VI DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES. Prof. Herondino

Transcrição

1 VI DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES Prof. Herondino

2 Estudo de Caso Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias) apresentados na Tabela 5.1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973). A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para uma forma inorgânica estável. Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n.º 8468, a DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos corpos d água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/l ou uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual a 80%.

3 Concentrações e contribuições unitárias típicas de DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.

4 Estudo de Caso - U.S. EPA 1973 Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta, retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia. O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um processo de tratamento. O padrão de variação também precisa ser visto porque vai influenciar a viabilidade de utilização de um processo de compensação para reduzir a variação da carga DBO.

5

6 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min

7 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x x min,ou seja, máx AT

8 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min AT Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: k 1 3,22 log( n) Neste caso, temos:

9 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min AT Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: k 1 3,22 log( n) Neste caso, temos: k 1 3,22 log(99)

10 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min AT Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: k 1 3,22 log( n) Neste caso, temos: k 1 3,22 log(99) k 1 3,22 1,9956

11 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min AT Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: k 1 3,22 log( n) Neste caso, temos: k 1 3,22 log(99) k 1 3,22 1,9956 k 1 3,22 1,9956

12 Análise dos Dados(Utilizando o Excel) Rol (207,221, 233, 235,241,...,1158,1167,1174, 1185 ) AmplitudeT otal x,ou seja, máx x min AT Para encontrar o número de classes (k) utilizaremos a fórmula de Sturges: k 1 3,22 log( n) Neste caso, temos: k 1 3,22 log(99) k 1 3,22 1,9956 k 1 3,22 1,9956 k 7,425832

13 Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula: k n contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja: k 7, Amplitude da Classe (h) e dada por: h AT k em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

14 Análise dos dados Poderíamos também utilizar a fórmula: k n contudo, primeiro utilizaremos o resultado arredondado para mais, na fórmula de Sturges, ou seja: k 7, Amplitude da Classe (h) e dada por: h AT k 978 7, ,7 em que AT é a amplitude total e k o número de classe.

15 Frequência Frequência Gráficos da Frequência dos dados DBO, EPA EUA Concentração de DBO (mg/l) k 1 3,22 log(99) k 7, Gráficos da Frequência do dados DBO, EPA EUA k n Concentração de DBO (mg/l)

16 CONCENTRAÇÃO DE DBO (mg/l) Gráficos da série temporal do dados DBO, EPA EUA Observações ( Intervalo de 4 horas) A concentração varia rapidamente, com mais ou menos igualde variação acima ou abaixo da média, o que é 688 mg/l. O intervalo é de mg/l. A DBO pode mudar em 1000 mg/l de um intervalo de amostragem para a próxima. Não está claro se os altos e baixos são aleatórios ou fazem parte de algum padrão cíclico. Há pouco mais para ser visto a partir deste gráfico.

17 Frequência 14 Gráficos da Frequência do dados DBO, EPA EUA Concentração de DBO (mg/l) O diagrama de frequência dá uma melhor imagem da variabilidade. Os dados apresentam uma distribuição uniforme entre 200 e 1200 mg/l. Qualquer valor dentro desta faixa parece igualmente provável.

18 CONCENTRAÇÃO DE DBO (mg/l) 1400 Gráfico de dispersão para cada amostras no tempo - EPA - USA h 8h 12h 16h 20h 0h 0 08/fev 10/fev 12/fev 14/fev 16/fev 18/fev 20/fev 22/fev 24/fev 26/fev 28/fev Data da coleta realizada Os valores observados cobrem todo o contingente de amostras, independentemente da hora do dia. Não há variação cíclica regular e nenhuma hora do dia tem valores consistentemente alto ou baixo.

19 O Gráfico de Probabilidades A utilização destes dados serve para ilustrar como um gráfico de probabilidade é construído, como a sua forma está relacionada com a forma da distribuição de frequência, e como poderia ser utilizado para estimar as características da população. Nº de Ordem (i) Valor do DBO Probabilidade Gráfica (p=1/(n+1) /99+1=0, , , , ,99

20 Probabilidade DBO Gráfico de Probabilidade 1,2 Probabilidade uniforme distribuida dos dados DBO - USA - EPA/ ,8 0,6 0,4 0, Concentração DBO (mg/l) Gráficos de probabilidade dos dados de DBO uniformemente distribuídas.

21 Probabilidade DBO Probabilidade DBO Gráfico da probabilidade ou Frequência acumulada Gráfico da distribuição de frequência acumudada dos dados DBO - USA - EPA/ Concentração DBO (mg/l) 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 Probabilidade uniforme distri buida dos dados DBO - USA - EPA/ Concentração DBO (mg/l)

22 Probabilidade DBO 1,2 1 0,8 Probabilidade uniforme distribuida dos dados DBO - USA - EPA/1973 y = 0,001x - 0,1658 R² = 0,9959 0,6 0,4 Série1 Linear (Série1) 0, Concentração DBO (mg/l) O painel superior é um gráfico de probabilidade normal. É traçada uma linha reta para dimensionar os dados normalmente distribuídos. O painel inferior é dimensionada para que os dados de DBO desenhado como uma linha reta. Estes dados de DBO não são normalmente distribuídos. Eles estão uniformemente distribuídos.

23 Estas estimativas gráficas são válidas apenas quando os dados são normalmente distribuídos. Porque alguns conjuntos de dados ambientais são normalmente distribuídos, esta estimativa gráfica da média e desvio padrão não é recomendado. Um gráfico de probabilidade é útil, no entanto, para estimar a mediana (p = 50%) e para ler diretamente qualquer percentil de interesse especial.

24 Referência BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.