Fundamentos de Matemática

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1 Fundamentos de Matemática Elaine Gouvêa Pimentel 12 de março de 2008 Resumo O presente texto visa descrever alguns aspectos da fundamentação da matemática, mostrando, a partir de uma visão histórica, como alguns conceitos de matemática foram formalizados. A ênfase será sobre a teoria de conjuntos e resolução de paradoxos. Também será dada uma apresentação formal da teoria de provas, onde sistemas lógicos servirão como ferramenta para a fundamentação de conceitos tais como a demonstração por absurdo. Por fim, será apresentada o teorema da incompletude de Gödel que diz, basicamente, que dentro de um determinado ramo da matemática que possui um número finito de axiomas (como, por exemplo, a aritmética de Peano), existem sempre teoremas (ou seja, proposições verdadeiras) que não podem ser provados. 1

2 Sumário 1 Fundamentos da matemática 4 2 Lógica matemática (clássica) Semântica Tabela da verdade Álgebra de Boole Lógica intuicionista Semântica Lógica e Matemática 13 5 Matemática como uma ciência independente A aritmetização da Análise Critérios para a fundamentação Sistema de Frege Idéias básicas O sistema formal Paradoxos e a teoria de tipos de Russell Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel Idéias básicas Formalização de ZF Axioma da escolha O programa de Hilbert e a incompletude de Gödel O programa de Hilbert Teoremas de incompletude de Gödel O método de prova dos teoremas de Gödel: funções recursivas Prova do primeiro teorema de incompletude de Gödel Prova do segundo teorema de incompletude de Gödel λ-calculus e computabilidade λ-calculus tipado simples Tipos Sistemas de Tipos Outras propriedades de sistemas de tipos Tipos Simples Tipo produto, tipo soma e tipos recursivos Produtos cartesianos Somas Polimorfismo Inferência de tipos Isomorfismo de Curry-Howard 45 2

3 12 Tipos e Significados: Semântica Semântica Denotacional Semântica Operacional Semântica denotacional do λ-calculus Conjunto parcialmente ordenado (POSET) Ordem parcial completa (CPO) Lógica Linear Semântica Lógica e Ciência da Computação Logical frameworks Lógica Linear como framework para especificar sistemas de seqüentes A De dedução natural para cálculo de seqüentes 62 A.1 Dedução natural A.2 Cálculo de seqüentes A.2.1 Cut elimination

4 1 Fundamentos da matemática O termo fundamentos da matemática (em inglês, foundations of mathematics) é em geral usado para certas áreas da matemática, como por exemplo a lógica matemática, teoria de conjuntos axiomática, teoria de provas, teoria de modelos, teoria da recursão. A procura de fundamentos para a matemática é também uma questão central de filosofia da matemática: quando podemos dizer que uma afirmação matemática pode ser chamada verdadeira? No paradigma matemático dominante atualmente, a verdade de uma afirmativa pode ser derivada dos axiomas da teoria de conjuntos usando regras de lógica formal. A preocupação em estabelecer uma base lógica e filosófica para a matemática começou com os Elementos de Euclides. Essencialmente, Euclides foi o primeiro a questionar quando os axiomas de um certo cálculo (no seu caso, a geometria), podem assegurar completeza e consistência. Na era moderna, esse debate deu origem a três escolas de pensamento: logicismo, formalismo e intuicionismo. Logicistas propõe que objetos matemáticos abstratos devem ser inteiramente desenvolvidos a partir de idéias básicas de conjuntos e pensamento racional ou lógico. Formalistas acreditavam que a matemática era a manipulação de configurações de símbolos de acordo com regras prescritas, um jogo, independente de qualquer interpretação física dos símbolos. Intuicionistas rejeitam certos conceitos de lógica e a noção que um método axiomático seria suficiente para explicar toda a matemática, e vêem a matemática como uma atividade intelectual que lida com construções mentais (construtivismo), independente da linguagem e de qualquer realidade externa. O presente texto diz respeito apenas ao logicismo e, portanto, visa estudar as idéias básicas da teoria de conjuntos (de Zermelo-Fraenkel), bem como a teoria de provas, tendo como pano de fundo sempre a lógica clássica. 2 Lógica matemática (clássica) A lógica matemática lida com a formalização e a análise de tipos de argumentação utilizados em matemática. Desta forma, os sistemas lógicos formais utilizados para esse fim devem ser ferramentas adequadas para provar proposições. Parte do problema com a formalização da argumentação matemática é a necessidade de se especificar de maneira precisa uma linguagem matemática formal. Linguagens naturais, assim como o português ou inglês, não servem a este propósito: elas são muito complexas e em constante modificação. Por outro lado, linguagens formais como (algumas) linguagens de programação, que também são rigidamente definidas, são muito mais simples e menos flexíveis que as linguagens naturais. Utilizamos então um sistema lógico formal. Um sistema lógico formal é composto, além da sintaxe (ou notação), de uma especificação cuidadosa de regras de argumentação (regras de inferência), bem como de alguma noção de como interpretar e dar um significado a sentenças (ou proposições) da linguagem adotada (semântica). A linguagem usada atualmente para formalizar a argumentação matemática é a lógica (clássica) de primeira ordem, juntamente com um sistema formal de 4

5 provas, que serão apresentados a seguir. Começaremos pela sintaxe (ou notação). A idéia é que expressões válidas da linguagem lógica são seqüências especiais de símbolos de um dado alfabeto, geradas por uma definição indutiva (gramática). Desta forma, partindo do alfabeto básico: ALFABETO Letras : A, B, C,... Conectivos :,,,, Agrupamento : ( ) as fórmulas da lógica clássica proposicional de primeira ordem são dadas pela gramática: F GRAMÁTICA ::= A ( F) (F F) (F F) (F F) x.f x.f que significa que uma fórmula F pode ser uma proposição atômica (ou seja, uma fórmula A sem conectivos lógicos), a negação de uma fórmula, a conjunção de duas fórmulas, a disjunção de duas fórmulas, implicação, falso ou fórmulas quantificadas (para todo e existe). Vale ressaltar que a gramática acima não é minimal. De fato, podemos, por exemplo, identificar A com A. Mas escrever a negação de forma concisa facilitará a visualização de provas em dedução natural, que veremos a seguir. Outra observação importante é que não é uma fórmula atômica, mas sim o zero-ário do conectivo. A segunda parte de um sistema lógico consiste em estabelecer os axiomas e as regras de inferência do sistema. Existem diversas formas de se definir regras e axiomas de um sistema lógico formal. Começaremos por descrever rapidamente os sistemas de Hilbert. Os sistemas de Hilbert (também chamados de sistemas axiomáticos) são muito utilizados por filósofos para formalizar a argumentação lógica. Tais sistemas são, em geral, fáceis de serem compreendidos, mas extremamente difíceis de serem usados para provar teoremas. Sistemas de Hilbert possuem um grande número de axiomas básicos, como por exemplo: A A B ou A (B A) e no caso da lógica proposicional existe apenas uma regra de inferência: modus ponens (veja definição abaixo). Desta forma, derivações são seqüências lineares que começam com instâncias dos axiomas que são decompostos pela regra de inferência, até que a conclusão é atingida. De maneira oposta, em sistemas de dedução natural existem apenas regras de inferência, além de afirmativas que começam as derivações, como por exemplo: (A). B A B Neste caso, os pontos verticais indicam a derivação de B a partir de A, que por sua vez é descartada na linha de inferência (procedimento indicado pelo uso de 5

6 parêntesis em torno de A) para produzir A B. Desta forma, uma prova de B depende de uma prova de A, enquanto que a prova de A B não. Utilizaremos aqui uma presentação mais moderna de dedução natural, que utiliza um sistema à la cálculo de seqüentes (veja Seção A.2), onde as afirmativas a serem descartadas na linha de inferência são anotadas no contexto. Isto é, os nodos da árvore de uma derivação deixam de ser fórmulas para se tornar seqüentes da forma Γ C, onde Γ é um conjunto de fórmulas chamado contexto ou antecedente enquanto que C uma fórmula chamada sucedente. Desta forma, a regra acima pode ser re-escrita como: A B A B Nesta presentação, a lógica clássica tem um e apenas um axioma: Γ, A A Inicial que diz que uma fórmula é provável a partir de si mesma. Como exemplo de regra de inferência, apresentamos aqui o famoso modus ponens 1 : Γ A Γ A B ( E) Γ B Informalmente, essa regra diz que se temos uma função do tipo A B e um argumento do tipo A, então podemos aplicar a função ao argumento e obter um resultado do tipo B. Veja a Figura 1 para lista completa das regras de dedução natural para a lógica cássica. Vale a pena observar que, em lógica cássica, vale o tão comentado princípio do meio excluído. Ou seja, a proposição p p é sempre válida. Isso significa que uma fórmula é sempre ou verdadeira, ou falsa. Essa afirmação é extremamente não construtiva, uma vez que nada se pode dizer de qual das das opções é valida. Existe uma série de conseqüências que derivam dessa fórmula, e esse será objeto de um estudo cuidadoso durante o decorrer destas notas. A prova formal do princípio do meio excluído utilizando as regras de dedução natural (Figura 1) é: (p p), p p (Inicial) (p p), p p p ( I 1) (p p) (p p) (Inicial) ( E) (p p), p (p p) p ( I) (p p) p p ( I 2) (p p) (p p) (Inicial) ( E) (p p) (p p) ( I) (DN) p p 1 Esta é uma regra de eliminação, própria de sistemas descritos em dedução natural. Veja o Apêndice A.2 para a diferença entre cálculo de seqüentes e dedução natural. 6

7 Γ, A A Inicial Γ A Γ B Γ A B ( I) Γ A B Γ A ( E1) Γ A B Γ B ( E2) Γ A Γ A B ( I1) Γ B Γ A B ( I2) Γ A B Γ, A C Γ, B C Γ C Γ, A B Γ A B ( I) Γ A Γ A B Γ B Γ Γ A ( E) Γ, A Γ A ( I) Γ A Γ A Γ Γ ( A) Γ A (DN) ( E) ( E) ( E) Figura 1: Dedução natural para a lógica cássica A B A A B A B A B V V F V V V F V F F F V F F F V V F V V F F F V F F V F Tabela 1: Tabela da verdade 2.1 Semântica Com relação à semântica (significado dos símbolos lógicos), no caso proposicional (isto é, sem os quantificadores) o significado de fórmulas em lógica pode ser dado de maneira trivial, baseado na tabela da verdade, ou um pouco mais elaborada utilizando, por exemplo, álgebras de Boole Tabela da verdade À cada símbolo básico da lógica é dado um valor (semântico): verdadeiro V ou falso F. Dependendo desse valor, chegamos ao valor das fórmulas formadas a partir da gramática analisando a Tabela 1. A semântica dos quantificadores é mais complicada e não será objeto de estudo neste curso. Através dessa análise semântica, podemos ver, por exemplo, por que as 7

8 fórmulas A B, B A e (A B) possuem o mesmo comportamento: A B A B B A (A B) V V V V V V F F F F F V V V V F F V V V Ou seja, provas matemáticas do fato: B segue de A utilizando qualquer dos seguintes métodos: são equivalentes Álgebra de Boole direto, contra-recíproco, por absurdo Nesta seção mostraremos como utilizar álgebras de Boole para estabelecer a semântica da lógica clássica proposicional. Além de ser interessante por si só, poderemos utilizar alguns conceitos aqui estabelecidos para a semântica da lógica intuicionista (ver Seção 3.1). Começaremos por relembrar o conceito de anéis Definição 1 Um conjunto não vazio R fechado com relação às operações + e é dito um anel associativo se a, b e c em R: 1. a + b = b + a 2. (a + b) + c = a + (b + c) 3. 0 R tal que a + 0 = a a R 4. a. ( a) tal que a + ( a) = 0 5. (a.b).c = a.(b.c) 6. a.(b + c) = a.b + a.c e (b + c).a = b.a + c.a Os ítens (1) (4) dizem que R é um grupo abeliano com relação a +, enquanto que (5) diz que R é um semigrupo com operador. Dizemos ainda que R é um anel com unidade se 1 R tal que a R a.1 = 1.a = a. Além disso, R é um anel comutativo se a, b R, a.b = b.a. Exemplo 1 a) (Z, +, ) é um anel comutativo com unidade. R = conjunto dos inteiros pares é anel comutativo sem unidade. b) (Q, +, ) é anel comutativo com unidade. Além disso, os elementos de Q diferentes de zero formam um grupo abeliano com relação à multiplicação. Um anel com esta propriedade é chamado corpo. c) (Z 6, +, ) é um anel comutativo com unidade, mas não um corpo. 8

9 Definição 2 (Álgebra Booleana) Uma álgebra Booleana é um anel (R, +,, 0, 1) no qual cada elemento é idempotente com relação à multiplicação (ou seja, igual ao seu quadrado). Exemplo 2 a) (P(A),,,, A) é uma álgebra booleana, onde é a operação de diferença simétrica: X Y = (X Y ) (X Y ) = (X (A Y )) ((A X) Y ). b) Z 2 é a única álgebra de Boole que também é um corpo. De fato, seja B uma álgebra de Boole que é um corpo. Para todo x B, x 2 = x x(x 1) = 0. Então, se B é um domínio de integridade, temos x = 0 ou x = 1. Ou seja, B é isomorfo a Z 2. Propriedade 1 1. Em qualquer álgebra de Boole, todo elemento é seu próprio inverso aditivo. 2. Toda álgebra de Boole é comutativa. Prova Como (a + b) 2 = (a + b) e (a + b) 2 = a 2 + a.b + b.a + b 2 então: a.b + b.a = 0 (1) Fazendo b = 1, obtemos a = a. Para a segunda parte, sabemos que a.b é o inverso de a.b. Mas por (1), a.b também é o inverso de b.a e portanto a.b = b.a. A semântica da lógica clássica proposicional será dada a seguir. Seja F o conjunto de todas as fórmulas proposicionais da lógica clássica e a seguinte relação de equivalência: ϕ ψ se e somente se ϕ ψ e ψ ϕ Seja F = F/ = {[ϕ] : ϕ F}. As seguintes operações sobre F são bem definidas: [α] [β] = [α β] [α] = [ α] [α] [β] = [α β] [α] [β] = [α β] [α] [β] = [α β] [α] [β] = [α β] Chame 0 = [ ] e 1 = [ ], onde =. Então (F,,,0,1) é uma álgebra de Boole. Observe que [ ] = {ϕ : ϕ} ou seja, 1 é a classe das tautologias. Observe também que a a = [ ] e a a = [ ]. a última igualdade sendo equivalente ao princípio do meio excluído. Seja PV c o conjunto de variáveis proposicionais da lógica clássica. Dizemos que uma valuação v em F é uma aplicação v : PV c {0,1}. Dada uma valuação v em F, definimos a aplicação [ ] v c : F {0,1} de maneira trivial: 9

10 [p] v c = v(p) para p PV [ ] v c = 0 [ϕ ψ] v c = [ϕ] v c [ψ]v c [ϕ ψ] v c = [ϕ] v c [ψ] v c [ϕ ψ] v c = [ϕ] v c [ψ] v c Escreveremos Γ = ϕ sempre que [Γ] v c = 1 implica [ϕ]v c = 1 para todos B e v relacionados com a álgebra de Boole F. O seguinte teorema diz que o modelo semântico baseado em álgebra de Boole é completo e sound : Teorema 1 As seguintes condições são equivalentes: 1. Γ ϕ; 2. Γ = ϕ. 3 Lógica intuicionista Como descrito na Seção 2, o entendimento clássico de lógica é baseado na noção de verdade. Ou seja, a veracidade de uma afirmativa é absoluta e independente de qualquer argumentação, crença ou ação. Desta forma, afirmativas são ou falsas ou verdadeiras (princípio do meio excuído), onde falso é a mesma coisa que não verdadeiro (veja Tabela 1). Claro que essa abordagem de pensamento é muito intuitiva e baseada em experiência e observação. Para um matemático preocupado em provar um teorema, é importante a idéia de que toda afirmativa pode ser provada verdadeira se uma prova é apresentada ou falsa se existe um contra-exemplo. Além disso, várias técnicas de demostração utilizam implicitamente o princípio do meio excluído. Considere o seguinte exemplo: Teorema 2 Existem dois números irracionais x e y tais que x y é racional. Prova A prova desse fato é bastante simples: se 2 2 é racional, então tomamos x = y = 2. Caso contrário, tomamos x = 2 2 e y = 2. Observe que não temos como saber qual dos casos realmente acontece, porque não se sabe se 2 2 é racional ou irracional. Mas o princípio do meio excluído nos garante que uma das opções ocorre e isso é bastante natural de se aceitar. Então, para o exemplo acima descrito, o problema se limita ao fato de que a prova apresentada não é construtiva. Um caso mais sério surge com o seguinte teorema: Teorema 3 Existem sete 7 s consecutivos na representação decimal do número π. Ora, ou alguém algum dia chega à representação de com um número de casas decimais grande o suficiente de modo a encontrar sete 7 s consecutivos ou então... não se sabe! Considere p a afirmativa: 10

11 existe uma prova de que existem sete 7 s consecutivos na representação decimal do número π. e chamemos de t o predicado dado pelo enunciado do Teorema 3. Parece claro que p t. Mas isso vale somente se p é verdadeiro. Se p é falso não se pode dizer que t é falso. Esse é um exemplo de uma afirmativa para a qual não existe sentido a sua negação. Ou seja, o princípio do meio excluído não se encaixa em um sistema que possui esse tipo de teorema. Observe que aqui infinitude está envolvida. Ou seja, muito provavelmente, provar o Teorema 3 significa testar todas as (infinitas) possibilidades. A lógica intuicionista abandona a idéia de verdade absoluta, e afirmativas são consideradas válidas se e somente se existe uma prova construtiva da mesma. Ou seja, o princípio do meio excluído não é mais válido. Com relação ao sistema de provas da lógica intuicionista, em dedução natural as regras são as mesmas das apresentadas na Figura 1, com excessão da regra de dupla negação, (DN). Já em cálculo de seqëntes, a presentação mais conhecida é o sistema de Gentzen LJ, onde os seqüentes válidos possuem exatamente uma fórmula como sucedente e as regras de weakening and contraction não são válidas à direita. Isto é, são consideradas todas as regras da Figura A.2 menos as regras weakr e contr. Daremos maiores detalhes na Seção 8. Exemplo 3 Todos os seqüentes abaixo são prováveis em lógica clássica: 1. (p q) ( p q) 2. (p q) ( p q) 3. (p q) ( p q) 4. (p q) ( p q) 5. ((p q) p) p 6. (p q) (q p) Mas apenas (1), (2) e (3) apresentam provas construtivas, isto é, são prováveis intuicionisticamente. 3.1 Semântica Um dos modelos semânticos mais populares para a lógica intuicionista é baseado em álgebras de Heyting. Descreveremos aqui (de maneira resumida) a semântica para o caso proposicional [31]. Seja Φ o conjunto de todas as fórmulas proposicionais da lógica intuicionista, considere Γ Φ e seja a seguinte relação de equivalência: ϕ ψ se e somente se Γ ϕ ψ e Γ ψ ϕ Seja L Γ = Φ/ = {[ϕ] : ϕ Φ} e defina uma ordem parcial sobre L Γ da seguinte forma: [ϕ] [ψ] se e somente se Γ ϕ ψ. 11

12 Podemos também definir as seguintes (bem definidas) operações sobre L Γ : [α] [β] = [α β] ; [α] [β] = [α β] ; [α] = [ α] ; ou ainda ir mais adiante e mostrar que as operações e são operações ínfimo e supremo com relação a, e que as leis de distributividade (a b) c = (a c) (b c) e (a b) c = (a c) (b c) são satisfeitas 2. A classe [ ] é o menor elemento (0) de L Γ e [ ], onde =, é o maior elemento (1). Temos também que [ ] = {ϕ : Γ ϕ}. Entretanto, existem algumas dificuldades (já esperadas) com a operação complementar: a a = [ ] mas não necessariamente a a = [ ]. O máximo que podemos afirmar é que a é o maior elemento tal que a a = 0. Chamamos a de pseudo-complemento de a. Uma vez que a negação é um caso especial de implicação (pois a a ), o que foi dito acima merece uma generalização. Um elemento c é chamado um pseudo-complemento relativo de a com relação a b se e somente se c é o maior elemento tal que a c b. O pseudo-complemento relativo, caso existir, é denotado por a b. Não é difícil de ver que na álgebra L Γ (comumente chamada de álgebra de Lindenbaum), temos [ϕ] [ψ] = [ϕ ψ]. Formalmente, uma álgebra de Heyting (ou álgebra pseudo-booleana), é um sistema algébrico H que é um reticulado distributivo contendo o zero e que possui um pseudo-complemento relativo definido para cada par de elementos. Em particular, cada álgebra de Boolean é uma álgebra de Heyting com a b definido como a b 3. A semântica da lógica intuicionista proposicional é dada pela aplicação [ ] i, definida a seguir. Definição 3 Seja H = H,,,,, 0, 1 uma álgebra de Heyting. Denotamos por PV ao conjunto de variáveis proposicionais da lógica intuicionista. i. Uma valuação v em H é uma aplicação v : PV H. ii. Dada uma valuação v em H, definimos a aplicação [ ] v i : Φ H por: [p] v i = v(p) para p PV [ ] v i = 0 [ϕ ψ] v i = [ϕ] v i [ψ]v i [ϕ ψ] v i = [ϕ] v i [ψ]v i [ϕ ψ] v i = [ϕ] v i [ψ]v i 2 Ou seja, L Γ é um reticulado distributivo. 3 O exemplo mais conhecido de álgebra de Heyting que não é uma álgebra de Boole é a álgebra de conjuntos abertos de um espaço topológico. 12

13 Escreveremos Γ = ϕ sempre que [Γ] v i = 1 implica [ϕ]v i = 1 para todos H e v relacionados com a álgebra de Heyting H. O seguinte teorema diz que o modelo semântico baseado em álgebra de Heyting é completo e sound : Teorema 4 As seguintes condições são equivalentes: 1. Γ ϕ; 2. Γ = ϕ. 4 Lógica e Matemática Para muitos, lógica não faz parte da matemática. De fato, parece paradoxal dizer que a lógica é um ramo da matemática, uma vez que a lógica é o instrumento utilizado para a formalização da matemática. Na realidade, o estudo da lógica como um modelo para a matemática, sendo ao mesmo tempo uma parte da matemática não forma um círculo vicioso, mas pode ser entendido como uma escada em espiral. Se a matemática está no n- ésimo degrau (chamado degrau intuitivo), o degrau n + 1 contém um modelo reduzido, um protótipo (degrau formal). A passagem do degrau n para o degrau n + 1 é chamado formalização. Com relação à lógica, a passagem do degrau n para o degrau n + 1 implica em aumentar a ordem. Então, a lógica clássica de primeira ordem (que é um ramo da matemática) dá origem à lógica de segunda ordem (que contém toda a matemática), onde predicados podem ser quantificados, e não apenas variáveis. É interessante também ressaltar que, nas áreas clássicas da matemática, o propósito inicial é propor um modelo matemático para alguma situação mais ou menos concreta. Com a lógica, acontece algo similar. A sua particularidade reside no fato de que a realidade que a lógica visa descrever não é fora do mundo matemático, mas sim a própria matemática. Desta forma, do mesmo modo que um matemático não confunde o ambiente físico em que vive com um espaço vetorial euclideano tri-dimensional, um pesquisador na área de lógica não a confunde com a matemática sendo descrita. Por fim, observe que tanto na matemática quanto na lógica, o estudo de modelos dá origem ao aparecimento de novos ramos de estudo, que aparentemente nada ou pouco têm a ver com o objetivo inicial de descrever um objeto, seja ele concreto ou não. Desta forma, a lógica como disciplina passa a ter vida própria, e o seu estudo não se limita ao caso clássico. Isto justifica o aparecimento e estudo de lógicas como a intuicionista, linear, fuzzy, modal, etc. 5 Matemática como uma ciência independente Existem diversas opiniões a respeito de como surgiu a matemática. Alguns matemáticos tendem a considerar a física como a principal fonte de problemas e idéias matemáticas. Outros consideram a intuição matemática ligada principalmente com a estrutura abstrata de objetos matemáticos (o que quer que venha a ser isso) e portanto independente de outras ciências. Essa dicotomia de pensamento vem desde os primórdios do estudo da matemática. Por exemplo, os matemáticos gregos desenvolveram a geometria axiomática e deram os primeiros 13

14 passos em lógica formal, mas não possuiam nem mesmo um sistema numérico: trabalhavam com comprimentos de segmentos de reta e suas razões. Eles claramente reconheciam pontos e retas como entidades abstratas e não-físicas, apesar de saber que a geometria por eles desenvolvida podia ser aplicada a problemas práticos de medição de espaço, por exemplo. O cálculo diferencial foi inventado ao mesmo tempo por Newton e Leibniz, o primeiro claramente motivado por um forte sentido de realidade física, enquanto que o segundo estava muito mais interessado em lógica e matemática formal. De qualquer forma, existem vários pontos fundamentais nos quais a maioria dos matemáticos concorda, independentemente de convicções filosóficas, relacionados à natureza da matemática. A primeira é que a matemática é abstrata, e isso consiste essencialmente em argumentar com abstrações. A segunda é que a verdade ou falsidade de uma proposição em matemática é determinada por um processo de dedução, ou seja, mostrando que uma proposição pode ser provada tendo como base alguns princípios ou verdades assumidas. Esse processo difere de outras ciências ao menos em um aspecto: todas as outras ciências (mesmo uma tão abstrata quanto a física teórica) dependem de uma certa quantidade de manipulação do mundo físico. Ou seja, as hipóteses e leis são consideradas válidas apenas depois de serem testadas através de algum experimento. Em matemática, teoremas são provados (portanto estabelecendo a sua veracidade) sem a necessidade de convalidar o resultado no mundo físico. Desta forma, o primeiro ingrediente dos estudos modernos dos fundamentos da matemática é a visão da matemática como uma ciência independente da realidade física, uma ciência cujos objetos de estudo são sistemas abstratos e auto-consistentes, e que usa a prova como técnica principal para determinar a verdade. Então, o que é uma prova? Praticamente falando, uma prova é qualquer argumento razoável aceito como tal pelos matemáticos. Esta definição é muito imprecisa, e não dá pistas de que tipo de proposições podem ser provadas ou não. Essa é uma das razões para o estudo de lógica matemática. 5.1 A aritmetização da Análise Um segundo ingrediente dos estudos modernos dos fundamentos da matemática é o desenvolvimento da Análise e da Teoria da Conjuntos nos séculos XIX e XX. Este desenvolvimento teve o efeito de separar aspectos puramente aritméticos ou algébricos do número, dos aspectos geométricos. Álgebra foi desenvolvida pelas civilizações Indu-Árabe e Descartes inventou a Análise através da fusão de Álgebra e Geometria em uma única disciplina, a geometria analítica. Isto permitiu que os matemáticos vissem funções através de seus gráficos. Um número real passou a ser considerado como um continuum que era ao mesmo tempo geométrico e algébrico, e provas de fatos relacionados a funções eram feitas através da análise de seus gráficos. Desta forma, uma função nunca era separada da curva que era a sua contrapartida geométrica. A aritmetização da Análise (Dedekind, Weierstrass, Cauchy, Cantor, etc) foi responsável pelo desenvolvimento de uma noção algébrica de número real que não apelava para a intuição geométrica. A definição de números reais partia dos números racionais. Os racionais eram, por sua vez, definidos a partir de razões de inteiros e os inteiros eram facilmente construídos a partir dos naturais. 14

15 Após a aritmetização da Análise, veio a generalização da Geometria, criando a Topologia, que hoje é uma disciplina independente. As duas possuem uma interseção quando se fala de espaços métricos. Neste ponto, ficou claro que a fundamentação matemática necessária para suportar esse boom de novas teorias e áreas da matemática deveria ir muito além de reduzir tudo aos números naturais. De fato, eram necessários: os naturais e mais uma série de argumentações baseadas em teoria de conjuntos. O problema é que a teoria de conjuntos usada na época era extremamente ingênua, e o aparecimento de contradições lógicas (ou paradoxos) estremeceu a base da argumentação matemática. Alguma coisa tinha que ser feita, e foi daí que surgiram os primeiros esforços de axiomatizar a teoria de conjuntos. Esse assunto foi definitivamente encerrado na primeira década do século XX, quando Zermelo publicou o seu trabalho, logo complementado por Fraenkel. Surge então a teoria de conjuntos de Zermelo- Fraenkel, que será o objeto de estudo da Seção Critérios para a fundamentação Nesta seção estabeleceremos alguns critérios que devem ser seguidos na hora de decidir o que é uma fundação (ou fundamentação) para a matemática. 1. Uma fundação para a matemática deve ser adequada para argumentar sobre uma porção grande da matemática. De acordo com o Teorema de incompletude de Gödel (veja Seção 8.2), não existe uma fundação que seja consistente e completa, ou seja, que seja adequada para toda a matemática. Sempre vão existir alguns teoremas válidos que não poderão ser obtidos puramente através de um processo formal de argumentação. Basta então decidir quais verdades são mais importantes, de maneira a se minimizar as perdas. 2. Uma fundação deve derivar de alguns princípios intuitivos e naturais. Um sistema axiomático é o meio mais comum de catalogar um conjunto de verdades e, em geral, esse sistema é baseado em intuição. 3. Os princípios básicos e noções primitivas (não definidas) devem ser tão econômicas quanto possível. 4. A fundação deve ser consistente. A não consistência tem uma conseqüência desastrosa: as regras da lógica de primeira ordem podem ser usadas para provar que qualquer afirmativa é um teorema (ou seja, é sempre verdadeira). Desta forma, o sistema resultante é trivial e portanto inútil. 5. A fundação deve poder ser expressa como um sistema formal. É claro que uma fundação para a matemática poderia ser proposta de modo a não poder ser expressa através de um sistema formal. De fato, os resultados de Gödel a respeito da incompletude de sistemas formais colaboraria para que essa fosse a solução mais adequada. Entretanto, não haver um sistema formal implica sempre em se desenvolver discursos quase-filosóficos e obscuros, onde a impera a ausência de uniformidade e clareza. 15

16 6. A construção da matemática do dia-a-dia no sistema adotado deve ser natural e ordenada. 6 Sistema de Frege No começo de sua carreira, Georg Cantor investigou conjuntos de pontos de descontinuidade em funções que admitiam representações de Fourier. Ele também apresentou uma construção dos números reais a partir dos racionais, e mostrou que existe muito mais reais que racionais. Cantor seguia uma noção de conjuntos abstratos, trabalhando com hierarquias tais como o conjunto de todos os subconjuntos. Mas o que vem a ser um conjunto abstrato? Em alguns textos matemáticos muito, mas muito antigos, um conjunto é definido como sendo uma aglomeração de elementos, que se juntam de maneira arbitrária e vêm de fontes independentes. Mas essa definição, além de ser muito doida, entra em conflito direto com a prática matemática, que busca sempre a descrição formal e precisa dos entes a serem definidos, e possui pouca aplicação prática também em filosofia. 6.1 Idéias básicas Começando em 1879, Gottlob Frege [8] definiu conjuntos através da compreensão de predicados, onde qualquer predicado (ou propriedade) pudesse ser usado para definir um conjunto. Se pensarmos em um conjunto como uma coleção de objetos, então existem basicamente duas maneiras diferentes de descrever conjuntos: (1) exibindo cada um de seus objetos; (2) apresentando uma propriedade que seja uma condição necessária e suficiente para pertinência ao conjunto. Para conjuntos finitos, podemos utilizar tanto (1) quanto (2). De fato, o conjunto A = {a 1,..., a n } é determinado pela propriedade x 1 = a 1... x n = a n Para conjuntos infinitos, (1) é claramente impossível. A pergunta que surge então é: quando dois conjuntos são iguais? A condição mais aceita e intuitivamente correta é que dois conjuntos são iguais se e somente se eles possuem os mesmos elementos. Mas, apesar de intuitiva, essa afirmativa é altamente não trivial pois as propriedades usadas na descrição de dois conjuntos com elementos iguais podem ser diferentes. Por exemplo, o conjunto de todos os inteiros irracionais e o conjunto das pessoas imortais é igual. Dois conjuntos com os mesmos elementos são ditos serem co-estensivos. Se aceitarmos a condição descrita anteriormente para igualdade de conjuntos, então essa relação entre conjuntos deve satisfazer todas as propriedades de uma relação de igualdade. A reflexividade vale obviamente, pois todo conjunto possui os mesmos elementos que si mesmo. A outra condição básica da igualdade é que dois conjuntos iguais devem possuir as mesmas propriedades: A = B P(A) P(B) 16

17 Esta condição não pode ser deduzida a partir da noção de co-extenção. Ou seja, se desejamos que co-extensão caracterize a identidade entre conjuntos, então essa condição (ou princípio) deve ser posta como axioma. Esse princípio é conhecido como o princípio ou axioma da extensionalidade. Observamos que o princípio da extensionalidade pode parecer óbvio, mas é possível formular uma teoria de conjuntos coerente em que tal princípio não vale. Uma vez que acreditamos no princípio da extensionalidade, surge uma outra questão: toda propriedade define um conjunto? Ou seja, dada uma propriedade P, existe um conjunto definido exatamente por aqueles objetos que satisfazem a condição P? A tese de que toda propriedade ou condição define um conjunto é conhecida como princípio da abstração (o conjunto é abstraído da propriedade que o define). Formalmente: P. A. x.(x A P(x)) Frege e Dedekind provaram, utilizando uma série de construções engenhosas, que toda a matemática básica podia ser descrita usando apenas lógica de primeira ordem mais os dois princípios: extensionalidade e abstração. Ou seja, se considerarmos a l.p.o. (com como o único predicado primitivo) mais os axiomas citados acima então é possível, por meio de construções e definições dentro do sistema, definir os números naturais, os reais, e reproduzir formalmente as provas usuais dos teoremas conhecidos sobre tais conjuntos e seus elementos. 6.2 O sistema formal A linguagem F definida por Frege contém apenas um predicado, que escreveremos como. As fómulas de F são definidas abaixo. 1. Toda variável é um termo. 2. Se x, y são termos, então x y é uma fórmula. 3. Se A é uma fórmula e x é uma variável, então x.a e x.a são fórmulas. 4. Se A é uma fórmula contendo x como variável livre, então {x A} é um termo. 5. Se A, B são fórmulas, então A, A B são fórmulas. 6. As fórmulas e termos de F são exatamente as definidas pelas regras acima. A primeira definição de F é a de igualdade: Definição 4 Escrevemos (x = y) para z.z x z y onde a variável z não ocorre livre em x ou y. Os axiomas de extensionalidade e abstração são os únicos axiomas de F: F1. x. y.(x = y) A(x, x) A(x, y) onde A(x, y) é obtido de A(x, x) substituindo x por y zero, uma ou mais ocorrências de x em A(x, x) e y é livre em x em todas as ocorrências de x por ele substituídas. 17

18 F2. x.x {y A(y)} A(x) onde A(y) contém y livre, x é livre em y em A(y) e A(x) é obtido de A(y) substituindo y por x em todas as ocorrências livres de y em A(y). Segue imediatamente que se A(x) B(x) então {x A(x)} = {x B(x)}. A seguir, apresentaremos algumas definições e teoremas em F. Teorema 5 x.x = x Prova Considere a seguinte derivação: x 2 x 1 x 2 x 1 (inicial) x 2.x 2 x 1 x 2 x 1 ( I) Pela Definição 4, obtemos x 1 = x 1. Logo, como queríamos. Definição 5 V denota {x x = x} Teorema 6 x.x V x 1 = x 1 (inicial) x 1.x 1 = x 1 ( I) Ou seja, V é, na verdade, o conjunto universal contendo tudo. Em particular, V contém ele mesmo. Definição 6 denota {x x x} Teorema 7 x.x / é o conjunto vazio, um conjunto que não contém elementos. Poderíamos seguir adiante e definir união, interseção e complementar de conjuntos. Veja a referência 5 para a lista completa de definições. O mais impressionante dessa teoria, é que podemos definir o conjunto dos naturais com apenas o que foi descrito até agora. A seguir, as definições de zero, sucessor e do conjunto dos naturais. Definição 7 0 denota { } Definição 8 S(x) denota {y z.z y (y z) x} Definição 9 N denota {x 1 x 2.(0 x 2 ) (( x 3.x 3 x 2 S(x 3 ) x 2 ) x 1 x 2 )} Um conjunto é dito indutivo se contém o sucessor de todos os seus elementos. N é o menor conjunto indutivo contendo o 0. Com as definições acima, podemos provar alguns teoremas sobre o conjunto N. Teorema 8 0 N 18

19 Ou seja, 0 é um número natural. Também, 0 não é o sucessor de nenhum número natural: Teorema 9 x.0 S(x) O sucessor de um natural também é natural: Teorema 10 x.x N S(x) N Teorema 11 x 1.(0 x 1 x 2.x 2 x 1 S(x 2 ) x 1 ) (N x 1 ) O teorema acima diz que N está contido em qualquer conjunto contendo o zero e o sucessor de cada um de seus elementos, e permite enunciar a indução matemática: Teorema 12 (P(0) x.p(x) P(S(x))) x.(x N P(x)) Algumas observações importantes sobre o que foi discutido acima: Os cinco postulados de Peano (formalização da aritmética) podem ser provados a partir do sistema de Frege. As operações de adição, multiplicação, etc, podem ser definidas utilizando a recursão: x + 0 = x x + S(y) = S(x + y) Claro que o segundo ítem depende do Teorema da recursão primitiva: dadas as funções g(x 1,..., x n ) e h(x 1,..., x n, y, z), existe uma função f(x 1,..., x n, x n+1 ) tal que f(x 1,..., x n, 0) = g(x 1,..., x n ) e f(x 1,..., x n, S(y)) = h(x 1,...,x n, y, f(x 1,..., x n, y)). Tal teorema pode ser provado por indução, também dentro do sistema de Frege. Mas não pode ser provado apenas a partir dos axiomas de Peano. O sistema de Frege é certamente viável e satisfaz claramente 5 dos critérios estabelecidos anteriormente para uma boa fundamentação da matemática. As construções são naturais e intuitivas e os axiomas não fazem nada a mais que expressar formalmente algumas características que parecem básicas e essenciais em teoria de conjuntos. Mas falta o mais importante: a consistência! Teorema 13 {x x / x} / {x x / x} Teorema 14 {x x / x} {x x / x} Se toda condição determina um conjunto, então considere o conjunto y determinado pela condição x / x. Ou seja, y é o conjunto de todos os conjuntos que não são elementos de si mesmos. A princípio, y é um conjunto grande, uma vez que a maioria dos conjuntos não é membro de si mesmo. Por exemplo, o conjunto dos reais não é um número real. O paradoxo consiste no fato de que y é um elemento de si mesmo se e somente se não o é. Mais sobre o Paradoxo de Russell na Seção 6.3. Sendo o Sistema de Frege inconsistente, qualquer coisa pode ser provada dentro dele e, portanto, ele não poder ser usado como uma fundação para a matemática. 19

20 Mas, apesar de ser inconsistente, nem tudo o que foi desenvolvido por Frege era errado. Por exemplo, a construção dos conjuntos numéricos é consistente. O erro consistiu em considerar o princípio da abstração de uma maneira geral. Então a pergunta que surge é: é possível propor um sistema baseado nas idéias de Frege que não seja contraditório? Veja a resposta na Seção Paradoxos e a teoria de tipos de Russell Em 1903, Bertrand Russell publicou Principles of Mathematics, onde ele afirma que matemática e lógica são idênticas. Em suas palavras: Pure mathematics is the class of all propositions of the form p implies q where p and q are propositions... and neither p nor q contains any constants except logical constants. No seu trabalho posterior Principia Mathematica, escrito entre 1910 e 1913 em colaboração com Alfred North Whitehead ( ), Russell propõe um sistema que pensa ser completo para matemática pura, baseado exclusivamente em princípios lógicos puros, e formulado utilizando uma linguagem simbólica precisa. A preocupação principal do Principia Mathematica era evitar os tão famosos paradoxos circulares viciosos, tais como o paradoxo de Russell. O paradoxo de Russell começa com o questionamento se um conjunto qualquer é um membro de si mesmo ou não. Por exemplo, o conjunto de todos os gatos não é membro de si mesmo, por não ser um gato. Mais interessante, considere R a coleção contendo apenas os conjuntos que não são membros de si mesmos. A pergunta que surge é: R é um conjunto ou não? Suponha que sim. Então existem duas possibilidades: ou R R, ou R / R. No primeiro caso, R deve satisfazer a condição de pertinência a R, ou seja, R não deve ser um membro de si mesmo, o que é um absurdo. Conversamente, suponha que R não seja um elemento de si mesmo. Então R não satisfaz a condição de pertinência a R. Ou seja, R deve ser um elemento de si mesmo. De qualquer modo, chegamos a uma posição contraditória, onde R é um membro de si mesmo precisamente quando não o é. Observe que o fato de R ser finito ou infinito é irrelevante. O mesmo paradoxo aparece em diversas outras situações, como por exemplo o clássico: a bibliografia de todas as bibliografias. A esse tipo de conjunto de todos os conjuntos chamamos usualmente de coleção. Examinando de perto o paradoxo de Russell, vemos que R é definido através de uma referência implícita a si mesmo, e portando gerando um círculo vicioso. A solução apresentada por Russell para esse tipo de problema com autoreferência foi a de excluir todas as coleções cuja definição fazia referência à própria coleção. Ou seja, ele sugeriu uma teoria de tipos ou níveis, onde à toda classe (conjunto, coleção) corresponde um tipo e uma classe pode conter apenas elementos de menor tipo. Com essa restrição, classes devem possuir tipo maior que o tipo de cada um de seus membros, evitando paradoxos como o de Russell. A teoria desenvolvida por Russell foi chamada de teoria ramificada de tipos, e consiste na espinha dorsal do Principia Mathematica. Enquanto a teoria ramificada de tipos exclui a possibilidade de paradoxos, é um sistema muito fraco para sevir como ferramenta lógica para a matemática. De fato, não se pode nem ao menos provar que existe uma infinidade de números naturais, ou 20

21 mesmo que cada número natural possui um sucessor diverso. Desta forma, a tentativa de Russell de reduzir a matemática à lógica foi um fracasso. 7 Teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel A partir dos trabalhos de Frege e Russell, se tornava evidente que um maior esforço deveria ser feito no sentido de formalizar (ou axiomatizar) a teoria de conjuntos. Isso foi feito com sucesso por Ernst Zermelo. Suas razões para fazê-lo foram duas. Primeiro, a descoberta do paradoxo de Russell. Como já observado anteriormente, a solução proposta pro Russell em sua teoria de tipos não é satisfatória. Mas Zermelo observou que o paradoxo de Russell pode ser evitado através de uma escolha cuidadosa dos princípios de construção de conjuntos, obtendo ainda o poder de expressão necessário para a argumentação matemática. O preço que se deve pagar para evitar inconsistência é apenas que alguns conjuntos não existem, como por exemplo o conjunto universal (conjunto de todos os conjuntos), ou o conjunto de todos os números cardinais. A segunda razão é um pouco mais delicada. No desenvolvimento da teoria de números cardinais e ordinais de Cantor, surgiu a questão de qual tipo de conjunto pode ser ordenado. De fato, Zermelo provou que todo conjunto satisfaz o princípio da boa ordenação, mas pode fazer isso apenas depois de introduzir um novo axioma que parecia ser independente dos outros (como realmente o é). O seu axioma da escolha se tornou a ferramenta padrão da matemática moderna, e a discussão que surgiu em torno desse axioma se compara à de outro axioma famoso, o quinto postulado de Euclides. Mais sobre o axioma da escolha na Seção 7.3. A teoria axiomática de conjuntos que utilizamos hoje em dia (ZF) é baseada na proposição original de Zermelo, depois melhorada por Fraenkel em Idéias básicas Respondendo à pergunta feita no final da Seção 6, Zermelo evitou os paradoxos e inconsistências no sistema de Frege baseando-se na idéia de que conjuntos podem ser construídos a partir de alguns conjuntos simples e algumas operações. Com relação ao princípio da abstração: quando conjuntos são definidos por propriedades, eles são usualmente subconjuntos de um dado conjunto matemático. Por exemplo, um matemático trabalha com o conjunto de todas as funções reais contínuas quando define a noção f é contínua em termos lógicos puros. Mas este é um subconjunto do conjunto de todas as funções reais, que os matemáticos consideram um objeto matemático válido. Mas certamente não ocorreria a um matemático considerar o conjunto de todas as funções (ou equivalentemente o conjunto de todos os conjuntos). A razão é simples: não tem sentido em se falar do conjunto de todas as funções, uma vez que cada função é determinada por um domínio, uma regra matemática, um co-domínio e assim por diante. Portanto, no sistema de Zermelo, o princípio da abstração se torna o princípio da separação. Basicamente, esse princípio determina um processo de obter subconjuntos a partir de um conjunto dado através de propriedades, ao invés de defini-los a priori pelas propriedades. 21

22 O princípio da separação pode ser definido de maneira intuitiva: Para cada condição P (que possa ser expressa por uma fórmula lógica na nossa teoria formal) e para cada conjunto y dado, o conjunto de todos os elementos de y que satisfazem a propriedade P existe. Utilizando a notação lógica: y. x. z.(z x) (z y) P(z) Ou seja, ao invés de propor a existência de conjuntos, o princípio da separação fala sobre a existência de subconjuntos de um dado conjunto. O único conjunto cuja existência pode ser provada a partir do princípio da separação é o conjunto vazio. Basta tomar qualquer propriedade auto contraditória para P. Por exemplo: o que implica x 1. x 2.(x 2 x 1 ) (x 2 x 3 ) ((x 2 x 2 ) (x 2 / x 2 )) x 1. x 2.(x 2 / x 1 ) Observe que nenhuma fórmula lógica P dá origem ao conjunto universal. Com o princípio da separação podemos apenas construir o conjunto vazio. Todos os outros conjuntos devem ser subconjuntos de conjuntos dados. Então devemos determinar quais são esses conjuntos. Basicamente, conjuntos válidos são construídos através do conjunto vazio e operações básicas como power set e união. Temos necessidade de outros postulados (ou axiomas) para garantir essas operações. Esses axiomas adicionais, juntamente com o princípio da separação, constituem o sistema de Zermelo-Fraenkel (ZF). 7.2 Formalização de ZF A gramática de termos e fórmulas de ZF é basicamente a mesma descrita anteriormente para o sistema de Frege, exceto pela introdução de termos que são operadores primitivos, que serão apresentados ao longo do texto. A primeira definição de ZF é a de igualdade, igual à definição de Frege: Definição 10 Escrevemos (x = y) para z.z x z y onde x e y são quaisquer termos nos quais a variável z não ocorre livre. O axioma de extensionalidade de ZF: ZF1. x. y.(x = y) A(x, x) A(x, y) onde A(x, y) é obtido de A(x, x) substituindo x por y zero, uma ou mais ocorrências de x em A(x, x) e y é livre em x em todas as ocorrências de x por ele substituídas. Teorema 15 x 1. x 2.((x 1 = x 2 ) x 3.(x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) 22

23 Prova Logo, Considere a dedução abaixo: x 1 = x 2 (x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ) x 1 = x 2 x 3.(x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ) ( I) ( I) (x 1 = x 2 ) x 3.(x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ) x 1. x 2.((x 1 = x 2 ) x 3.(x 1 x 3 ) (x 2 x 3 )) ( I) Pelo axioma ZF1 com x = x 1, y = x 2 e A(x, x) = x 3.x x 3 x x 3 : (x 1 = x 2 ) x 3.(((x 1 x 3 ) (x 1 x 3 )) ((x 1 x 3 ) (x 2 x 3 ))) (x 1 = x 2) (((x 1 x 3) (x 1 x 3)) ((x 1 x 3) (x 2 x 3))) (x 1 = x 2) (x 1 x 3) (x 1 x 3) x 1 = x 2 (x 1 x 3) (x 2 x 3) O axioma da separação é formalmente enunciado como: ZF2. x. y.(x {y (y z) A(y)}) (x z) A(x). A diferença entre o princípio da separação e o princípio da abstração de Frege é a condição extra y z. O axioma a seguir que diz que 0 é o conjunto vazio: ZF3. 0 = {x 1 x 1 0 x 1 x 1 }, onde 0 é uma constante primitiva. Como já observamos antes, a existência do conjunto vazio pode ser deduzida a partir de ZF2. ZF3 apenas nos diz que 0 é o conjunto de nenhum elemento, como o 0 = do sistema de Frege. Teorema 16 x.(x = x) A demonstração do teorema acima é trivial e este resultado pode ser usado para provar: Teorema 17 x.(x / 0) Prova Por ZF2, x 0 = x 0 x x. Logo x 0 x x pode ser provado: x 0 x 0 x x (inicial) ( E) x 0 x x ( I) x 0 x x Utilizando as equivalências De Morgan, a conclusão da derivação acima é equivalente a x = x x / 0. Logo, x.x = x ( E) x = x x / 0 x = x ( E) x / 0 x.x / 0 ( I) Dado que P é a representação da função primitiva que indica o power set (P(y) é o conjunto de todos os subconjuntos de y), o quarto axioma do sistema ZF pode ser enunciado assim: 23

24 ZF4. x. y.x P(y) (x y). Seja {y, z} a representação da função primitiva que indica o par não ordenado de y e z, ou o conjunto cujos únicos elementos são y e z. ZF5. y. z. x.x {y, z} (x = y x = z). Seja a representação da função primitiva tal que (y) indica a união de todos os conjuntos na coleção y. O próximo axioma é conhecido como axioma da soma de conjuntos. ZF6. y. x.x (y) z.(z y) (x z). Definição 11 Denotaremos x y = ({x, y}). Definição 12 Denotaremos x = x {x}. Em particular, escreveremos 1 = 0, 2 = 1. etc. O operador x é a função sucessor no sistema de Zermelo. A versão de números naturais que obtemos é a mesma desevolvida por von Neumann. Intuitivamente, os números naturais formam o menor conjunto contendo o 0 e fechado com relação à operação sucessor. Ao total, são 10 os axiomas de ZF. Não discutiremos todos os outros aqui, mas de especial interesse são aqueles que tratam da existência do conjunto infinito e o axioma da escolha, que é o assunto da próxima seção. 7.3 Axioma da escolha No livro Introdução à Filosofia da Matemática, Russell relata a parábola de um milionário cujo guarda roupa possui um número enumerável (infinito) de pares de sapatos, assim como de meias. Parece óbvio que existe uma bijeção entre os sapatos e os números naturais, e uma bijeção entre as meias e os números naturais. Com relação aos sapatos, essa bijeção é fácil de estabelecer: o sapato esquerdo do n-ésimo par corresponde ao número 2n, enquanto que o sapato direito corresponde ao número 2n+1. E com relação às meias? O problema é que, em geral, não se pode distinguir meias de um certo par, como feito com sapatos. Ou seja, para que o mesmo procedimento funcione nesse caso é necessário que as meias de todos os pares (a menos de um número finito) sejam diversas. Mas não somente isso, as meias devem ser diversas mas seguindo um certo critério, como por exemplo uma é azul e a outra preta. O fato de que não existe um modo sistemático de escolher uma meia de um par significa que precisamos da uma função de escolha, mesmo que não possamos apresentá-la explicitamente. Uma função de escolha em uma família S de conjuntos é uma função f com domínio S tal que, para todo conjunto não vazio X em S, f(x) é um elemento de X. Em outras palavras, f escolhe um elemento para cada membro de S. Se S é finito, a existência da função de escolha em S é uma consequência trivial dos princípios básicos de formação de conjuntos e das regras de lógica clássica. Quando S é infinito, entretanto, esses princípios não são suficientes e portanto a existência de uma função de escolha deve ser postulada. A afirmativa 24