O Estudo de Funções Mediado por Objetos de Aprendizagem

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1 O Estudo de Funções Mediado por Objetos de Aprendizagem Antônio Luiz de Oliveira Barreto 1, Lorena Silva Camelo 2, José Aires de Castro Filho 1 Resumo. O estudo do conceito de funções é muito complexo e causa dificuldades aos alunos, pois envolve outros conceitos na sua construção. Nesse sentido, o presente estudo investigou os teoremas em ação propostos por Vergnaud e utilizados por alunos do primeiro ano do ensino médio durante a utilização dos Objetos de Aprendizagem chamados Desafio Funções e Funções Lineares e Quadráticas. Os resultados obtidos indicam que a utilização de ferramentas computacionais é de grande auxílio ao professor na medida em que podem ser detectados os principais obstáculos à construção do conceito de funções. Palavras-chave: Educação Matemática, Informática Educativa, Funções. 1. Introdução O estudo da álgebra, iniciado no Ensino Fundamental, é um tema em particular no ensino da matemática, que causa dificuldades aos alunos. Na passagem da aritmética para a álgebra, eles deparam-se com um grande obstáculo epistemológico. Muitas vezes têm dificuldade em trabalhar com letras ao invés de números, não conseguindo operar facilmente com símbolos literais, tornando-se difícil para eles multiplicarem, por exemplo, 5 por x, visto que x não é um número conhecido. Vergnaud (1988) ressalta que diferentes problemas conceituais são levantados pela álgebra, os quais repercutem nas dificuldades cognitivas dos alunos. Alguns deles são: (1) o significado do sinal de igual, (2) operações simbólicas, (3) os poderosos e difíceis conceitos de variável e função, (4) o significado das soluções negativas, e (5) a manipulação de letras e a noção de sistema. Ilustrando a primeira das possíveis dificuldades: ao se depararem numa expressão aritmética como 5+7=12 os alunos freqüentemente entendem o sinal de igual como um operador que transforma 5+7 em 12. Eles, inicialmente, não entendem que o sinal de igual tanto pode indicar o resultado da operação de adição como o fato de que o primeiro termo da expressão (5+7) é idêntico ao segundo em relação à quantidade. Os principais conceitos de álgebra são apresentados aos alunos através de manipulação de símbolos (GIMENEZ E LINS, 1997). Nos exercícios, a ênfase é dada ao raciocínio algorítmico, sem a devida preocupação se os alunos compreenderam ou não os conceitos envolvidos nele. Esta concepção do ensino da álgebra, chamada de letrista pelos autores citados, está baseada na idéia de que a atividade algébrica é cálculo literal, praticando a seqüência técnica (algoritmo)/prática (exercícios). Os 1 Doutorando em Educação da UFC, Licenciado em Matemática, Mestre em Matemática, Instituto UFC Virtual PROATIVA, Universidade Federal do Ceará. 2 Graduanda em Matemática da UFC, Instituto UFC Virtual PROATIVA, Universidade Federal do Ceará. 1 Engenheiro Civil, Phd..em Novas Tecnologias e Educação Matemática, Professor Adjunto da Universidade Federal do Ceará.

2 mesmos autores ressaltam que esta concepção é encontrada nos principais livros didáticos brasileiros. Alguns conceitos algébricos são extremamente importantes, dentre eles o de função, devido ao seu papel central na Matemática do Ensino Médio e em diversas disciplinas de formação básica nos cursos de graduação em Ciências Exatas, da Saúde e Sociais Aplicadas. O estudo do conceito de funções é muito complexo e causa dificuldades aos alunos As investigações de diversos pesquisadores, (DUBINSKY & HAREL, 1992; GAUDÊNCIO, 2000; VIEIRA 2001) têm mostrado que as idéias de variável, domínio, contradomínio, imagem, zeros ou raízes de uma função e o estudo do sinal que permeiam a compreensão do conceito, já trazem grande complexidade para a aprendizagem dos alunos. Está aí um dos motivos importantes em se estudar mais sobre este conceito junto aos estudantes. Além disso, como ressalta Gaudêncio (2000), a linguagem presente nos principais livros textos de Matemática do Ensino Médio sofre influências do Movimento Matemática Moderna, fundamentada na Teoria dos Conjuntos.Muitos autores destes livros, ainda hoje, apresentam variações da definição de Bourbaki sobre funções i. Para o aluno, esta definição é extremamente abstrata, pois estão subjacentes vários outros conceitos tais como relação, par-ordenado etc. Além disso, como afirmam Fossa & Fossa (2001): (...) o aluno raramente desenvolve uma concepção desta noção que chega a aproximar sua plena generalidade. De fato, a definição do conceito de função parece ter um papel bastante reduzido na determinação de como este conceito é entendido pelo aluno. Muito mais importante é a sua experiência com dois conceitos associados ao de função, a saber, equações e gráficos, pois quando o aluno encontra funções no seu livro texto ou na sala de aula, geralmente se pede que ele manipule de alguma forma uma equação que representa a função ou esboce o seu gráfico. Assim, o aluno é exposto a uma classe restrita de funções e, forçosamente, ele abstrai o seu conceito de função apenas desta classe. (FOSSA & FOSSA,2001:155) O reconhecimento do valor da informática no ensino vem sendo comprovado dia após dia. Pesquisas recentes têm mostrado a relevância do computador como uma ferramenta para a aprendizagem de conceitos de funções, como observa Gaudêncio (2000): As principais vantagens dos recursos tecnológicos, em particular o uso de computadores, para o desenvolvimento do conceito de funções seriam, além do impacto positivo na motivação dos alunos, sua eficiência como ferramenta de manipulação simbólica, no traçado de gráficos e como instrumento facilitador nas tarefas de resolução de problemas. A utilização de computadores no ensino provocaria, a médio e longo prazo, mudanças curriculares e de atitude profundas uma vez que, com o uso da tecnologia, os professores tenderiam a se concentrar mais nas idéias e conceitos e menos nos algoritmos..(gaudêncio, 2000:76). O objetivo do presente trabalho foi investigar os teoremas-em-ação empregados pelos alunos na resolução dos problemas relativos ao estudo de funções. A pesquisa foi realizada em uma escola pública de Fortaleza com uma turma de 1º ano do ensino médio. Apresentamos, na seção 2, uma breve fundamentação teórica sobre a Teoria dos Campos Conceituais. Na seção 3, falamos de nossa proposta metodológica. Na seção 4, apresentamos os principais teoremas em ação descobertos. Finalizamos, na seção 5, com algumas considerações sobre nossa pesquisa. 2

3 2. Fundamentação Teórica 2.1 A Teoria dos Campos Conceituais Uma das teorias mais importantes da educação matemática contemporânea é a Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida pelo professor e pesquisador Gerard Vergnaud. Há muito, as suas idéias têm ajudado os pesquisadores a entender a formação dos conceitos matemáticos por parte dos alunos, a partir da observação de suas estratégias de ação. Em nosso país, muitas pesquisas são fundamentadas por essa teoria. Sobretudo aquelas voltadas para o estudo dos Campos Conceituais da Álgebra. Além disso, os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCNs- de Matemática foram influenciados por esta elaboração teórica. Seguindo uma linha construtivista, Gerard Vergnaud trabalha a questão da aquisição de conceitos negando a proposta tradicional de ensino baseado na simples transferência de conhecimentos prontos e acabados. Em função disso, para ele, a compreensão de um conceito, por mais simples que seja, não pode estar baseado em apenas uma única situação, mas em várias, assim como uma única situação pode envolver vários conceitos. Portanto, devemos estudar campos conceituais. 2.2 Noção de conceito e de campo conceitual. Segundo G. Vergnaud, um conceito está definido por 3 conjuntos C = (S, I, R) S = o conjunto de situações que dão sentido ao conceito. I= o conjunto de invariantes sobre as quais repousa o conceito (propriedades, relações). R= O conjunto de representações, de símbolos que permitem representar o conceito. Um campo conceitual é um conjunto de situações-problema cujo tratamento implica: conceitos e tratamentos de vários tipos e em estreita conexão. O campo conceitual é uma unidade significativa de relações entre conceitos. Assim, não podemos estudar os conceitos isoladamente. Por exemplo, a análise de situações de multiplicação e de divisão põe em jogo uma grande variedade de conceitos: proporcionalidade simples, múltipla função linear, fração, espaços vetoriais etc. 2.3 Teoremas-em-ação. A teoria dos campos conceituais é uma teoria pragmática, ou seja, que faz apelo à noção de situação e das ações dos sujeitos nestas situações. Para Vergnaud, o conhecimento matemático emerge na resolução de problemas. Em contextos de ensino-aprendizagem, e, especificamente diante de uma tarefa matemática, o aluno deverá enquadrá-la num conjunto de circunstâncias e condições conhecidas, podendo evocar implicitamente um pensamento relevante e perceber predicados que a caracterizem. Nessa sentido, terá a sua disposição um sistema de informações que possibilitará a sua execução. Além disso, em outros momentos, a criança ao deparar-se com situaçõesproblemas faz seu julgamento e escolhe uma operação ou uma seqüência de operações para resolver o problema. Ela percebe relações que, em geral, são usadas em domínio de 3

4 contextos fáceis e valores numéricos simples. Elas aparecem de modo intuitivo nas ações dos alunos sendo apresentados na maioria das vezes através da linguagem natural. Na teoria de Vergnaud, essas relações matemáticas são chamadas de Teorema-em-ação, (MAGINA et all, 2002). Para sua melhor compreensão, vejamos um exemplo adaptado de Franchi (1999, p. 177). Uma criança de 4 anos possui duas coleções de 5 carros azuis e 6 carros vermelhos. Quanto carro possui? A criança, não compreendendo a adição, deve (re)contar o todo e afirmar que tem 11 carrinhos. Entretanto, também a criança poderá utilizar outra estratégia e declarar 5+6= 11. Pelo fato da ação da criança não recontar o todo e utilizar a segunda possibilidade afirmamos que ela utilizou implicitamente o caso particular do Teorema Fundamental da Teoria da Medida: Cardinal (A U B) = Cardinal (A) + Cardinal (B). Os teoremas-em-ação não podem ser considerados propriamente como um teorema matemático, pois seu âmbito de validade é normalmente menor que o âmbito dos teoremas. Algumas vezes, seu domínio de validade é considerado verdadeiro apenas para um conjunto de problemas. Todavia, eles são extremamente importantes para que percebamos quais são as relações matemáticas que os alunos estão pensando, por trás de suas ações. Muitos conhecimentos apreendidos pelas crianças não são usados oportunamente na resolução de problemas (teoremas que não são teoremas-em-ação), e ao contrário, existem conhecimentos intuitivos da criança que nunca tomam a forma de verdadeiros enunciados (teoremas-em-ação que não se tornam teoremas). Assim, o professor tem uma tarefa importante de perceber essas nuances de pensamentos e favorecer a transformação dos teoremas-em-ação e vice versa. 3. Procedimentos Metodológicos Esta pesquisa foi realizada em uma escola pública de Fortaleza com uma turma de 1º ano do ensino médio. Durante a etapa da intervenção metodológica, adotamos a postura de observador participante conforme conceito elaborado por Becker (1997) O observador participante coleta dados através de sua participação na vida cotidiana do grupo ou organizado que estuda. Ele observa as pessoas que está estudando para ver as situações com que se deparam normalmente e como se comportam diante delas. Entabula conversação com alguns ou com todos os participantes desta situação e descobre as interpretações que eles têm sobre os acontecimentos que observou (BECKER, 1997:47). Sobre a sistemática de coleta de dados mantivemos um diário de campo onde cada experiência dos alunos foi registrada em um maior número possível nas suas manifestações concretas. É importante salientar que foram anotados os principais teoremas-em-ação que emergiram na resolução da atividade. Além disso, houve uma descrição detalhada das dificuldades sobre o conteúdo matemático que os alunos tiveram. Como opção metodológica, trabalhamos com duplas de alunos. Além disso, antes da intervenção metodológica, fizemos uma entrevista semiaberta com o professor de matemática sobre as principais dificuldades dos seus alunos em relação ao estudo do conceito de funções: localização dos pontos no plano cartesiano, principalmente números racionais e irracionais. identificar os coeficientes das funções lineares e quadráticas. Para o estudante, ax 2 é todo o coeficiente. Por conseguinte, confunde coeficiente com variável dificuldade em construir gráficos: pizza, barras e colunas. 4

5 dificuldade de generalização (resolvem tudo manualmente sem criar uma função). 3.1 Materiais Foram utilizados dois objetos de aprendizagem que trabalham com o conceito de funções : Desafio Funções, Funções Lineares e Quadráticas e um módulo de atividades Objeto de Aprendizagem Desafio Funções O objeto de aprendizagem Desafio Funções trabalha com localização de pontos no plano cartesiano e conceitos tais como despesas, receitas e lucros. Também conceitos ligados a funções como crescimento e decrescimento podem ser explorados em contextos de ensino-aprendizagem Ver figuras 1, 2, 3. O objeto de aprendizagem possui três atividades. Que serão detalhados a seguir. Na primeira atividade, o aluno trabalha com a localização no plano cartesiano e o conceito de despesa. Se por caso houver erros de localização de pontos, é aberto, ao final da atividade, uma caixa de diálogo, comunicando o erro e incentivando uma nova marcação de pontos, conforme apresentado na figura 1. Na segunda atividade, o aluno depara-se com os conceitos de despesa, receita e lucro assim como crescimento de decrescimento de funções conforme figura 2. Aqui, novamente, é aberta no final da atividade uma caixa de diálogo, caso o usuário não realize a atividade corretamente. Por fim, a terceira e última atividade consiste na simulação dos parâmetros a, b e c a fim de obter um lucro máximo, conforme figura 3. Salientamos que, nesse objeto de aprendizagem, o aluno dispõe de uma calculadora para a realização de cálculos elementares. Figura 1. Primeira Atividade 5

6 Figura 2. Segunda Atividade. Figura 3. Terceira Atividade: simulação dos parâmetros a, b e c a fim de obter um lucro máximo Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas Baseado em nossa experiência como professores de matemática e na entrevista realizada com o professor de matemática, notamos a grande dificuldade dos alunos que consiste em distinguir coeficiente da variável x. Assim, por exemplo, diante da função f(x) = 4x+7, o aprendiz tem dúvidas em distinguir o coeficiente a=4 da variável independente x, para ele o coeficiente é 4x. Nessa ordem de idéias, o Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas tem uma atividade na qual podemos comparar e interpretar os coeficientes num gráfico de funções e prever o comportamento de uma função conforme apresentado nas figuras 5. Em uma de suas atividades, o usuário poderá fixar o parâmetro a variando o parâmetro b e perceber os possíveis teoremas em ação (interseções com os eixos, raízes ou zeros da função etc) conforme figura 4. 6

7 Figura 4. Gráficos de funções do 1.º grau 4. Resultados Obtidos Por meio da realização desta intervenção metodológica, foi possível identificar, ao longo da interação com estes objetos de aprendizagem, uma lista de teoremas-em-ação evocados pelos alunos na resolução das atividades: as funções são decrescentes em intervalos negativos. Trabalhando com o Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas, os alunos fixaram os parâmetros b e c no valor zero e atribuíram o valor -1 para parâmetro a resultando na função f(x) = -x 2. Pelo fato do gráfico está totalmente abaixo do eixo x foi motivo para eles afirmarem que a função era decrescente. a função lucro nunca pode ser crescente em intervalos dos quais as imagens são negativas. Ao trabalhar com a atividade 2, no OA Desafio Funções, os alunos observaram que no intervalo de março a junho houve um aumento de para , ou seja, as receitas aumentaram e as despesas diminuíram. Mesmo assim, continuaram afirmando que nesse intervalo a função era decrescente. para os alunos, a noção de reta crescente e decrescente ainda não se encontra bem formalizada. Eles conseguem saber quando é crescente ou decrescente pelo sinal do coeficiente angular. Assim, por exemplo, afirmam que a função f(x) = 2x-4 é crescente, pois o valor do coeficiente a é positivo. Todavia, quando observam os gráficos com mais acuidade, passam a entrar em confronto com os seus conhecimentos. A dupla, que tinha como porta-voz, João, argumentou que a função f(x) = 2x+1 era decrescente, pois a intersecção da reta com o eixo horizontal x tinha como abscissa um número negativo, x = -½; e, além disso, a intersecção da reta com o eixo vertical tinha como ordenada um número também negativo, x=-1. o coeficiente linear b é o ponto de encontro do gráfico da função f(x) = ax+b com o eixo vertical y e a abscissa correspondente é x = 0. Através do Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas, fixando o parâmetro a em 2 e variando o parâmetro b os alunos perceberam melhor os efeitos das translações da função f(x) = 2x + b. quando o valor de a aumenta da função f(x) = ax, a>0, mais a reta se aproxima do eixo vertical. O objeto de Aprendizagem Funções Lineares e 7

8 Quadráticas possibilitou melhor os alunos entenderem os efeitos de rotações de funções. o coeficiente linear c é o ponto de encontro do gráfico da função f(x) = ax 2 +bx+c com o eixo vertical y e a abscissa correspondente é x = 0. Através do Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas, fixando o parâmetro a e b em 1 e variando o parâmetro c os alunos perceberam melhor os efeitos das translações da função f(x) = x 2 +x+c. 5. Considerações Finais Atualmente, no ensino médio, o estudo de funções é voltado essencialmente para álgebra, ou seja, para a expressão analítica de uma função. Os alunos pouco estudam as representações gráficas ou tabulares das funções matemáticas. Acreditamos que o motivo maior de enfocar mais aquela representação se deve ainda à ênfase no raciocínio algorítmico praticando a seqüência técnica (algoritmo)/prática (exercícios) objetivando a aprovação no vestibular. Além disso, como argumentam Borba e Penteado (2001:29)...tal destaque muitas vezes está ligado à própria mídia utilizada. Sabemos que é difícil a geração de diversos gráficos num ambiente em que predomina o uso de lápis e papel e, então, faz sentido que não se dê muita ênfase a esse tipo de representação.(borba E PENTEADO 2001:29) Esses autores lembram que, no final dos anos 1980 e início dos anos 1990, muitos pesquisadores já alertavam para essa perigosa tendência do ensino de funções e propunham que as funções deveriam ser estudadas por representações múltiplas. Para eles, o interessante não era só privilegiar um tipo de representação e, sim, diferentes representações para uma mesma função: a expressão algébrica, o gráfico e a tabela. Todavia, esse estudo de diferentes representações não deve ser isolado, mas de uma maneira coordenada. Assim, conhecer sobre funções passa a significar saber coordenar representações. Essa nova abordagem só ganha força com ambientes computacionais que geram gráficos vinculados a tabelas e expressões algébricas.(borba E PENTEADO, 2001:30) Durante a realização da intervenção e na fase de análise de dados da presente pesquisa, observamos dificuldades dos alunos quanto à interpretação gráfica de uma função e a passagem desta para outras formas de representação de funções (tabelas, representação algébrica). Acreditamos que, apesar de termos trabalhado com ambientes gráficos, o aluno se sentiu pouco familiarizado com essa importante representação de função, uma vez que seu histórico escolar privilegia a representação algébrica com foi enfatizado acima. Com o objetivo de melhorar a sua funcionalidade em contextos de ensinoaprendizagem, propomos que o Objeto de Aprendizagem Funções Lineares e Quadráticas trabalhe com tabelas em suas principais atividades. Além disso, ao utilizar esse software, os alunos tiveram dificuldade de visualizar importantes propriedades geométricas das funções quadráticas na medida em que confundiam os efeitos de translações com os efeitos de rotações sobre as funções lineares. Apesar de estar baseado em concepções construtivistas, ao utilizar o Objeto de Aprendizagem Desafio Funções, notamos que falta mobilidade em suas atividades, privilegiando a linearidade. Além disso, as duas primeiras atividades são extensas e há uma carência de conteúdos informativos sobre o estudo do conceito de funções. Finalmente, enfatizamos que não estão claros os conteúdos trabalhados na parte final da atividade. 8

9 Gomes Ferreira (1997) aponta que os alunos associam o subconceito de monoticidade (crescimento e decrescimento de funções) através da reta, ou seja, para eles a reta da função f 1 (x) = x é uma noção de função crescente e a reta da função f 2 (x) = -x+2 uma função decrescente. Mas o aluno tem dificuldade de generalizar esta percepção ao analisar os intervalos de crescimento ou decrescimento do gráfico da função f 3 (x) = x 1. Em nosso estudo, percebemos essa dificuldade dos alunos quanto a monoticidade de funções. Em sala de aula, eles têm uma aprendizagem mecânica sobre o crescimento e decrescimentos das funções do primeiro grau. Por conseguinte, ao analisar funções não lineares, entram em situações de conflitos com suas idéias prévias. Nesse sentido, faz-se necessário, em outros momentos de investigações, um levantamento mais específico das dificuldades dos alunos quanto a monoticidade de funções, bem como propor formas de superá-las. A ausência de tecnologia leva a um currículo escolar que em geral direciona os professores e alunos a lidar com uma gama limitada de gráficos e situações. Os diferentes tipos de gráficos são estudados de maneira isolada (funções lineares, quadrática, etc.) e sem estabelecer relações entre os mesmos. Isso limita o desenvolvimento conceitual dos alunos. Muitas vezes, numa aula tradicional e sem recursos computacionais, dificilmente o professor consegue detectar as principais dificuldades conceituais dos alunos sobre o estudo do conceito de funções. Por meio da realização desta pesquisa, foi possível identificar alguns teoremas-em-ação evocados pelos alunos na resolução das atividades. Nesse sentido, pode-se concluir que a utilização de ferramentas computacionais é de grande auxílio ao professor na medida em que podem ser detectados os principais obstáculos à elaboração conceitual. Referências Bibliográficas BORBA, M. G. e PENTEADO M. G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Autêntica, DUBINSKY, E. & HAREL, G. (1992). The nature of the process conception of function, in "The concept of function - aspects of epistemology and pedagogy", Dubinsky & Harel (Ed.), M.A.A. Notes, v.25, p FRANCHI, A. (1999). Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In Alcântara Machado, S.D. et al. (1999). Educação Matemática: uma introdução. São Paulo. EDUC. pp FERREIRA, Verônica G. Gomes. Aproveitando o potencial dinâmico do computador no ensino de função matemática. Natal. XIII Encontro de Pesquisa Educacional do Nordeste. Natal: UFRN, págs FOSSA, John Andrew, FOSSA, Maria da Glória. Funções, equações e regras. Ensaios sobre a educação matemática. Belém, PA EDUEPA, GAUDÊNCIO, Rogéria. Um estudo sobre a construção do conceito de função. Natal: 9

10 Universidade Federal UFRN, (Tese de Doutorado) GIMENEZ, J. e LINS, R. C.. Perspectivas em aritmética e álgebra para o século XXI. Campinas, SP: Papirus Editora, IEZZI, Gelson et al. Matemática, 2.º Grau. São Paulo: Atual, Vol. 1. MAGINA, S. et all. Repensando a adição, subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. 1.ed. São Paulo: PROEM, THIOLLENT, Michel. Crítica Metodológica, Investigação Social & Enquete Operária. São Paulo: Editora Polis, VERNAUD, G. (1993). Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro. p VERGNAUD G. Theorical framewooks and empirical facts in the psychology of mathematics education. Proceedings of the International Congress on Mathematical Education (ICME VI), Budapest, p , VIEIRA, Régis Francisco Alves. Análise do desenvolvimento conceitual no cálculo diferencial e integral- continuidade de funções. Fortaleza: Universidade Federal UFCE, (Dissertação de Mestrado) 10

11 i Dados dois conjuntos não-vazios A e B, uma função de A e B é uma relação que a cada elemento x de A faz corresponder um único elemento y de B. (IEZZI et all., 1993:34). Antônio Luiz de Oliveira Barreto Instituto UFC Virtual - PROATIVA Universidade Federal do Ceará (UFC). Campus do Pici. Bloco o Andar Cep: Fortaleza CE Brasil alobarreto@yahoo.com.br Lorena Silva Camelo Instituto UFC Virtual - PROATIVA Universidade Federal do Ceará (UFC). Campus do Pici. Bloco o Andar Cep: Fortaleza CE Brasil lorena_ufc@hotmail.com José Aires de Castro Filho Instituto UFC Virtual - PROATIVA Universidade Federal do Ceará (UFC). Campus do Pici. Bloco o Andar Cep: Fortaleza CE Brasil j.castro@ufc.br