PROJETO DE GRADUAÇÃO II

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE CTC - Centro Tecnológico TCE - Escola de Engenharia TEM - Departamento de Engenharia Mecânica PROJETO DE GRADUAÇÃO II Título do Projeto: PROJETO AERODINÂMICO DE DE PÁS DE TURBINAS EÓLICAS Autor(es): PEDRO HENRIQUE DA SILVA ALVES Orientador(es): RAUL BERNARDO VIDAL PESSOLANI, D.Sc Data: 29 de Março de 2015

2 PEDRO HENRIQUE DA SILVA ALVES PROJETO AERODINÂMICO DE DE PÁS DE TURBINAS EÓLICAS Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Fluminense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico. Orientador(es): RAUL BERNARDO VIDAL PESSOLANI, D.Sc, Niterói 29 de Março de 2015

3 Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF A474 Alves, Pedro Henrique da Silva Projeto aerodinâmico de pás de turbinas eólicas / Pedro Henrique da Silva Alves. Niterói, RJ: [s.n.], f. Trabalho (Conclusão de Curso) Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal Fluminense, Orientador: Raul Bernardo Vidal Pessolani 1. Energia eólica. 2. Turbina eólica. I. Título. CDD

4 virf UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM - Departamento de Engenharia Mecanica PROJETO DE GRADUACAO II AVALIACAo FINAL DO TRABALHO Titulo do Trabalho: PROJETO AERODINAMICO DE Parecer do Professor Orientador da Disciplina: - Grau Final recebido pelos RelatOrios de Acompanhamento: - Grau atribuido ao grupo nos Seminarios de Progresso: Parecer do Professor Orientador: Nome e assinatura do Prof. Orientador: Prof.: Raul Bernardo Vidal Pessolani Assinatura: Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho: t's Projeto Aprovado sem restriciies Projeto Aprovado corn restricoes Prazo concedido para cumprimento das exigencias: / / Discriminacao das exigencias e/ou observaciies adicionais:

5 UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia TEM - Departamento de Engenharia Mecanica PROJETO DE GRADUACAO II AVALIACAO FINAL DO TRABALHO (continuacio) Aluno : Pedro Henrique da Silva Alves. Grau : Composicao da Banca Examinadora : Prof.: RAUL BERNARDO VIDAL PESSOLANI, D.Sc Prof.: RONEY LEON THOMPSON, D.Sc Prof.: ROGER MATSUMOTO MOREIDA, Ph.D Assinatura : Assinatura Assinatura : Data de Defesa do Trabalho : Departamento de Engenharia Mecanica45/ :Le 14

6 DEDICATÓRIA À minha família que sempre me apoiou em todos os momentos. À minha mãe Helena que todo o tempo me botava na linha e não deixava eu perder meu foco nos estudos Ao meu pai Luiz Carlos que me inspirou na escolha da carreira de engenharia e agora no próximo passo um mestrado Ao meu irmão Luizinho, que possui uma dedicação para os estudos que busco me espelhar sempre À minha avó Rosa, que sempre me guiava nas vida e faculdade, me dando os melhores conselhos possíveis e qual sinto muita saudade Aos meus amigos da Ilha que comigo cresceram, me acompanharam e incentivaram durante esse tempo todo. Aos meus amigos do Ciências sem Fronteiras, que durante um ano foram minha família e hoje são uma amizade eterna. Aos meus amigos da UFF que me acompanharam diariamente durante esses 5 anos, passando por todos os perrengues que la tivemos vi

7 AGRADECIMENTOS Agradeço ao Professor Raul, por me orientar no projeto final e agradeço a todos os professores de Mecânica da UFF pelos conhecimentos passados e que inspiram cada vez mais a carreira de Engenheiro Mecânico. vii

8 RESUMO A energia eólica se consolidou como uma fonte de energia renovável e economicamente viável. Com a queda do preço do barril de óleo e a crise na indústria petrolífera, a indústria eólica cresceu rapidamente, embora ocupe uma parcela muito pequena da matriz energética global. No Brasil, o crescimento beira a 45% de crescimento anual, porém a produção de tecnologia ainda é muito pequena, sendo restrita a poucos grupos de pesquisa. O projeto aerodinâmico de um rotor é uma parte fundamental na busca de uma maior extração de energia. Começando pela teoria de disco atuador desenvolvida por Betz, e passando por elaborações como o disco rotor e por fim associando as teorias de momento com a teoria de elemento de pá, finalmente obtemos a teoria de elemento de pá. A teoria de elemento de pá é o método mais utilizado para o dimensionamento dos rotores atualmente. O presente trabalho busca uma metodologia para dimensionar rotores ideais para certas condições de vento e potência nominal, por exemplo. Além disso, modelos como cilindro de vórtices e perda de ponta de asa são explorados na dedução do modelo. Depois de desenvolvida a metodologia de cálculo, foram comparados 4 perfis de aerofólios e levantadas as curvas da variação da corda e do coeficiente de potência ao longo da pá, o ângulo de montagem e por fim comparados com aerogeradores comerciais. Ao final, revela-se que diferentes potências geradas e as características dos diferentes perfis influenciam nas características geométricas da pá, porém, nos parâmetros de desempenho não mostraram significativa influência, uma vez que foram usados parâmetros ótimos baseados nas características dos perfis. Palavras-Chave: Energia eólica, aerogerador, projeto aerodinâmico viii

9 ABSTRACT Wind power has established itself as a renewable energy source and economically viable. With the falling price of the oil barrel and the crisis in the oil industry, the wind industry has grown rapidly, although it occupies a very small portion of global energy matrix. In Brazil, the growth edge 45% annual growth, but the production technology is still very small, and restricted to a few research groups. The aerodynamic design of a rotor is a key part in the search for greater extraction of energy. Starting with the actuator disk theory developed pro Betz, and through elaborations as the rotor disk and finally associating the moment of theories with the shovel element theory, we finally obtain the blade element theory. The blade element theory is the most widely used method for the design of the rotors currently. This work seeks a methodology to scale rotors ideal for certain wind conditions and rated power for example. In addition, models like cylinder vortices and loss of wing tip. After the calculation methodology developed were compared airfoil profiles 4 and raised the curves of variation of the chord and the power coefficient along the blade, mounting angle and finally compared with commercial wind turbines. Key-Words: Wind energy, aerogenerator, aerodynamic project ix

10 SUMÁRIO 1. Introdução Energia Eólica Energia Eólica no Brasil Turbinas Eólicas Objetivos do trabalho Turbinas Eólicas Princípio Básico de Funcionamento Classificação dos aerogeradores Turbinas de Eixo Vertical Turbinas de Eixo Horizontal Principais Componentes Rotor Nacele Sistema de Controle Caixa de Transmissão Gerador Torre Tendências e Novas Tecnologias Formulação Matemática Disco Atuador e Teoria de Momento Linear Disco Rotor Cilindro de vórtices Teoria do Elemento de Pá Teoria do Momento de Elemento de Pá Influência do Número Finito de Pás x

11 xi 4. Projeto das pás Parâmetros de Entrada Escolha dos Aerofólios Rotor Ideal Rotor Ótimo Real Resultados Características Geométricas Turbina 5 kw Turbina 10 kw Turbina 50 kw Características de desempenho Conclusões Referências Bibliográficas

12 LISTA DE FIGURAS 1.1 Capacidade total nos principais produtores de energia eólica em Capacidade instalada apenas no ano de Areva M5000-5W de potência, aproximadamente 5000 casas Volume de controle para turbinas eólicas Tipos de turbinas: Eixo horizontal, Darrieus e Savonius, respectivamente Disposição dos principais internos de uma turbina eólica Fase final de montagem de uma turbina eólica: Içamento do rotor em um parque em Ontario, Canadá Transporte da maior pá do mundo: 83,5 metros de comprimento e 4 metros de diâmetro de raíz Diferentes tipos de torres: a) Tubos de aço; b) Concreto; c) Treliça Evolução dos aerogeradores ao longo dos anos Esforços atuantes sobre um aerofólio Volume de controle para o disco atuador; U é a velocidade do ar; 1,2,3,4 indicam as posições no volume de controle Processo de extração de energia do vento pelo disco atuador Volume de controle para o disco rotor e trajetória de uma partícula passando pelo disco rotor Comportamento do coeficiente de potência para rotor ideal e com esteira Comportamento dos fatores de indução axial e tangencial para λ = 7, Sistema de vórtices atrás de uma turbina eólica Modelo simplificado para vórtices helicoidais, ignorando a expansão de esteira Representação de um elemento de pá Velocidades e forças em um elemento de pá Variação da perda de ponta de pá ao longo do seu comprimento xii

13 xiii 3.12 Perfil da esteira de vórtices e torque na pá Atlas Eólico do Estado do Rio de Janeiro para uma altura de 50 metros Recorte da zona metropolitana Estimativa de razões de velocidade λ para diversos tipos de turbinas Aerofólios escolhidos para o projeto Curvas C L x α para os perfis selecionados Curvas C D x α para os perfis selecionados Curvas C D /C L x α para os perfis selecionados Corda x Raio - 5 kw Corda x Raio - 10 kw Corda x Raio - 50 kw Curvas C P x r /R para os perfis selecionados Curvas de a e a x r/r Curvas C L x α para os perfis selecionados Curvas C P x λ para os perfis selecionados

14 LISTA DE TABELAS 5.1 Parâmetros iniciais para turbina de 5kW Características do Rotor 5 kw Ângulo de montagem β para turbina de 5kW Parâmetros iniciais para turbina de 10kW Características do Rotor 10 kw Ângulo de montagem β para turbina de 10kW Parâmetros iniciais para turbina de 50kW Características do Rotor 50 kw Ângulo de montagem β para turbina de 50kW Ângulos ótimos para os quatro perfis xiv

15 NOMENCLATURA A B C D C E C L C P C P,max D E F L U T Área do disco do rotor Número de pás Coeficiente de arrasto Coeficiente de empuxo Coeficiente de sustentação Coeficiente de potência Coeficiente de potência ideal (Betz) Força de arrasto Força de empuxo Fator de perda de ponta de pá Força de sustentação velocidade do vento incidente Torque no rotor R, r Raio W a a c Velocidade incidente Fator de indução axial Fator de indução radial corda Símbolos Gregos α β φ λ λ r ρ Ângulo de ataque Ângulo de montagem de pá Ângulo de vento incidente Razão global de velocidades Razão local de velocidades Massa específica do ar xv

16 xvi σ Ω Solidez Velocidade angular ω Velocidade angular 2

17 1 Introdução 1.1 Energia Eólica A energia eólica é um fonte de energia renovável, madura e altamente difundida no mundo. Com um potencial de expansão elevado, vem ganhando bastante espaço por causa de seu custo de instalação e retorno econômico, embora se comparado a outras fontes, ainda apresenta um percentual baixo, aproximadamente 4% do consumo mundial, segunda a World Wind Energy Association (WWEA). Dentre seus benefícios, ela não produz CO 2, possui uma alta eficiência na conversão de energia, os baixos investimentos iniciais e a manutenção fácil. As turbinas eólicas dependem dos ventos, que por sua vez dependem da localização, porém estudos mostram que o potencial eólico global supere as demandas por energia. Além disso, muitos dos parques eólicos são híbridos com energia solar, que se aproveita dos espaços abertos entre as turbinas, aumentando ainda mais a viabilidade econômica do setor. Abaixo alguns fatos sobre a energia eólica no ano de 2014, segundo a WWEA: A capacidade instalada foi de MW Houve um aumento de 16.4% se comparado a Países usam a energia eólica, com os mercados que mais cresceram sendo China, Alemanha, Estados Unidos e Brasil Uma capacidade prevista de MW em 2030, suprindo cerca de 19% do consumo mundial. 1

18 2 Fig. 1.1: Capacidade total nos principais produtores de energia eólica em 2014 A possibilidade de instalação de aerogeradores offshore, também contribui para essas estatísticas, sendo a Europa a que mais contribui nessa modalidade, com cerca de 2500 turbinas. Estima-se também que uma turbina eólica leva de 3 a 6 meses para recuperar a energia gasta em fabricação, operação e reciclagem da turbina ao final de sua vida útil, após 20 a 25 anos. Na Figura 1.1 vemos a distribuição da criação de novas instalações no mundo no ano de 2014.

19 3 Fig. 1.2: Capacidade instalada apenas no ano de 2014 Diversos países investem em energia eólica, sendo o maior deles a China. Os países europeus por outro lado conseguem que boa parte de sua matriz energética venha da energia eólica, por exemplo a Alemanha, Espanha e Dinamarca, esta última com o feito de produzir quase metade de sua demanda via ventos. Na Figura 1.2 é mostrada a capacidade total instalada em 2014, note que a China e Estados Unidos são responsáveis por quase metedade da produção mundial. 1.2 Energia Eólica no Brasil O potencial eólico brasileiro é estimado em cerca de 300 GW segundo o Atlas Eólico Brasileiro, tendo como a região Nordeste aquela com maior potencial, seguida do Sul. Segundo a ABEEólica, Associação Brasileira de Energia Eólica, a capacidade instalada no Brasil até o ano de 2015 era de MW, com 76,3% vindo do Nordeste, e no ano de 2016 ultrapassará a Itália na produção de energia eólica.

20 4 De acordo com o Plano Decenal de Expansão de Energia (PDE, 2021), em 2021, esperase que a energia eólica cubra 9% da matriz energética do país. O BNDES por sua vez é o principal financiador dos projetos de fazendas eólicas que se concentram no Rio Grande do Norte, Pernambuco, Ceará e Bahia. Pelo menos um dos três critérios abaixo deve ser respeitado para receber o financiamento de parques eólicos: Pelo menos 70% da estrutura das torres deve ser feitas no Brasil As pás devem ser em fábricas próprias ou em terceirizadas locais Fabricação e montagem do eixo devem ocorrer no Brasil, com material nacional Montagem da nacele no Brasil 1.3 Turbinas Eólicas As máquinas eólicas datam desde os antigos persas, por volta de 200 a.c, passando pela Idade Média até os dias atuais. Antigamente usadas para bombeamento de águas, moagem de grãos, acionamento de mecanismos simples, hoje em dia correspondem ao setor de energia que mais cresce no mundo e no Brasil. A Associação Europeia de Energia Eólica (EWEA) lista como benefícios a não emissão de gases tóxicos e material particulado em suspensão além da fonte motriz ser inesgotável e gratuita. Por outro lado, seus impactos ambientais principais são o grande número de colisão com aves, principalmente nas pequenas turbinas eólicas, a erosão causada pela turbulência dos aerogeradores de grande porte, a poluição visual e poluição sonora. 1.4 Objetivos do trabalho O objetivo deste trabalho é deduzir uma metodologia para a o projeto aerodinâmico de pás de turbinas eólicas, baseando-se nos conceitos de disco atuador, disco rotor, elemento de pá, momento de elemento de pá e a inclusão de perdas nas pontas das pás. Além disso, comparar turbinas projetadas com essa metodologia com modelos comerciais.

21 5 No capítulo 2 é feita uma breve introdução às turbinas eólicas, explicando seu princípio de funcionamento, suas classificações e componentes, e por fim, discutindo as tendências e novas tecnologias desenvolvidas na área. No capítulo 3 começamos a desenvolver nosso modelo matemático, partindo do conceito mais básico, o disco atuador, e passando por outros conceitos como disco rotor, cilindro de vórtices, elemento de pá e a perda de ponta de pá para chegar no modelo do rotor ótimo real. No capítulo 4 é apresentada a metodologia de cálculo para o projeto das pás e como foi feita a escolha dos dados para o projeto. Por fim, no capítulo 5 são expostos os resultados da metodologia apresentada no capítulo anterior.

22 2 Turbinas Eólicas Nesse capítulo, serão discutidos os princípios básicos de funcionamento, suas principais partes e classificação das turbinas eólicas modernas, e as novas perspectivas para a tecnologia. A figura 2.1, traz como exemplo de uma turbina eólica moderna, a Areva M5000, uma turbina de 5MW, ou seja, pode fornecer energia para cinco mil casas, e que possui 135 metros de diâmetro. Note o tamanho do helicóptero em relação a turbina. Fig. 2.1: Areva M5000-5W de potência, aproximadamente 5000 casas 2.1 Princípio Básico de Funcionamento As turbinas eólicas são equipamentos que extraem energia cinética dos ventos. O funcionamento das turbinas eólicas passam por teorias de mecânica dos fluidos e elementos de aerodinâmica que são extensas e bem conhecidas, e portanto não explicadas aqui. Fox (2012) contém a dedução dessas teorias. Durante a passagem do vento pelas pás do rotor, as forças aerodinâmicas que surgem giram o rotor acoplado a um eixo ligado a um gerador de potência. A extração de energia cinética dá-se pela diferença de pressão antes e depois do rotor. 6

23 7 Uma mudança de velocidade brusca não é possível nem desejada pois as forças e acelerações geradas por isso seriam enormes, porém a energia de pressão pode ser extraída lentamente, e é dessa forma que operam os aerogeradores. A presença da turbina faz a velocidade do ar incidente diminuir lentamente, de forma que quando o ar chega ao rotor, sua velocidade já é mais baixa que a velocidade do vento da corrente livre. O volume de controle, mostrado na figura abaixo, é expandido como resultado da desaceleração, seguindo as linhas de corrente, e já que nenhum trabalho é realizado antes da turbina, a pressão estática sobe para absorver o decréscimo de energia cinética. Fig. 2.2: Volume de controle para turbinas eólicas 2.2 Classificação dos aerogeradores Turbinas de Eixo Vertical Possuem o eixo principal na posição vertical. As vantagens desse arranjo incluem: a turbina não precisa estar apontada para o vento para ser eficiente, ótima em lugares onde o vento é altamente variável, e o posicionamento do gerador e da caixa de engrenagens que podem ser colocadas no chão, facilitando a manutenção. Como desvantagem possui uma velocidade de rotação extremamente baixa, o que proporciona alto torque, logo uma maior robustez de seus componentes. Dentro das turbinas de eixo vertical, podemos destacar as turbinas modelo Darrieus e

24 8 Savonius. A primeira é composta por um eixo e longas pás, podendo ser curvadas ou não, a segunda se baseia no principio do acionamento diferencial, onde o vento ao passar pelas faces do corpo oco, cria um binário que rotaciona o conjunto Turbinas de Eixo Horizontal O tipo mais comum de aerogerador. De diversos tamanhos, para uma maior eficiência, necessitam estar apontadas para o vento. Possuem boa eficiência e baixo torque. Grandes aerogeradores possuem pás de mais de 70 metros de comprimento e alturas acima de 100 metros. Outra característica desse tipo de turbina é a posição do rotor à frente da torre, evitando a turbulência causada pela torre quando o vento passa. Fig. 2.3: Tipos de turbinas: Eixo horizontal, Darrieus e Savonius, respectivamente 2.3 Principais Componentes A seguir serão descritos os principais componentes de uma turbina eólica de eixo horizontal: Rotor, Nacele, Sistema de Controle, Caixa de Engrenagens, Gerador e Torre. Na figura abaixo vemos os principais internos.

25 9 Fig. 2.4: Disposição dos principais internos de uma turbina eólica Rotor É o principal componente das turbinas eólicas, nele efetua-se a transformação da energia cinética dos ventos em energia mecânica de rotação. Ele é composto pelo cubo e pelas pás. Todo o conjunto é conectado a um eixo que transmite a rotação para o gerador. A maioria dos rotores modernos possuem três pás, pois o seu comportamento é mais suave e fornece oscilações menores de torque no eixo, o que simplifica a transmissão mecânica. Abaixo vemos o içamento de um rotor, observe as dimensões em relação ao operador. Fig. 2.5: Fase final de montagem de uma turbina eólica: Içamento do rotor em um parque em Ontario, Canadá

26 10 Cubo Sua principal função é alojar as pás e transmitir o movimento para o eixo. Os cubos modernos também possuem o controle de pitch, o que ajusta a pá para uma melhor produção de energia, modificando seu ângulo em relação ao vento. Feitos geralmente de ferro fundido, em especial o ferro fundido nodular, antigamente eram de chapas de aço ou mesmo forjados. Pás Assim como asas de aviões, as pás das turbinas eólicas são formadas por diferentes perfis de aerofólios para garantir maior retirada de energia do vento. Possuem diversas formas dependendo da aplicação. Geralmente são feitas de fibra de vidro reforçadas com polímeros, porém a fibra de carbono começa a parecer em instalações offshore, onde as cargas de vento são maiores. Materiais mais leves contribuem para um momento de inércia baixo, o que simplifica os sistema de engrenagens. Fig. 2.6: Transporte da maior pá do mundo: 83,5 metros de comprimento e 4 metros de diâmetro de raíz Nacele É o compartimento que abriga todos os internos do aerogerador, além de sistema de extinção de incêndio, sistemas de processamentos de dados e sistema de refrigeração. Os

27 11 diversos sensores do aerogerador são instalados na parte superior da nacele. Em instalações offshore, pode ser montado uma plataforma para aproximação via helicóptero Sistema de Controle O sistema de controle funciona em forma de feedback entre os sensores e os atuadores. Os principais sensores são: anemômetro, para medir velocidade e intensidade dos ventos e sensor de direção, que capta a direção do vento. O controle de yaw, ou guinada, e o controle de pitch, ou de passo de pá, recebem informações dos sistemas e atuam, respectivamente, no posicionamento do aerogerador, para que o mesmo fique perpendicular ao vento, e no ângulo de ataque das pás Caixa de Transmissão É o elemento mais pesado de um aerogerador. Converte a baixa rotação do rotor, geralmente de 15 a 220 RPM, em uma mais alta, entre 1200 e 1800 RPM, para que o gerador possa produzir energia. Comumente em três estágios, diversos tipos de sistemas de transmissão foram elaborados, desde transmissão por correias, acoplamentos simples de engrenagens de dentes retos até sistemas planetários mais complexos, sendo esses mais usados em turbinas acima de 2,5 MW de potência Gerador Converte a energia mecânica do eixo em energia elétrica. Podem ser síncronos ou assíncronos, dependendo da turbina e seu uso. Grande parte dos aerogeradores ligados a rede usam geradores síncronos, pois podem ser ligados diretamente a rede, possuem alta eficiência e permitem melhor controle do fator de potência de carga. Porém necessitam manter a velocidade de rotação constante, para evitar instabilidade Torre As torres sustentam e elevam a altura desejada o conjunto do rotor e nacele. Possuem pelo menos 20 metros de altura, porém tipicamente variam de 1 a 1,5 vezes o diâmetro do

28 12 rotor. São feitas de tubos de aço, treliças ou concreto, como mostrado na figura 2.7. Fig. 2.7: Diferentes tipos de torres: a) Tubos de aço; b) Concreto; c) Treliça Elas estão sujeitas a vários esforços como arrasto da própria torre e do arrasto do rotor, forças torcionais devido aos mecanismos de controle de guinada da nacele. Além disso está sujeita a vibrações, do vento e do acoplamento com a nacele. A escolha da torre é influenciada pelas características do local de instalação, e pode influenciar o desempenho de outras turbinas no mesmo parque. Por exemplo aerogeradores que ficam na sombra de outros. 2.4 Tendências e Novas Tecnologias Quando se fala em turbinas eólicas, os maiores avanços são nas áreas de materiais e aerodinâmica, visando aumento de rendimento e redução de custos. Um dos meios de se aumentar o rendimento das turbinas, é aumentar a área que elas varrem, porém ao se fazer isso é necessário ter pás mais longas e mais rígidas para que não batam na torre nem flitam com o peso próprio. Assim, a fibra de carbono está se tornando mais comum, sendo de 2,5 a 5 vezes mais resistente que a fibra de vidro, segunda o fabricante de fibras Performance Composites. O desenvolvimento constante de novos aerofólios e projetos não convencionais de turbi-

29 13 nas eólicas são outras linhas de pesquisas atualmente. Além das propostas acima, há diversas pesquisas no âmbito da estocagem de energia, principalmente uso de ar comprimido. A figura 2.8 mostra como os aerogeradores vem mudando ao ano, aumento de tamanho e de capacidade. Fig. 2.8: Evolução dos aerogeradores ao longo dos anos

30 3 Formulação Matemática A produção de energia elétrica em turbinas eólicas depende da interação entre o rotor e o vento, por isso atualmente existem diversos grupos de pesquisa e empresas que visam a melhoria dos aspectos aerodinâmicos de rotores. Como máquinas de sustentação, as forças aerodinâmicas que surgem na estrutura da pá do aerogerador variam de acordo com a velocidade relativa do vento que atua sobre a mesma e compõem o torque resultante como mostrado na figura 3.1. Uma vez conhecidas essa velocidade relativa podemos estimar a potência da turbina e determinar as forças aerodinâmicas que nela atuam, podendo-se assim projetar os outros componentes. Fig. 3.1: Esforços atuantes sobre um aerofólio A velocidade relativa pode ser calculada resolvendo-se triângulos de velocidade para cada seção da pá, porém o rotor ao girar, induz uma velocidade formada pela esteira turbulenta que surge quando o ar passa pelas pás. Calcular essas velocidades induzidas é a maior dificuldade dessa abordagem. Neste capítulo serão discutidos a teoria e os principais métodos para projeto aerodinâmico do rotor de turbinas eólicas de eixo horizontal, como deduzidos por Manwell et al. (2009). 14

31 Disco Atuador e Teoria de Momento Linear A primeira e mais simples análise para o processo de extração de energia dos ventos começa pelo conceito de disco atuador e o teoria de momento linear. Durante os seus estudos sobre energia eólica, Betz (1926) encontrou uma forma simples de calcular a potência máxima teórica que uma máquina pode retirar do vento em um determinada localização. Essa análise não esclarece completamente o que ocorre com a energia, mas uma parte é aproveitada e convertida em trabalho e a outra é dissipada em forma de calor. É assumido que o escoamento é homogêneo, incompressível e em regime permanente, além disso não há arrasto e turbulência. Considere um volume de controle da figura 3.2, o rotor é representado por um disco que permite a passagem de ar, que cria uma descontinuidade de pressão no escoamento. O aumento de área na saída do VC ocorre devido a conservação de massa. Fig. 3.2: Volume de controle para o disco atuador; U é a velocidade do ar; 1,2,3,4 indicam as posições no volume de controle Aplicando a conservação de momento linear no volume de controle, podemos encontrar o empuxo total: E = U 1 (ρau ) 1 U 4 (ρau ) 4 (3.1)

32 16 onde ρ é a densidade do ar, A é seção transversal, e U é a velocidade do ar. Para o regime permanente, (ρau ) 1 = (ρau ) 4 = ṁ. Logo: E = ṁ(u 1 U 4 ) (3.2) Como o empuxo é positivo, a velocidade depois do rotor U 4 é menor que a velocidade livre de corrente U 1. Esse empuxo é a força que o vento faz sobre o rotor, causada apenas pela presença do disco. Por tanto pode-se demonstrar que: E = ṁ(u 1 U 4 ) = A D (p 2 p 3 ) (3.3) Aplicando a equação de Bernoulli separadamente em dois volumes de controles em cada lado do disco atuador, temos: p ρu 2 1 = p ρu 2 2 (3.4) p ρu 3 2 = p ρu 2 4 (3.5) Assumindo que p 1 = p 4 e U 2 = U 3, resolvendo para (p 2 p 3 ) e substituindo em 3.3 obtemos: E = ṁ(u 1 U 4 ) = 1 2 ρa D(U 2 1 U 2 4 ) (3.6) Substituindo ṁ = ρa D U 2 em 3.6 e reorganizando: U 2 = U 1 U 4 2 (3.7) Assim vemos que a velocidade no plano do rotor é metade das velocidades de entrada e saída do VC. Definindo-se o fator de interferência axial, a, como a variação de velocidade que o disco

33 17 impõe sobre o escoamento livre: a = U 1 U 2 U 1 (3.8) Substituindo 3.8 em 3.7, então: U 2 = U 1 (1 a) (3.9) U 4 = U 1 (1 2a) (3.10) A quantidade U 1 a é a componente do escoamento induzido pela formação da esteira turbulenta. O fator de indução varia entre 0 e 1/2, com o aumento dele a velocidade atrás do disco vai diminuindo e quando a = 1/2 a velocidade atrás do disco é zero e foge ao limite da teoria. Na figura 3.3 vemos como as velocidade e a pressão se comportam no rotor do aerogerador. Fig. 3.3: Processo de extração de energia do vento pelo disco atuador Multiplicando o empuxo dado pela equação 3.6 pela velocidade do disco U 2 e substituindo U 2 e U 4 das equações 3.9 e 3.10, obtemos a potência gerada pelo disco: P = 1 2 ρa DU 3 4a(1 a) 2 (3.11)

34 18 O mesmo pode-se fazer para o empuxo da equação 3.6, obtendo-se: E = 1 2 ρa DU 2 [4a(1 a)] (3.12) onde U 1 é substituído por U em ambas as equações. Os coeficiente de potência C p e empuxo C E podem então ser definidos como: C P = P Potência extraída 1 2 ρu = 3 A d Potência disponível do vento E C E = 1 2 ρu = 2 A d Empuxo no rotor Forças Dinâmicas (3.13) (3.14) Para o disco atuador que representa o rotor ideal, substituindo 3.11 na definição de coeficiente de potência, temos que: C P = 4a(1 a) 2 (3.15) O C p ideal máximo é determinado tomando a derivada de 3.15 com respeito a a e igualando a zero, o que tem como resultado a = 1/3. Então: C P,max = 16 = 0,5926 (3.16) 27 Esse C P,max é conhecido como limite de Betz. O mesmo pode-se fazer para o coeficiente de empuxo C E, substituindo 3.12 em 3.14: C E = 4a(1 a) (3.17) Para a = 1/2, para quando a teoria deixa de ser válida, C E = 1, para o valor de a = 1/3 quando a extração de potência é máxima C E = 8/9 = 0,8889. A teoria do disco atuador é uma abordagem bem simples e serve apenas como uma estimativa do potencial de geração de uma determinada área. Ela é interessante para a análise da eficiência da turbina, mas não serve para se projetar as pás da mesma.

35 Disco Rotor Na seção anterior, foi considerado que não havia rotação aplicada ao escoamento. Essa análise pode ser feita para o caso com rotação do disco. O empuxo exercido pelo ar sobre o disco do rotor exige que uma reação de mesma intensidade e direção oposta seja exercida sobre o ar, para que seja mantido o equilíbrio. A consequência desse empuxo de reação é a geração de uma rotação na direção oposta da do rotor; o ar ganha quantidade de movimento angular, logo, na esteira do rotor, a velocidade tem componente na direção tangencial além de axial. Fig. 3.4: Volume de controle para o disco rotor e trajetória de uma partícula passando pelo disco rotor A análise a seguir é feita para um anel anular do rotor com raio r e de largura dr como

36 20 mostra a figura 3.4. O escoamento ao incidir no disco atuador não tem nenhum movimento rotacional. Ao sair, existe rotação no escoamento, e essa rotação permanece constante por toda a esteira. Logo, a transferência de rotação ao fluido se dá inteiramente através do disco. A velocidade tangencial não será a mesma para todas as posições radiais e é possível que a velocidade axial induzida seja também diferente. O aumento do empuxo do rotor que atua sobre o anel será responsável pela componente tangencial da velocidade e da força axial no anel pela componente axial. Usando um volume de controle que se move com velocidade angular igual a das pás, a equação da energia pode ser usada antes e depois do rotor para derivar uma expressão para a diferença de pressão (veja Glauert,1935 para dedução). Note que ao passar pelas pás, a velocidade angular relativa do ar aumenta de Ω para Ω + ω enquanto a componente axial da velocidade se mantém constante. Com isso a diferença de pressão é dada por: p 2 p 3 = ρ (Ω + 12 ) ω ωr 2 (3.18) Assim, o empuxo em um elemento anular é: [ de = (p 2 p 3 )da = ρ (Ω + 12 ] )ωr ω 2 2πr dr (3.19) O fator de indução tangencial, a, que representa a rotação do esteira no plano do rotor em relação à rotação do rotor, pode ser definido: a = ω 2Ω (3.20) A expressão 3.19 torna-se então: de = 4a (1 + a ) 1 2 ρω2 r 2 2πr dr (3.21)

37 21 Tomando a equação 3.12, feita na análise anterior, para um anel de espessura dr : de = 4a(1 + a) 1 2 ρu 2 2πr dr (3.22) Equacionando as expressões 3.21 e 3.22: a(1 a) a (1 + a ) = Ω2 r 2 U 2 = λ 2 r λ r = Ωr U (3.23) onde λ r é a razão de velocidades local. A razão de velocidades na ponta da pá é definida quando r = R: λ = ΩR/U (3.24) voltando na equação 3.23: λ r = Ωr /U (3.25) A potência gerada por cada elemento anular é dada por: dp = ΩdQ (3.26) onde dq é o torque exercido no rotor, que deve ser igual à mudança de momento angular da esteira: dq = dṁ(ωr )r (3.27) sabendo que U 2 = U (1 a) e a = ω/2ω, temos: dq = 4a (1 a) 1 2 ρuωr 2 2πr dr (3.28)

38 22 Substituindo 3.28 e 3.23 na equação da potência para cada elemento: dp = 1 2 ρa du 3 [ 8 λ 2 a (1 a)λ 3 r dλ r ] (3.29) A partir da equação acima, vemos que a potência produzida por um elemento anular depende dos fatores de indução axial e tangencial, da razão de velocidades na ponta da pá e da razão local de velocidades. Se usarmos a definição de C P da equação 3.13 para cada elemento, então o C P total será dado por: C P = 8 λ λ 2 a (1 a)λ 3 r dλ r (3.30) 0 Para integrar a equação acima, Shu et al. propõe relacionar as variáveis a, a e λ r. Resolvendo a equação 3.23 para a : [ a = ] λ 2 r a(1 a) (3.31) e combinando a equação acima com o integrador de 3.30: Int = 1 2 (1 a)λ r ( ) λ 2r + 4aλ 2 r 4a 2 λ 2 r + λ 4 r (3.32) Como o objetivo é obter o máximo de potência possível, para encontrar os fatores de interferência deve-se otimizar C P com relação a a tomando C P / a = 0. Como somente o integrador de 3.30 depende de a, podemos igualá-lo a zero e resolver para λ r, encontrando: λ 2 r = (1 a)(4a 1)2 1 3a (3.33) Substituindo em 3.23: a = 1 3a 4a 1 (3.34)

39 23 A figura 3.5 mostra como o C P para um rotor com rotação de esteira se comporta em relação ao rotor ideal. Note que quanto maior a razão de ponta de asa, mais o C P se aproxima do limite de Betz. Fig. 3.5: Comportamento do coeficiente de potência para rotor ideal e com esteira A figura 3.6 mostra como os fatores de indução axial e tangencial se comportam. Note que perto da raíz da pá o fator de indução tangencial é muito maior do que nas pontas e que o fator de indução axial se mantém perto do máximo ideal 1/3. Fig. 3.6: Comportamento dos fatores de indução axial e tangencial para λ = 7, Cilindro de vórtices A teoria do disco atuador se baseia na queda de pressão devido à energia extraída pelo rotor. A teoria do disco rotor se baseia em um conceito de disco composto por um grande

40 24 número de pás, com circulação Γ como mostrado na figura 3.7. Esse acumulo de vórtices helicoidais de força Γ forma uma superfície cilíndrica. Considerando o número de pás sendo infinitas, esse cilindro será contínuo e de diâmetro constante. Fig. 3.7: Sistema de vórtices atrás de uma turbina eólica Fig. 3.8: Modelo simplificado para vórtices helicoidais, ignorando a expansão de esteira Da mesma forma que um vórtice se forma na ponta de cada pá, as raízes da pás também produzem vórtices. Se assumirmos que as pás vão até o eixo de rotação, os vórtices percorrerão axialmente o volume de controle, causando a principal indução de velocidade tangencial.

41 Teoria do Elemento de Pá As forças de um elemento de pá podem ser calculadas com base nas características do aerofólios que compõem as pás do rotor, podendo ser expressas em função do coeficiente de sustentação C L e do coeficiente de arrasto C D e do ângulo de ataque α. Para essa análise, considera-se que não há escoamento radial, ou seja, não há interação entre os elementos da pá. Primeiramente divide-se a pá em N elementos e define-se o conceito de velocidade relativa. A velocidade relativa é soma vetorial da velocidade axial do vento no rotor, U (1 a), e a velocidade tangencial no plano de rotação, como visto na figura 3.9. A componente tangencial, é a soma das velocidades de rotação da pá e a velocidade induzida na pá, ωr /2, dada na equação 3.20: Ωr + (w/2)r = Ωr + Ω r = Ωr (1 + a ) (3.35) logo: W = Ua 2 +U 2t = U 2 (1 a) 2 + r 2 Ω 2 (1 + a ) 2 (3.36) Fig. 3.9: Representação de um elemento de pá

42 26 Diferente do disco rotor, que a espessura é infinitesimal e a mudança de velocidade é abrupta, o elemento de pá tem profundidade axial e a velocidade tangencial muda de acordo com o raio da pá. A decomposição da velocidade relativa é representada na figura Fig. 3.10: Velocidades e forças em um elemento de pá Analisando a figura 3.10, encontramos o angulo de fluxo φ, que é formado entre a velocidade relativa e o plano de rotação do rotor. Pode-se então retirar as seguintes relações: U (1 a) senφ = W (3.37) cosφ = r Ω(1 + a ) W (3.38) Observe que o angulo de fluxo também é dado pela soma do ângulo de ataque α e o ângulo de montagem β da pá: φ = α + β (3.39) Numa pá real, o ângulo de ataque, consequentemente o ângulo de fluxo, varia ao longo da mesma. Devido a essa característica, o somatório das forças atuantes na pá é a soma das forças em cada elemento. Mostra-se então que as forças de sustentação e arrasto atuantes em cada elemento são:

43 27 δl = 1 1 ρw 2 cc L δr (3.40) δd = 1 2 ρw 2 cc D δr (3.41) onde c é a corda do elemento. Supondo que o rotor possua B pás, podemos calcular o empuxo e o torque para um anel de espessura δr. O torque é devido a atuação da força tangencial a uma distância r. δe = δl cosφ + δd senφ = 1 2 ρw 2 Bc(C L cosφ +C D senφ)δr (3.42) δq = δl cosφ δd senφ = 1 2 ρw 2 Bcr (C L cosφ C D senφ)δr (3.43) 3.4 Teoria do Momento de Elemento de Pá A Teoria de Elemento de Pá consiste em aplicar a teoria de momento linear para cada elemento de pá, ou seja, a força em cada elemento é a única responsável por mudar a quantidade de movimento axial do ar que passa pelo anel percorrido do elemento. Considera-se que não há interação radial entre os escoamentos de diferentes elementos, o que acontece somente se o fator de interferência axial não variar radialmente. Utilizando a equações e tomando a área diferencial de cada anel por A D = 2πr dr podemos reescrever as equações 3.42 e 3.43 como: δe = σπρ U 2 (1 a) 2 sen 2 φ (C L cosφ +C D senφ)r δr (3.44)

44 28 δq = σπρ U 2 (1 a) 2 sen 2 φ (C L cosφ C D senφ)r δr (3.45) onde σ é a solidez da corda, que é definido como o comprimento total da corda em determinado raio divido pela circunferência do disco nesse raio, ou seja, a parte ocupada pelas pás do rotor no círculo de raio R. σ = Bc 2πr (3.46) Como os fatores de interferência foram calculados para o caso ideal do disco atuador e do disco rotor, o arrasto C D pode ser eliminado das equações acima e encontra-se uma relação entre as teorias de elemento de pá e de momento de elemento de pá. Para tal, igualamos a as equações 3.21 com 3.44 e 3.28 com 3.45, obtendo: a 1 a = σc L cosφ 4sen 2 φ (3.47) a 1 a = σc L 4λ r senφ (3.48) Do triângulo de velocidades, temos que: t anφ = 1 a λ r (1 + a ) (3.49) Após algumas manipulações matemáticas usando as equações 3.47, 3.48 e 3.49, as seguintes relações surgem: ( 1 + 4sen 2 ) φ 1 a = (3.50) σ C L cosφ a 1 + a = σc L 4cosφ (3.51)

45 Influência do Número Finito de Pás Nos modelos anteriores, foi-se assumido um grande número de pás. Com isso todas as partículas passantes pelo rotor interagiam com uma pá e sofriam a mesma mudança de quantidade de movimento. Quando se fala de um número finito de pás, algumas partículas são afetadas, porém outras passam direto por entre as pás, assim a mudança de quantidade de movimento depende da proximidade com pá. Dessa forma, quando assumimos um número finito de pás, o fator de interferência axial varia em torno do disco. Partindo da equação 3.37, se o fator de indução axial a for muito grande em uma posição da pá, o ângulo de fluxo, φ, será pequeno e a força de sustentação será quase normal ao plano do rotor, logo a componente tangencial da força de sustentação será menor, consequentemente o torque o será menor também, gerando a queda da potência. Essa queda é chamada de perda da ponta da pá ou tip loss, sendo mais notória em rotores com poucas e largas pás. Fig. 3.11: Variação da perda de ponta de pá ao longo do seu comprimento A figura 3.11 mostra a perda de ponta para uma pá com circulação uniforme é iguala 1 na maior parte do comprimento, caindo bruscamente até 0 próximo da ponta da pá. Um grande número de métodos incluindo a perda de ponta de asa foram sugeridos. A aproximação mais direta é a que foi desenvolvida por Prandtl (1919). Essa derivação é bastante complicada e foge ao escopo deste trabalho, porém seu resultado pode ser expresso

46 30 pela solução abaixo: ( ) 2 F = cos 1 (e f ) (3.52) π onde: f = B 1 (r R) 2 (r /R)senφ (3.53) Essa correção afeta as forças derivadas da teoria de momento, assim: de = 4Fa(1 + a)ρu 2 πr dr (3.54) dq = 4Fa (1 a)ρuωr 3 2πdr (3.55) e os fatores de indução também mudam: a 1 a = σc L cosφ 4F sen 2 φ (3.56) a 1 + a = σc L 4F cosφ (3.57)

47 31 Fig. 3.12: Perfil da esteira de vórtices e torque na pá A figura 3.12 mostra o perfil da esteira de vórtices atrás da pá do rotor. As pontas sofrem uma grande perda e a raíz da pá sofre uma perda um pouco menor. O mesmo efeito pode ser visto em asas de aviões.

48 4 Projeto das pás Para esse trabalho, foi pensado em um dimensionamento de aerogeradores para o Bloco H do campus Praia Vermelha da Universidade Federal Fluminense. Este capítulo aborda os procedimentos de cálculo utilizados neste projeto, começando pelos parâmetros inicias de interesse e depois especificando os detalhes algébricos para o projeto de um rotor ideal e de um rotor real. 4.1 Parâmetros de Entrada Primeiramente é necessário definir quais os inputs para os modelos das pás. Dentre esses dados, encontramos a velocidade do vento no local U, potência nominal P Nom, o número de pás B, densidade do vento ρ, coeficiente de potência estimado para o rotor e razão de velocidades λ. A velocidade do vento foi definida como 6,5 m/s, a velocidade média anual a 50 metros de altura na região de Niterói segundo o Atlas Eólico do Estado do Rio de Janeiro, e a densidade tomada como ρ = 1,225km/m 3, em condições de nível do mar e 15 C. As figuras 4.1 e 4.2 trazem o mapa do Atlas Eólico do Rio de Janeiro e o recorte na região metropolitana do estado. Para a potência nominal foram utilizados os valores de 5 kw, 10 kw e 50 kw comuns para pequenas indústrias e fazendas. No cálculo do rotor, porém, foi acrescentado mais 10% para cobrir perdas mecânicas e de transmissão da rede. 32

49 33 Fig. 4.1: Atlas Eólico do Estado do Rio de Janeiro para uma altura de 50 metros Fig. 4.2: Recorte da zona metropolitana A razão de velocidades λ e o coeficiente de potência da turbina C P podem ser estimados por meio de mapas como o da figura 4.3.

50 34 Fig. 4.3: Estimativa de razões de velocidade λ para diversos tipos de turbinas Para os cálculos foram utilizados os valores de λ = 6 e C P = 0,45 para uma turbina de eixo horizontal de 3 pás. O coeficiente de potência C P é recalculado no final. Tendo os dados fornecidos acima, calcula-se o diâmetro do rotor a partir de: P = 1 P 2 C P πρr 2 U 3 R = 1 2 C (4.1) P πρu 3 Em seguida calcula-se a velocidade angular e a rotação do rotor como: Ω = λu R (4.2) RPM = Ω 60 2π (4.3)

51 Escolha dos Aerofólios A escolha dos aerofólios está diretamente ligada a escolha dos coeficientes aerodinâmicos, por isso sua escolha deve ser cuidadosa. Projetos mais complexos usam de 3 a 5 aerofólios diferentes ao longo da pá. Por simplicidade, adotou-se o mesmo perfil e o mesmo angulo de ataque ao longo de toda a pá. Foram utilizados 4 perfis para fins de comparação: NACA 4412, sugerido por Manwell, o perfil NREL S823, desenvolvido pelo Laboratório Nacional de Energias Renováveis dos EUA, o perfil DU 06-W-200, desenvolvido pela Universidade de Delft, na Holanda e o perfil AH 93-W-257, muito comum em turbinas eólicas. As curvas de C L x α, C D x α e C D /C L x α se encontram abaixo. Todos tomados para um número de Reynolds de , uma vez que a corda da pá é da ordem de 1 metro. Na figura 4.4 vemos os perfis utilizados. Fig. 4.4: Aerofólios escolhidos para o projeto

52 36 Fig. 4.5: Curvas C L x α para os perfis selecionados Fig. 4.6: Curvas C D x α para os perfis selecionados

53 37 Fig. 4.7: Curvas C D /C L x α para os perfis selecionados As curvas foram tomadas apenas a partir de valores em que α é maior que zero. O ângulo de ataque adotado foi onde a relação C D /C L é máxima, ou seja, onde o valor de C D é o mínimo e C L o máximo possíveis, assim aproximando da hipótese de não arrasto para o rotor ideal. 4.3 Rotor Ideal Para o projeto de um rotor ideal, sem rotação de esteiras e perda, viu-se que seu coeficiente de potência C P é máximo quando o fator de indução axial a é igual a 1/3. Assumindo as mesmas condições da turbina ideal para as equações de teoria de momento e de teoria de elemento de pá, a análise se torna simples, de modo que podemos determinar a geometria da pá ideal. Esse é chamado de "Rotor Ótimo de Betz" Nessa análise, assume-se que: Não há rotação de esteira, a = 0. Não há arrasto, C D = 0. Não há perdas por um número finito de pás, por exemplo perda de ponta de pá.

54 38 O fator de indução axial a é igual a 1/3 para todo o comprimento da pá. Aplicando a teoria de momento a um volume de controle de raio r e espessura dr, obtemos a seguinte expressão para o empuxo nas pás: dt = ρu 2 4a(1 a)πr dr (4.4) e fazendo a = 1/3: dt = ρu (1 1/3)πr dr = ρu 2 (8/9)πr dr (4.5) Da teoria de elemento de pá, temos a equação 3.43, com C d = 0: δq = 1 2 ρw 2 Bcr (C L cosφ)dr (4.6) Manwell sugere utilizar a equação 3.37, expressando W em termos de outras variáveis conhecidas, obtendo: W = U (1 a) senφ = U 3senφ (4.7) Equacionando as expressões acima, nos leva a: C L Bc 4πr = tanφsenφ (4.8) Utilizando uma quarta equação, 3.49, que relaciona φ, a e a com base em considerações geométricas, com a = 0 e a = 1/3: tanφ = 2 3λ r (4.9) Substituindo em 4.8: C L Bc 4πr = 2 3λ r senφ (4.10)

55 39 Isolando c e φ nas equações acima, temos: ( ) 2 φ = tan 1 3λ r (4.11) c = 8πr senφ 3BC L λ r (4.12) As equações acima nos fornecem o ângulo de fluxo e a corda para um elemento de pá para um rotor ideal. 4.4 Rotor Ótimo Real Para o projeto do rotor real, considera-se inicialmente os aspectos geométricos do rotor com rotação de esteira e sem perda nas pontas das pás. Depois recalculam-se os fatores de indução axial, a, e indução tangencial, a, incluindo a perda na ponta da pá. De modo análogo ao feito para o rotor ideal, fazemos o mesmo procedimento para o disco rotor e obtemos as seguintes equações para c e φ: φ = 2 3 tan 1 (1/λ r ) (4.13) c = 8πr BC L (1 cosφ) (4.14) Após calcular a corda e o ângulo de fluxo, usamos as equações 3.23 e 3.50 para estimar os valores dos fatores de indução: a = 1 3a 4a 1 (4.15) ( 1 + 4sen 2 ) φ 1 a = (4.16) σ C L cosφ

56 40 Uma vez estimados φ, c, a e a, usa-se um processo iterativo para corrigir o angulo de ataque e calcular o fator de perda de ponta de asa,em cada elemento da pá. Primeiro recalcular o valor de φ usando a equação 3.49 e posteriormente usando 3.52 calcula-se a perda de ponta de asa: t anφ = 1 a λ r (1 + a ) (4.17) ( ) 2 F = cos 1 (e f ) (4.18) π Novamente recalculamos os valores de a e a, agora incluindo a perda de ponta de asa, usando as equações 3.50 e 3.48 modificadas: ( 1 + 4sen 2 ) φ 1 a = (4.19) σ FC L cosφ a 1 a = σc L 4F λ r senφ (4.20) Calculados os valores dos fatores de indução corrigidos e as características geométricas da pá, usamos a equação 4.21 (de Vries, 1979) para calcular o coeficiente de potência, C P : C P = 8 λ 2 λ 2 r F sen2 φ(cosφ λ r senφ)(senφ + λ r cosφ)[1 (C D /C L )cotφ]dx. (4.21) que pode ser aproximada pela soma: C P = 8 λn N λ 2 r F sen2 φ(cosφ λ r senφ)(senφ + λ r cosφ)[1 (C D /C L )cotφ] (4.22) i=k Observe que o potência não é utilizada no cálculo dos parâmetros de desempenho, uma vez que ela só tem influência no cálculo do comprimento da pá. A partir disso, as caracterís-