulo introdutório apresenta-se um pouco da história do sistema GPS e as motivações que levaram à elaboração deste trabalho. No segundo capítulo, são descritos alguns conceitos necessários para a elaboração deste trabalho, desde a diluição geométrica de precisão até à simulação da constelação GPS. Em seguida no terceiro capítulo é apresentada a arquitectura de um receptor escalar; neste capítulo são também mostrados os conceitos matemáticos que deram origem à simulação do receptor escalar em Matlab. O quarto capítulo é onde se apresenta a arquitectura e os conceitos matemáticos do receptor vectorial. No quinto capítulo são efectuadas algumas comparações entres os dois receptores; é deste capítulo que são elaboradas as conclusões que são apresentadas no capítulo seis. 1.4 Objectivos da Dissertação Esta dissertação tem como objectivo a criação de um receptor vectorial em Matlab que simule o comportamento de um receptor vectorial real de forma a testar as suas capacidades em casos em que um receptor convencional tem dificuldades em estimar a sua posição. O receptor vectorial deve suportar a ocultação de pelo menos um satélite durante um determinado período de tempo. Após esse tempo o receptor deve conseguir recuperar a sua posição no menor período de tempo e sem passar pela fase de aquisição. Este receptor deve ainda assim ter um bom comportamento em operação normal para se revelar uma boa alternativa ao receptor GPS comum. 3

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19 Capítulo 2 CONCEITOS BÁSICOS DE GPS 2.1 Geração de sinais de GPS Cada satélite de GPS leva a bordo um relógio atómico com uma frequência fundamental f 0 =10.23 MHz. São transmitidos dois sinais: L1, com uma frequência central de MHz e o L2 com uma frequência central de MHz. Cada uma destas frequências é um múltiplo inteiro de f 0 do relógio: 154 para L1 e 120 para L2. O objectivo da transmissão ser feita em duas frequências é para ser possível ao receptor efectuar uma correcção devido à refracção que os sinais sofrem ao passar pela ionosfera. O sinal L1 consiste em duas componentes da portadora: Uma transporta um código de precisão encriptado (P) e a outra transmite, em quadratura, o código C/A. O sinal L2 consiste apenas na transmissão do código (P).Ambos os códigos são modulados por dados de navegação transmitidos a 50 bps. O código PRN (pseudorandom noise) é modulado na portadora usando uma modulação BPSK (binary phase shift keying). Esta modulação roda a fase da portadora 0º ou 180º. O código PRN é composto por uma sequência de 1 s e 0 s, tal como os dados de navegação transmitidos. Os dados de navegação são somados, modulo-2, à sequência de código. A sequência resultante de 1 s e 0 s é convertida para mudanças da fase da portadora, 180º e 0º respectivamente. Como uma rotação de 180º corresponde simplesmente a mudar o sinal da portadora, uma representação equivalente é modular a amplitude como ±1. O resultado é o seguinte: s L1 (t) = AP(t)D(t) cos(2πf 1 t + φ 01 ) + 2AC(t)D(t)sin (2πf 1 t + φ 01 ) (2.1) s L2 (t) = A 2 P(t)D(t)cos (2πf 2 t + φ 02 ) (2.2) onde A é a amplitude do sinal L1 P, P(t) e C(t) é ±1 do código P e C/A, D(t) é ±1 dos dados de navegação, f 1 e f 2 são das frequências da portadora L1 e L2, e φ 01 e φ 02 são as fases das portadoras L1 e L2. O código PRN é gerado com o produto (módulo-2) de dois outros códigos gerados à mesma taxa de chip, C i (t) = G1(t)G2(t + n i T c ) (2.3) P i (t) = X1(t)X2[t + (i 1)T P ] (2.4) para cada satélite i, T c é o inverso da taxa de chip de MHz do código C/A, T p é o inverso da taxa de chip de MHz do código P, n i é o inteiro associado ao satélite i para o código C/A. No 5

20 caso do código P, n i toma o valores entre 1 e 37 para os 32 satélites e 5 são reservados para as estações terrestres. No caso do código C/A, n i toma valores entre 1 e O código PRN possibilita uma divisão de código desejada, múltiplo acesso (CDMA), os códigos de vários satélites não são correlacionados entre si. Assim é possível que todos os sinais de todos os satélites sejam recebidos na mesma frequência [9]. Esta descrição corresponde aos satélites lançados na década de 80 e 90. A partir do início do século XXI iniciou-se a fase de modernização com a introdução de novos sinais civis e militares, para além da utilização da banda L Diluição geométrica da precisão No receptor convencional de GPS a determinação da posição e velocidade baseiam-se na medição das pseudo-distâncias ρ i = (X i x) 2 + (Y i y) 2 + (Z i z) 2 + cδt + ε i, i = 1,, N (2.5) em que (X i, Y i, Z i ) são as coordenadas ECEF do satélite i, (x,y,z) são as coordenadas do receptor, e v = cδt é o erro do relógio do receptor relativamente ao referencial temporal do GPS medido em 2 metros (c é a velocidade da luz) e ε i é um erro gaussiano tipicamente de média nula e variância σ UERE que contabiliza as contribuições da ionosfera/troposfera, ruído térmico, etc. Do ponto de vista incremental tem-se ρ i = dρ i dx x + dρ i dy y + dρ i dz z + dρ i dv v (2.6) ou matricialmente ρ 1 [ ρ N ] Γ dρ 1 dρ 1 dρ 1 x 1 dx dy dz y = dρ N dρ N dρ N z 1 [ dx dy dz ] [ v] G X (2.7) em que N é o número de satélites visíveis. 2 Os valores típicos da contribuição das várias fontes de erro para o parâmetro σ UERE são apresentados na Tabela 1 [10]. 6

21 Tabela 1 - Contribuição das várias fontes de erro para a variância das pseudo-distâncias (link budget) Segmento Fonte de erro Erro 1σ(m) espaço estabilidade do relógio do satélite 1.1 atraso de grupo de L1 0.3 controlo erros das efemérides 0.8 utilizador atraso ionosférico 7.0 atraso troposférico 0.2 ruído do receptor e resolução 0.6 multipercurso 0.2 UERE total 7.2 A solução deste sistema para N 4 é: ΔX = (G T G) 1 G T ΔΓ (2.8) Considera-se agora que ΔΓ é um vector de erros das pseudo-distâncias caracterizado por E{ΔΓ} = 0 (2.9) E{ΔΓΔΓ T } 2 = σ UERE I NxN (2.10) 2 Isto é, assume-se que os erros ε i são independentes, de média nula e variâncias iguais a σ UERE. A matriz de covariâncias dos erros de posição é dada por Q = E { X X T } = (G T G) 1 G T E{ ΓΔΓ 1 }G((G T G) 1 ) T 2 = σ UERE ((G T G) 1 ) T 2 = σ UERE (G T G) 1 em que a matriz H = (G T G) 1 se designa por matriz de GDOP. 2 = σ UERE H (2.11) O erro RMS de posicionamento vem dado por 4 ε RMS = σ{q 2 ii } = σ UERE Traço{H} (2.12) i=1 em que q ii é o elemento ii da matriz de covariância Q. A quantidade indicada pela raiz quadrada é conhecida por diluição de precisão geométrica GDOP = Traço{H} (2.13) 7

22 ou seja ε RMS = σ UERE GDOP (2.14) O GDOP é uma quantidade que depende apenas das posições relativas (geométricas) dos transmissores e do receptor. Para um dado valor de σ UERE a qualidade da posição do receptor é tanto melhor quanto menor for o factor GDOP, como se pode concluir de (2.14). A matriz de geometria do sistema usando coordenadas ECEF é dada por X 1 x D 1 G = X N x [ D N Y 1 y D 1 Y N y D N Z 1 z D 1 Z N z D N 1 1 ] (2.15) em que D i é a distância entre o satélite i e o receptor. De acordo com (2.13) o parâmetro GDOP obtém-se através de GDOP = h 11 + h 22 + h 33 + h 44 (2.16) em que h ii é o enésimo elemento da diagonal principal da matriz H. Para resolver a equação de navegação há que determinar os satélites que melhor minimizam o GDOP para uma dada posição do receptor. Conhecendo estes satélites, eles passam a ser os satélites de trabalho. Para o caso particular de quatro satélites demonstra-se que o parâmetro GDOP é aproximadamente minimizado quando o volume de um tetraedro obtido unindo as posições dos satélites é maximizado [11]. No caso geral, satélites mais afastados no céu obtêm melhores valores de GDOP. 2.3 Transformação de coordenadas A equação de transformação de coordenadas Earth-centered Earth-fixed ou ECEF de um satélite em coordenadas relativas a um referencial local, East-North-Up (ENU) centrado no receptor é a seguinte x sin θ u cos θ u 0 [ y ] = [ sin φ u cos θ u sin φ u sin θ u cos φ u z cos φ u cos θ u cos φ u sin θ u sin φ u ] M x x u [ y y u ] z z u (2.17) em que φ u e θ u são respectivamente a latitude e longitude do utilizador (receptor), e onde (x,y,z) e (x u,y u,z u ) são respectivamente as coordenadas ECEF do satélite e do receptor. 8

23 Obtém-se assim o ângulo de azimute (α az ) de um dado satélite através de tan α az = x y (2.18) 2.4 Escolha dos satélites visíveis Apesar de vários satélites estarem visíveis e minimizarem o GDOP nem todos devem ser usados, pois sinais de satélites que estejam perto do horizonte estão mais susceptíveis a desvanecimento de sinal e a perturbações devidas à ionosfera e troposfera. Deve então definir-se um ângulo de máscara e excluir os satélites que tenham ângulo de elevação inferior ao ângulo de máscara. Os valores típicos para o ângulo de máscara variam entre os 10º e os 15º. O ângulo de elevação (ϵ) de cada satélite pode ser calculado da seguinte forma: z sin(ε) = (x ) 2 + (y ) 2 + (z ) 2 (2.19) As coordenadas (x,y,z ), estão convertidas em coordenadas ENU e o ângulo ε só é calculado para satélites que apresentem valores de z positivos, isto significa que o satélite está acima da linha do horizonte. 2.5 Simulação de constelação Para determinar a posição rigorosa de cada satélite é necessário ter acesso às efemérides. No entanto para efeitos de simulação é suficiente utilizar-se uma versão menos rigorosa das efemérides designada por Almanaque. Uma das funções do Almanaque é ajudar o receptor na aquisição de sinal quando este é ligado, conseguindo determinar um conjunto de satélites visíveis, a partir da posição do receptor quando foi desligado. O Almanaque é constituído por um conjunto de dados que todos os satélites GPS transmitem, e que inclui informação acerca do estado de toda a constelação de satélites GPS, bem como excentricidade da órbita, tempo de aplicabilidade, inclinação orbital, entre outros parâmetros importantes para a correta determinação da posição de cada satélite. Neste caso foi usado o Almanaque com o formato YUMA [12]. Uma vez tendo o ficheiro do almanaque disponível é possível calcular da seguinte forma a posição aproximada de um satélite GPS em coordenadas ECEF, 9

24 x cos θ cos Ω sin θ sin Ω cos α [ y] = R [ cos θ sin Ω + sin θ cos Ω cos α] (2.20) z sin θ sin α onde R é o raio da órbita de cada satélite, θ é o argumento de latitude, Ω é a longitude do nó ascendente e α é o ângulo de inclinação da órbita. O argumento de latitude é dado por θ = ν + ω (2.21) ω é o argumento do perigeu, obtido directamente do Almanaque e ν é a anomalia verdadeira dada por sin ν = 1 e 0 2 sin E 1 e 0 cos E (2.22) cos ν = cos E e 0 1 e 0 cos E (2.23) em que e 0 é a excentricidade da órbita e E é a anomalia excêntrica que se obtém através da solução iterativa da equação de Kepler M = E e 0 sin E (2.24) Aproxima-se inicialmente E pelo valor de M, em seguida obtém-se uma solução numérica dada por, E i = M + e 0 sin E i 1, i = 1,2,...,n (2.25) em que M é a anomalia média. Em seguida calcula-se o valor de Ω através da equação Ω = Ω 0 + Ω Δt Ω et st (2.26) ou pela expressão aproximada Ω = Ω 0 2π t st (2.27) em que t st é o instante de transmissão do sinal, Ω é a taxa de mudança do nó ascendente em t = t oe, (tempo de aplicabilidade dos dados do almanaque) Ω e = rad/s e Ω 0 é a RAAN (Longitude do nó ascendente no início da semana GPS). 10

25 Calcula-se também o movimento médio que é um valor constante igual a n = μ A 3 (2.28) μ é a constante gravitacional da Terra e é igual a x10 14, A é o comprimento do semi-eixo maior da órbita, valor que se retira do Almanaque. A anomalia média no instante t st é dada por M = M 0 + η t (2.29) em que t = t st t oe. Deve verificar-se t < segundos. Caso contrário deve somar-se ou subrair-se o valor segundos para que tal aconteça. O valor de M 0 é dado no almanaque. Finalmente calcula-se o raio da órbita, distância entre o satélite e o centro da Terra, R = A(1 e 0 cos E) (2.30) Após se ter calculado todos estes parâmetros para cada satélite GPS é possível, através da equação (2.20), obter as coordenadas ECEF de cada um desses satélites. 11

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27 Capítulo 3 RECEPTOR DE GPS 3.1 Arquitectura do receptor Os receptores de GPS modernos são receptores digitais. A Figura 1 representa um diagrama de blocos de alto nível de um receptor de GPS moderno. À antena do receptor chegam sinais de todos os satélites visíveis. Os sinais recebidos (RF), são amplificados por um pré-amplificador de baixo ruído, preamp. Esses sinais são depois convertidos para uma frequência intermédia (IF), após serem misturados com sinais vindos dos osciladores locais (LO). O Bloco AGC permite regular a amplificação dos sinais analógicos no bloco down-converter por forma a evitar que os sinais digitalizados apresentem variações muito elevadas de amplitude. Após o processo de digitalização dos sinais IF, estes estão prontos para serem processados por cada um dos canais do receptor digital. Antena AGC RF Preamp Downconverter Analog IF Conversor A/D Digital IF 2 N 1 Receptor digital LOs Oscilador de referência Sintetizador de frequência Processador de navegação Processador do receptor Interface do utilizador Figura 1 - Diagrama de blocos de um receptor de GPS genérico [10] A Figura 2 mostra o diagrama de blocos de um canal do receptor digital, em que à entrada se aplica o sinal IF. Primeiro é retirada a portadora ao sinal, aplicando-lhe uma réplica dessa mesma portadora. Obtém-se assim uma amostra dos dados em fase (I) e quadratura (Q). O sinal pretendido contém 13

28 ainda muito ruído para ser processado, correlaciona-se então os sinais I e Q com o sinal de código em banda de base gerado localmente, para assim se conseguir extrair os dados de navegação. Integrate and dump IE Digital IF SIN map SIN COS map I COS Q E E P P L Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump Integrate and dump IP IL QE QP QL Processador do receptor Portadora NCO Relógio fc Gerador de código fc0 2 fc0 E D C P L 2-bit shift register L Código NCO Correcção do código Relógio fc Correcção da fase da portadora Figura 2 - Diagrama de blocos de um receptor digital [10] DLL No caso do GPS a malha de seguimento do sinal de código ou delay locked loop, DLL, tem de controlar o gerador local de código para que a réplica do código gerada fique sincronizada com o código do sinal recebido. Este processo é feito dando ordem para aumentar ou diminuir a velocidade do relógio que controla o gerador de código interno. O procedimento não é feito de forma abrupta: se a réplica do código gerado for precoce, o DLL faz com que o gerador de código abrande. Se a réplica do código for tardia, o DLL faz com que o gerador de código acelere. O objectivo deste processo é que eventualmente a réplica do código, gerada no receptor, fique alinhada com o código recebido, ou seja, sincronizado. Um exemplo de DLL com correladores early e late encontra-se esquematizado na Figura 3. Na Figura 3, C é a potência do sinal recebido, D(t) é o sinal com dados de navegação, τ é o atraso do sinal recebido, f D é o erro de frequência de Doppler, Δθ é o erro de fase da malha de seguimento da portadora, T é o intervalo de integração dos correladores, T EL é o espaçamento early-late dos correladores (com T EL T C, em que T C é a duração de chip), τ é o atraso do sinal recebido estimado pelo DLL, S E e S L são as saídas dos correladores complexos devidos à integração do sinal de GPS, N E e N L são as componentes do ruído (gaussianas), l τ é a saída normalizada do discriminador de 14

29 código, τ é o atraso de código da versão local relativamente ao sinal recebido, ε τ é o ruído normalizado do discriminador e k τ designado por detector de ganho. O DLL consegue obter uma estimativa do código de seguimento antes dos dados e da portadora de fase serem conhecidas. Isto é possível devido ao uso de discriminadores não lineares. Apesar de os discriminadores serem não lineares, em condições normais de funcionamento quando a réplica do código está alinhada com o código recebido, usa-se um modelo linear. X (Early) 1 T T ( ) dt 0 ~ Z E ~ S E ~ N E L T ~ Z E 2 ~ Z L 2 X (Late) 1 T T ( ) dt 0 ~ Z L ~ S L ~ N L Para o PLL ou FLL Gerador de código Filtro da malha de código Rate aiding da malha de seguimento de código Figura 3 - Delay locked loop com correladores early e late e discriminadores do tipo NELP (Noncoherent early-late power) [1] O modelo linear é usado para analisar o ruído e o desempenho do DLL. Para se conseguir um bom desempenho em relação ao ruído é necessário que o DLL atenue o efeito do ruído medido o que é conseguido, em parte, pelo filtro da malha de código. Um bom desempenho dinâmico exige que o DLL siga eficazmente as alterações no código devido à dinâmica do sistema. Por dinâmica do sistema entende-se desvios do relógio e alterações na distância entre utilizador e o satélite Correladores Num receptor convencional existem três correladores complexos (early, late e prompt). No correlador prompt o sinal em banda de base recebido é comparado com uma réplica do código gerada localmente designada por x(t τ ). O resultado da correlação é Ẑ P = CDexp(j θ) 1 T T x(t τ)x(t τ )exp(j2π f Dt)dt 0 = CDexp(j θ)r ( τ, f D ) + N P (3.1) 15

30 Após a aquisição do sinal, pode-se assumir que a frequência estimada é razoavelmente precisa, f D 0. Pode assim reescrever-se a parte da equação (3.1) que não contém ruído como S P = CDexp(j θ)r( τ) (3.2) Na equação, R( ) é a função de auto correlação do código. Se a estimativa da frequência for correcta e o atraso do código for bem estimado, obtém-se τ 0. Pode dizer-se assim que o correlador é pontual. Este correlador pontual desempenha um papel importante no phase locked loop (PLL) e no frequency locked loop (FLL). No caso da estimativa da frequência ser precisa e o atraso do código estar adiantado ou atrasado, diz-se então que os correladores são tardios (late) ou precoces (early). Na figura as saídas dos correladores complexos early e late são dadas por Z E = S E + N E (3.3) Z L = S L + N L (3.4) em que S E = CDexp(j θ)r ( τ T EL 2 ) (3.5) S L = CDexp(j θ)r ( τ + T EL 2 ) (3.6) Modelo linear de um DLL l t k 2 f T N ˆ n - Z 1 Figura 4 Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem [1] 16

31 O DLL emite sinais que são proporcionais à diferença observada entre os atrasos do sinal observado e do sinal recebido. A função de transferência da malha fechada é [1]: T (s) T(s) = H(s) = = 1 2πf N S πf N S 2πf N s + 2πf N (3.7) A resposta em frequência é a seguinte: H(s = j2πf) = H(s = j2πf) 2 = f N jf + f N f N 2 f 2 + f N 2 (3.8) Pode assim, através da resposta em frequência, conhecer-se a largura de banda equivalente de ruído do DLL B τ,1 = 1 H(j0) 2 H(s = j2πf) 2 df B τ,1 = 0 0 f N 2 f 2 2 df + f N = πf N 2 (3.9) Este parâmetro permite caracterizar a dinâmica do processo de atraso de código. Através da equação (3.7) pode-se estudar a resposta a um escalão introduzido no DLL. 17

32 Figura 5 - Resposta ao escalão de um DLL de primeira ordem [1] Na Figura 5, estão representadas três larguras de banda equivalentes de ruído: 5, 15 e 25 Hz. Uma baixa largura de banda faz com que o DLL atinja o valor final muito lentamente. Uma largura de banda maior faz com que o DLL seja mais ágil e consiga seguir o escalão de forma mais rápida, chegando ao valor final rapidamente. Por outro lado uma largura de banda pequena consegue uma melhor atenuação do ruído de entrada. Tem assim de se encontrar um compromisso entre os desempenhos da dinâmica e do ruído. O compromisso pode ser melhorado, caso o DLL obtenha uma estimativa da variação da distância que separa o satélite do utilizador. Essa informação provém da malha de seguimento da portadora (CTL - Carrier Tracking Loop) constituida por um PLL ou FLL. Esta estimativa é bastante precisa pois baseia-se na medição do efeito de Doppler do sinal de GPS. Este DLL é designado por "rate-aided Delay Locked Loop". 18

33 3.1.4 Malha de seguimento de código Rate-Aided Rate aiding do CTL l t, n1 n1, n1 k 2 f T N ˆ n - Z 1 Figura 6 - Aproximação digital de um DLL linearizado de primeira ordem com "rate aiding" [1] A Figura 6 representa um "rate-aided" DLL. Com esta ajuda o DLL consegue funcionar com uma largura de banda muito baixa, tipicamente 0.005Hz. É possível trabalhar com uma largura de banda tão pequena pois a dinâmica do sistema é captada pelo PLL ou FLL [1]. Do diagrama de blocos resulta a seguinte equação: τ n+1 = τ n + T ( τ n + 2πf N ( τ n+1 + ε t,n+1 τ n)) k (3.10) τ Análise do ruído Para analisar a resposta do DLL ao ruído branco gaussiano, é necessário ter as suas entradas a zero. Forçando τ n = 0 e τ n = 0, obtém-se assim τ n = 0. Seja T CO o intervalo de correlação. Simplificando a equação (3.10) obtém-se: τ n+1 = τ n + 2πf N T CO ( ε t,n+1 k t τ n) = τ n(1 2πf N T CO ) + ε t,n+12πf N T CO k t (3.11) em que τ n é a melhor estimativa do sinal no instante n, e τ n+1 é a melhor estimativa do sinal no instante n+1. A variância da estimativa do sinal é: var( τ n+1) = E[( τ n+1 τ n+1 ) 2 ] = E[ τ n τ n+1 τ n+1 + τ 2 n+1 ] (3.12) 19

34 Como o ruído é branco gaussiano, tem média zero e as suas amostras não são correlacionadas, obtém-se assim a seguinte equação: var( τ n+1) = E[ τ n+1 2 ] = E[ τ n 2 ](1 2πf N T CO ) 2 + E[ε 2 t,n+1 ] ( 2πf 2 NT CO ) k t (3.13) A equação (3.13) é obtida substituindo τ n+1 pela equação (3.11). Ao longo do tempo o DLL vai estabilizar e a variância irá convergir para um valor dado por: E[ τ n+1 2 ] = E[ τ n 2 ] = var( τ ) (3.14) Usando a equação (3.14) para simplificar a equação (3.13), var( τ ) = var( τ )(1 2πf N T CO ) 2 + var(ε t ) ( 2πf 2 NT CO ) k t = var(ε t)(2πf N T CO k t ) 2 4πf N T CO (2πf N T CO ) 2 = var(ε t)2πf N T CO 2k t 2 = 2var(ε t)b τ,1 T CO k t 2 (3.15) Da equação (3.9) sabe-se que B N,1 = πf N, chega-se assim à equação (3.15). Esta aproximação é 2 válida quando 2B τ,1 T CO 1, o que é uma aproximação razoável. Após uma análise do DLL em banda base, a variância de ε τ é [1]: var(ε τ ) = ( 2N 0 2 T CO 2 + CN 0 T CO ) s 2 (3.16) Obtém-se assim a variância do ruído, isto é, a potência do sinal à saída do discriminador precoce menos o tardio quando é usado um tempo de coerência de T CO segundos, a densidade espectral de potência é N O 2. A relação portadora-ruído é C/N o. Combinando a equação (3.15) e equação (3.16): var( τ ) = B 2 τ,1t C (1 + 2C N 0 2 T CO C N 0 ) s 2 (3.17) 20

35 O termo dentro de parenteses designa-se por perdas quadráticas. Com a equação (3.17) e usando larguras de banda de Hz e 0.05 Hz, obtém-se o gráfico da Figura 7, que mostra o erro de 1-σ em função da relação portadora-ruído. Figura 7 - Desempenho do DLL na presença de ruído branco gaussiano [1] Todos os discriminadores não coerentes têm perdas quadráticas. Os discriminadores não coerentes retiram perturbações da portadora de fase e dos dados recebidos mas este processo tem a contrapartida de amplificar o ruído recebido. As curvas coerentes ignoram as perdas quadráticas enquanto as curvas não coerentes incluem as perdas quadráticas. Da Figura 7 observa-se que as perdas quadráticas não são significativas até que a relação portadora-ruído seja menos que 25 db-hz. Como em geral os sinais de GPS são recebidos com relações portadora-ruído acima de 30 db-hz, as perdas quadráticas no DLL não coerente não são uma preocupação para o sistema. 21

36 3.1.6 PLL O Phase Locked Loop (PLL) consiste em três elementos básicos: o detector de fase, que compara a fase dos dois sinais e gera uma voltagem em função dessa diferença, o filtro passa baixo, que tem como função filtrar a saída do detector de fase e o VCO, que é um oscilador controlado por tensão, responsável por gerar o sinal para a saída. A operação do PLL tem como princípio comparar a fase do sinal entrada com o sinal gerado internamente pelo VCO. Desta operação obtém-se o erro de fase ou a diferença de fase entre os dois sinais. Este erro é novamente introduzido na malha para ajustar a frequência e a fase. Sinal de entrada fref Detector de fase Filtro passa baixo VCO fout Figura 8 - PLL genérico O problema da utilização de um PLL para assegurar a sincronização da portadora é que o funcionamento do PLL vai depender dos Bits de navegação transmitidos. Por isso, é muitas vezes utilizada uma malha fechada ligeiramente diferente do PLL, designada por malha de Costas, que é independente da sequência de dados. C D ( t) x( t) cos X 2exp j(2 ( f fˆ ) t ˆ) 2 ( f f t IF IF D ) D X 1 T Prompt code: x( t ˆ) T ( ) dt 0 ~ ~ Z P SP NP ZI, P jzq, P L ˆ Imˆ Re Z P Z P k ~ C NCO Filtro de malha da portadora l k Rate aiding para a malha de seguimento de código Figura 9 - Malha de Costas [1] 22

37 A Figura 9 mostra uma implementação da malha de Costas. A saída do discriminador de fase é dada por, L θ = Re{Z P }Im{Z P } = Re{S P }Im{S P } + ε θ (3.18) em que ε θ é a componente de ruído. Tem-se: L θ = CD 2 R 2 ( τ) sin( θ) cos( θ) + ε θ = 1 2 CR2 ( τ) sin(2 θ) + ε θ (3.19) O que mostra que a resposta do discriminador não depende dos dados de navegação, D. O PLL de Costas tem de conduzir o oscilador controlado numericamente, NCO, de maneira a conseguir obter uma boa estimativa do efeito de Doppler, f D. Um outro objetivo é fazer com que a fase da réplica do sinal, θ, se aproxime da fase do sinal recebido, θ. Para atingir esse objetivo, o PLL mede a diferença entre a frequência e a fase do sinal recebido e a frequência e fase da réplica do sinal. É com base nesse erro que o NCO é controlado, aumentando ou diminuindo a frequência. A réplica da fase não sofre mudanças bruscas, pois o PLL controla a frequência. Uma outra função do PLL é fornecer uma estimativa dos bits de navegação. Assim que o PLL sincronizar, os dados de navegação podem ser extraídos. Admitindo que θ 0 e τ 0 obtém-se de (3.1) Z P CD + N P (3.20) pelo que o sinal da parte real de Z P, isto é, Z I,P, é igual ao sinal de D com elevada probabilidade Malha de segunda ordem Para que o DLL possa funcionar convenientemente há que garantir que os erros de fase no PLL se mantêm dentro de certos limites. Para dimensionar convenientemente o PLL tem de se chegar a um equilíbrio entre um nível de ruído de fase aceitável e uma boa dinâmica do sistema. 23

38 Figura 10 - Resposta de segunda ordem a um escalão, largura de banda de ruído de 5 e 15 HZ e coeficiente de amortecimento de 0.2 e [1] Observando a Figura 10, verifica-se que quanto maior for a largura de banda mais ágil é a malha fechada e mais rápido é o tempo de resposta. Existe uma oscilação acentuada em resposta ao escalão de fase antes de convergir para o valor desejado, isto deve-se a um baixo coeficiente de amortecimento, ζ. Os receptores de GPS normalmente usam um coeficiente de amortecimento de ζ = pois a resposta ao impulso é rápida e existe pouca oscilação Análise do ruído A largura de banda do ruído pode ser usada para caracterizar o desempenho do PLL de Costas de segunda ordem quanto ao ruído branco gaussiano. A variância do erro de fase pode ser estimada por [1]: var( θ ) = 2var(ε θ)b θ,1 T CO k θ 2 rad 2 (3.21) 24

39 A variância de ε θ é [10]: var(ε θ ) = CN 0 (1 + 2T CO 1 2T CO C N ) (3.22) 0 A densidade espectral de potência do ruído branco gaussiano é N 0 2. Combinado as duas equações, (3.21) e (3.22), obtém-se [10]: var( θ ) = B θ,1 (1 + C N 0 1 2T CO C N 0 ) rad 2 (3.23) O termo dentro de parênteses é a perda quadrática de uma portadora que usa discriminadores de Costas. Se se excluir esse termo, obtém-se a variância do erro de fase para um PLL coerente. Figura 11 - Desempenho de um PLL de Costas na presença de ruído branco gaussiano [1] A Figura 11 mostra o desvio padrão do erro de fase em função da relação portadora-ruído. A degradação dos discriminadores de Costas relativamente aos discriminadores coerentes, não é significativa até que a relação portadora-ruído desça abaixo de 25 db-hz Largura de banda A largura de banda do PLL tem de ser escolhida conforme a aceleração esperada. Quanto maior a aceleração que o receptor tem de suportar, maior deverá ser a largura de banda necessária para que o PLL consiga acompanhar as variações da velocidade. 25

40 Figura 12 - Desvio padrão do erro de fase como função da largura de banda do PLL quando é usado um TCXO [1] A Figura 12 mostra os desvios padrão do erro de fase em função da largura de banda do PLL com uma malha de segunda ordem, no caso de se usar um oscilador de quartzo compensado por temperatura (Temperature compensated crystal oscillator, TCXO). As larguras de banda reduzidas sofrem do problema do fraco desempenho dinâmico, enquanto que as larguras de banda grandes são afectadas por fraco desempenho em termos do ruído. A figura mostra que para larguras de banda inferiores a 1Hz o desvio padrão do erro de fase é independente da relação portadora-ruído do sinal recebido. Para larguras de banda maiores existem 3 curvas pelo que o erro de fase depende da relação portadora-ruído, decrescendo quando a relação portadoraruído aumenta. Por exemplo, para C/N 0 = 30 db-hz e uma aceleração máxima de 1g, a largura de banda ideal é ligeiramente superior a 20Hz. O desvio padrão do erro de fase deve ser mantido abaixo dos 15º para evitar o aparecimento de saltos de fase, Tal equivale a uma relação portadora-ruído mínima de aproximadamente 25 db-hz para uma aceleração máxima de 1g. Se não for possível garantir desvios padrão abaixo de 15º dever-se-á substituir o PLL por um circuito de seguimento de frequência (FLL). 26

41 3.2 Simulação do receptor Para resolver a equação de navegação no receptor tradicional foi usado um filtro de Kalman generalizado, sendo as pseudo-distâncias calculadas a cada iteração do filtro. O intervalo entre iterações é igual a t = 0.01 segundos. Dado que vai ser simulado o receptor em movimento, o modelo dinâmico adoptado, foi o modelo PV (posição+velocidade), obtendo-se assim vectores de estado de dimensão oito Modelo do relógio do receptor A modelação do relógio do receptor é conseguida definido um vector de estado de dimensão dois, por forma a simular um movimento tipo browniano tanto na frequência como na fase. Na Figura 13 está representado o modelo de estado do relógio. ruído branco gaussiano u (t) f u (t) Φ + ruído branco gaussiano frequência fase 1/S 1/S x (t) f y(t) x (t) = ΔT Φ Figura 13 - Modelo de estado do relógio [13] As entradas u f (t) e u ϕ (t), constituídas por ruídos brancos gaussianos, são independentes, têm médias nulas e são assim caracterizadas pela matriz de covariância Q u = [ q φ 0 0 q f ] (3.24) em que q f e q φ são respectivamente as densidades espectrais de potência de u f (t) e de u ϕ (t). A equação do modelo discreto no tempo é [ x φ,k+1 x ] = [ 1 Δt f,k ] [x φ,k x ] + [ u φ,k f,k u ] f,k (3.25) em que t é o intervalo de actualização do filtro. A matriz de covariância do ruído é Q k = q φ Δt + q f(δt) 3 3 q f (Δt) 2 [ 2 q f (Δt) 2 2 q f Δt ] (3.26) 27

42 onde as variâncias da matriz (3.26) são dadas por q φ h 0 2 (3.27) q f 2π 2 h 2 (3.28) em que h 0 e h 2 são parâmetros da variância de Allan. Tabela 2 - Valores típicos de h 0 e h -2 para vários tipos de relógios usados em receptores GPS Tipo de oscilador h 0 h -2 Cristal compensado em temperatura 2x x10-20 Cristal em forno 8x x10-23 Rubídio 2x x10-29 A Tabela 2 mostra valores típicos dos parâmetros, h -2 e h 0 para alguns tipos de relógios utilizados em receptores GPS [13]. Neste caso foram usados os valores típicos do oscilador de cristal compensando em temperatura Simulação em Matlab do erro do relógio Tendo em conta (3.26), as componentes do vector do ruído U φ,k e U f,k em (3.25) não são independentes pelo que terão de ser geradas a partir de duas variáveis gaussianas independentes em Matlab por combinação linear. Para simular o erro de relógio em matlab foram criadas duas variáveis que recebem um valor aleatório a cada iteração do programa através da função randn, tendo assim estas variáveis média nula e variância unitária. Considera-se seguinte sistema de equações { U φ,k = αu 1 U f,k = βu 1 + γu 2 (3.29) em que U 1 e U 2 são os valores gaussianos independentemente gerados aleatoriamente pela função randn (com médias nulas e variâncias unitárias). Em seguida obtém-se os coeficientes α, β e γ a partir do conhecimento da matriz (3.26). 28

43 E{U φ,k 2 } = α 2 E{U 1 2 } = α 2 (3.30) pelo que α = q φ Δt + q f(δt) 3 3 (3.31) Além disso E{U φ,k U f,k } = αβe{u 1 2 } + αγe{u 1 U 2 } = αβ (3.32) Donde β = 1 α q ( t) 2 f 2 (3.33) e finalmente E{U 2 f,k } = β 2 E{U 2 1 } + γ 2 E{U 2 2 } + 2βγE{U 1 U 2 } = β 2 + γ 2 (3.34) obtém-se γ = E{σ 2 f,k } β 2 = q f t β 2 (3.35). As equações (3.31), (3.33) e (3.35) permitem, deste modo, obter os valores de α, β e γ a utilizar em (3.29). 29

44 3.2.3 Geração das pseudo-distâncias A determinação do movimento dos satélites e do receptor assim como a geração das pseudodistâncias encontram-se resumidos no fluxograma da Figura 14. Cálculo da posição do receptor Cálculo das posições dos satélites Determinação dos satélites visíveis k->k+1 Determinação da subconstelação óptima (GDOP mínimo) Geração das pseudo-distâncias Zk (observaçoes) Figura 14 - Fluxograma da geração das pseudo-distâncias Filtro de Kalman Modelo da dinâmica Como foi referido anteriormente o modelo da dinâmica escolhido para o filtro de kalman generalizado foi o modelo PV (posição, velocidade). Seja o vector de estado x k = [x 1,k x 8,k ] T, onde x 1,k e x 2,k são, respectivamente, a posição e a velocidade relativamente à coordenada x do receptor, x 3,k e x 4,k, representam a posição e a velocidade relativamente à coordenada y do receptor, x 5,k e x 6,k, representam a posição e a velocidade relativamente à coordenada z do receptor. Finalmente x 7,k e x 8,k representam a fase e a frequência do ruído do relógio do receptor. O modelo da dinâmica discreto no tempo é dado por x 1,k+1 x 1,k u 1,k [ ] = Φ k [ ] + [ ] (3.36) x 8,k+1 x 8,k u 8,k 30

45 em que x 1,k+1 x 2,k+1 x 3,k+1 x 4,k+1 x 5,k+1 x 6,k+1 x 7,k+1 [ x 8,k+1 ] = [ 1 t t 1 1 t t 1 ] Φ k [ x 1,k x 2,k x 3,k x 4,k x 5,k x 6,k x 7,k x 8,k ] + u 1,k u 2,k u 3,k u 4,k u 5,k u 6,k u 7,k [ u 8,k ] (3.37) A matriz de covariância do ruído é a seguinte [14] Q k = ( t) 3 q v 3 ( t) 2 q v 2 [ q v ( t) q v t ( t) q v 3 ( t) q v 2 q v ( t) 2 2 ( t) q v 3 ( t) q v q v t q v ( t) q v t [q φ Δt + q f (Δt)3 ] c 2 q f (Δt) 2 c q f (Δt) c 2 q 2 f c 2 Δt ] (3.38) À quantidade q v foi atribuído o valor de 0,1 pois este parâmetro caracteriza a aceleração e pretendese uma baixa aceleração para esta simulação. De facto, a partir de (3.37) e (3.38) a aceleração é bem aproximada por a k x 2,k+1 x 2,k t = U 2,k t (3.39) o momento de segunda ordem da aceleração vale E{a 2 k } 1 t 2 E{U 2,k 2 } = q v t (3.40) Modelo das observações Contrariamente às equações da dinâmica do sistema que são lineares, a equação das observações é não linear z k = h[x k ] + v k (3.41) 31

46 Na equação (3.41), z k é o vector das pseudo-distâncias medidas e h[x k ] = (x 1,k x u.k ) 2 + (y 1,k y u,k ) 2 + (z 1,k z u,k ) 2 + x d,k (x N,k x [ u,k ) 2 + (y N,k y u,k ) 2 + (z N,k z u,k ) 2 + x d,k ] (3.42) em que x i, y i e z i são as coordenadas do satélite i, onde i=1,,n e x u, y u e z u são as componentes referentes às coordenadas do receptor, e x d,k = cx φ,k representa a fase do ruído do relógio. A matriz de covariância do ruído das observações é da forma diagonal em que os elementos da diagonal principal são iguais, 2 σ UERE 0 R k = [ ] (3.43) 2 0 σ UERE 2 em que σ UERE representa a variância de erro das diversas pseudo-distâncias. Equações de filtragem e predição A equação de navegação consiste nas N 4 equações das pseudo-distâncias (2.5), em que se assume que (X i Y i Z i ) são conhecidas e (x, y, z, v), com v = cδt, é o vector a estimar. Para resolver a equação de navegação foi usado um filtro de Kalman generalizado. O filtro é implementado através de um ciclo iterativo e tem como entradas as pseudo-distâncias medidas. A cada ciclo do filtro de Kalman é calculado um novo ganho e actualizadas as estimativas do vector de estado (x k x k+ ) e da matriz da covariância do erro de filtragem (P k P k + ). Assim as actualizações correspondem ao passo de filtragem do filtro de Kalman. No passo de predição são actualizadas as estimativas do vector de estado (x k x k+1 + ) e da matriz de covariância do erro da predição do vector de estado (P k P + k+1 ). 32

47 x 1 ˆ0 P0 Condições iniciais K k P k Cálculo do ganho H T k T H P H R 1 k k k k Z xˆ k k Observações Estimativas xˆ Actualização da estimativa k xˆ k Kk zk zˆ k P k Actualização da covariância do erro ^ T KkHk Pk I KkHk T I K R K k k k k 1 k P Predição ˆ k 1 k x k1 k P k T k xˆ k Q k Figura 15 - Fluxograma do filtro de Kalman generalizado [14] Na Figura 15 está representado um fluxograma do filtro de Kalman generalizado aplicado à resolução da equação de navegação em GPS. Para simplificar a figura considerou-se x k = x (k k 1) P k + = P(k k) z k = h(x(k k 1)] z k = [ρ 1,k ρ n,k ] T x k+ = x (k k) Estimativa do vector de estado do passo de predição Matriz da covariância do erro do passo de filtragem Vector de pseudo-distâncias estimadas no passo de predição Vector de pseudo-distâncias medidas Estimativa do vector de estado do passo de filtragem P k+1 = P(k + 1 k) Matriz da covariância do erro do passo de predição A matriz das observações do filtro de Kalman generalizado é H k = h(x i,k) x j (3.44) 33

48 x 1 x u r 1 H k = x N x u [ r N 0 0 y 1 y u r 1 y N x u r N 0 0 z 1 z u r 1 z N x u r N (3.45) ] x i, y i e z i são as coordenadas do satélite i, onde i=1,,n, x u, y u e z u são estimativas mais recentes das coordenadas do receptor e r i são as distâncias estimadas entre cada um dos satélites e o receptor. r i = (x i x u) 2 + (y i y u) 2 + (z i z u) 2 (3.46) Tendo todos estes valores calculados pode-se assim voltar a efectuar uma nova iteração do filtro de Kalman; este processo irá devolver novas estimativas das coordenadas do receptor, logo terá de se voltar a recalcular todos os valores anteriormente calculados, entrando-se assim num novo ciclo iterativo. 34

49 Capítulo 4 RECEPTOR VECTORIAL DE GPS 4.1 Arquitectura do receptor vectorial Os receptores de GPS tradicionais seguem cada satélite individualmente usando duas unidades de processamento: a unidade de processamento de sinal, constituída por um bloco de PLLs (ou FLLs) e DLLs, e a unidade de processamento de navegação que inclui um filtro de Kalman generalizado ou um estimador de mínimos quadrados. Estes receptores necessitam de, pelo menos, quatro satélites para uma operação normal. Caso um ou mais sinais estejam degradados, por exemplo através de atenuação, a precisão irá diminuir podendo até deixar de ser possível que exista solução para a equação de navegação. Essa situação deve-se normalmente à perda de sincronismo do PLL. As malhas de seguimento dos diferentes canais operam de forma independente entre si, Figura 16. A informação não é partilhada entre canais e não existe realimentação entre as malhas de seguimento e o processador de navegação. As medidas das pseudo-distâncias geradas pelas malhas de seguimento são usadas pelo processador de navegação para que o receptor estime a posição, velocidade e estado do relógio. Antena Processador RF Sinal Canal 1 Malha de seguimento Canal 2 Malha de seguimento Pseudo-distância, Taxa das pseudodistâncias Processador de Navegação Posição, Velocidade, Tempo Canal J Malha de seguimento Figura 16 - Arquitectura do receptor tradicional [5] A arquitectura do receptor tradicional não explora totalmente a correlação dos sinais recebidos. O princípio fundamental do sistema GPS é de que obtendo as estimativas para o atraso de código e para a frequência da portadora dos sinais recebidos de quatro ou mais satélites, a posição, velocidade e estado do relógio do receptor podem ser estimados. O receptor vectorial explora este 35

50 princípio e usa estimativas de navegação do receptor para prever os sinais GPS. A Figura 17 mostra um diagrama de blocos genérico da arquitectura de um receptor vectorial. Antena Sinal Canal 1 Correlador de sinal Processador RF Canal 2 Correlador de sinal Pseudo-distâncias, taxas das pseudodistâncias Canal J Correlador de sinal Filtro de Kalman Estendido Resíduos das pseudo-distâncias, e das taxas das pseudodistâncias Posição, Velocidade, Tempo Figura 17 - Arquitectura de um receptor vectorial genérico [5] Como se mostra na Figura 17, o filtro de Kalman é geralmente usado para estimar os estados de navegação do receptor e as estimativas são usadas para prever os sinais recebidos. Designa-se por vector delay/frequency locked loop (VDFLL) se tanto as pseudo-distâncias como as taxas das pseudo-distâncias forem estimadas. O filtro de Kalman da Figura 17 pode ser formulado tanto no domínio da posição como no domínio das pseudo-distâncias. Na versão de posição os estados do filtro são posição, velocidade e estado do relógio do receptor. Na versão de pseudo-distâncias são recebidas as pseudo-distâncias e as taxas das pseudo-distâncias. Neste capítulo descreve-se a arquitectura de um receptor vector delay/frequency locked loop (VDFLL) na versão de posição. A implementação deste receptor pode ser feita sem a adição de hardware, sem aumento da potência e sem aumento do seu peso [15]. Contudo exige um aumento da complexidade do software. Este tipo de receptor consegue trabalhar com sinais muito fracos. A baixa potência dos sinais GPS recebidos torna extremamente difícil fazer o seguimento em ambientes com folhagem densa ou em canyons urbanos. Estas situações podem causar a perda de sinal a um receptor convencional [5]. O VDFLL permite que um receptor GPS consiga operar com bloqueios de sinal momentâneos de um ou vários satélites. Isto deve-se ao aumento da relação portadora-ruído alcançável com esta arquitectura. Com a redução do ruído torna-se assim menos provável que o receptor entre numa região não linear e perca o seguimento do utilizador [16]. 36

51 Na Figura 18 está representado o diagrama de blocos de um receptor vectorial, VDFLL, implementado na dissertação. Nesta arquitectura, ao contrário de outras arquitecturas vectoriais, não é necessário estimar a amplitude do sinal, é apenas necessário ter uma estimativa de (C/N 0 ) para regular o filtro de Kalman estendido (EKF). Dados de navegação Sinais observados em banda de base N sinais Discriminadores de código/frequência Estimativas da frequência de Doppler Resíduos do atraso de código Resíduos da frequência de Doppler EKF Solução da equação de navegação Estimativas das sequencias do código Gerador de sinais em Banda base Vector de estado do receptor Dinâmica dos satélites Figura 18 - Diagrama de blocos simplificado da arquitectura vectorial [17] VDFLL A Figura 19 mostra uma estrutura mais detalhada da malha código/frequência apresentada na Figura 18. As equações do VDFLL aqui apresentadas foram obtidas em [17]. À entrada do receptor tem-se o sinal r(t) dado por, N r(t) = A m X m (t) cos((ω cm + ω m )t + φ m ) + w(t) m=1 (4.1) em que N é o numero de sinais recebidos, A m é a intensidade do sinal m, X m é dado por X m (t) = d m (t)c m (t τ m ) (4.2) onde d n é a informação de navegação, c m (t) é o código de espalhamento do código, ω cm é a frequência da portadora e ω m é a frequência de Doppler e w(t) é ruído branco gaussiano com densidade espectral de potência N

52 c t tˆ 1( 1 X ) E r(t) j 0t e X y(t) ˆ 1 Rotação de fase 1... ˆN Rotação de fase N c t tˆ 1( 1 c X t ˆ ) 1 ( t1 X processador de sinal #1 ) L P processador de sinal #N Discriminador de código Discriminador de frequência D C 1 D f 1 D cn D fn EKF c t ˆ ) t tˆ ) 1 ( t1 c N ( Gerador de código Dados de navegação ˆ ˆ N Gerador da frequência de Doppler Figura 19 VDFLL [17] O sinal r(t) é então combinado com réplicas em fase e quadratura da portadora, gerados localmente. Após a passagem pelo filtro passa-baixo, obtém-se o seguinte sinal complexo em banda de base N y(t) = A m X m (t) exp(j(ω m t + φ m )) + n(t) m=1 (4.3) onde n(t) = n I (t) + jn Q (t), é a soma das componentes de fase e quadratura do ruído Gaussiano. Após este processo o sinal sofre uma rotação na fase, ω nt, permitindo obter N y n (t) = A m X m (t) exp(j(ω m ω n)t + φ m ) + n n (t) m=1 (4.4) Correladores À saída dos blocos rotação cada sinal é depois dividido em correladores early e late, com espaçamento entre si de 2Δ, onde Δ é menor que T c 2 sendo T c o tempo de chip. Obtém-se assim para o correlador early, 38

53 E n = 1 T T y n(t)c n (t τ n + Δ)dt o = A n d n R c (τ n ) exp(jφ n ) + NE n (4.5) onde T é o intervalo de integração, a componente do ruído está representada por NE n = NIE n + jnqe n e NIE n e NQE n são independentes, com média nula e variância σ 2 N = N 0 T. Analogamente, o correlador late é dado por L n = A n d n R c (τ n + ) exp(jφ n ) + NL n (4.6) A componente do ruído é NL n = NIL n + jnql n é independente, tem média nula e variância σ N 2 = N 0 T Discriminador de código normalizado Os discriminadores usados são discriminadores normalizados; deste modo não é necessário que o sinal de entrada seja ele próprio normalizado. Obtém-se assim a seguinte equação, D cn = γ c R c 2 (τ n ) R c 2 (τ n + ) R c2 (τ n ) + R c 2 (τ n + ) (4.7) onde γ c é o factor de normalização. Assume-se que a auto-correlação R c (ε) é bem aproximada por R c (ε) = { 1 ε T c, ε < T c 0, ε T c (4.8) Assumindo que o erro de código é desprezável, τ n 0 e n = 1,, N a equação (4.7) pode ser reescrita da seguinte forma D cn g 1 M + g 2, M = 2A n 2 R c 2 ( ) (4.9) As variáveis g 1 e g 2 são gaussianas com g 1 ~N(0, σ 1 2 ) e g 2 ~N(0, σ 2 2 ), onde σ 1 2 = 8γ c 2 σ N 2 A n 2 R c 2 ( )[1 R c (2 )] (4.10) σ 2 2 = 8σ N 2 A n 2 R c 2 ( )[1 R c (2 )] (4.11) 39

54 Após normalizar a equação (4.9) obtém-se D cn G G 2 (4.12) onde G 1 e G 2 são variáveis gaussianas com variâncias var{g 1 } = γ c 2 var{g 2 } = 1 R c(2 ) ( C ) TR N 2 c ( ) 0 n 1 + R c(2 ) ( C ) TR N 2 c ( ) 0 n [m 2 ] [m 2 ] (4.13) (4.14) em que ( C ) = A 2 N n (2N 0 ) representam as relações portadora-ruído. 0 n A variância de G 1 pode ser simplificada quando T c, assim var{g 1 } = c2 T c 2 ( C ) T N 0 n [m 2 ] (4.15) Para relações portadora-ruído elevadas, var{g 2 } 1, e o discriminador de código é bem aproximado por D cn cτ n + G 1 [m]. (4.16) Discriminador de frequência normalizado Os discriminadores de frequência normalizados são D fn (k) = γ f IP n (k 1)QP n (k) IP n (k)qp n (k 1) IP n2 (k) + QP n 2 (k) (4.17) onde k=,-1,0,1, são instantes de tempo, γ f é o factor de normalização e T P n IP n + jqp n 1 = A n d n T c n(t τ n )c n (t τ n) exp(j(ω t + φ n )) dt + NP n 0 (4.18) NP n = NIP n + jnqp n são as componentes do ruido branco gaussiano, têm media nula e são independentes, com variância σ 2 N = N 0 T. 40

55 O vector dos ruídos de correlação em fase é NI n = [NIE n NIP n NIL n ] T e o vector dos ruídos de correlação em quadratura é NQ n = [NQE n NQP n NQL n ] T. Obtém-se assim a matriz de covariância E{NI n NI T n } = E{NQ n NQ T n } = N 1 R c ( ) R c (2 ) 0 T [ R c ( ) 1 R c ( ) ] R c (2 ) R c ( ) 1 (4.19) Considera-se que o produto das componentes do ruído é desprezável, pode-se assim simplificar a equação (4.17) D fn (k) = 1 M 1 + g 1 T M 2 + g 2 (4.20) onde M 1 = A 2 n sinc 2 (f nt)sin(ω nt) M 2 = A 2 n sinc 2 (f nt) g 1 = A n d n (f nt)[cosθ k 1 NQP n (k) + sinθ k NIP n (k 1) cosθ k NQP n (k 1) sinθ k 1 NIP n (k)] g 2 = 2A n d n (f nt)[cosθ k NIP n (k) + sinθ k NQP n (k)] θ k 1 = ω n (k 3 2 ) T + φ n θ k = ω n (k 1 2 ) T + φ n As variáveis aleatórias g 1 e g 2 são Gaussianas com média nula e variância var{g 1} = 2A n 2 sinc 2 (f nt) N 0 T var{g 2} = 4A n 2 sinc 2 (f nt) N 0 T (4.21) (4.22) Para ω tt 0 obtém-se D fn (k) = ω n + G G 2 (4.23) 41

56 onde var{g 1} = 1 A n 4 T 2 var{g 1 } 1 var{g 2} = 1 A n 4 var{g 2 } 2 ( C ) T N 3 (4.24) 0 n ( C ) T (4.25) N 0 n a correlação cruzada entre as variáveis é E{G 1G 2} = [( C 1 ) T 2 ] sinc 2 (f nt)sin(ω nt) 0 N (4.26) 0 n Para grandes relações portadora-ruído a equação (4.20) é bem aproximada por D fn (k) = ω n + G 1 (4.27) 42

57 4.2 Simulação do receptor vectorial Modelo da dinâmica O modelo da dinâmica para este receptor é idêntico ao modelo do receptor de GPS convencional (3.2.4). É usado novamente o modelo PV para o estudo deste receptor, tendo o vector de estado oito componentes x(k) = [x u x u y u y u z u z u x f x φ ] T (4.28) onde [x u y u z u] T é o vector da posição do receptor, [x u y u z u] T é o vector da velocidade e [x f x φ] T é o vector que contém o erro do relógio do receptor, calculado de forma idêntica à indicada no capitulo Para o modelo discreto no tempo obtém-se [ x 1,k+1 x ] = [ 1 t 2,k ] [x 1,k ] + [ u 1,k 2,k u ] 2,k (4.29) A matriz de covariância do ruído é Q k = E{[u 1,k u 2,k] T [u 1,k u 2,k]} = q v t [ ( t) 2 3 t 2 t 2 ] (4.30) 1 Chega-se assim ao mesmo resultado para o modelo da dinâmica discreto no tempo que no capítulo anterior, equação (3.37), sendo a matriz de covariância do ruído também igual à da equação (3.38). 43

58 4.2.2 Modelo das observações O modelo de observações não linear é dado por z(k) = [ U(k) Ω(k) ] + v(k) (4.31) U(k) é o vector das pseudo-distâncias que é dado por R 1 (k) 1 U(k) = [ ] + x d [ ] (4.32) R N (k) 1 onde R i (k) = (x i x u ) 2 + (y i y u ) 2 + (z i z u ) 2 é a distância entre o satélite i e o receptor num dado instante, e x d é a contribuição do erro do relógio. Ω(k) é o vector das frequências de Doppler e é dado por 2π s 1 (k) ω 1 (k) λ 1 R 1 (k) Ω(k) [ ] = ω N (k) 2π s N (k) [ λ N R N (k)] (4.33) Nesta equação, λ i = c f ci é o comprimento de onda, c é a velocidade da luz e f ci é a frequência da portadora, s i (k) = (x i(k) x u (k)) (x i(k) x u(k)) +(y i(k) y u (k)) (y i(k) y u(k)) (4.34) +(z i(k) z u (k)) (z i(k) z u(k)) v(k) é o ruído do modelo das observações que é dado pela matriz de covariâncias R k. Observando as equações (4.15) e (4.24) conclui-se que a matriz de covariâncias do ruído é diagonal e tem as seguintes entradas r ii = c 2 ΔT c 2 ( C, i = 1,, N ) T N 0 i 1 ( C, i = N + 1,,2N ) T { N 3 0 i (4.35) 44

59 4.2.3 Filtro de Kalman generalizado No receptor vectorial é usado um filtro de Kalman generalizado. Este algoritmo é idêntico ao do filtro de Kalman generalizado usado no receptor convencional, em que se calcula um novo ganho a cada iteração, é actualizada a estimativa da posição do receptor, tal como a matriz da covariância do erro do vector de estado (vide Figura 15). Uma vez obtida uma estimativa da posição e velocidade do receptor são gerados sinais em banda de base semelhantes aos sinais obtidos por observação dos satélites. No esquema da Figura 15 tem-se agora D c1 (k) D cn (k) z k h(x (k k 1)) = D f1 (k) [ D fn (k)] (4.36) A matriz de observações, H k, tem a seguinte forma H k = μ x1 0 μ y1 0 μ z μ xn 0 μ yn 0 μ zn ξ x1 μ x1 ξ y1 μ y1 ξ z1 μ z1 0 0 [ ξ xn μ xn ξ yn μ yn ξ zn μ zn 0 0] (4.37) onde μ xi (k) [ μ yi (k)] = 1 x i(k) x u (k) R μ zi (k) i (k) [ y i(k) y u (k)] (4.38) z i(k) z u (k) ξ xi (k) [ ξ yi (k)] = S x i(k) x u (k) i(k) R ξ zi (k) 3 i (k) [ y i(k) y u (k)] 1 x i(k) x u(k) R z i(k) z u (k) i (k) [ y i(k) y u(k) ] (4.39) z i(k) z u(k) 45

60 46

61 Capítulo 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO Para funcionar os programas necessitam de ter no mesmo directório do ficheiro Matlab um outro ficheiro com o nome current.txt. Este deve conter o Almanaque dos satélites no formato YUMA. Os Almanaques encontram-se no site, celestrack.com [12]. É necessário também preencher algumas variáveis para o correcto funcionamento do programa. Consoante o Almanaque escolhido deve ser indicado o dia da semana em que se pretende fazer a simulação, sendo 1, domingo, 2, segunda-feira, e assim sucessivamente. Considera-se que os tempos no receptor são medidos relativamente ao início da semana de GPS, meia-noite de sábado para domingo. Deve também ser indicada a hora a que a simulação é efectuada. Nas variáveis lat, lon e alt, que representam respectivamente a latitude, longitude e altitude, do local onde se encontra o utilizador, estas coordenadas são introduzidas no sistema ECEF e a altitude é referida em metros. Em seguida indica-se o número máximo se satélites disponíveis para o programa efectuar a simulação; caso sejam indicados mais satélites que os visíveis no local de simulação, o programa usa todos os satélites visíveis, caso seja indicado um número inferior ao total de satélites visíveis, o programa restringe-se ao número de satélites indicado, a escolha dos satélites para este grupo é feita tendo em conta a minimização do GDOP. Na variável máscara deve ser indicado o ângulo de máscara do receptor, este ângulo vai determinar o número de satélites visíveis pelo receptor; devem ser usados ângulos superiores a 15º. Por fim deve ser indicada também a velocidade a que se desloca o utilizador, em metros por segundo. Em seguida são feitas algumas comparações entre os dois receptores. Estas comparações são efectuadas tendo em comum alguns pressupostos: A constelação é obtida a partir do mesmo Almanaque Os testes são efectuados à mesma hora Os receptores deslocam-se à mesma velocidade A trajectória efectuada pelos receptores é a mesma. Tabela 3 - Dados de simulação Data do Almanaque 30 de Julho de 2015 Hora 16:10 Latitude inicial do receptor Longitude inicial do receptor Satélites visíveis pelo utilizador 10 47

62 Quando se utiliza um discriminador de código do tipo NELP (Non-coherent early-late power), o desvio-padrão das flutuações da saída do DLL devidas ao ruído térmico é bem aproximado por [18] [19] σ NELP = ct c B n 2(C N 0 ) D [1 + 2 π ], D T(C N 0 )(2 D) T c B (5.1) fe ou σ NELP = ct c B n 2(C N 0 ) [ 1 + B fet c B fe T c π 1 (D 1 2 ) ] [1 + B fe T c, 1 T c B fe < D < π T c B fe 2 T(C N 0 )(2 D) ], (5.2) ou σ NELP = ct c B n 2(C N 0 ) ( 1 ) [1 + B fe T c 1 T(C N 0 ) π ], D < T c B (5.3) fe em que c é a velocidade da luz, B n é a largura de banda equivalente de ruído do DLL em Hz, D é o espaçamento early-late em chips dos correladores, B fe é a largura de banda do front-end em Hz, T c é a duração de chip em segundos e T é a duração da integração dos correladores. O resultado σ NELP vem expresso em metros. Considera-se, por exemplo, o sinal GPS C/A com B n = 1 Hz B fe = 5 MHz D = 0,1 T c = x10 6 s obtém-se T = 0.01 s 1 T c B fe = > 0.1 (5.4) pelo que é válida a expressão (5.3). 48

63 Na Figura 20 apresenta-se o gráfico de σ NELP para relações portadora-ruído entre 25 db-hz e 50 db- Hz. Figura 20 - Desvios-padrão dos erros de sincronismo no DLL NELP usando sinais GPS C/A Os resultados da Figura 20 mostram que, para relações portadora-ruído tipicamente encontradas em ambientes exteriores ((C N 0 ) > 30 db-hz), a contribuição do ruído térmico é pouco significativa. No entanto, há que considerar outras fontes de degradação, como se mostra na tabela da secção 2.2. Note-se que, em circunstâncias normais, a maior contribuição é devida à imperfeita correcção do atraso da ionosfera. 5.1 Trajectória circular Considerou-se uma trajectória circular (Raio 764m) efectuada por um avião que circula à velocidade constante de 80 m/s; admite-se ainda que o avião realiza uma volta em 60 segundos. Considera-se também que a relação portadora-ruído dos sinais de GPS é de 40 db-hz; assim através da equação (5.3), obtém-se um σ UERE = m. 49

64 5.1.1 Receptor escalar Nestas condições e com um ângulo de máscara de 15 graus o receptor escalar consegue convergir por forma a que as coordenadas do utilizador sejam estimadas com uma precisão melhor que 5 metros. Figura 21 - Erro de cada coordenada em relação à posição real para o receptor escalar Na Figura 21 estão representadas as diferenças entre a posição real e a posição estimada pelo receptor escalar. Inicialmente o erro em relação à posição correcta é muito grande. À medida que o tempo vai avançado, são feitas novas iterações e o receptor vai convergindo para a posição real do utilizador. O erro de posição estabiliza abaixo dos 5 metros para cada uma das coordenadas. As oscilações que são visíveis no gráfico, devem-se ao utilizador alterar a sua posição ao longo da trajectória obrigando assim o receptor a calcular uma nova estimativa para a sua posição. 50

65 5.1.2 Receptor vectorial Nas mesmas condições do receptor escalar, e também com um ângulo de máscara de 15º. Figura 22 Erro de cada coordenada em relação à posição real para o receptor vectorial Na Figura 22 está representada a diferença entre a posição real e a posição estimada pelo receptor vectorial, para cada uma das coordenadas. Após conseguir obter a posição do utilizador, o receptor faz o seguimento da trajectória com elevada precisão. Para obter um melhor desempenho e conseguir chegar aos resultados apresentados para o receptor vectorial foi necessário ajustar manualmente os valores da equação (4.35). Os valores obtidos usando a equação com = 7.8x10 8, T c = e C N o = 40 db-hz seriam r ii = { , i = 1,, N 10 4, i = N + 1,,2N (5.5) No entanto os valores usados foram os seguintes: r ii = { 2, i = 1,, N 48, i = N + 1,,2N (5.6) 51

66 Estes valores foram obtidos testando vários conjuntos de valores com o objectivo de minimizar o erro e aumentar a precisão do receptor. 5.2 Análise de erros Receptor escalar Efectuando uma simulação nas condições descritas anteriormente obtém-se os seguintes erros Tabela 4 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real Coordenada X Y Z Média do erro (m) Tabela 5 - Variância do erro em metros quadrados, para cada coordenada Coordenada X Y Z Variância do erro (m 2 ) Na Tabela 5 estão representados os valores da variância do erro de posição para cada uma das coordenadas em metros quadrados Receptor vectorial Após efectuar a simulação para o receptor vectorial obtém-se os seguintes resultados Tabela 6 - Média do erro de cada coordenada em relação à posição real Coordenada X Y Z Média do erro (m) Tabela 7 - Variância do erro em metros quadrados, para cada uma das coordenadas Coordenada X Y Z Variância do erro (m 2 ) Como ambos os receptores estão a trabalhar com uma boa relação portadora-ruído (40 db-hz) as diferenças entres as médias dos erros não é muito significativa mas comparando os valores da Tabela 4 e da Tabela 6 conclui-se que o receptor vectorial consegue uma melhor precisão quando comparado com o receptor escalar. 52

67 Média do erro (metros) Observando a Tabela 5 e a Tabela 7 nota-se que o valor da variância da coordenada X para o receptor vectorial é superior ao valor de X para o receptor escalar, isto acontece pois o receptor vectorial necessita de um número superior de iterações até adquirir a posição inicial do utilizador. 5.3 Número de satélites Os resultados apresentados de seguida mostram como varia o erro de cada coordenada consoante o número de satélites disponíveis ao receptor. As simulações foram efectuadas com um mínimo de quatro satélites, pois com menos de quatro satélites não seria possível obter solução para a equação de navegação. No máximo, as simulações são feitas com dez satélites pois é o número máximo de satélites visíveis para esse local, à hora e dia seleccionados. 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Erro X Erro Y Erro Z 0, Número de satélites Figura 23 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor escalar 53

68 Média do erro (metros) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, Número de satélites Erro X Erro Y Erro Z Figura 24 - Média do erro em função do número de satélites disponíveis para o receptor vectorial Observando a Figura 23, existe uma melhoria constante à medida que se aumenta o número de satélites disponíveis. Quando se passa de quatro para cinco satélites a melhoria é mais notória pois o receptor escalar está a trabalhar no seu limite mínimo. Na Figura 24, observa-se que apesar de uma melhoria à medida que o número de satélites aumenta, a média do erro é praticamente constante pois os resultados já são bastante satisfatórios. Note-se que por vezes a média do erro sobe, isto deve-se ao uso de variáveis aleatórias, como por exemplo para a geração do ruído. 5.4 Ângulo de máscara Em seguida apresentam-se os resultados para a evolução da média do erro de cada coordenada em função do ângulo de máscara. Os valores típicos do ângulo de máscara para um receptor de GPS variam entre os 15 e os 20 graus. O menor ângulo de máscara usado neste teste foi de 15º, e o valor mais alto considerado foi de 40º. Os 15º simulam o receptor num local com vista desimpedida do céu enquanto que os 40º simulam o receptor num local onde não é possível obter uma vista desimpedida da constelação, como no caso de canyon urbanos. 54

69 Média do erro (metros) Média do erro (metros) 3 2,5 2 1,5 1 0,5 Erro X Erro Y Erro Z Ângulo de máscara (graus) Figura 25 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor escalar 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 Erro X Erro Y Erro Z 0, Ângulo de máscara (graus) Figura 26 - Média do erro consoante o ângulo de máscara para o receptor vectorial Como se pode observar através das figuras 25 e 26, à medida que o ângulo de máscara vai aumentando também o erro de cada uma das coordenadas aumenta. Isto deve-se à redução de satélites visíveis pelo receptor à medida que o ângulo de máscara aumenta. A acentuada subida do erro, dos 30º para os 35º, deve-se a existirem sete satélites visíveis com 30º enquanto que com 35º apenas são visíveis quatro. Como o ângulo de mascara já é bastante elevado é possível que se percam alguns satélites que minimizam o GDOP, obrigando assim o receptor a calcular a sua posição com um conjunto de quatro satélites não tão favorável, como é possível 55

70 Metros Metros verificar nas figuras 23 e 24, onde se limita o receptor a quatro satélites mas este escolhe os melhores, ou seja os que minimizam o GDOP. Tal não é possível com o ângulo de máscara superior a 35º. 5.5 C/No em função do erro Comparando a relação portadora-ruído em função do erro de cada uma das coordenadas, observa-se que quando a relação portadora-ruído é inferior a 35dB-Hz o receptor escalar tem melhor comportamento, quando comparado com o receptor vectorial. 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, C/N0 (db-hz) Erro X Erro Y Erro Z Figura 27- Erro para cada coordenada em função do C/N o, usando o receptor escalar 4,5 4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 0, C/N0 (db-hz) Erro X Erro Y Erro Z Figura 28 - Erro para cada coordenada em função do C/N o, usando o receptor vectorial 56

71 Para o receptor escalar o erro é praticamente constante após os 35 db-hz, já o receptor vectorial, vai diminuindo o erro, consoante a relação portadora-ruído vai aumentando. Observando as duas figuras nota-se que os erros para 30 e 25 db-hz são piores para o receptor vectorial do que para o receptor escalar. Uma explicação é que o receptor escalar foi programado com base em resultados teóricos. Simulando o receptor escalar ao nível do vectorial os resultados provavelmente seriam piores que os obtidos para o receptor vectorial mesmo para C N o 30 db-hz. Note-se que, para valores C/N o maiores que 35 db-hz, o receptor vectorial apresenta melhores resultados que o receptor escalar. Deste modo se o receptor escalar fosse simulado ao mesmo nível que o vectorial a vantagem do receptor vectorial seria ainda mais notória. 5.6 Ocultação de um dos satélites Neste ponto apresentam-se apenas resultados para o receptor vectorial, pois os testes são feitos com o mínimo de satélites possíveis (quatro), e durante algum tempo simula-se a ocultação de um dos satélites. Caso se faça estes mesmos testes para o receptor escalar, este perde por completo o seguimento, pois não consegue encontrar solução para a equação de navegação. Isto num GPS real, significaria voltar à fase de aquisição dos sinais. A simulação de ocultação é feita, reduzindo a relação portadora-ruído de um dos satélites. O receptor vectorial foi optimizado, por um processo de tentativa e erro, para funcionar com a mais baixa relação portadora-ruído possível (no satélite ocultado), e ainda assim este funcionar quando a relação portadora-ruído é maior. Este processo é efectuado ajustando os valores da matriz de covariância do ruído, (4.35). Os valores de R ii obtidos foram, r ii = { 0.11, i = 1,, N 48, i = N + 1,,2N (5.7) Com estes valores para a matriz de covariância do erro das observações, consegue-se que a relação portadora-ruído do satélite obstruído desça até um valor de 5 db-hz, durante um período máximo de 14 segundos. Caso se excedam estes valores o receptor já não consegue recuperar completamente. 57

72 Figura 29 - Erros de posição para o receptor vectorial, sem ocultação. Parâmetros da matriz R ii modificados Na Figura 29, está representado o erro de posição para cada uma das coordenadas em condições normais, ou seja, sem ocultação e visibilidade de toda a constelação disponível. Comparando a Figura 22 com a Figura 29 nota-se que o erro de posição é superior para esta última; isto deve-se à mudança dos parâmetros da matriz R ii. Ao alterar estes parâmetros ganha-se robustez mas em contrapartida perde-se precisão. Em seguida são apresentados resultados para o caso de existir apenas quatro satélites visíveis e ocorrer ocultação num dos satélites. 58