8 Sistemas Relativísticos

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1 8 Sistemas Relativísticos Os efeitos da Relatividade Restrita tornam-se importantes à medida que as velocidades envolvidas se aproximem da velocidade da luz., fato que ocorre plenamente no mundo das partículas elementares que, devido à pequena massa, adquirem velocidades extremamente altas, próximas à da luz. Em geral interagem entre si através de processos violentos: colisões, emissões e absorções de fótons, criação e aniquilação de pares partícula anti-partícula, etc.. Envolvendo tempos de interação extremamente curtos, pode-se apenas identificar os estados inicial e final do sistema, onde tem papel relevante as quantidades conservadas, como carga elétrica, energia, momento linear, momento angular, etc. Em particular, as leis de conservação garantem que o momento linear total e a energia total do sistema antes e depois do processo são iguais, P i = P f e E i = E f, (1) onde os índices i e f referem-se aos estados inicial e final, respectivamente. 8.1 Colisões Considere, por exemplo, uma colisão e espalhamento de duas partículas, A e B, resultando em duas outras, C e D, A + B C + D. (2) A equação de conservação do momento linear total fica e a equação de conservação da energia, p A + p B = p C + p D (3) E A + E B = E C + E D, (4) com a equivalente lei de conservação da massa relativística, m A + m B = m C + m D. (5) Na linguagem dos quadri-vetores, resume-se na equação de conservação da energia-momento total do sistema, p µ A + pµ B = pµ C + pµ D. (6) Em geral as colisões podem ser elásticas, caso em que a energia cinética total do sistema é conservada, e inelásticas, caso em que uma parte ou o total da energia cinética pode ser absorvida pelo sistema. Outros são processos explosivos onde energia cinética é liberada, como nos decaimentos expontâneos e criação e aniquilação de pares. 118

2 8.1.1 Colisões elásticas Numa colisão elástica a energia cinética total do sistema é conservada, K A + K B = K C + K D. (7) Como a energia cinética relativística de uma partícula de massa m e velocidade v é definida como K = (m m 0 )c 2, a conservação da energia cinética aliada e a conservação da massa relativística implica na conservação da massa de repouso das partículas, m 0A + m 0B = m 0C + m 0D. (8) Como exemplo de uma colisão elástica, vamos considerar uma partícula incidente, massa m 0, momento p 0 e energia E 0, chocando-se com uma outra partícula idêntica, em repouso, sendo que, após o choque, as partículas emergem espalhadas simetricamente de um ângulo θ em relação ao eixo de incidência. Pela conservação de energia e momento, de onde resulta e portanto de modo que cos θ = p 0 2p = E 0 = E 1 + E 2, 0 = p 1 sin θ p 2 sin θ, p 0 = p 1 cos θ + p 2 cos θ, (9) p 1 = p 2 = p E 1 = E 2 = E, E 0 = 2E, p 0 = 2p cos θ, (10) E 2 0 m 2 0c 4 2 E 2 m 2 0c 4 = Utilizando a relação entre energia e momento, E 2 p 2 c 2 = m 2 c 4, E 2 0 m 2 0c 4 2 E 2 0/4 m 2 0c 4 a equação anterior fica cos θ = E 2 0 m 2 0c 4 E 2 0 4m 2 0c = (E0 + m 0 c 2 ) (E 0 m 0 c 2 ) 4 (E0 + 2m 0 c 2 ) [(E 0 m 0 c 2 ) m 0 c 2 ] = (E0 + m 0 c 2 ) (E 0 m 0 c 2 ) (E0 + 2m 0 c 2 ) [(E 0 m 0 c 2 ) m 0 c 2 ] = E 0 + mc 2 E 0 + 3mc, (11) 2 119

3 que define o ângulo de espalhamente em função da energia inicial da partícula incidente e da massa das partículas. O momento das partículas espalhadas pode ser obtida da equação (10) Colisões inelásticas Uma colisão é inelástica quando a energia cinética e, consequentemente, a massa de repouso, não são conservadas, K A + K B K C + K D (12) e m 0A + m 0B m 0C + m 0D. (13) Pode ocorrer absorção de energia cinética, quando K A + K B < K C + K D (14) ou liberação de energia cinética, que caracteriza uma colisão explosiva, K A + K B > K C + K D, (15) No caso extremo, as colisões podem ser completamente inelásticas, quando as partículas emergentes após a colisão se agregam, tornando-se um corpo único, com a absorção máxima da energia cinética. O exemplo a seguir mostra um típico espalhamento completamente inelástico: duas partículas de massas iguais movendo-se com velocidades iguais em módulo, v, colidem frontalmente, sendo que, após a colisão, emerge uma única partícula de massa M. Da conservação da energia e momento, 2mc 2 = Mc 2, o momento inicial e o final sendo nulos, de modo que a partícula emergente deve estar em repouso. A energia cinética inicial do sistema é K = 2mc 2 2m 0 c 2, de modo que a massa de repouso da partícula emergente fica M = 2m 0 + K c 2, expressão que ilustra a absorção de toda a energia cinética do sistema, contribuindo na massa de repouso da partícula resultante. A energia pode ser 120

4 absorvida como energia de ligação do sistema ou, em sistemas macroscópicos, ser parcial ou totalmente convertida em energia térmica, por exemplo. Significa que qualquer tipo de energia contribui para a massa total do sistema, sendo que, do ponto de vista relativístico, massa e energia podem ser tomados como sinônimos, levando em conta apenas a diferença no sistema de unidades adotado para cada caso. Numa reação inversa, pode ocorrer de uma partícula de massa M se fragmentar, numa reação explosiva, em outras partículas, com liberação, portanto, de energia cinética. Vamos supor a partícula de massa M inicialmente em repouso fragmentando-se em duas outras partículas de mesma massa de repouso m 0. Nesta reação, Mc 2 = 2mc 2, o momento final permanecendo nulo, de modo que as duas partículas devem ser lançadas em direções opostas, com a mesma velocidade em módulo, relacionado com o momento de cada partícula como A relação entre as massas fica p = mv. M = 2m 0 + K c 2, onde agora K é a energia cinética liberada, mostrando que a reação somente pode ocorrer se M > 2m 0. Reação similar aos exemplos anteriores ocorre numa colisão e aniquilação de um par elétron-pósitron com produção de fótons, por exemplo. Na aniquilação elétron-pósitron, deve resultar no mínimo dois fótons para que o momento seja conservado, pois os fótons, embora de massa nula, transportam energia e momento diferentes de zero relacionados por E γ = pc. Se o momento inicial do sistema elétron-pósitron for nulo, o momento final também deve permanecer nulo, o que é impossível com a produção de apenas um fóton. Dois fótons também podem dar origem a um par elétron-pósitron, desde que, naturalmente, a energia dos fótons seja suficiente para, no mínimo, fornecer a energia de repouso do elétron e do pósitron. 121

5 8.2 Referencial de Centro de Massa Na Relatividade Restrita, o referencial de Centro de Massa de um sistema de N partículas é definido como o referencial onde o momento linear total do sistema, N P = p i, i=1 se anula. Utilizando as transformações relativísticas de energia e momento entre o referenciais inerciais R e R em movimento relativo uniforme, com velocidade V, ao longo do eixo xx, E = γ(e V P x ), P x = γ(p x EV c 2 ), P y = P y, P z = P z, o referencial do Centro de Massa, R, é definido pela condição sobre o momento linear total, P = 0, de modo que, supondo P x = P e P y = P z = 0, Deste modo, E = γ(e V P ), P = γ(p EV c 2 ) = 0. V = P c2 E define a velocidade do referencial do centro de massa em relação ao referencial R, e a relação 1 E = E, 1 V 2 c 2 para E = Mc 2 e E = M 0 c 2 define a relação entre a massa relativística total do sistema e a massa no referencial do Centro de Massa, M = 1 M 0. 1 V 2 c 2 122

6 Para um sistema de partículas que não interagem entre si, a posição do Centro de Massa pode ser definida pela fórmula usual R = i m ir i. Como as massas relativísticas das partículas assim como a massa relativística total do sistema são constantes, i m iv i dr dt = V = i m i i m i = Pc2 E resulta na velocidade uniforme do Centro de Massa. O referencial do Centro de Massa equivale ao referencial de repouso do sistema como um todo, como se uma única partícula pontual de massa de repouso M 0 estivesse localizado no Centro de Massa. Neste sentido, pode-se verificar também a relação relativística entre a energia e o momento do sistema, E 2 P 2 c 2 = M 2 0 c 4. Tudo passa como se uma única partícula de massa de repouso M 0 estivesse localizado nas coordenadas do Centro de Massa do sistema, movendo-se uniformemente com velocidade V. 8.3 Partículas Elementares A equação relativística de conversão de massa e energia, E = mc 2, satisfeitas as demais leis de conservação, é a regra básica para a criação ou o decaimento de partículas elementares. Uma vez desvendado o processo de formação das partículas elementares na natureza, deu-se início a construção dos aceleradores de partículas carregadas, como os prótons e os elétrons que, colidindo com alvos pré-determinados, permitiria a criação controlada das partículas elementares e o estudo sistemático das suas propriedades em condições controladas de laboratório. Aceleradores cada vez mais potentes permitiram desvendar as propriedades e as interações fundamentais das partículas elementares. Veja, por exemplo, a referência [4]. Além das partículas estáveis (prótons, nêutrons, elétrons, neutrinos e fótons), há uma profusão de partículas mais pesadas, com meias vidas extremamente curtas, que decaem sucessivamente até atingir as partículas estáveis, de massas menores, protegidas por alguma quantidade conservada. Na visão atual, acredita-se que haja duas classes de partículas fundamentais, os quarks e os léptons, ambos partículas de spin 1/2 (férmions), cada 123

7 qual em três famílias (ou gerações) de dupletos da interação eletrofraca. As interações entre estas partículas surgem em função de simetrias específicas, como a simetria de fase U(1) da interação eletromagnética, a simetria SU(2) da interação fraca, a simetria SU(3) da interação forte e a simetria pelo Grupo das Transformações Gerais de Lorentz da Relatividade de Einstein, com cargas conservadas associadas a cada uma dessas simetrias. Identificadas as simetrias, inicialmente na forma global (os parâmetros das transformações são constantes), as teorias de gauge, que tem como modelo a eletrodinâmica, impõem que sejam válidas localmente (os parâmetros das transformações são funções das coordenados do espaço-tempo), com a consequente introdução dos bósons de gauge, partículas de troca das respectivas interações [5]. A simetria SU(2) tem como representantes os dupletos de quarks e de léptons, e ( u d ( νe e ), ), ( c s ( νµ µ ), ), ( t b ) ( ντ τ respectivamente, mais os dupletos das respectivas antipartículas. Ao contrário dos léptons, os quarks carregam também cargas da interação forte, formando tripletos de SU(3), q R q Y q B onde q representa cada um dos quarks (up, down, charm, strange, top, bottom). A interação forte entre os quarks é a responsável pela estrutura dos hádrons, partículas compostas por quarks e anti-quarks. Os bárions, como prótons e nêutrons, são sistemas compostos de três quarks, enquanto que os mésons, como os píons, são sistemas quark-antiquark. As propriedades das combinações das cargas da interação forte, em número de três, têm uma certa analogia com as propriedades de combinação das três cores primárias, de onde vem a denominações das cargas da interação forte, Red, Y ellow e Blue. Os glúons, em número de oito, transportando cargas de cores, são as partículas intermediárias das interações fortes. Assume-se as partículas físicas, os hádrons, são sistemas incolores, isto é, são neutros do ponto de vista das cargas das interações fortes. Deste modo, os quarks não tem existência livre, estando sempre confinados em sistemas multiquarks neutros. Se assim não fosse, quarks livres seriam detectados com relativa facilidade, uma vez que são portadores de cargas elétricas fracionárias, (2/3)e para os quarks 124 ),

8 u, c, t e ( 1/3)e para os quarks d, s, b. Da mesma forma, os glúons, sendo portadores de carga forte, também não existem livres, ao contrário do que ocorre com os fótons. Assim, embora os hádrons sejam sistemas compostos de quarks e anti-quarks, nas reações de criação e de decaimento que ocorrem, por exemplo, nos chuveiros atmosféricos, apenas partículas elementares usuais são detectados. As partículas elementares mais comuns são os elétrons, prótons e nêutrons, constituintes dos átomos. Além destas, outras partículas, como os múons, os píons, os mésons K, os híperons Λ, etc. foram identificadas inicialmente nos raios cósmicos. Embora depois dessas descobertas iniciais, o estudo das partículas elementares tenha migrado para os aceleradores, a importância do estudo dos raios cósmicos é inequívoca. Os aceleradores tem a vantagem de poder produzir partículas em grande quantidade e de forma controlada. Por outro lado, a grande vantagem dos raios cósmicos é justamente serem produtos de fenômenos naturais, produzidos sem a interferência ou controle humano, e que podem envolver energias extremamente altas, até da ordem de ev, inacessíveis nos aceleradores. O mais potente dos aceleradores atinge energias da ordem de T ev, com um consumo de energia que se torna proibitivo. Apesar de serem eventos raros, os raios cósmicos e, em especial os raios cósmicos ultra energéticos, são resultantes de processos físicos naturais, e portanto são portadores de informações preciosas para uma melhor compreensão tanto da Física das Partículas Elementares como da natureza do Universo. 8.4 Raios cósmicos Apesar da denominação, sabe-se que os raios cósmicos primários são constituídos de partículas estáveis de alta energia, principalmente prótons (83%), núcleos de hélio (16%), elétrons (1%) e núcleos pesados (menos de 1%). Estas partículas, ao penetrarem na atmosfera terrestre, colidem com os núcleos dos gases atmosféricos e dão início a um processo em cascata de criação de outras partículas elementares, geralmente de meias vidas extremamente curtas, que decaem sucessivamente até resultar nas partículas mais leves e estáveis, basicamente elétrons e neutrinos. Assim, não é de se estranhar que as primeiras partículas subatômicas tenham sido observadas durante o estudo dos raios cósmicos, sendo o posítron (anti-elétron) e o múon os primeiros de uma série de partículas subatômicas descobertas no estudo dos raios cósmicos, descobrimentos que levaram à física de partículas elementares. A rigor, raios cósmicos primários são as partículas aceleradas em fontes astrofísicas e secundários são os produzidas em interações das partículas primárias com o meio (gás) interestrelar. As partículas primárias dos raios 125

9 cósmicos são essencialmente matéria comum, prótons e núcleos atômicos leves, em proporção similar à da matéria presente no sistema solar, e a ausência de anti-partículas é um indicativo de que, pelo menos nas regiões de onde vem os raios cósmicos, o universo é constituído principalmente de matéria. Assim, elétrons, prótons e hélio, assim como carbono, oxigênio, ferro e outros núcleos sintetizados nas estrelas, são primárias. Núcleos como lítio, berílio e boro, que não são produzidos em abundância nos processos de núcleo-síntese estelar, são partículas secundárias. Anti-prótons e posítrons são quase que totalmente secundárias, mas presume-se que uma fração destas partículas possa ser primária. Para efeitos práticos, são primários todos os raios cósmicos que incidem sobre a alta atmosfera terrestre, provenientes do espaço exterior, e são secundários os produzidos como consequência das colisões das partículas primárias com os gases da atmosfera terrestre. Raios cósmicos primários são essencialmente prótons e outros núcleos leves e secundários são principalmente píons carregados, que logo decaem em múons, que por sua vez decaem em elétrons e posítrons. O espectro de energia dos raios cósmicos cobre da ordem de 1GeV, abaixo da qual são desviados pelo vento solar, a ev, com fluxo que varia de eventos/m 2 /s a 1GeV, decrescendo a 1 evento/m 2 /s a 1.000GeV, decrescendo mais rapidamente a partir de ev, com poucos eventos/m 2 /ano, tornando-se extremamente raros acima de ev, região dos raios cósmicos ultra energéticos, com algo em torno de 1 evento/km 2 /ano. Vale lembrar, comparativamente, que os mais potentes aceleradores de partículas consegue fornecer energias até da ordem de 1.000GeV = 10 9 ev. A tabela abaixo traz a abundância relativa dos núcleos para a energia de 10, 6 GeV por nucleon, normalizado para o oxigênio (fluxo F = 1). Z Elemento F 1 H He Li-B 0, C-O 2, F-Ne 0, Na-Mg 0, 22 Z Elemento F Al-Si 0, P-S 0, Cl-Ar 0, K-Ca 0, Sc-Mn 0, Fe-Ni 0, 12 Nesta região de energia, o fluxo de oxigênio é da ordem de ( ) 1 GeV 3, 26x10 6 cm 2 s 1 sr 1 (16) nucleon e as frações dos núcleos primários são quase constantes. 126

10 8.5 Origem dos raios cósmicos Os raios cósmicos de baixa energia, até da ordem de 10 GeV, em parte provenientes do Sol, durante as explosões solares, são fortemente afetados pelo vento solar, sendo parcialmente excluídos da trajetória rumo à Terra. Os que chegam interagem com o campo geomagnético, sendo capturados no cinturão de radiação de Van Allen e desviados para as regiões polares, onde, ao penetrarem na atmosfera, dão origem às auroras boreais (Norte) e austrais (Sul), fluorescência causada pela desexcitação dos gases atmosféricos após as colisões com as partículas cósmicas. Deste modo, a intensidade do fluxo da radiação cósmica de baixa energia tem uma forte dependência em relação às atividades solares, variando fortemente em função do local e do tempo. Os raios cósmicos de alta energia, até da ordem de ev, são partículas liberados nas explosões estelares super-novas, por exemplo, com energias iniciais da ordem de centenas de MeV e que, sob a infuência do fraco campo magnético intergaláctico, são mantidos aprisionados pelas linhas de campo. Ao encontrarem e colidirem com regiões de inhomogeneidades do campo magnético, adquirem e aumentam a sua energia, num processo estatístico sucessivo sugerido por Fermi. A partir de aproximadamente ev, o raio de giro magnético torna-se maior que a espessura do disco galáctico, podendo abandonar a galáxia. Por este motivo, acredita-se que os raios cósmicos ultraenergéticos, com energias entre ev a ev, sejam extra-galácticos. Evidências recentes apontam a sua origem para os núcleos de galáxias ativas, onde aparentemente matérias estelares estão sendo capturadas por buracos negros. De onde quer que provenham, uma vez aceleradas e lançadas ao espaço, devem ter seguido uma longa caminhada até, eventualmente, penetrarem na atmosfera terrestre. No interior das galáxias as partículas carregadas estão sujeitas à ação do campo magnético que permeia o meio galáctico, da ordem de µg = 10 6 gauss (o campo magnético da Terra na superfície é da ordem de 0, 3 gauss). Uma partícula com carga Ze e energia E, numa região de campo magnético uniforme B, executará uma órbita circular definida pelo raio de Larmor r L = pc ZeB E ZeB. (17) Para um próton com energia de ev (ev = 1, erg) num campo de 3µG corresponde um raio de giro r L de aproximadamente 300pc, que é ordem da espessura do disco galáctico. Assim, raios cósmicos acima ev tendem a ser excluídos do plano galáctico, sendo, portanto, um limitante para a energia dos raios cósmicos de origem galáctica. Ocorrem eventos raros, conhecidos como raios cósmicos ultra-energéticos, 127

11 com energias acima da ordem ev, reconhecidos como de origem extragaláctica. Suas trajetórias são pouco afetadas por campos magnéticos da ordem de grandeza dos campos galácticos e inter-galácticos, de modo que a direção de entrada na atmosfera de uma partícula cósmica ultra energética deve apontar diretamente para a sua fonte. No entanto, o espaço cósmico é permeado pela radiação cósmica de fundo que, embora não tenha energia suficiente para afetar partículas cósmicas com energias abaixo da ordem de ev, pode-se mostrar que interage fortemente com os raios cósmicos de ultra alta energia, com energias acima da ordem de ev, com uma rápida perda de energia causada pela criação de pares partícula antipartícula como os píons Mecanismo de Fermi de aceleração de raios cósmicos Em 1949, Enrico Fermi sugeriu um mecanismo efetivo de aceleração de partículas. Fermi explorou a idéia de que existem nuvens magnéticas em movimento no meio interestelar. Estas nuvens são muito largas, vários anosluz, com densidade de 10 a 100 vezes maior do que a densidade média do meio. São nuvens de poeira, eletricamente carregadas e com campo magnético intrínseco. Fora das nuvens, o campo magnético é bem comportado (com linhas de campo bem definidas e intensidade média de 10µG) devido ao fluxo constante e ordenado de cargas. Vale ressaltar que, a nível cosmológico, as cargas em movimento podem ser estrelas ou até galáxias inteiras. Dentro das nuvens, o campo deve possuir um aspecto não tão ordenado quanto no meio interestelar, de maneira que imperfeições ou irregularidades nas linhas de campo devem estar presentes. Quando uma partícula carregada com grande velocidade penetra uma nuvem magnética e colide com uma irregularidade do campo magnético, a partícula muda seu momento, seja ganhando ou perdendo energia. Ganhar ou perder energia são dois eventos igualmente prováveis durante uma reflexão. O campo magnético é muito estável comparado com o tempo de interação e permanece inalterado durante a colisão, desta maneira, a colisão de uma partícula carregada com a irregularidade do campo é mecanicamente igual à colisão de um bola rápida contra um pesado movendo-se lentamente (com velocidade V ). Durante uma colisão frontal a partícula deverá ganhar energia, enquanto irá perder se a nuvem se mover na mesma direção que a partícula. Considere um modelo simplificado do Mecanismo de Fermi à luz de considerações sobre o tempo de interação da partícula com o campo magnético da nuvem. Como o tempo de interação é muito curto (comparado com a estabilidade do campo magnético), a partícula será espalhada pelo campo magnético, permitindo tratar a interação partícula-campo como uma colisão 128

12 elástica. Para que haja ganho de energia, é evidente que a colisão da partícula contra a nuvem magnética deve ser frontal, ao passo que se ambos, partícula e nuvem se moverem no mesmo sentido, haverá perda de energia. O esquema de uma colisão frontal partícula-nuvem é mostrado na figura 1. Figura 1:Esquema da colisão de uma partícula carregada com uma nuvem magnética em movimento Partículas com energia de algumas centenas de M ev geralmente são produzidas em supernovas, por isso são abundantes no meio interestelar e conseqüentemente em nossa galáxia. Tais partículas possuem em sua maioria velocidades relativísticas, estando assim sujeitas a um tratamento relativístico. Seja a energia relativística dada por E 2 = p 2 c 2 + m 2 oc 4. (18) Se a partícula possui velocidade próxima à velocidade da luz, sua massa de repouso m o = 0, resultando E = pc. Consideremos uma partícula em movimento (com energia E 1 ) penetrando uma nuvem magnética que se move lentamente. Uma colisão exatamente frontal é pouco provável, por isso, como é mostrado na figura 1, a partícula incide segundo um ângulo θ 1 em relação à direção do movimento da nuvem. A nuvem como um todo representa um referencial inercial em movimento com velocidade constante V. A energia da partícula incidente, vista do referencial do laboratório (referencial no qual foi criada, fora da nuvem) é diferente da energia da partícula em relação ao referencial da nuvem. Seja a transformação da energia-momento p µ = m o U µ = ( E, p) = (mc, mv). (19) c 129

13 Levando em consideração as transformações especiais de Lorentz entre referenciais R e R (referencial do laboratório e referencial da nuvem, respectivamente) com movimento relativo uniforme ao longo do eixo comum xx, a transformação da energia-momento fica E = γ(e V p x ). (20) Devemos transportar a energia da partícula, inicialmente no referencial do laboratório, para o referencial da nuvem, já que a partícula a está penetrando. Lembrando que, neste caso, a partícula incidente está sujeita à aproximação E = pc, a transformação da energia-momento fica E 1 = γ(e 1 V p x ) E 1 = γ(e 1 V c c p x cos θ 1 ) (21) E 1 = γe 1 (1 β cos θ 1 ) onde β = V e γ = 1 são os fatores β e de Lorentz da nuvem. c 2 1 β Após ser espalhada, ou seja, após deixar a nuvem, deve-se fazer a transformação inversa dos referenciais, retornando para o referencial do laboratório: E 2 = γ(e 2 + V p x ) E 2 = γ(e 2 V c c p x cos θ 2) (22) E 2 = γe 2(1 + β cos θ 2) Considerando que as colisões partícula-campo são elásticas, a energia total no referencial da nuvem deve ser conservada, de modo que E 1 = E 2 (23) γe 1 (1 β cos θ 1 ) = E 2 γ(1 + β cos θ 2) E 2 = γ 2 E 1 (1 β cos θ 1 )(1 + β cos θ 2) (24) E 2 E 1 = γ 2 E 1 (1 β cos θ 1 )(1 + β cos θ 2) E 1 ou E E = 1 β cos θ 1 + β cos θ 2 β 2 cos θ 1 cos θ 2 1 β 2 1 (25) 130

14 Como todo o processo envolvido na colisão é aleatório, não se tem certeza sobre os ângulos θ 1 e θ 2, podendo obter apenas médias estatísticas dos cossenos destes ângulos. Devido à aleatoriedade das irregularidades do campo magnético da nuvem, o movimento da partícula também deve ser aleatório, de maneira que todos os ângulos θ 2 são igualmente prováveis. Desta maneira cos θ 2 = 0. Por causa do movimento da nuvem, a probabilidade de que a partícula penetre a nuvem segundo um ângulo θ 1 é (para uma partícula relativística e nuvem lenta) proporcional a c V cos θ 1, levando a cos θ 2c 1 = 0. Substituindo as médias obtidas na Eq. (8), E E = 1 β cos θ 1 1 β 2 1 E E = β2 1 β 2 1 = β2 1 + β 2 E E 4 3 β2 (26) Então, o ganho de energia (por colisão) tem a forma de β 2 E, (27) onde β = V/c é uma constante. Desta forma, o ganho de energia aumenta com a energia da partícula. Dividindo o ganho de energia por n colisões, resulta a equação diferencial de dn β2 E. Rearranjando a equação e integrando a energia desde E i (energia de injeção da partícula) até E (energia ao deixar a nuvem) para n colisões, isto é, E E i de E = β2 n 0 dn = ln E E i = β 2 n, E = E i exp(β 2 n). (28) Se τ c for o intervalo de tempo entre duas colisões sucessivas, então o número de colisões num intervalo de tempo t será n = t/τ c, resultando a energia ( β 2 ) t E (t) = E i exp = E i exp(t/t c ), (29) τ c 131

15 onde t c = τ c /β 2. Sob a denominação comum de raios cósmicos [9], incluem todo tipo de partículas e núcleos estáveis presentes no espaço e que eventualmente podem incidir sobre a alta atmosfera da Terra. Apesar da denominação, são na maioria partículas carregadas, principalmente prótons e alguns outros núcleos mais leves. A figura?? [?] ilustra a incidência de uma partícula cósmica na alta atmosfera e a consequente produção de partículas secundárias em cascata. Conforme a altitude, diferentes partículas podem ser detectados e, também, diferentes técnicas de detecção devem ser utilizadas. 8.6 Chuveiro Atmosférico Os raios cósmicos primários, em geral partículas carregadas altamente energéticas, ao penetrarem na alta atmosfera terrestre, colidem com os núcleos atômicos do gás atmosférico, iniciando a formação das partículas secundárias que, tendo energia suficiente, desencadeiam um processo de colisões sucessivas, formando o chuveiro atmosférico. Dependendo da energia da partícula primária ao penetrar na alta atmosfera, o chuveiro atmosférico pode chegar ao solo, cobrindo uma superfície tanto mais extensa quanto maior for a energia da partícula primária. Os eventos associados a um determinado chuveiro cósmico, captados ao nível do mar, por exemplo, devem ter uma correlação temporal [17], [42], [46]. Os chuveiros têm um núcleo (eixo) hadrônico definido pela partícula primária (próton ou outro núcleo) que, colidindo com os núcleos do gás atmosférico, produzem mésons carregados, principalmente os píons π + e π, os quais decaem em múons µ + e µ, e os píons neutros π 0, que originam pares e + e ou fótons, constituindo os ramos secundários do chuveiro, formados pelas partículas secundárias. Nesta reação em cadeia, os múons µ + e µ decaem em elétrons e posítrons, e + e e e em neutrinos e anti-neutrinos, etc.. Uma ilustração do processo de formação dos chuveiros atmosféricos pode ser vista na figura 1. As partículas primárias vão perdendo energia nestas sucessivas colisões, até atingir o solo com a energia bastante atenuada. Quanto maior a energia inicial da partícula primária, maior deve ser a área coberta pelas partículas secundárias do chuveiro atmosférico. Para energias das partículas primárias acima de E 0 > 100T ev = ev, os chuveiros cobrem uma extensa área do solo, daí a necessidade de detectores baseados no solo cobrindo áreas extensas. 132

16 Figure 1: Ilustração a formação do chuveiro atmosférico. Raios cósmicos primários de alta energia, com energias acima da ordem de ev, por serem eventos raros, somente podem ser detectados indiretamente a partir da detecção das partículas secundárias dos chuveiros cósmicos, em sistemas de detectores espalhados em grandes áreas, daí a importância de se conhecer a dinâmica da formação dos chuveiros atmosféricos. 8.7 Propagação no espaço cósmico Para um próton com energia de ev em um campo de 3µG, resulta um raio de giro r L de aproximadamente 300pc, da ordem da espessura do disco galáctico, de modo que os raios cósmicos acima ev tendem a ser excluídos do plano galáctico. Deste modo, raios cósmicos com energias acima desta ordem de grandeza, cuja isotropia é incompatível com o resultado acima exposto, acredita-se sejam de origem extra-galáctica, supondo que muitas das partículas primárias nesta região de energia sejam prótons. Também, raios cósmicos ultra energéticos, com energias acima da ordem ev, têm as suas trajetórias pouco afetadas por campos magnéticos da ordem de grandeza dos campos galácticos e inter-galácticos, de modo que a direção de entrada na atmosfera de uma partícula cósmica ultra energética deve apontar diretamente para a fonte de onde vem esta partícula cósmica. Por outro lado, o espaço cósmico é permeado pela radiação cósmica de 133

17 fundo que, embora não tenham energia suficiente para afetar partículas cósmicas com energias abaixo da ordem de ev, pode-se mostrar que interagem fortemente com os raios cósmicos de ultra alta energia, com energias acima da ordem de ev. Logo após a descoberta por Arno Penzias e Robert Wilson da radiação de fundo de baixa energia, na região de microondas, em 1965, em trabalhos independentes, Kenneth Greisen, Vadem Kuzmin e George Zatsepin esboçaram cálculos mostrando que os raios cósmicos de alta energia, interagindo com esta radiação cósmica de fundo, sofrem uma rápida perda de energia, tanto maior quanto maior for a sua energia, estabelecendo um mecanismo de corte para a energia da ordem de ev, atualmente conhecido como a energia de corte GZK. O espectro da radiação cósmica de fundo é o da radiação de corpo negro à temperatura de 2, 7K, correspondendo à região de microondas. Em termos de energia, tem pico em ev, com densidade de 400 fótons/cm 3. Nestas condições, o limiar de energia para a produção de pares p + γ 2,7K p + e + + e (30) é da ordem de ev, com livre caminho médio de aproximadamente 1Mpc. Significa que, convertido para o referencial de repouso do próton, os fótons da radiação cósmica de fundo são percebidas como tendo energia igual ou superior a duas vezes a massa de repouso do elétron, possibilitando a formação do par elétron-posítron. No caso de prótons, o principal mecanismo de corte é a foto-produção de píons, p + γ 2,7K n + π +, (31) ou p + γ 2,7K p + π 0, (32) cujo limiar de energia é de 10 19,6 ev e que causa a perda de energia da ordem de 20% em cada interação, com livre caminho médio de 6Mpc. No caso das partículas primárias serem núcleos de outros elementos, de peso atômico A, as reações possíveis são a produção de pares elétron-posítron, e as reações de foto-desintegração A + γ 2,7 A + e + + e, (33) A + γ 2,7K (A 1) + N (34) ou A + γ 2,7K (A 2) + 2N, (35) 134

18 sendo os processos igualmente importantes para a atenuação de energia dos núcleos pesados. Se os raios cósmicos primários forem raios γ, a sua interação com a radiação de fundo se dá através da criação de pares γ + γ 2,7K e + + e (36) a partir da energia de ev até ev. Devido ao comprimento de atenuação da ordem de 100Mpc, as localizações das fontes dos raios cósmicos ultra-energéticos ficam limitadas a esta distância. Esta limitação implica, também, que deve haver uma forte anisotropia na distribuição desses raios cósmicos ultra energéticos, indicando as possíveis fontes astrofísicas. Notas: 1. A unidade de distância pc (parsec, de paralax per second) corresponde à distância de uma estrela fixa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições opostas durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição desta estrela deslocada de um segundo de arco. Equivale a 3, 262 anos-luz, um ano-luz sendo a distância percorrida pela luz no vácuo durante um ano, = 9, cm. 2. O elétron-volt, ev, é uma unidade de energia correspondente à energia potencial de um elétron submetido a uma diferença de potencial de 1 volt, e tem a equivalência 1eV = 1, Joule s. Comumente é usado também como unidade de massa, considerando a equivalência massa-energia E = mc 2. Exercícios 1. As estrêlas obtem parte da energia pela fusão de três partículas α, ou H2, 4 formando um núcleo de Carbono, C6 12. Quanta energia é liberada nesta reação? Dados: massas em unidade de massa atômica, u.m.a. = kg = 931.1MeV, nêutron próton Hélio (α) Carbono C

19 2. Considere a reação H 2 + Li 6 2He 4. a) Supondo que toda a energia excedente desta reação transforme-se em energia térmica, qual é o ganho em temperatura após a reação? b) Qual é a energia cinética ganha por cada molécula de hélio, considerando que um mol contém moléculas? Os pesos de um mol de cada uma das substâncias abaixo são: H 2 (deutério) g Li 6 (lítio) g He 4 (hélio) g. Bibliografia 1. C. Moller, The Theory of relativity (second edition), Oxford University Press (1972). 2. L. Landau and E. L. Lifshitz, The Classical Theory of Fields, Pergamon Press, Oxford (1976). 3. P. G. Bergmann, Introduction to the Theory of Relativity, Dover Publications, NY, (1976). 4. David Griffi ths, Introduction to Elementary Particles, John Wiley & Sons, NY, Thomas K. Gaisser, Cosmic Ray and Particle Physics, Cambridge University Press,