Intervalo de Confiança. Prof. Herondino S. F.

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1 Intervalo de Confiança Prof. Herondino S. F.

2 Grau de Confiança Qual a temperatura média do corpo humano? A temperatura média do corpo humano é realmente 37 C. Na tabela abaixo, tem-se a temperatura de 106 pessoas obtidas a partir de pesquisas realizadas na Universidade de Maryland. Utilizando o Excel, obtenhamos os seguintes valores: O histograma desta distribuição A média dos dados obtidos O desvio padrão

3 Tabela 1 Temperatura do Corpo de 106 Adultos Sadios 37,0 37,0 36,7 36,7 37,2 36,9 36,9 36,9 36,9 37,0 37,0 37,1 37,0 36,1 36,1 37,1 36,4 36,5 37,1 36,7 36,7 36,8 36,9 36,3 37,1 36,3 37,2 37,0 37,5 36,4 36,3 36,4 36,8 37,6 37,1 37,4 36,8 36,7 37,0 37,0 36,2 36,9 37,0 36,8 36,7 36,6 36,7 36,9 37,0 37,0 36,6 37,2 35,8 36,4 36,7 36,1 36,4 36,2 36,6 36,9 36,3 36,7 36,4 36,4 36,8 36,9 37,1 37,1 36,6 36,7 36,2 36,3 37,4 36,9 37,0 36,9 36,9 37,0 36,8 37,1 37,1 37,3 37,0 36,6 37,1 36,7 37,1 36,9 37,2 36,9 37,0 36,2 36,6 37,1 37,1 36,4 36,8 37,3 36,6 36,7 36,9 36,6 36,9 36,3 36,7 36,1 Fonte: Triola, 1998

4 Conceitos Fundamentais Estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um parâmetro populacional. Exemplo: A média amostral X é a melhor estimativa pontual da média populacional A partir da Tabela 1, verificamos que a melhor estimativa pontual da média populacional de todas as temperaturas é 36,8ºC.

5 Conceitos Fundamentais Intervalo de Confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da população. O Intervalo de Confiança está associado a um grau de confiança que é uma medida de nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional.

6 Conceitos Fundamentais O grau de confiança utiliza α para descrever uma probabilidade que corresponde a uma área. A probabilidade α está dividida entre as duas regiões extremas. O Grau de Confiança é a probabilidade 1-α de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor populacional.

7 Grau de Confiança São escolhas comuns para o grau de confiança:90% (com α=0,10), 95%(com α=0,05) e 99%(com α=0,01)..

8 Grau de Confiança Valor Crítico é o número na fronteira que separa os valores das estatísticas amostrais prováveis de ocorrerem, dos valores que têm pouca chance de ocorrer. O número Z / 2 é o valor crítico que é um escore Z com propriedade de separar uma área de α/2 na cauda direita da distribuição normal padronizada.

9 Exemplo Ache o valor crítico Z / 2 a um grau de confiança 95%.

10 Exemplo Z / 2 Ache o valor crítico a um grau de confiança 95%. Resolução: Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05

11 Exemplo Z / 2 Ache o valor crítico a um grau de confiança 95%. Resolução: Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05

12 Exemplo Z / 2 Ache o valor crítico a um grau de confiança 95%. Resolução: Um grau de confiança de 95% equivale a α = 0,05 α/2 = 0,025 α/2 = 0,025

13 Intervalo de Confiança (n>30) Intervalo de Confiança (Estimativa Intervalar) para a Média Populacional µ ( com base em grandes amostras: >30). Onde: x x E E E Z / 2. Os valores e são chamados de limites do intervalo de confiança. x n x E E

14 Exemplo: Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x 36,8 e s 0,62. Para um grau de confiança de 0,95, determine: a) a margem do erro E b) o intervalo de confiança para µ Resolução a): E Z / 2. n

15 Exemplo: Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x 36,8 e s 0,62. Para um grau de confiança de 0,95, determine: a) a margem do erro E b) o intervalo de confiança para µ Resolução a): E Z / 2. E 1,96 n 0,62 106

16 E Z / 2. E 1,96 n 0,62 106

17 Exemplo: Para as temperaturas da Tabela 1, temos n=106, x 36,8 e s 0,62. Para um grau de confiança de 0,95, determine: a) a margem do erro E b) o intervalo de confiança para µ Resolução a): E Z / 2. E 1,96 n 0, ,62 E 1,96 1,960,06 10,29 0,12

18 Exemplo: b) o intervalo de confiança para µ x E x E 36,8 0,12 36,8 0,12 36,66 Outra forma de expressar seria 36,8 0,12 36,90 Note que a média 36,8ºC se encontra dentro do intervalo. É provável que o valor correto de µ seja 36,8ºC.

19 Intervalo de Confiança (n 30) Intervalo de Confiança para a Estimativa de µ ( com base em uma Amostra Pequena(n 30) e o Desconhecido) x E x E Onde: E t. / 2 s n

20 Exemplo: Com um teste destrutivo as amostras são destruídas no processo. Os testes de destruição podem ser realizados em um produto a qualquer momento em seu desenvolvimento, desde o início da pesquisa até quando ele estiver pronto para ser vendido. O iphone 5 saiu quase ileso da sessão de tortura enquanto o Galaxy S III teve danos sérios e parou de funcionar. Fonte:

21 Exemplo: Se fosse Responsável por um teste de colisão do Dodge Viper, dificilmente convenceria o seu chefe a destruir mais de 30 carros, a fim de poder utilizar a distribuição normal.

22 Exemplo: Se fosse Responsável por um teste de colisão do Dodge Viper, dificilmente convenceria o seu chefe a destruir mais de 30 carros, a fim de poder utilizar a distribuição normal.

23 Exemplo: Suponha que tenha feito teste de colisão em 12 carros esporte Dodge Viper (preço de venda: $59.300) sob uma diversidade de condições que simulam colisões típicas. A análise de 12 carros danificados resulta e custo de conserto que parecem ter distribuição em forma de sino com média $ e desvio Padrão amostral $ Determine: a) A melhor estimativa pontual µ, o custo médio de conserto de todos os Dodge Vipers envolvidos em colisões. b) A estimativa intervalar de 95% de µ

24 Referência Bibliográfica BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London New York Washington, D.c: Lewis Publishers, p. Walpole, Ronald E et al. Probability & statistics for engineers & scientists/ronald E. Walpole... [et al.] 9 th. Ed. ISBN Boston-USA/2011 TRIOLA, Mario F. et al. Introdução a Estatística. 7ª Edição.Livros Técnicos e Científicos Editora S. A. Rio de Janeiro,1998.