, a probabilidade de ocorrência do fenômeno será

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1 CPÍTULO 3 - DIMENSIONMENTO DOS SISTEMS TELEFÔNICOS Para dimensionar os circuitos e órgãos das centrais telefônicas recorre-se a fórmulas deduzidas a partir da natureza estatística do tráfego telefônico. Na dedução das fórmulas serão utilizadas, freqüentemente, as seguintes propriedades da Estatística: Se a ocorrência de um fenômeno está vinculada a outros eventos estatísticos não correlacionados entre si, de probabilidade P, P2... Pn, a probabilidade de ocorrência do fenômeno será P P + P Pn = (3.) se o vínculo é alternativo, ou seja, se é suficiente que ocorra apenas o evento ou apenas o evento 2... ou n; ou P P P2... Pn = (3.2) se todos os eventos e 2... e n devem ocorrer simultaneamente. 3.. Tráfego gerado por um número finito de fontes Sejam N fontes de tráfego com a mesma probabilidade de geração de tráfego. Seja a=/n o aproveitamento das fontes, onde é a intensidade média de tráfego gerada pelo feixe e também a medida da fração do tempo de ocupação de cada circuito. probabilidade de uma fonte estar ocupada será, portanto, (a), e de não estar ocupada, (-a). j N j a ( a). probabilidade de j das N fontes estarem ocupadas será: Normalmente, não interessa quais j determinadas, mas sim que j N quaisquer estejam ocupadas. Como existem ( ) j alternativas de se escolher j fontes das N, a probabilidade P j de se ter j quaisquer das N fontes ocupadas será: P j N j N j ( ) a ( a) = (3.3) j onde a=/n ; trata-se, portanto, da função de distribuição binomial.

2 Se o número N tender ao infinito mantendo-se constante (caso dos fenômenos raros), obtém-se: Pj j N j j N! = lim = e (3.4) N j!(n j)! N N j! ou seja, a distribuição se transforma na de Poisson Características estatísticas do tráfego telefônico Seja um feixe em que as ocupações das vias se processam de forma aleatória, de acordo com a demanda espontânea das fontes de tráfego. s características de tráfego telefônico são determinadas pelas propriedades estatísticas do fenômeno de ocupação e liberação dos circuitos ou órgãos dos sistemas telefônicos Distribuição do intervalo de chamadas dmite-se, inicialmente, a existência de um número muito grande de fontes de tráfego. Nesse caso, aceita-se que a probabilidade de ocorrer uma nova ocupação no feixe num intervalo de tempo t seja independente do número de ocupações já existentes. Seja c o número de ocupações que ocorrem na unidade de tempo. O intervalo de tempo médio entre duas ocupações consecutivas será, portanto, t m = / c (3.5) probabilidade de uma ocupação ocorrer no intervalo e a de não ocorrer será -c t. t será c t, Para determinar a função de distribuição P(t), em que P(t) é a probabilidade de uma ocupação ocorrer no intervalo de tempo de 0 a t, devese lembrar das condições de contorno: para t=0 P(0)=0; e para t P( )=. probabilidade de uma ocupação não ocorrer no intervalo de 0 a t será ( - P(t)). de não ocorrer essa ocupação no intervalo 0 a t+ t será ( P( t + t) ). Para a ocupação não ocorrer de 0 a t+ t é necessário que ela não ocorra no intervalo de 0 a t e também não no intervalo de t a t+ t. mbos os eventos devem ocorrer e, como não são correlacionados, as suas probabilidades de ocorrência se multiplicam, ou seja: 2

3 t P( t+ t) = ( P( ))( c t) (3.6) donde: P( t+ t) P( t) = P( t) c t + c t (3.7) Fazendo-se a passagem ao limite para t tendendo a zero, obtém-se a equação diferencial: dp(t) dt + cp(t) = c (3.8) Observadas as condições de contorno citadas anteriormente, obtém-se a expressão: ct t / P( t) e = e t m = (3.9) que fornece, assim, a probabilidade de alguma ocupação se realizar no intervalo de tempo de 0 a t Distribuição da duração das ocupações duração das ocupações não obedece a uma distribuição estatística única. ocupação de certos órgãos utilizados somente no estabelecimento das ligações (registradores, marcadores, comandos, processadores, telefonistas) é mais bem aproximada num modelo matemático com um tempo de retenção constante (t r = c te ). s chamadas telefônicas em si originam um tempo de retenção cuja função de distribuição mais se aproxima da forma exponencial seguinte: t / t P(t) = e r (3.0) onde: t r P(t) : tempo de retenção médio; e : probabilidade de uma ocupação terminar o mais tardar até o t / t instante t (a de não terminar será: e r ). Havendo, num feixe, j ocupações simultâneas, com distribuição exponencial, como elas não são correlacionadas, a probabilidade de nenhuma terminar no intervalo de 0 a t será dada por: ( t / t j r / t e ) = e jt r P(t) = (3.) 3

4 probabilidade de alguma das j ocupações terminar no intervalo de 0 a t será, portanto: q(, t, j) = e j t + 0( t j t / tr = r t) 4 (3.2) em que 0( t ) é um zero de primeira ordem com t, ou seja, lim 0( t) / t 0. probabilidade de mais de uma ocupação terminar no 0 = t intervalo t é um zero com t Tráfego espontâneo Seja um número muito grande de fontes de tráfego. Tendo as ocupações um espaçamento médio t m e o tempo de retenção apresentando uma distribuição exponencial com média t r, trata-se de verificar qual a P j de j vias estarem ocupadas no instante t. Pode-se probabilidade ( t) considerar as seguintes alternativas para j vias estarem ocupadas no instante t: a) no instante t- t havia j-l vias ocupadas e, no intervalo ocupada. b) no instante t- thavia j+ vias ocupadas e, no intervalo liberada. c) no instante t- thavia j vias ocupadas e, no intervalo nem liberação. t, mais uma é t, uma é t, não há ocupação d) no intervalo t houve mais de uma ocupação ou liberação, para no instante t existirem j vias ocupadas. Na Tabela 3. estão indicadas as probabilidades associadas a esses eventos parciais: Ocupação ocupação de 0 t ocupação de 0 t determinada ocupação liberada de 0 t Probabilidade de ocorrer o evento e t / t t / t m m t / Probabilidade de não ocorrer o evento t / e t m t t e r / tr e t / t m 4

5 Liberação liberada de 0 t qualquer das j liberadas de 0 t q(, t ) q(, t,j) q(>, t,j) e jt / t r t / t r j t / t r + 0( t) 0( t) / t e jt r t / t r j t / t r 0( t) 5 Tabela 3. Probabilidade associada a eventos específicos de ocupação e liberação. s probabilidades associadas aos respectivos fenômenos serão: a)p b)p j j+ j t t c)pj(t t)( )( ) + 0( t) t t d)0( t) t t (t t)( (j ) ) t t + 0( t) ( j + ) t t (t t) ( ) + 0( t) t t r r r m m m (3.3) probabilidade P j (t) será a soma das probabilidades das diversas alternativas (de a até d). Reagrupando os termos e fazendo-se a passagem ao limite para t 0, obtém-se: dpj(t) j j+ t = Pj (t) ( + )Pj(t) + Pj+ (t) (3.4) dt t m t m t r t r Como não nos interessa o fenômeno transitório inicial, mas sim a solução para t, que independerá do instante t, pode-se escrever: Pj + ( + j)pj + (j + )P j+ = 0 (3.5) com = t r / t j m. Por recorrência se conclui: P j = P0 (3.6) j! e considerando que: 5

6 j= 0 P j = obtém-se: j 6 (3.7) Pj = e (3.8) j! Trata-se, portanto, de uma distribuição de Poisson. O valor médio dessa função é: j= 0 jp j = (3.9) isto é, em média, vias estarão ocupadas. Daí, conclui-se que a intensidade média de tráfego gerado é, ou seja, a oferta espontânea de um número muito grande de fontes é dada por: = t /. r t m Pj j Figura 3. Distribuição de Poisson. representação gráfica da função de distribuição de Poisson é a indicada na Figura 3.. Constata-se que mesmo não sendo equiprováveis as fontes de tráfego, a função de distribuição de Poisson se aplica ao tráfego telefônico, para uma distribuição exponencial dos tempos de retenção. 6

7 Sistema de comutação de perdas com acessibilidade plena Seja um tráfego espontâneo de um número muito grande de fontes, escoado por um feixe de N circuitos. Interconectando as fontes ao feixe de saída, existe um sistema de comutação de perdas com acessibilidade plena. Para tanto, basta calcular a perda B, decorrente da limitação introduzida por só se dispor de N vias para escoar o tráfego. Pelo item anterior, sabe-se que a ocupação simultânea de j vias ocorre com probabilidade: j P j = P0 (3.20) j! Como só há N vias de escoamento, obrigatoriamente: N P j= 0 j = donde conclui-se que: 0 = N k k= 0 k! (3.2) P (3.22) e, portanto: j j! j = N k k= 0 k! P (3.23) que é a distribuição de Erlang, que tende para a de Poisson quando N tende a infinito. geração espontânea do tráfego faz surgir, em média, para cada intervalo de tempo t m, uma nova tentativa de comunicação. Ocorrerá uma perda toda vez que houver uma ocupação e as N vias de saída já estiverem ocupadas. fração do tempo em que isto ocorrer é exatamente P N. probabilidade de perda do sistema é, portanto, igual à de se ter N vias ocupadas: 7

8 N E,N () = B = N! (3.24) N k k= 0 k! Esta é a fórmula B de Erlang de primeira espécie para sistemas de perdas, com acessibilidade plena. Se B for pequeno ( 0,5N), pode-se usar a fórmula aproximada: N B = e (3.25) N! Caso se represente graficamente o aproveitamento das linhas do Y ( B) feixe de saída a = =, em função de N e B, obtêm-se curvas do N N tipo indicado na Figura 3.2. Constata-se que feixes com um pequeno número de vias têm um mau aproveitamento para uma determinada perda B. Por outro lado, os feixes densos têm bom aproveitamento, mas são muito sensíveis a sobrecargas, isto é, as perdas aumentam rapidamente quando o tráfego ultrapassa o valor do cálculo. Para dimensionar os sistemas telefônicos, usualmente fixa-se uma perda B, que não deve ser ultrapassada, e dimensiona-se N para escoar um determinado tráfego. fórmula anterior é de uso incômodo, motivo pelo qual normalmente é tabelada. Para consultas mais detalhadas, recomenda-se a referência [Sie70], de onde se extraiu a Tabela 3.2, apresentada a seguir, para o caso de perdas de 2%, valor muito comum na prática. 8 8

9 9 a erl linha B = constante N Figura 3.2 proveitamento das linhas do feixe Sistemas de comutação de espera e acessibilidade plena Seguindo raciocínios análogos aos do item , pode-se deduzir a fórmula de Erlang C, válida para sistemas de espera, quando se verifica um tráfego de Poisson (infinitas fontes) e o atendimento das chamadas em espera é feito em ordem cronológica: N E = > = 2,N () P( 0) N N! (3.26) k N N + k! N N! N k= 0 N que representa a fórmula de Erlang de segunda espécie, para sistemas de espera. O tempo médio de espera (q), relativo a todas as chamadas, e o número de chamadas em espera ( L ) são dados, respectivamente, por: q t r q = P( > 0) (3.27) N e L q = P( > 0) (3.28) N s fórmulas são válidas apenas para N >, sem o que não se chega 9

10 a atingir equilíbrio estatístico. Também essas fórmulas costumam ser tabeladas (ver referência [Sie70]). 0 Tabe la de Erlang-B para bloque io de 2% Número Cap acidade Número Capacidade Número Cap acidade de canais (em Erlangs) de canais (em Erlangs) de canais (em Erlangs) 0, , ,59 2 0, , ,53 3 0, , ,48 4, , ,43 5, , ,38 6 2, , ,32 7 2, , ,27 8 3, , ,23 9 4, , ,8 0 5, , ,3 5,84 4 3, ,08 2 6, , ,04 3 7, , ,99 4 8, , ,94 5 9, , ,90 6 9, , ,86 7 0, , ,8 8, , ,77 9 2, , , , , ,69 2 4,04 5 4,9 8 69, , , ,6 23 5, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3 Tabela 3.2 Tabela de Erlang B para bloqueios de 2%. 0

11 Sistemas de chamada perdida retornada Se as chamadas perdidas retornarem ao sistema, pode-se escrever: 2 2 ' = + B + B +... = ( + B + B +...) = (3.29) B onde é o tráfego na hipótese de chamada perdida e o novo tráfego ' corresponde a um tráfego total fictício de equilíbrio estatístico do sistema. O efeito de retorno dessas chamadas é desprezível para valores pequenos de B, caso contrário a solução pode ser obtida com o seguinte procedimento recursivo: ) com e N, determina-se B ; 2) ao valor original de e a este B i, corresponderá um ' segundo a expressão acima; 3) com ' e N, determina-se B i+ ; 4) retorna-se ao passo 2 até que o processo convirja. 00 ' 0 N=5 N=0 N=5 N=20 =' Figura 3.3 Sistema de chamada perdida retornada.

12 pós alcançar a convergência, estará resolvida a equação: = ' ( E (')) f (') (3.30), N = que mostra, ainda, que ' é biunivocamente determinado a partir de (desde que N, pois, caso contrário, o processo não converge). Isso fica bastante claro no exemplo representado na Figura 3.3. Observa-se ainda nessa figura que, no caso limite N, o sistema diverge, implicando '. 2 Problemas propostos ) Demonstre a expressão recursiva da fórmula de perdas de Erlang, dada a seguir, e depois use-a no problema. E,N E () = N + E,N (),N Num grupo de 20 troncos, a probabilidade de bloqueio é 0,0 quando lhe é oferecido um tráfego de 2 Erlangs. Qual é a melhoria obtida nessa probabilidade se adicionarmos um tronco ao grupo? Como se deteriora o desempenho se um tronco é retirado do grupo? () 2) Seja uma Central Telefônica que se interliga com duas outras, designadas por B e C, conforme representado na Figura : Central 5 km 5 km Central B Central C Figura 2

13 3 Central Central B Central Tandem Central C Figura 2 Na HMM, o tráfego gerado de para B e C é de 80 e de 20 erl., respectivamente. Pede-se que se dimensionem os feixes entre e as demais localidades, para uma perda total de %, segundo duas hipóteses: a) rotas diretas de conexão entre as centrais; b) rotas diretas de conexão entre e as demais centrais, dimensionadas para uma perda de 50%, e uma Central tandem, localizada no ponto médio das centrais B e C, como representado na Figura 2, para escoar o tráfego excedente (aquele que não se consegue escoar nas rotas diretas). Compare as duas soluções em termos de custo, sabendo que o custo de uma Central tandem pode ser considerada equivalente a X km de cabo instalado. 3) Um PBX (Private utomatic Branch Exchange) tem 3 mil assinantes, 60% dos quais com telefone a teclado. O tráfego gerado por assinante é de 0,07 erl., dos quais 0,02 destinam-se à rede pública. s telefonistas atendem 50% do tráfego entrante, que equivale a 00 erl., sendo o restante escoado automaticamente (DDR: discagem direta a ramal). Nos troncos de entrada, a sinalização é por pulsos decádicos semelhantes aos gerados pelo disco, ou seja, com uma duração média de s/dígito. Os telefones a teclado, bem como a mesa da telefonista, emitem pulsos multifreqüenciais num ritmo de 0,2 s/dígito. Os registros solicitam os dispositivos MF quando necessário. Os tempos médios de retenção das ligações são de 80 s para as internas e 60 s para as externas. Os registros e dispositivos MF são retidos o tempo necessário para receber toda a informação, com mais s para o processamento da comunicação. s telefonistas precisam de 0 s para encaminhar uma chamada entrante. Todos os feixes devem ser dimensionados para acessibilidade plena, sendo a perda de % nos feixes de conversação e 0,2% nos acessos aos registros e dispositivos MF. O tom de discar pode ter uma probabilidade de espera (P(t >0)) de 2%; o acesso à 3

14 telefonista, P(t >0)=5%. O bloqueio interno nas matrizes é de 0,2% por passagem. discagem para chamadas internas é de 4 dígitos e, para externas, de (obtenção de linha). Nessas condições: a) calcular o tráfego em cada um dos feixes; b) dimensionar o número de circuitos de cada um dos feixes; c) repetir o item b, para os registros e dispositivos MF; d) repetir o item b, para o número de mesas telefônicas; calcular quantos minutos trabalham efetivamente as telefonistas na HMM; e) calcular a perda total em uma ligação interna. Considere a chamada originada por um telefone a disco e depois repita para um a teclado; f) calcular o número de retenções, na HMM, para os estágios S e SR; g) determinar qual o tempo mínimo, de modo que não haja colapso do sistema, para que os marcadores M e M 2 executem uma interconexão nas respectivas matrizes, sabendo que as chamadas são processadas seqüencialmente; h) dimensionar as matrizes S e SR. 4 S 000 CI SR M M2 para e da Rede Pública MF REG. Mesas COMNDO CENTRL Figura 3 4

15 5 4) Num PBX com 00 assinantes, dispõe-se de 2 troncos para o tráfego externo. Metade dos troncos são para o tráfego que sai, acessado discando-se o número "0". Determinar qual a intensidade de tráfego total a ser processado em cada sentido, para uma perda de 2%, nas seguintes situações: a) aos 6 troncos de entrada são associados 3 números, cada qual com 2 troncos, distribuindo-se o tráfego de entrada eqüitativamente entre esses 3 números; b) associa-se um único número chave à empresa, para o tráfego de entrada; c) não se separa o feixe de entrada do de saída, sendo todos os circuitos bidirecionais, isto é, podem ser acessados tanto para o tráfego de entrada como para o de saída. 5) Um grupo de 0 telefonistas, trabalhando com PBX, com um tempo de retenção constante, gera atraso em uma a cada cem chamadas. Calcular o número de telefonistas que precisam ser adicionadas às 0 atuais, para que se passe a esperar uma chamada a cada mil, em média. 6) Várias pessoas querem deixar um estacionamento à razão de 5,4 por minuto. Pagam a taxa quando saem e isto leva, em média, 20 segundos. O estacionamento possui 2 saídas. Calcule: a) a porcentagem dos carros que vão ter que esperar para pagar; b) a demora média dos carros; c) o tamanho médio da fila. 7) Uma grande cidade é atendida por 30 centrais telefônicas com 0 mil assinantes cada, interligadas numa rede em malha, por feixes diretos unidirecionais, de comprimento médio de 2 km. O tráfego originado em cada central, para qualquer outra, é de 6 erl. Para economizar na rede de cabos, introduzem-se centrais tandem, distantes 9 km uma da outra, cada uma atendendo a 0 centrais locais, numa rede em estrela. distância média das centrais locais à respectiva tandem é de 4 km. Todos os feixes são acessados através de um sistema de comutação de perdas com B = 0,5%. Qual a economia percentual na rede de cabos obtida com a introdução das centrais tandem? Desenhar o diagrama de junção de uma das centrais tandem, admitindo esta como um estágio de seleção de rotas (SR), com 5

16 registros, marcador e comando. Indicar o tráfego correspondente a cada feixe. 6 8) Supondo que a ocupação de troncos acontece de uma forma seqüencial, mostre, a partir de um exemplo numérico, que a utilização dos últimos troncos é bastante ineficiente. N troncos Y (N+) troncos Y' Figura 4 9) Representa-se na Figura 5 a ocupação de um grupo de 2 linhas telefônicas, em função da hora do dia (os números na horizontal inferior indicam intervalos sucessivos de hora ao longo do dia, e as ocupações, indicadas por x, foram quantizadas em intervalos de 20 minutos). Linha x xx xxx xxx xxx xxx xxx 2 x xxx xxx xx xxx xxx 3 xxx xxx 4 xxx xxx 5 xxx xxx xxx xx xxx xxx xxx 6 xx xx xxx xxx xxx xxx xxx 7 xxx xx xxx xxx x x x x xxx xxx 8 xx xxx 9 xxx xx xx xxx xxx xx xxx xxx 0 x x xxx xxx xxx xxx xx xx xx x xxx xx 2 xx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xx Figura 5 a) determinar o volume de tráfego gerado no período; 6

17 b) determinar a intensidade média de tráfego; c) determinar a intensidade média por linha; d) esboçar a curva da intensidade instantânea do tráfego ao longo do período considerado (indique sempre as unidades correspondentes). 7 0) Para uma distribuição exponencial do intervalo de chamadas, com que freqüência duas chamadas chegam com intervalo menor do que 0 ms entre si, no caso de um conjunto de 0 mil linhas cada uma originando uma chamada/hora, em média? ) Seja uma Central tandem (CT) constituída por um estágio de seleção de rota (SR), com registros, marcador e comando, conforme indicado na Figura 6, interligando três localidades, B e C. s necessidades de comunicação entre as localidades estão indicadas na tabela abaixo, e são expressas em milhares de ligações por dia totalmente encaminhadas via CT. Hora de Maior Movimento (HMM) é coincidente nas três localidades e tem um fator de concentração f c =0,; o tempo médio de retenção das ligações é de 3 minutos; o sistema de numeração é de 7 dígitos e o tempo de seleção é de,5 s/dígito para todos os telefones. Deve-se dimensionar o sistema para uma perda de acesso a todos os feixes de 0,5% e, aos registros, de 0,%. dmitir um bloqueio interno na matriz de 0,%. a) indicar a distribuição da intensidade de tráfego; b) dimensionar todos os feixes que se conectam ao estágio SR; c) calcular o número de registros necessários; d) determinar o tempo máximo que o comando pode dispensar para o estabelecimento de uma chamada, admitindo que ele as processa seqüencialmente, uma de cada vez; e) calcular a perda total para uma ligação. 7

18 8 de de B de C SR para para B para C REG M Comando Central de para B C X B 36 X 42 C X Figura 6 2) 20 (N) linhas tentam escoar um tráfego () de 5 erl. Considere inicialmente a hipótese de as chamadas não atendidas serem perdidas. Calcule a perda associada (B) e o tráfego escoado ('). Estabeleça a relação teórica entre, ', B e N. Considere agora a hipótese de as chamadas não atendidas retornarem ao sistema. Nesse caso, determine o tráfego equivalente de entrada (''), a perda associada (B) e o tráfego escoado ('). Estabeleça a relação teórica entre, ', '', B e N. 3) São oferecidas, na HMM, 80 chamadas, com um tempo médio de duração de 240 s, a um grupo de troncos, numa rota de ª escolha. Quantos troncos serão necessários para escoar esse tráfego, supondo que 30% das chamadas sejam desviadas para uma rota alternativa? 8

19 9 4) Duas localidades, e B, ambas com 0 mil assinantes, têm um interesse comum: que sejam geradas mil chamadas de para B e.500 de B para, ambos os valores referentes à HMM. Em cada localidade, tem-se uma Central de Comando Central com estágios analógicos S e SR. O tráfego local em é de 0,08 erl. por assinante e o tempo médio de retenção das chamadas é de 3 minutos. a) Esboce o diagrama do fluxo de tráfego na matriz SR da Central. b) Considerando uma perda de acesso aos feixes de % e uma probabilidade de espera pelo tom de discar de 2%, dimensione a matriz SR. Nota histórica: I. Manzetti Sempre foi um grande mistério saber quem é o verdadeiro pai do telefone. Considerada uma das invenções mais importantes da humanidade, ainda pairam dúvidas sobre o seu real inventor. O mundo científico sempre considerou a invenção como uma questão a resolver entre o americano, vindo da Escócia, lexander Graham Bell, que registrou seu próprio dispositivo em 876, e o emigrante de Florença ntonio Meucci, que registrou um aviso de patente em 87 (ver também notas históricas sobre ntonio Meucci e Johann Phillip Reis). Mas outro italiano, do Vale de osta, Innocenzo Manzetti ( ), que descobriu um dispositivo elétrico capaz de transmitir voz humana, muitos anos antes de Bell e Meucci, também poderia permanecer em cena. Engenhoso, porém humilde e com poucos recursos financeiros, o agrimensor Manzetti era conhecido também por outras realizações. Dentre seus maiores feitos, consta a construção de um autômato (uma espécie de robô moderno, com mais de 500 dispositivos mecânicos, capaz de se mover e tocar flauta, em 849). Durante o processo de aperfeiçoamento de seu autômato (para lhe dar também a habilidade de falar), Manzetti transmitiu voz a distância por meio de eletricidade. No verão de 865, Manzetti apresentou à imprensa o seu telefone e a notícia foi difundida no mundo inteiro. Jornais da Itália, França e até mesmo Estados Unidos noticiaram o fato. O próprio Meucci, na época ainda desconhecido, ouviu as notícias da Fonte: baseado em texto do Dr. Basilio Catania, com a permissão do autor. 9

20 invenção de Manzetti e disse o seguinte a um jornal ítalo-americano: Eu não quero negar a invenção do Sr. Manzetti, mas observo que é possível haver dois pensamentos distintos para a mesma descoberta, e, unindo-se as duas idéias, pode-se chegar com certeza a uma coisa realmente importante. Em seguida, ele descreveu a sua invenção, que de fato parecia ser bem menos funcional que a de Manzetti. Manzetti morreu em 877, poucos meses depois de a notícia sobre a patente de. G. Bell (4 de fevereiro de 876) espalhar-se no mundo inteiro. inda que Meucci tenha obtido recentemente o reconhecimento oficial, Manzetti merece uma lembrança, pois, de forma independente e num outro continente, chegou aos mesmos princípios básicos do telefone, quase simultaneamente com Meucci e, certamente, antes de. G. Bell