O USO DO SOFTWARE MATHEMATICA PARA O ENSINO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

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1 O USO DO SOFTWARE MATHEMATICA PARA O ENSINO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Edward Luis de Araújo Evaneide Alves Carneiro Germano Abud de Rezende Lucas Henrique Calixto Resumo: Este projeto visa criar aplicativos, gráficos, animações e outros tipos de materiais, através de recursos multimídia, que valorizem a compreensão de conceitos matemáticos e o aprendizado com um apelo visual. Com isto queremos melhorar e enriquecer a formação dos alunos das Ciências Exatas, adotando uma abordagem diferenciada. O projeto baseia-se em uma proposta de trabalhar o ensino através de projetos e incorporação de tecnologias em sala de aula, permitindo uma abordagem interdisciplinar dos conteúdos e provocando um maior interesse do aluno por estes conteúdos, diminuindo os índices de reprovação nestes cursos e melhorando a aprendizagem. Queremos também incentivar os professores a uma reflexão no sentido de reformular os projetos pedagógicos destes cursos, propondo que parte da carga horária dos mesmos seja cumprida nos laboratórios, tornando o ensino de cálculo mais atrativo e aplicado. Palavras-chave: Software; Mathematica; Cálculo. JUSTIFICATIVA E METODOLOGIA Pecebe-se que os alunos dos cursos de graduação em Matemática, Química e Física apresentam grande dificuldade no aprendizado das disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral. O computador pode ser usado na sala de aula ou no estudo individual, como uma ferramenta para compreensão de conceitos abstratos e as aulas de laboratório conduzem ao trabalho reflexivo em equipe. O estímulo criado pela simulação e visualização de problemas propicia uma participação mais ativa do aluno no seu aprendizado, melhorando a construção do conhecimento e provocando uma reflexão sobre o tema por parte do aluno. O Mathematica e o WinPlot são softwares que tem se destacado por suas potencialidades e 1

2 variedade de aplicações neste sentido. Acrescentamos 20 horas-aula aos cursos de cálculo 1,2 e 3 para atividades de laboratório em horário extraclasse. Os procedimentos de validação do saber matemático estão diretamente relacionados à investigação matemática. Segundo D Ambrósio: O ambiente necessário para a construção de uma visão de Matemática conforme proposta pelos construtivistas caracteriza-se por um ambiente em que os alunos propõem, exploram e investigam problemas matemáticos. Esses problemas provém tanto de situações reais (modelagem) como de situações lúdicas (jogos e curiosidades matemáticas) e de investigações e refutações dentro da própria Matemática. D Ambrósio (1993: p ) Ponte (2003: p ), menciona que a aula investigativa possui três fases distintas: i. Introdução da tarefa: Momento em que o professor faz a proposta a turma oralmente ou por escrito; ii. Realização da investigação: Momento de pesquisa dos alunos seja individualmente, ou aos pares, ou em pequenos grupos, ou ainda, com toda a turma; iii. trabalho realizado. Discussão dos resultados: Momento em que os alunos socializam o Estas são idéias similares as que temos desenvolvido nos cursos de Cálculo da FACIP/UFU. Em cada aula o aluno trabalha os conceitos vistos em sala de aula e desenvolve pequenos projetos que se constituem em situações-problema, que norteiam os temas explorados e conduzem à pesquisa e desdobramentos do tema. A estrutura das aulas foi organizada de modo que o trabalho seja investigativo e não um simples digitar de comandos. Com relação ao ambiente propício para a aprendizagem matemática D Ambrósio (1993: p ) ainda diz que: O ambiente proposto é um ambiente positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar suas próprias conclusões. Respostas incorretas constituem a riqueza do processo de aprendizagem e devem ser exploradas e utilizadas de maneira a gerar novo conhecimento, novas questões, novas investigações ou um refinamento das idéias existentes. D Ambrósio (1993: p ) O LABORATÓRIO 2

3 A maior parte das atividades propostas pode ser encontrada em [2], [4] e [5]. No laboratório de cálculo diferencial e integral 1, os seguintes tópicos serão abordados: funções, teorema do confronto, traçado de gráficos e assíntotas, suavidade de funções, regra da cadeia, polinômio de Taylor, aplicações da derivada e teorema fundamental do cálculo. Os tópicos foram escolhidos estrategicamente para tentar suprir as maiores dificuldades apresentadas pelos alunos em cursos anteriores. Espera-se que, ao final do curso, o aluno além de dominar as técnicas e métodos do cálculo adquira uma boa visão geométrica, para que ele possa estender os conceitos estudados para as funções de duas ou mais variáveis estudadas nos semestres seguintes e que ele também tenha condições de exemplificar e aplicar os conceitos. O aluno irá resolver problemas de aplicações do cálculo diferencial e integral, onde a interpretação do problema e as possíveis estratégias de solução têm maior relevância do que a solução numérica, estimulando a capacidade criativa e investigativa do aluno, que poderá com o uso do software simular vários cálculos e visualizar gráficos. Devido à grande quantidade de alunos matriculados na disciplina, optamos por uma divisão da turma em dois horários de laboratório. Mesmo assim, não há um computador disponível para cada aluno e cada computador será utilizado por dois alunos. Tal dinâmica, a princípio, poderia ser encarada como negativa, mas entendemos que ela só tende a contribuir para a socialização das dúvidas, das reflexões e das possíveis soluções dos problemas, o que nem sempre é possível de ser feito na sala de aula. No Cálculo Diferencial e Integral 2, que trata das funções de várias variáveis, nos dedicamos a atividades que tratam dos conceitos de: curvas paramétricas, curvas de nível, derivadas parciais e plano tangente, derivada direcional e vetor gradiente, máximos e mínimos locais, máximos e mínimos absolutos, multiplicadores de Lagrange. Enfatizamos os problemas de otimização por se tratarem de temas mais aplicados e com maior possibilidade de exploração. No estudo das curvas paramétricas o uso do computador é muito importante, pois possibilita explorar a sensibilidade dos parâmetros propiciando ao aluno uma melhor compreensão do significado das variáveis, desenvolvendo a visão geométrica das equações algébricas e estimulando a criatividade. Em cada aula apresentamos inicialmente os comandos que podem ser utilizados no desenvolvimento do tema, revisamos os conceitos vistos em sala e apresentamos situações-problema que serão resolvidas no decorrer da aula e, eventualmente, em trabalhos extraclasse. Exploramos ao máximo a criatividade do aluno, que tem liberdade para sugerir e discutir 3

4 com os colegas estratégias de resolução do problema proposto. Acreditamos que a criatividade, reflexão e o convívio em grupo são potencializados nas aulas de laboratório, ampliando as possibilidades de construção do conhecimento e fornecendo o estímulo necessário para despertar o interesse do aluno pelo Cálculo Diferencial. A disciplina Cálculo Diferencial e Integral 3 aborda vários tópicos que exigem do aluno uma visão geométrica apurada, como por exemplo, integrais triplas em diferentes sistemas de coordenadas e integrais de linha e de superfície. Percebe-se grande dificuldade no entendimento da geometria de certas regiões espaciais e suas projeções, no esboço de curvas em coordenadas polares, dentre outros assuntos. O objetivo do uso do software é, principalmente, auxiliar os alunos na compreensão das curvas, superfícies e regiões planas e espaciais que surgem nas integrais. Os seguintes tópicos serão abordados ao longo do semestre: massa e centro de massa, integral dupla em coordenadas polares, volume por integral tripla, campos vetoriais, integrais de linha, trabalho, teorema de Green e superfícies parametrizadas. As aulas de laboratório obedecem ao seguinte roteiro: fazemos uma introdução e apresentamos os objetivos da aula, a seguir uma preparação para os comandos que serão utilizados e finalmente atividades do tipo faça você mesmo, que são feitas com o uso do software e algumas anotações em uma folha própria, que será usada para avaliação, juntamente com o arquivo no computador. Ao final do semestre, os professores e os alunos avaliarão a contribuição que as aulas de laboratório trouxeram ao entendimento dos tópicos abordados. Um exemplo de atividade (já desenvolvida) é mostrado nas figuras abaixo. A partir da parametrização do círculo centrado na origem (vista em sala de aula), o aluno é convidado a tentar deduzir as equações do círculo centrado num ponto qualquer e posteriormente as equações de uma elipse. Com o comando manipulate o aluno simula valores para os parâmetros envolvidos e visualiza o que acontece quando os valores são modificados. 4

5 Figura 1: Exemplo de atividade: equação da elipse a partir do círculo. Figura 2: Exemplo de atividade: influência dos parâmetros na equação da elipse. Figura 3: Exemplo de atividade: animando os resultados obtidos. 5

6 REFERÊNCIAS BILIOGRÁFICAS [1] D AMBROSIO, B. S. Formação de Professores de Matemática para o Século XXI: o Grande Desafio. Revista Pro-Posições. Campinas, SP: Ed. Cortez-Unicamp. Volume 4. p ,1993. [2] FIGUEIREDO, V. L. X.; MELLO, M. P.; SANTOS, S. A. Cálculo com Aplicações: Atividades Computacionais e Projetos. Coleção Imecc Textos Didáticos: Volume 3. Campinas, SP: Unicamp/Imecc, [3] PONTE, J.P. Investigações Matemáticas na Sala de Aula. Belo Horizonte MG: Autêntica Editora, [4] STEWART, J. Cálculo: Volume 1. São Paulo: Cengage Learning, [5] STEWART, J. Cálculo: Volume 2. São Paulo: Cengage Learning,

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