UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS Instituto de Ciências Sociais Aplicadas THAÍS DE FRANÇA WATANABE

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALFENAS Instituto de Ciências Sociais Aplicadas THAÍS DE FRANÇA WATANABE ANÁLISE DA SÉRIE TEMPORAL DO RENDIMENTO MENSAL DA CADERNETA DE POUPANÇA NO PERÍODO DE AGOSTO DE 1994 A ABRIL DE 2014 VARGINHA/MG 2014

2 THAÍS DE FRANÇA WATANABE ANÁLISE DA SÉRIE TEMPORAL DO RENDIMENTO MENSAL DA CADERNETA DE POUPANÇA NO PERÍODO DE AGOSTO DE 1994 A ABRIL DE 2014 Trabalho de conclusão de curso apresentado ao Instituto de Ciências Sociais Aplicadas da Universidade Federal de Alfenas, como requisito parcial à obtenção do título de Bacharel em Ciências Econômicas com Ênfase em Controladoria. Orientador: Prof. Msc. Gabriel Rodrigo Gomes Pessanha. VARGINHA/MG 2014

3 THAÍS DE FRANÇA WATANABE ANÁLISE DA SÉRIE TEMPORAL DO RENDIMENTO MENSAL DA CADERNETA DE POUPANÇA NO PERÍODO DE AGOSTO DE 1994 A ABRIL DE 2014 A Banca examinadora abaixo-assinada aprova a monografia apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Bacharel em Ciências Econômicas com Ênfase em Controladoria da Universidade Federal de Alfenas. Aprovada em: Prof. MSc.: Gabriel Rodrigo Gomes Pessanha Instituição: Universidade Federal de Alfenas Profa. Dra.: Luciene Resende Gonçalves Instituição: Universidade Federal de Alfenas Prof. MSc.: Letícia Lima Milani Rodrigues Instituição: Universidade Federal de Alfenas Assinatura: Assinatura: Assinatura:

4 RESUMO A poupança é considerada a modalidade de investimento mais tradicional no Brasil, sendo classificada como conservadora por oferecer baixo risco e consequentemente menor retorno, se comparada com outros tipos de aplicações financeiras. Desde seu início em 1861 até hoje, muitas modificações foram feitas com relação à rentabilidade da caderneta de poupança no Brasil. Nos dias atuais, com base na Medida Provisória N 567 de 2012, a rentabilidade passou a depender da meta da Taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação e de Custódia), se essa atingir níveis superiores a 8,5% ao ano, a remuneração será de 0,5% ao mês, acrescido a Taxa Referencial (TR); porém, se a meta da SELIC for inferior a 8,5% ao ano, a remuneração será de 70% da SELIC acrescido a Taxa Referencial. O presente trabalho tem como objetivo analisar a série temporal que está sendo estudada, deixá-la estacionária, aplicar testes que comprovem tal estacionariedade e realizar previsões. A série do rendimento da caderneta de poupança no primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 e abril de 2014, foi deflacionada utilizando o Índice Geral de Preços de Disponibilidade Interna (IGP-DI), e após a aplicação dos testes do Sinal e de Fisher, foi detectada a presença da componente tendência; em seguida através da aplicação da primeira diferença, a mesma tornou-se estacionária. Após a série ser considerada um ruído branco, foram propostas quatro combinações, das quais foi escolhida a que apresentou o menor Erro Quadrado Médio e portanto a combinação que melhor representou a série; a partir disso, foi feita uma comparação entre os dados previstos e os dados da série real, durante o período de julho de 2013 e abril de 2014, o qual havia sido reservado. Palavras-chave: Poupança, Tendência, Estacionária, Séries Temporais.

5 ABSTRACT Saving is considered the most traditional type of investment in Brazil, classified as conservative by offering low risk and consequently lower return when compared with other types of investments. Since its inception in 1861 until today, many modifications were made regarding the profitability of savings accounts in Brazil. Nowadays, based on Provisional Measure N 567 of 2012, the profitability became dependent from the goal of SELIC (Special Settlement and Custody) rate, if that achieve higher levels to 8.5% per year, the compensation will be 0,5% per month, plus the Referent Rate (TR); but if SELIC's goal is less than 8.5% per year, the remuneration shall be 70% of the Selic plus the TR. This study aims to analyze the time series being studied, leave it stationary, apply tests to prove this stationary and make predictions. The savings account yield series on the first working day of the month, between August 1994 and April 2014, was deflated using the general index of domestic suplly prices (IGP-DI), and after the application of the signal and Fisher tests, was detected presence trend component; then by applying the first difference, it became stationary. After the series be considered a white noise were proposed four combinations, which was chosen the one with the lowest Mean Square Error and so the combination that best represented the series; from this, a comparison between the predicted data and the data of the real series was made during the period of July 2013 and April 2014, which had been reserved. Keywords: Savings, Trend, Stationary, Time Series.

6 Sumário 1. Introdução Objetivos Objetivo geral Objetivos específicos Revisão Bibliográfica Poupança Índices Séries Temporais Série Estacionária Material e Método Material Método Estacionariedade (Análise Gráfica) Função de Autocorrelação (FAC) Identificação da sazonalidade (Análise Gráfica) Periodograma Identificação do modelo (Análise Gráfica) Função de Autocorrelação Parcial (FACP) Testes Teste do sinal (COX-STUART) Teste de Fisher Estatística de Ljung e Box (Estatística LB) Teste Dickey-Fuller aumentado (DFA) Série livre de tendência e sazonalidade Diferenciação Modelos ARIMA Modelo Autorregressivo (AR) Modelo de Médias Móveis (MA) Modelo Autorregressivo de Médias Móveis (ARMA) Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA) O Método Box e Jenkins Critérios de seleção de modelos... 23

7 4.9.1 Critério de informação de Akaike (AIC) Erro Quadrado Médio de Previsão (EQMP) Resultados e Discussões Conclusão REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 33

8 4 1. Introdução A caderneta de poupança, criada no Brasil em meados do século XIX, tem como objetivo recolher depósitos, principalmente das classes menos favorecidas, para que essas possam poupar reservas para o futuro a fim, de garantir um investimento mais seguro e com menos riscos. A poupança é a forma de investimento mais segura e tradicional do Brasil, pois envolve baixo risco. Garante através do Fundo Garantidor de Crédito, atualmente, uma quantia máxima a ser restituída de R$ 250 mil em caso de falência, intervenção ou liquidação da instituição financeira em que se tem seu dinheiro aplicado. A garantia de baixo risco vem acompanhada, em contrapartida, da baixa rentabilidade que é proporcionada pela caderneta, a menos rentável dentre as aplicações do mercado financeiro. Desde seu início em 1861 até hoje, muitas modificações foram feitas com relação a rentabilidade da caderneta de poupança no Brasil. Nos dias atuais, com base na Medida Provisória N 567 de 2012, a rentabilidade passou a depender da meta da Taxa SELIC, que se atingir níveis superiores a 8,5% ao ano, a remuneração será de 0,5% ao mês, acrescido a Taxa Referencial (TR); porém, se a meta da SELIC for inferior a 8,5% ao ano, a remuneração será de 70% da SELIC acrescido a TR. O presente trabalho visa estudar o comportamento da série do rendimento mensal da poupança, no período de agosto de 1994 a abril de 2014; utilizando as técnicas de séries temporais para obtenção de valores futuros. 2. Objetivos 2.1 Objetivo geral O objetivo central deste trabalho é analisar a série temporal, que tem como tema o rendimento mensal da caderneta de poupança no período de agosto de 1994 a abril de E a partir disso, realizar uma comparação entre os dados previstos e os dados da série real, como forma de verificar o desempenho do modelo.

9 5 2.2 Objetivos específicos Os objetivos específicos do presente trabalho são: verificar a existência de tendência e sazonalidade por meio de gráficos (FAC e periodograma) e testes; verificar a existência de heterocedasticidade após os ajustes dos modelos ARMA e realizar previsões a partir da modelagem ajustada. 3. Revisão Bibliográfica 3.1 Poupança De acordo com o Guia do Investidor da Comissão de Valores Mobiliários (CVM) (2004), definição de poupança é: Poupança: Normalmente é a aplicação de recursos em lugares seguros que permitem fácil acesso ao seu dinheiro, a qualquer momento que precisar. Os principais tipos de produtos de poupanças são as cadernetas de poupança e os certificados de depósitos bancários (CDBs). A opção de poupar é mais atraente em função da segurança que oferece, mas existe um inconveniente para essa segurança e disponibilidade imediata (liquidez): os seus recursos recebem um salário baixo (pouco rendimento). Através do Decreto nº 2.723, de 12 de janeiro de 1861, estabeleceu-se a criação da Caixa Econômica Federal e, atrelada a ela, o Imperador Dom Pedro II criou também a caderneta de poupança. Segundo o Banco de Brasília (2014), a poupança foi criada para recolher depósitos de pessoas de classes sociais menos favorecidas, para que pudessem poupar para seu futuro, visando um tipo de investimento mais seguro e garantido. Segundo a Caixa Econômica Federal e o Banco Central (2013), entre o começo da poupança e o início da república foram criadas diversas modificações com relação ao funcionamento da caderneta, principalmente com relação à remuneração dos depósitos.

10 6 Em 1874, o Decreto nº deixou estabelecido que as taxas de juros deveriam ser inferiores a 6% ao ano e que seriam estabelecidas anualmente. Através de um acordo realizado no ano de 1915, entrou em vigor o Decreto nº , o qual estipulou que as taxas de juros deveriam ser impostas anualmente pelo governo de acordo com cada localidade e que as mulheres casadas poderiam abrir sua própria poupança com consentimento de seus cônjuges. Assim, com tais mudanças, o montante de depósitos teve uma evolução de cerca de 200%. No ano de 1964, segundo o Banco de Brasília (2014), a Lei nº 4.380/64 decretou uma correção monetária, junto à remuneração anual de 6%. Os valores passaram a ser atualizados de acordo com a correção monetária mensal, conforme percentual definido pelo Banco Central do Brasil. Tal sistema ficou em vigor até janeiro de 1991, quando os valores depositados na poupança passaram a ser remunerados mensalmente a uma taxa de 0,5% aplicada sobre os valores atualizados pela Taxa Referencial (TR). Em maio de 2012, de acordo com a Caixa Econômica Federal (2013), a Medida Provisória nº 567, estabeleceu que os recursos guardados na poupança passassem a ser remunerados de duas maneiras diferentes: se a meta da Taxa SELIC (Sistema Especial de Liquidação e de Custódia) fosse superior a 8,5% ao ano, a remuneração seria de 0,5% ao mês acrescido da TR; ou se a Meta da Taxa SELIC fosse inferior ou igual a 8,5% ao ano, a remuneração seria de 70% da Taxa SELIC mais a TR. A poupança é considerada a modalidade de investimento mais tradicional no Brasil, sendo classificada como conservadora por oferecer baixo risco, e consequentemente menor retorno, se comparado com outros tipos de aplicações financeiras (ASSAF NETO, 2012). Conforme Fortuna (2008), a caderneta de poupança é a aplicação mais simples, sendo a única que se pode aplicar pequenas quantias e ter rentabilidade com relação a esse valor, apesar de perder a rentabilidade se forem feitos saques fora da data de aniversário da aplicação. Segundo a Caixa Econômica Federal (2013), a poupança foi criada para investidores com perfil mais conservador, pois possui baixo risco e no caso de falência ou liquidação de uma instituição financeira o valor aplicado não será perdido. Além disso, há também isenção de impostos (Imposto sobre Operações de Crédito, Câmbio e Seguros - IOF e Imposto de Renda - IR) para pessoa física, é de fácil acessibilidade, pois qualquer pessoa portadora de CPF, RG, comprovante de residência e de renda pode investir,

11 7 podendo ser aberta em qualquer dia útil do mês em um banco comercial. No entanto, possui baixa rentabilidade e oscilação que ocorre de acordo com a inflação do período. Segundo o Banco Central do Brasil (2013), há uma entidade privada, sem fins lucrativos, que administra um mecanismo de proteção aos correntistas, poupadores e investidores, que é o Fundo Garantidor de Créditos (FGC). Tal entidade permite recuperar os depósitos ou os créditos mantidos em instituições financeiras em caso de falência, intervenção ou liquidação. O valor máximo a ser restituído é de R$ 250 mil por depositante ou aplicador, independente do valor total e da distribuição em diferentes formas de aplicação e de depósito (Resolução CMN nº 4.222, de 2013). Existem, segundo Fortuna (2008), alguns tipos de poupança, que são: caderneta de poupança tradicional, caderneta de poupança de rendimentos trimestrais (isenção da CPMF Contribuição provisória sobre a Movimentação ou Transmissão de Valores e de Créditos e Direitos de Natureza Financeira), caderneta de poupança de rendimentos crescentes, caderneta de poupança com finalidade específica e caderneta de poupança rural (caderneta verde). A caderneta de poupança tradicional faz parte das SCI (Sociedade de Crédito Imobiliário), das carteiras imobiliárias dos bancos múltiplos, das associações de poupança e empréstimo e das caixas econômicas. Tais instituições fazem parte do chamado SBPE (Sistema Brasileiro de Poupança e Empréstimo) (FORTUNA, 2008). Cerbasi (2005), define algumas características da caderneta de poupança: Qual é o risco? Ao contrário do que a maioria pensa, a poupança oferece algum risco. Se o banco em que se tem uma poupança quebrar, o fundo criado pelos bancos (FGC) serve como uma espécie de seguro, que devolve ao correntista prejudicado parte do possível prejuízo. Prós: único investimento sobre o qual não é incidido o Imposto de Renda. Possui baixo risco, a taxa é igual em todos os bancos e é de conhecimento público. Contras: oferece baixa rentabilidade, perdendo para a maioria das aplicações de baixo risco do mercado. A poupança recebe depósitos tanto de pessoas físicas quanto jurídicas; a remuneração para as pessoas físicas e jurídicas sem fins lucrativos é mensal, e para pessoas jurídicas com fins lucrativos, o rendimento é trimestral. A abertura da caderneta pode ser feita em

12 8 qualquer dia útil do mês, mas as contas iniciadas nos dias 29, 30 e 31começam a ter rendimento no dia primeiro do mês posterior a data do depósito (FORTUNA, 2008). Oliveira (1980) define que a poupança depende de três fatores básicos: a capacidade de poupar, que diz respeito ao nível de renda do poupador; do desejo de poupar, que trata das motivações que o investidor possui e das oportunidades de poupar, que fazem referência aos instrumentos de captação de recursos oferecidos. Assim, o investidor deverá repensar suas prioridades criando hábitos de poupar, para ter um futuro seguro e uma independência financeira. Os recursos captados em depósitos de poupança são regulamentados pela Resolução nº 3.347, de 02 de fevereiro de De acordo com Fortuna (2010), tais recursos possuem direcionamentos previstos, são eles: 65%, no mínimo em operações de financiamento imobiliário, sendo 80% deste valor direcionado a operações do Sistema Financeiro da Habitação (SFH) e os outros 20%, a operações de financiamento imobiliário contratado a taxa de mercado; Encaixe Compulsório no Banco Central de 20%; Os recursos remanescentes em disponibilidades financeiras e em outras operações admitidas nos termos da legislação e regulamentação em vigor. Salviano (2007) afirma que: Não existe mágica para formar poupança ou patrimônio. Por menor que seja sua renda atual, é imprescindível você se disciplinar para não gastar tudo o que ganha. É fundamental reservar uma parcela de sua renda para formar poupanças e ou investimentos que irão garantir sua tranquilidade financeira almejada em momentos difíceis. Os bancos comerciais, a fim de captarem maior número de clientes, criam meios para aumentar a liquidez e a facilidade para movimentar as poupanças. Alguns exemplos segundo Fortuna (2008) são: depósitos e saques diretos pela conta corrente;

13 9 mesmo número e senha da conta corrente; aplicação e resgate pelo telefone; programação do investimento por períodos de até um ano, bastando informar datas de aplicação e resgate; possibilidade de abertura de até 28 subcontas de uma única conta. Conforme o nível da poupança vai aumentando, passa a ser maior a possibilidade para investir, uma vez que o dinheiro que não foi utilizado pode ser transformado em investimento. Tais investimentos são realizados conforme o perfil e a perspectiva de cada pessoa, quando o investimento é aplicado na caderneta de poupança, segundo informações divulgadas pelo Investguia (2007) busca-se: segurança para garantir o futuro ou reserva para despesa imprevista; valorização, acúmulo de capital; proteção contra a desvalorização do dinheiro e liquidez. 3.2 Índices Segundo Hoffmann (1998), os números índices são proporções estatísticas que geralmente são expressos em porcentagens, utilizadas para comparar situações de um conjunto de variáveis em épocas ou localidades diversas. Os índices de preços são descritos pelo Banco Central (2013) como números que agregam e representam números de certas cestas de produtos, ou seja, estes medem a variação média dos preços dos produtos de determinada cesta. Existem uma grande quantia de índices de preços no Brasil, que foram criados ao longo do tempo com diferentes intuitos. O IPC Fipe (Índice de Preços ao Consumidor em São Paulo), por exemplo, foi criado pela Prefeitura de São Paulo para ajustar os salários dos funcionários municipais; o IGP-M (Índice Geral de Preços-Mercado) foi criado a fim de ser usado no reajuste de operações financeiras, especialmente de longo prazo, e o IGP-DI (Índice Geral de Preços-Disponibilidade Interna) determina o comportamento dos preços da economia; o INPC (Índice Nacional de Preços ao Consumidor) limita os reajustes de salários e o IPCA (Índice de Nacional de Preços ao Consumidor Amplo) foi criado para corrigir os balanços e demonstrações financeiras trimestrais e semestrais das companhias abertas e, é também o medidor da inflação brasileira (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2013).

14 10 Tabela 1 Características dos Principais Índices de Preços do Brasil Na Tabela 1 são apresentadas as características dos principais índices de preços do Brasil. O índice de preços mais importante para a política monetária é o IPCA, uma vez que foi escolhido pelo Conselho Monetário Nacional (CMN) como referência para o sistema de metas para a inflação (BANCO CENTRAL DO BRASIL, 2013). 3.3 Séries Temporais Segundo Morettin e Toloi (2006), ao tratar de séries temporais, adota-se que essa é uma sequência de variáveis observadas de maneira ordenada no tempo, ou seja, são observações coletadas em intervalos regulares durante um período, sendo parte de um trajeto. Ainda para os autores, as séries temporais são realizadas por meio de um domínio temporal com modelos paramétricos, que possui número finito de parâmetros, ou podem ser feitas também por meio de um domínio de frequência, o qual utiliza modelos não paramétricos.

15 11 Considerando as componentes de uma série temporal, Morettin e Toloi (2006) afirmam que uma série temporal Zt, dado um período de t=1,..., n, pode ser escrita como uma soma ou multiplicação das componentes tendência, sazonalidade e uma variável aleatória: Zt= Tt +St + at (1) Zt= Tt * St * at (2) onde, Zt: é a observação temporal no tempo t; T t : é a componente tendência que representa valores da série suavizados ao redor de uma reta com inclinação positiva ou negativa; S t : é a componente sazonal que refere-se a um movimento oscilatório ligado a variações periódicas; a t : é a componente aleatória de média zero e variância constante σ 2 a. O modelo do tipo (1) é dito aditivo, pois a sazonalidade é independente das outras componentes; já o modelo (2) é chamado de multiplicativo, utilizado para descrever a dependência das amplitudes sazonais em relação à tendência. Os principais objetivos de analisar uma série temporal denominada Z(t 1 ),..., Z(t n ), nos instantes de tempo de t 1,..., t n, conforme Morettin e Toloi (2006) são: investigar o mecanismo gerador da série temporal; fazer previsões de valores futuros da série, podendo ser a curto ou a longo prazos; simplesmente descrever o comportamento da série, ou procurar periodicidades relevantes nos dados. Ao identificar o padrão de comportamento de uma série temporal, é possível exceder o padrão que foi identificado e prever os eventos futuros (PACHECO; SILVA, 2003). Desta forma, dividem-se em duas partes os métodos de previsão da série: (I) métodos automáticos, os quais são aplicados diretamente com auxílio de um computador, (II) métodos não automáticos, aqueles que precisam de uma intervenção através de um

16 12 operador especializado na seleção do modelo, devido a grande dificuldade de automatização do método. Os métodos automáticos são mais conhecidos, pois são mais facilmente implementados, sua previsão é boa e há eficiência computacional. Ao escolher modelos para realizar a previsão de séries temporais, deve-se levar em consideração o comportamento de quatro hipóteses: (I) hipótese de permanência, que trata da estacionariedade; (II) hipótese de trajetória padrão, analisa a componente tendência; (III) hipótese sazonal com permanência, que investiga a sazonalidade e (IV) hipótese sazonal com trajetória, que avalia as componentes tendência e sazonalidade (PESSANHA, 2010). Conforme Souza (2006), nas áreas de economia, engenharia e de ciências naturais, ocorrem eventos que são dependentes de dados em determinados intervalos de tempo, e em determinado ciclo; tais observações são denominadas de Séries Temporais. Para a mesma autora, existem técnicas para analisar tais observações, sendo denominadas de análise de séries temporais, tendo como objetivo, construir um modelo com número adequado de parâmetros estimados, a fim de ajustar o modelo da série. É imprescindível que se escolha um modelo adequado na modelagem da série temporal, pois esta pode revelar algumas características particulares que irão auxiliar na previsão dos valores futuros, ou apenas para descrever o comportamento da mesma. É muito relevante o fato de se prever valores futuros e também estar ciente, que a construção de um modelo estatístico - para ajustar os dados - não é fácil; e assim, se o modelo não apresentar um ajuste adequado, a previsão será ruim e consequentemente enganosa (SOUZA, 2006). De acordo com Cortez (2002), existem várias técnicas para realizar previsões de séries temporais, mas todas elas apresentam um erro de previsão; portanto, o grande problema é minimizar tal erro, desenvolvendo um modelo que ajuste de maneira mais eficiente seus dados e utilizar um número condizente de parâmetros. Segundo o mesmo autor, os métodos mais utilizados, são os modelos Auto-Regressivos (AR), os de Médias Móveis (MA) e os modelos Auto-Regressivos de Médias Móveis (ARMA), que fornecem resultados mais precisos quando os dados apresentam um comportamento linear, mas se houver um grau elevado de não linearidade, tais métodos passam a ser pouco eficientes.

17 Série Estacionária Uma das suposições mais frequentes com relação a uma série temporal é de que esta é estacionária, ou seja, ela se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante, refletindo alguma forma de equilíbrio estável. No entanto, a maior parte das séries que encontramos na prática apresentam uma forma de não estacionariedade. Assim, as séries econômicas e financeiras apresentam em sua grande maioria, tendência, sendo o caso mais simples aquele em que a série flutua ao redor de uma reta com inclinação positiva ou negativa (tendência linear); pode-se ter também, uma forma de não-estacionariedade explosiva, como é o caso do crescimento de uma colônia de bactérias (MORETTIN; TOLOI, 2006). Segundo Wooldridge (2001), um processo estacionário de série temporal é aquele em que as distribuições de probabilidades são estáveis no decorrer do tempo no seguinte sentido: caso se escolha qualquer coleção de variáveis aleatórias na sequência e depois tal sequência seja colocada para diante em h períodos de tempo, a distribuição de probabilidade conjunta deve permanecer inalterada. Sob a visão do mesmo autor, uma série temporal é estacionária, se sua média, variância e autocovariância (em diferentes defasagens) permanecerem as mesmas, não importando o ponto em que as medimos, isto é, elas não variam com o tempo. Caso uma série seja não-estacionária, esta terá sua média variando com o tempo ou ainda sua variância mudando com o tempo, ou ainda em ambas. Uma maneira para identificar a não-estacionariedade de uma série temporal é a FAC (Função de Autocorrelação) (WOOLDRIDGE, 2001). Caso a série não esteja equilibrada, sendo não-estacionária, é preciso fazer, na maior parte das vezes, um processo chamado "diferença", para transformá-la em uma série mais fácil de ser trabalhada, deixando-a estacionária. Determinada série pode ser estacionária por um período curto ou longo, podendo ficar em um determinado ponto ou ao seu redor e depois mudar de nível (MORETTIN; TOLOI, 2006). 4. Material e Método

18 Material A série de dados foi coletada junto ao Ipeadata. A base de dados consiste na série do rendimento mensal da caderneta de poupança no primeiro dia útil do mês e a série do Índice Geral de Preços Disponibilidade Interna (IGP-DI). A série do IGP-DI será utilizada para deflacionar a série do rendimento nominal da caderneta de poupança. O Ipeadata publica os dados da série desde janeiro de 1990, mas o período estudado será de agosto de 1994 a abril de 2014, tendo em vista que este foi um período ímpar na história brasileira, pois o Plano Real é tratado por muitos autores como o plano mais bem sucedido de estabilização da inflação, criado no final de Porém foi em 1994, principalmente a partir do mês de agosto, que se pode perceber os efeitos do plano através de medidas como a criação de uma nova moeda real, a criação da URV (Unidade Real de Valor) que ficou conhecido como um índice moeda refletindo a inflação corrente; neste período as taxas de juros caíram e a inflação foi reduzida próxima a zero. 4.2 Método No presente trabalho foram utilizados os softwares Gretl e R, para auxiliar na construção dos modelos e na elaboração dos gráficos da série nominal, série real, FAC e os gráficos após o ajuste dos modelos; para os testes econométricos de Ljung- Box e Dickey-Fuller aumentado; e para os critérios de seleção de modelos, o AIC e o EQMP Estacionariedade (Análise Gráfica) Função de Autocorrelação (FAC) Para Gujarati (2001), o teste de autocorrelação baseia-se em um dos mais simples testes para verificar se uma série é caracterizada pela presença de rumo aleatório. O teste consiste na denominada função de autocorrelação ou FAC, que na defasagem k, indicada por ρ k, pode ser descrita como: k (3) k 0

19 15 onde: γ k representa a covariância na defasagem k e γ 0 é a variância. Dessa forma, a variância e covariância devem ser medidas na mesma unidade e ρ k é uma medida sem unidade, ou seja, pura e varia de -1 a +1 como qualquer outro coeficiente de correlação. A exposição gráfica de ρ k contra k resulta em um gráfico designado correlograma populacional. Como na realidade somente se pode adquirir uma amostra de um processo estocástico (conjunto de variáveis aleatórias ordenadas no tempo; sendo uma série temporal, uma trajetória do processo estocástico), pode-se calcular apenas a função de autocorrelação amostral, ρ k. Dessa maneira é necessário encontrar a variância e covariância referente à amostra, ambas definidas como: ^ ( Yt k Y)( Y n tk Y) (4) _ 2 ^ (Y t Y) 0 n (5) onde n é o tamanho da amostra e _ Y a média da amostra. Assim, a função de autocorrelação amostral pode ser representada como: ^ k ^ k ^ 0 (6) Se uma série temporal for puramente aleatória, designada pela presença de ruído branco (o termo aplica-se a um sequência de erros aleatórios, sempre que esta tiver média e variância constante e sem autocorrelação. Por conveniência, utiliza-se a média como sendo zero, porém, seria possível especificar uma série ruído branco com média diferente de zero), os coeficientes de autocorrelação amostral serão distribuídos em torno de uma distribuição normal, com média zero e variância igual 1/n, onde n é o tamanho da amostra.

20 Identificação da sazonalidade (Análise Gráfica) Periodograma Segundo Bruni (2004), o periodograma pode ser caracterizado como sendo o relato dos valores observados quando se tem uma série, através da sobreposição de ondas sinusoidais ou que apresentem várias frequências, representadas por um gráfico. Ainda para o autor, o periodograma tem grande valia na identificação de componentes periódicos e sua periodicidade deve ser definida somente até doze meses, pois acima desse tempo têm-se ciclos. Além de ser uma forma natural de estimar a função de densidade espectral. Essencialmente, a análise espectral é empregada em análises de ciclos econômicos, determinação da direção de causalidade entre séries temporais, decomposição dos ciclos em seus diferentes componentes e explicação da variância total de uma série temporal (BRUNI, 2004). 4.4 Identificação do modelo (Análise Gráfica) Função de Autocorrelação Parcial (FACP) De acordo com Batista (2009), utiliza-se a função de autocorrelação parcial para facilitar a identificação do modelo e, indicar a ordem do modelo autoregressivo (AR). Em um processo AR(p), segundo Ehlers (2003), não existe correlação direta entre X t e X t X p1, t p2,..., e substituindo k = p+1, p+2,..., obtêm-se que todos os coeficientes de correlação parcial serão nulas para k > p. Por exemplo substituindo o k = p+1 segue que: (7) ( p 1) 1 ( p)... p(1) p1 Segundo Ehlers (2003), o fato de que a FACP é igual a zero para k > p é sugerido em Box e Jenkins (1970) como uma ferramenta para determinar a ordem p do processo autoregressivo para séries temporais observadas.

21 Testes Teste do sinal (COX-STUART) Segundo Morettin e Toloi (2006), o teste do sinal visa verificar a presença ou ausência da componente tendência. Tal teste destina-se em agrupar as observações em pares (Z 1, Z 1+c ), (Z 2, Z 2+c ),..., (Z N c, Z n ), onde c = n n+1, se n for par e c =, se N for ímpar. 2 2 A cada par (Z i, Z i+c ) associamos o sinal positivo (+) se Z i < Z i+c e o sinal negativo (-) se Z i > Z i+c, eliminando os empates. Sendo n o número de pares onde Z i Z i+c. Então, tem-se as hipóteses: H 0 : não existe tendência; H 1 : existe tendência. Sendo T 2 o número de pares com sinal positivo. Para uma amostra com número de observações de n 20, a regra é baseada na distribuição binomial e para um n 20 usa-se a aproximação normal. Considerando um teste bilateral; valores grandes de T 2 indicam que + é mais provável que -, portanto rejeita-se H 0 se T 2 n t, onde o t é encontrado numa tabela com distribuição binomial, com parâmetros p = 1 e n, para um dado nível de significância 2 α Teste de Fisher Priestley (1989) propôs o teste de Fisher para verificar a existência da componente sazonalidade, que é baseado nas hipóteses e na equação abaixo: H o : não há periodicidade; H 1 : há periodicidade. g = max I (n) j n 2 (n) I j=1 j (8)

22 18 onde I j é o valor do periodograma no período j e n o tamanho da amostra. A estatística Z é dada, conforme Morettin e Toloi (2006) por: Z α = 1 ( α n ) 1 n 1 (9) onde n é o tamanho da série dividida por 2 e α o nível de significância do teste. Para P(g > z) = α = n(1 z) n 1, rejeita-se a hipótese H o, não havendo periodicidade, se g z, aceitando que a série possui sazonalidade no período j. A presença de periodicidade em uma série significa que alguma situação se repete em períodos relativamente curtos de tempo Estatística de Ljung e Box (Estatística LB) A estatística LB de Ljung e Box, que é definida por (Gujarati, 2000): H 0 : o resíduo é ruído branco; H 1 : o resíduo não é ruído branco. m LB = n(n + 2) ( ρ k 2 2 k=1 ~χ m (10) n k ) Para um LB maior que o qui-quadrado, rejeita-se a hipótese nula, portanto a série não é ruído branco; se LB for menos que o qui-quadrado, não rejeita-se a hipótese nula, aceitando que a série é um ruído branco Teste Dickey-Fuller aumentado (DFA) Para Gujarati (2011), o teste Dickey-Fuller aumentado consiste nas seguintes hipóteses e na estimação da seguinte equação: H 0 : δ = 0 (a série é não estacionária); H 1 : δ = 0 (a série é estacionária).

23 19 m ΔY t =β 1 + β 2 t + δy t 1 + i=1 α i ΔY t i + ε t (11) onde, ε t é um termo de ruído branco puro e ΔY t 1 = (Y t 1 Y t 2 ), ΔY t 2 = (Y t 2 Y t 3 ), etc. O número de termos de diferenças defasados a serem incluídos é determinado empiricamente; a ideia é que se incluam termos suficientes para que o termo de erro da equação (19) seja serialmente não correlacionado, para que se possa obter uma estimativa não viesada de δ, o coeficiente defasado de Y t 1. A regra de decisão para o teste DFA, é que se o τ > valor tabelado, a série é estacionária. 4.6 Série livre de tendência e sazonalidade Séries livres de tendência e sazonalidade são de suma importância para o ajuste de modelos, pois estão geralmente relacionadas, sendo a influência da tendência sobre a sazonalidade bastante forte; através da estimação das mesmas, as séries ficam ajustadas para tendência e sazonalidade ou livre delas (MORETTIN E TOLOI, 2006) Diferenciação A diferenciação é um dos métodos usados para eliminar a tendência de uma série temporal. Segundo Gujarati (2011) a maioria das séries temporais macroeconômicas são estacionária em diferenças. A equação da primeira diferença é expressa a seguir: ΔZ t = Z t Z t 1 (12) sendo, o operador da diferença e Z t a série proposta para ser analisada.

24 20 Para dados sazonais, a estacionariedade é induzida fazendo-se uma diferenciação da ordem do período j da série, isto é, Δ j Z t. 4.7 Modelos ARIMA Modelo Autorregressivo (AR) Segundo Gujarati (2011), o processo AR é dado a partir de: (Y t δ) = α 1 (Y t 1 δ) + u t (13) em que δ é a média de Y e u t é um erro aleatório não correlacionado com média zero e variância constante σ 2 (trata-se de um ruído branco); assim, define-se que Y t segue um processo autorregressivo. O valor de Y no período t depende do seu valor no período anterior e de um termo aleatório; os valores de Y são expressos como desvios com base em um valor médio. De forma geral, o modelo AR informa que o valor previsto de Y no período t é simplesmente alguma proporção (=α 1 ) mais um choque aleatório ou perturbação no período t, tendo novamente os valores Y expressos em torno dos seus valores médios. De modo geral, pode-se ter: (Y t δ) = α 1 (Y t 1 δ) + α 2 (Y t 2 δ) + + α p (Y t p δ) + u t (14) em que, Y t segue um processo autorregressivo de ordem p-ésima, ou AR(p) Modelo de Médias Móveis (MA) Dado Gujarati (2011), o processo MA pode ser entendido a partir de: Y t = μ + β 0 u t + β 1 u t 1 (15)

25 21 onde, μ é uma constante e u é um erro estocástico de ruído branco, como anteriormente mencionado. Em MA, Y no período t é igual a uma constante mais uma média móvel dos termos de erro atuais e passados. Neste caso, se diz que Y segue um processo de média móvel de primeira ordem, um MA(1). Se Y seguir expressão temos, Y t = μ + β 0 u t + β 1 u t β q u t q (16) que é um processo MA(q). Gujarati (2011), por fim, define MA como uma combinação linear de termos de erro de ruído branco Modelo Autorregressivo de Médias Móveis (ARMA) Segundo o analisado por Gujarati (2011), é muito provável que Y contenha tanto características de AR quanto de MA, formando assim, um ARMA. Então, Y t segue um processo ARMA (1,1) que pode ser representado por: Y t = θ + α 1 Y t 1 + β 0 u t + β 1 u t 1 (17) onde ocorre a presença de um termo autorregressivo e de um termo de média móvel. Na equação (17), θ representa um termo constante. De modo geral, um processo ARMA(p,q) apresentará termos autorregressivos p e termos de média móvel q (GUJARATI, 2011) Modelo Autorregressivo Integrado de Médias Móveis (ARIMA) De acordo com Morettin e Toloi (2006), uma metodologia bastante usada para análise de modelos paramétricos é a abordagem descrita abaixo, de Box e Jenkins (1970). Essa metodologia consiste em ajustar modelos auto-regressivos integrados de médias móveis, ARIMA (p,d,q), a um conjunto de dados.

26 22 Caso haja a necessidade de diferenciar uma série temporal d vezes para torná-la estacionária e aplicar-lhe o modelo ARMA (p,q), diremos que a série temporal original é ARIMA (p,d,q), onde p denota os números dos termos autorregressivos, d o número de vezes que a série deve ser diferenciada antes de torná-la estacionária e q o número de termos de média móvel (GUJARATI, 2011). 4.8 O Método Box e Jenkins A análise de séries temporais, segundo Box e Jenkins (1976), tem como objetivo principal realizar previsões. Tal metodologia permite que valore futuros sejam previstos tomando por base apenas seus valores presentes e passados; tal feito é realizado através da correlação temporal existente entre os valores já observados. A realização do processo temporal pelo método de Box e Jenkins, é apresentado por um conjunto de processos estocásticos chamados modelos ARIMA, onde em cada instante de tempo t, existe um conjunto de valores que a série pode assumir, aos quais estão associados possibilidades de ocorrência (TÁPIA, 2000). O método de Box e Jenkis, segundo Gujarati (2011), é dado através de quatro etapas: 1. Identificação. Nesta etapa descobre-se os valores apropriados de p, d e q. O correlograma (FAC) e o correlograma parcial (FACP) auxiliam nessa tarefa. 2. Estimação. Neste estágio, os parâmetros dos termos autorregressivos são estimados e os termos de média móvel (MA) são incluídos no modelo. Às vezes, esse cálculo pode ser feito por mínimos quadrados simples, mas outras vezes, temos que usar métodos de estimação não lineares (nos parâmetros). 3. Verificação do diagnóstico. Após a escolha de um modelo ARIMA específico, e ter estimado seus parâmetros, analisa-se o modelo escolhido ajusta-se bem aos dados. Uma maneira fácil de verificar se os resíduos estimados com base nesse modelo são ruídos brancos; caso sejam, aceitaremos o ajuste específico, caso contrário devemos recomeçar. 4. Previsão. É a obtenção de valores futuros.

27 Critérios de seleção de modelos Ao fazer a seleção de modelos, deve-se lembrar que não existe modelos verdadeiros. Há apenas os modelos mais confiáveis e fiéis à realidade que, causam perda de informações. Assim, é preciso fazer a seleção do melhor modelo dentre aqueles para ajustar a série temporal estudada; geralmente um modelo com um maior número de parâmetros podem ter um ajuste melhor, mas não necessariamente será preferível em termos de critério de informação. A regra básica, consiste em selecionar o modelo cujo critério de informação calculado seja mínimo (MORALES, 2013) Critério de informação de Akaike (AIC) Akaike (1974) utilizou a informação de Kullback para testar um modelo mais adequado, testou se uma boa estimativa para o log-verossimilhança esperada puder ser obtida através dos dados observados, tal estimativa pode ser usada como critério para comparar modelos. Segundo Burnham e Anderson (2002), o critério (AIC) só pode ser utilizado para selecionar modelos quando o número de observações, n, é maior do que pelo menos quarenta vezes o número de parâmetros, p. O Critério de Akaike é expresso por: AIC = 2logL(θ ) + 2(p) (18) Erro Quadrado Médio de Previsão (EQMP) Segundo Morettin e Toloi (2004), o Erro Quadrado Médio de Previsão pode ser usado para comparar a eficácia entre modelos de previsão, quando se deseja o modelo com melhores previsões. O método é dado por: n EQMP = [ h=1(vo t+h VP t+h ) 2 ]/n (19) em que h= 1, 2, 3,..., n; que corresponde as previsões para os últimos n dias.

28 24 5. Resultados e Discussões A Figura 1 apresenta os dados da série do rendimento nominal da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês. Tal série está inflacionada, desta forma, é necessário o processo de deflacionamento, que trata-se da conversão dos valores correntes (nominais) em valores reais; como deflator da série (nominal) utilizou-se a série do IGP-DI (IPEADATA, 2013). O processo de deflacionamento consiste em utilizar o valor nominal do ano analisado, multiplicar este valo pelo deflator escolhido (no caso foi o IGP-DI) e dividir pelo valor nominal do ano anterior. Figura 1: Gráfico da série do rendimento nominal da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. A Figura 2 apresenta os dados da série real do rendimento da caderneta de poupança no primeiro dia útil do mês, ou seja, a série foi deflacionada.

29 25 Figura 2: Gráfico da série do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. A Figura 3 apresenta a Função de Autocorrelação (FAC) da série real de rendimento da caderneta de poupança. Observa-se que a série não é estacionária sendo possível identificar a componente tendência na mesma, comprovada pelo Teste de Cox- Stuart, utilizando um nível de significância de 5%, demonstrado na Tabela 2 a seguir: Tabela 2 Resultado do teste de Cox - Stuart Hipóteses Elementos do Teste Valores Decisão H 0 : a série não apresenta tendência n* 113 Como T 2 > n*-t, RH 0, ou seja, a série apresenta tendência. H 1 : a série apresenta T 2 49 tendência T 66,91 Fonte: dados do trabalho.

30 26 Figura 3: Gráfico da FAC da série do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. A Figura 4 apresenta a análise espectral (periodograma) da série estudada; através da análise gráfica e do teste de Fisher apresentado a seguir, onde a hipótese nula é que não existe sazonalidade e a hipótese alternativa é que existe sazonalidade; foi verificado que não há presença da componente sazonalidade. Onde, os valores de g e Z α, em que α corresponde ao nível se significância de 5%, são: Tabela 3: Resultado do Teste de Fisher Hipóteses Elementos do Teste Valores Decisão H 0 : a série não apresenta sazonalidade g 0, Como g < Z α, NRH 0, ou seja, a série não apresenta sazonalidade. H 1 : a série apresenta Z α 0,0664 sazonalidade Fonte: dados do trabalho.

31 27 Figura 4: Gráfico do periodograma da séria restrita do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. A Figura 5 apresenta a série analisada com uma diferença, essa transformação foi necessária para eliminar a tendência da séries tornando-a estacionária.

32 28 Figura 5: Gráfico da primeira diferença da série restrita do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. A condição de estacionariedade pode ser verificada pela estrutura da função de autocorrelação da primeira diferença da série, estudo apresentado na Figura 6. Figura 6: Gráfico da FAC da primeira diferença da série restrita do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês, no período de agosto de 1994 a junho de Fonte: dados do trabalho. Essas funções indicam significância estatística em defasagens, isto é, a dependência temporal ainda é mantida nos lags 1 e 2. Apesar disso, constata-se pelo teste

33 29 de Dick-Fuller aumentado, dado um nível de significância de 5%, que a série é estacionária. Na Tabela 4 é apresentado esse texto. Tabela 4 Estatísticas descritivas do teste de Dick-Fuller aumentado Variável Coeficiente p-valor Constante -0, ,9802 1ª Diferença -1, ,59e-041 Fonte: dados do trabalho. Como o valor-p = 8,59e 041, então se rejeita-se a hipótese nula um nível de significância de 5%, ou seja, a série do rendimento da caderneta de poupança é estacionária. Após a comprovação da estacionariedade da série e analisando as funções apresentadas na Figura 6, modelos inicialmente sugeridos foram: o modelo AR com combinação (1,1,0); modelo MA com combinação (0,1,1) e modelos ARIMA com combinações (1,1,1) e (1,1,2). Tabela 5 Valores do Teste de Ljung e Box e do EQMP dos modelos testados Modelo Decisão da Estatística LB Valor do EQMP AR (1,1,0) Resíduos são Ruído Branco 0,43295 MA (0,1,1) Resíduos são Ruído Branco 0,18447 ARIMA (1,1,1) Resíduos são Ruído Branco 0,19048 ARIMA (1,1,2) Resíduos são Ruído Branco 0,19398 Fonte: dados do trabalho O modelo que melhor se ajustou a série foi o MA com combinação (0,1,1) pois apresentou o menor erro quadrado médio (EQMP) em detrimento das outras combinações testadas. Os modelos estimados e suas respectivas capacidades preditivas estão representados na Figura 7, além disso, apresenta-se também na Figura 8 a função de autocorrelação do modelo selecionado, que denota o comportamento do resíduo como sendo um ruído branco. Previsão do modelo MA (0,1,1):

34 30 A Figura 7, trata-se da previsão do modelo MA (0,1,1) do período de julho de 2013 a abril de 2014 da série analisada; a Figura 8 apresenta a FAC referente a previsão analisada. Através do teste de Ljung e Box (Estatística LB) apresentados na Tabela 5, pôde-se concluir que a série é um ruído branco, portanto que a mesma é estacionária. Figura 7: Gráfico da previsão do modelo MA com combinação (0,1,1) da série do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês. Figura 8: Gráfico da FAC da previsão do modelo MA com combinação (0,1,1) da série do rendimento real da caderneta de poupança do primeiro dia útil do mês. Fonte: dados do trabalho.

35 31 A Tabela 6 apresenta os dados do Rendimento Real da Série do rendimento da caderneta de poupança no primeiro dia útil do mês e também as previsões realizadas através do modelo MA (0,1,1). Como é possível perceber, os valores do rendimento real tiveram algumas mudanças nas previsões, porém tais diferenças não foram não grandes e nem significativas, os dados não variaram de maneira relevante. Tabela 6 Previsões do modelo MA (0,1,1) Data Rendimento Real Previsões ,619-1, ,96-1, ,8521-1, ,0375-1, ,7592-1, ,1404-1, ,7868-1, ,296-1, ,9533-1, ,9039-1,095 Fonte: dados do trabalho. 6. Conclusão Após a construção do gráfico original da série do rendimento mensal da caderneta de poupança, realizou-se o deflacionamento da série, através do IGP-DI. Tal deflacionamento foi necessário, uma vez que os dados mostraram-se inflacionados e portanto as previsões seriam tendenciosas e incorretas. Feito o deflacionamento, aplicou-se na série os testes do Sinal e de Fisher, que mostraram que a série apresentava tendência, porém não apresentava sazonalidade. Construiu-se o periodograma, onde ficou visualmente claro que a série não apresentou sazonalidade; e através da função de autocorrelação, observou-se que apesar do decaimento rápido para zero, a série apresentou tendência, comprovada pelo teste de Cox- Stuart. Para que os dados não se mostrassem tendenciosos, aplicou-se uma diferença na série, e foi possível perceber visualmente através do gráfico, que a série provavelmente encontrava-se estacionária. Porém como o método visual não é de inteira confiança,

36 32 aplicou-se o teste de Dick-Fuller aumentado na série com uma diferença, onde foi verificado que a série estava estacionária. Após a série ser considerada estacionária, aplicou-se combinações de modelos Autorregressivos, de Médias Móveis e ARIMA, porém o modelo que descreveu melhor a série foi o MA (0,1,1), o qual apresentou o menor valor do EQMP. Após a escolha do modelo, aplicou-se os testes de Ljung e Box, constatando que os resíduos eram ruído branco. Desta forma realizou-se a previsão dos dados dez últimos valores, os quais haviam sido reservados, e ao comparar as previsões com os valores reais da série, observou-se que apesar dos valores reais do rendimento da caderneta de poupança serem diferentes dos valores previstos, estes não variavam consideravelmente e nem de maneira abrupta, no período de julho de a abril de 2014.

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