1 INTRODUÇÃO 1.1 O PROBLEMA

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1 INTRODUÇÃO Na definição de pontos sobre a superfície da Terra, tanto a Geodésia como a Topografia utilizam sistemas de coordenadas cartesianas retangulares e sistemas de coordenadas curvilíneas. Estes sistemas apresentam diferentes configurações, em função dos parâmetros de definição e características físicas envolvidas nas suas realizações, como orientação de um de seus eixos de acordo com a vertical, por exemplo. A caracterização dos sistemas de coordenadas depende de vários parâmetros como a origem, a orientação e eventualmente a superfície de referência adotada. É bastante freqüente, na atualidade, a necessidade de relacionamento entre sistemas de coordenadas com diferentes características. O relacionamento entre tais sistemas exige cuidado e a consideração de vários fatores de ordem geométrica e física, referentes à caracterização de cada um deles, sejam topocêntricos ou geocêntricos, data de realização e evolução temporal. Até mesmo o modo de referenciamento dos dados coletados em campo, como medidas de ângulos e distâncias, e respectivas formas de redução, para obtenção de coordenadas, são fundamentais na comparação, transformação e integração de sistemas de coordenadas.. O PROBLEMA Atualmente a utilização conjunta de diferentes sistemas de coordenadas tornouse usual devido ao avanço tecnológico na área. É comum, por exemplo, a convivência ou a união de levantamentos efetuados com estações totais e com receptores GPS, porém o tratamento dos dados como topográficos pode não ser conveniente em determinadas situações, por exemplo, em projetos envolvendo diferentes unidades geopolíticas, como a futura exploração do Aqüífero Guarani e a Itaipu Binacional, cuja representação encontra-se em um sistema local. Com isso, a desconsideração de reduções adequadas pertinentes a cada tipo de levantamento traz prejuízo e inconsistência aos resultados obtidos. Por exemplo, uma

2 das reduções não consideradas a serem aplicadas às medidas angulares é o desvio da vertical, cuja determinação não é freqüente. Tem-se como problema principal neste trabalho o estabelecimento do relacionamento adequado entre sistemas topocêntricos e geocêntricos, ou seja, os sistemas utilizados por levantamentos conduzidos por estações totais e por GPS, respectivamente. Como problema subjacente, vinculado ao problema principal, tem-se a análise e quantificação das correções a serem aplicadas nas medidas de ângulos e distâncias.. HIPÓTESES E VARIÁVEIS A fim de orientar a pesquisa na busca de uma resposta para os problemas expostos anteriormente, formulou-se a seguinte hipótese básica ou central: O estabelecimento do relacionamento adequado entre sistemas topocêntricos e geocêntricos é necessário para a condução correta de levantamentos que utilizam estações totais em conjunto com receptores GPS. Ao problema subjacente apresentado cabe a seguinte hipótese: Para se atingir o relacionamento adequado entre os sistemas mencionados devese estabelecer e quantificar todas as reduções ou correções a serem aplicadas. Tais hipóteses serão verificadas ao longo da pesquisa e para tanto serão consideradas as seguintes variáveis: - escolha do sistema de coordenadas e em função deste, utilização de formulário adequado para os cálculos;.3 LIMITAÇÕES A quantificação das reduções deve ser realizada a partir de medidas efetuadas em uma linha poligonal longa e com desnível acentuado, pois em pequenas distâncias e desníveis, tais reduções não apresentam valores significativos.

3 3 Os métodos usuais de obtenção do desvio da vertical envolvem equipamentos sofisticados como por exemplo câmeras zenitais ou a determinação simultânea de coordenadas astronômicas e geodésicas. Pretende-se testar uma metodologia para a determinação do desvio da vertical através de observações GPS/LPS, utilizando-se da solução do Problema Procrustes simples (GRAFAREND e AWANGE, 000)..4 JUSTIFICATIVA Poucas são as instituições, no Brasil, que desenvolvem pesquisa a respeito de integração de Sistemas Geodésicos de Referência (SGRs). Porém, atualmente a grande maioria dos projetos de engenharia de grande porte que necessitam a confecção de um produto cartográfico deparam, por exemplo, com a dificuldade da escolha do sistema de coordenadas, do sistema de projeção, do formulário adequado para os cálculos, bem como da consideração ou não de correções a serem aplicadas às medidas de distâncias e ângulos, e de forma destacada, o relacionamento de parâmetros referenciados em nível global com outros obtidos a partir de levantamentos com referência local. A grande precisão do instrumental atingida atualmente por medidores de ângulos e distâncias, usualmente tomadas em um referencial local, e de sistemas de posicionamento globais tais como o GPS, trouxe como conseqüência a melhoria na precisão final das coordenadas. Isto implica na necessidade da realização de referenciais com precisão compatível à dos levantamentos e que possibilitem transformações de um sistema local para global e vice versa, sem prejuízo das precisões referidas. A NBR 466 recomenda a utilização do Sistema Topográfico Local (STL), além de pontos de apoio com coordenadas referidas ao SAD-69 (South American Datum 969), que é um sistema regional, determinadas por exemplo a partir de observações GPS, referidas ao WGS 84 (World Geodetic System 984), que é um Integração de sistemas: quando se trabalha com dois ou mais sistemas simultaneamente buscando-se resgatar propriedades de interesse de um ou mais sistemas para melhoria de outro; Transformação entre sistemas: quando as coordenadas de um sistema são transformadas para o outro sistema.

4 4 sistema geocêntrico global, cuja realização mais recente (WGS 84, G50, conforme seção.0..3) pode ser entendida como compatível com o IERS Terrestrial Reference Frame 000 (ITRF 000) para a maior parte das aplicações práticas. Segundo esta Norma, tais pontos de apoio devem ter suas coordenadas transformadas ao STL por meio do formulário adaptado da formulação do Problema Inverso. Observe-se que a mudança do Sistema Geodésico Brasileiro em 005, para SIRGAS000, o qual é uma densificação do ITRF000 para a época 000,4 (conforme seção.0..4), obrigatoriamente acarretará alterações nestas transformações. Cite-se aqui a seguinte relação: considerando-se o raio da Terra como aproximadamente 637 km, " de arco na superfície corresponde a aproximadamente 30 m na superfície terrestre. Assim, tanto a inadequação do referencial utilizado, sob certas condições, como os formulários de transporte e transformação de coordenadas escolhidos podem induzir a erros superiores ao valor de ", se indevidamente empregados. Observe-se também a tendência mundial em termos da adoção de sistemas geodésicos de referência geocêntricos. Tal fato é bem presente no Brasil, com a adoção do SIRGAS000 e gradual extinção do SAD69 e Hayford/Córrego Alegre prevista na legislação. Outro aspecto importante, que deve ser abordado, é a discussão e contribuição que este trabalho pretende trazer para o aperfeiçoamento das Normas Técnicas Brasileiras no que tange a normalização de levantamentos, sistemas de referência e procedimentos de cálculos a serem utilizados..5 OBJETIVOS O presente trabalho tem como objetivo geral: analisar o relacionamento entre levantamentos realizados em Sistemas Geodésicos de Referência de origem local e geocêntrica considerando as reduções e correções geométricas necessárias e aspectos físicos envolvidos. Seus objetivos específicos são:

5 5 a) Análise e quantificação da correção devida ao desvio da vertical a ser aplicada às medidas de ângulos; b) Comparação entre o tratamento geodésico, UTM e topográfico efetuado na poligonal; c) Análise da NBR 466 Rede de Referência Cadastral Municipal Procedimento, incluindo: - erros associados aos procedimentos; - análise das simplificações possíveis sem perda de precisão considerável; - análise da extensão da área para aplicação de reduções e correções necessárias; d) Cálculos preliminares dos componentes do desvio da vertical em segundos de arco (ξ" e η") para pontos com coordenadas geodésicas obtidas por GPS e por transporte de coordenadas ajustadas; e) Estabelecimento de uma metodologia para a determinação do desvio da vertical através de observações GPS/LPS, utilizando-se da solução do Problema Procrustes simples..6 ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO DE PESQUISA O presente trabalho de pesquisa foi estruturado em capítulos descritos a seguir: Capítulo : especifica o problema a ser solucionado durante a pesquisa justificando sua relevância para a ciência e apontando suas limitações, bem como apresenta os objetivos geral e específicos, as hipóteses formuladas e suas variáveis; Capítulo : compreende a revisão bibliográfica; Capítulo 3: apresenta os experimentos propostos e coleta de dados; Capítulo 4: apresenta os processamentos realizados e resultados preliminares; Capítulo 5: apresenta as conclusões e recomendações.

6 6 CONCEITOS FUNDAMENTAIS. SISTEMAS DE COORDENADAS EM GEODÉSIA Um ponto do espaço tridimensional pode ser determinado de forma unívoca (figura ), pelo vetor de posição r entre a origem do sistema e o ponto R considerado, pelo ângulo β formado entre o segmento OR e a projeção ortogonal deste sobre o plano xy e pelo ângulo α formado pela projeção do segmento OR sobre o plano xy com o semi-eixo OX. As coordenadas esféricas de um ponto R são dadas por ( r, α, β). FIGURA SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS E CARTESIANAS Z O r r β z R( r r, α, β) Y α x X y Supõe-se o sistema de coordenadas esféricas sobreposto a um sistema de coordenadas cartesianas (TORGE, 980, p. 6). Assim, o ponto R, determinado pelo terno cartesiano (x, y, z) pode ser expresso pelas coordenadas esféricas ( r, α, β), sendo o relacionamento entre os dois sistemas obtido pela igualdade :

7 7 x cosα cos β r = = y r senα cos β z senβ () Os sistemas de base para coordenadas (ou sistemas de referência), usualmente aplicados em Geodésia, são definidos em termos de orientação e dimensões, sendo a princípio tridimensionais. A dimensão tempo, ou época de realização, é introduzida como uma quarta dimensão quando existe a necessidade da consideração de efeitos dinâmicos devidos a movimentos da Terra e de outros corpos celestes, e/ou de deformações na superfície terrestre (TORGE, 00, p. 8).. SISTEMA DE REFERÊNCIA GLOBAL Um sistema de referência será global se a sua origem for definida como geocêntrica (e.g. SIRGAS 000). Se a origem não for geocêntrica, tal como os usualmente obtidos por orientação topocêntrica em um ponto Datum (e.g. SAD69, Chuá e Hayford-Córrego Alegre) o sistema será regional ou local (COSTA, 999, p. 0). Um sistema de coordenadas cartesianas associado a um sistema global genérico (figura ) é um sistema de coordenadas cartesianas espaciais X, Y, Z, geocêntrico e fixo a Terra (i.e. girando com ela no seu movimento de rotação). É utilizado como sistema de coordenadas terrestres fundamental (TORGE, 00, p. 3). Um sistema de coordenadas cartesianas associado ao sistema global caracterizase por: a) origem no geocentro (O), centro de massa da Terra, incluindo hidrosfera e atmosfera; b) eixo Z direcionado para o Pólo Norte terrestre médio; c) plano equatorial médio perpendicular ao eixo Z e que contém os eixos X e Y; d) plano XZ gerado pelo plano que contém o meridiano médio de Greenwich

8 8 (Gr), obtido pelo eixo de rotação médio e pelo meridiano origem de Greenwich (referência do Tempo Universal); e) eixo Y que torna o sistema dextrógiro. Este sistema utiliza o eixo de rotação médio e o plano equatorial médio, devido a alterações no movimento de rotação da Terra. FIGURA SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS ASSOCIADO AO SISTEMA GLOBAL Plano do meridiano médio de Greenwich P N Z Eixo de rotação médio Gr O Y X Plano equatorial médio P s.3 SISTEMA DE COORDENADAS ESFÉRICAS ASSOCIADO AO SISTEMA GLOBAL Um ponto do espaço tridimensional também pode ser determinado de forma unívoca pelas suas coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas associadas ao sistema global, mostradas na figura 3, denotadas por (r, ϑ, λ), onde r é a distância entre o geocentro e o ponto P considerado, ϑ a co-latitude e λ a longitude. No lugar de ϑ pode ser utilizada também a latitude φ, dada por: φ = 90 ϑ ()

9 9 A posição do ponto P é dada pelo vetor posicional: X cosφ cosλ r = = Y r cosφsenλ Z senφ (3) FIGURA 3 SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS E ESFÉRICAS ASSOCIADOS AO SISTEMA GLOBAL Z ϑ r r P O λ φ Y X.4 SISTEMA DE COORDENADAS ASTRONÔMICAS As coordenadas astronômicas são a latitude astronômica Φ e a longitude astronômica Λ. É comum encontrar-se os termos coordenadas geográficas ou coordenadas astronômicas geográficas ao invés de coordenadas astronômicas. Latitude astronômica Φ é o ângulo formado pela vertical definida pela direção do vetor gravidade g r no ponto (ou tangente à linha do campo da gravidade que passa pelo ponto a denominada linha de prumo) com a sua projeção equatorial. Por convenção a latitude é positiva no hemisfério norte e negativa no hemisfério sul (GEMAEL, 999, p. 6). Longitude astronômica Λ é o ângulo diedro formado pelo meridiano astronômico do ponto (local) com o meridiano origem de Greenwich (GEMAEL,

10 0 999, p. 6). O plano do meridiano astronômico do ponto contém a vertical que passa pelo ponto e uma linha paralela ao eixo de rotação, pois a vertical e o eixo de rotação não são co-planares. A figura 4 mostra as coordenadas astronômicas. FIGURA 4 COORDENADAS ASTRONÔMICAS Z Linha vertical ou linha de prumo Plano do meridiano de Greenwich g r P Superfície de nível O Λ Φ Plano do meridiano astronômico local Y X Plano equatorial.5 SISTEMA ASTRONÔMICO LOCAL Observações astronômicas e geodésicas, como azimutes astronômicos, distâncias, ângulos e direções horizontais, ângulos zenitais e diferenças de altura, estão relacionadas com a direção da vertical no ponto de observação e conseqüentemente ao campo da gravidade terrestre. Com isso, essas observações estão referidas a um sistema astronômico local (figura 5). Azimute astronômico A a da direção é o ângulo medido no plano do horizonte entre o meridiano astronômico de P e o plano vertical que passa por P. É contado a partir do eixo X no sentido horário. Distância zenital ou ângulo zenital Z é o ângulo

11 medido no plano vertical entre a vertical local (direção do vetor gravidade) e a linha que une P a P. O módulo do vetor de posição s r de P em relação a P é igual a distância espacial s que representa o comprimento entre P e P. Operações de nivelamento geométrico, associadas à gravimetria, referem-se a vertical local, proporcionando diferenças de nível em relação às superfícies equipotenciais que passam pelos pontos nivelados. Medidas da gravidade e de gradientes da gravidade também se referem ao sistema astronômico local. A linha norte-sul é a projeção do meridiano astronômico do ponto no plano topográfico, que por definição é horizontal e tangente à superfície da Terra. FIGURA 5 SISTEMA ASTRONÔMICO LOCAL z (zênite) Z P P g r s A x (norte) y (leste) Vertical de P Linha vertical passante em P O sistema astronômico local possui as seguintes características (TORGE, 00, p. 39): a) origem em um ponto P na superfície física; b) coordenadas cartesianas, formando um sistema levógiro;

12 c) eixo z coincide com a direção da vertical local com sentido positivo na direção do zênite; d) eixo x é perpendicular ao eixo z e está contido no plano do meridiano astronômico do ponto P, com sentido positivo para o Norte astronômico; e) eixo y é perpendicular aos eixos x e z e é contado positivamente para o leste astronômico. Conforme a figura 5 o vetor posição entre P e P é dado por: x cos AsenZ r s = = y s senasenz z cos Z (4) geodésicas. O sistema astronômico local é utilizado em aplicações astronômicas e.6 SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS GEODÉSICAS Um sistema de coordenadas cartesianas geodésicas ou elipsóidicas é definido no elipsóide de revolução e possui as seguintes características: a) origem no centro do elipsóide; b) eixo Z coincide com o eixo de rotação do elipsóide; c) eixo X situa-se na intersecção do plano equatorial do elipsóide com o plano do meridiano de Greenwich; d) eixo Y é escolhido de forma que o sistema seja dextrógiro; Deve ser destacado que a expressão coordenadas geográficas elipsóidicas é corriqueira entre os usuários menos especializados ao invés de coordenadas geodésicas ou coordenadas elipsóidicas usuais para a comunidade geodésica.

13 3.7 COORDENADAS GEODÉSICAS OU ELIPSÓIDICAS As coordenadas geodésicas ou elipsóidicas são a latitude geodésica φ e a longitude geodésica λ, mostradas na figura 6 (TORGE, 980, p. 5). A latitude geodésica ou elipsóidica φ do ponto P é definida como o ângulo entre a normal ao elipsóide que passa por P e o plano equatorial elipsóidico. A longitude geodésica ou elipsóidica λ do ponto P é o ângulo formado entre o eixo e a projeção sobre o plano equatorial, da normal ao elipsóide nesse ponto. FIGURA 6 COORDENADAS GEODÉSICAS Z Normal de P λ = 0 λ O P φ φ = 0 Y X As coordenadas de um ponto na superfície física da Terra em relação ao elipsóide de revolução, ficam definidas em função de uma terceira coordenada, a altitude geométrica ou elipsóidica h (PP ), que é a distância medida sobre a normal, entre a superfície física da Terra e a superfície do elipsóide. A figura 7 mostra as coordenadas geodésicas ou elipsóidicas φ, λ e h.

14 4 FIGURA 7 SISTEMA DE COORDENADAS GEODÉSICAS Z Normal elipsóidica P h S.F. X O λ y P P φ z x elipsóide Y.8 SISTEMAS DE REFERÊNCIA CELESTES E TERRESTRES.8. IERS (International Earth Rotation Service) O IERS (International Earth Rotation Service ou Serviço Internacional de Rotação da Terra) foi estabelecido em 987 pela União Astronômica Internacional (IAU International Astronomical Union) e União Internacional de Geodésia e Geofísica (IUGG International Union of Geodesy and Geophisics) e começou a operar em 0 de janeiro de 988. O IERS coleta, analisa e modela observações de uma rede global de estações astronômicas e geodésicas operando permanente ou por um certo período. As técnicas de observações incluem Very Long Baseline Interferometry VLBI, Lunar Laser Ranging - LLR, Global Positioning System GPS, Satellite Laser Ranging - SLR e Doppler Orbitography and Radiopositioning Integrated by Satellite DORIS. O principal objetivo do IERS é servir as comunidades astronômicas, geodésicas e geofísicas fornecendo: - o International Celestial Reference System (ICRS) e sua realização, o International Celestial Reference Frame (ICRF); - o IERS Terrestrial Reference System (ITRS) e sua realização o IERS Terrestrial Reference Frame (ITRF);

15 5 - os parâmetros de rotação da Terra necessários para o estudo das variações da orientação da Terra e a transformação entre o ICRF e o ITRF; - dados geofísicos para interpretar variações no tempo e espaço no ICRF, ITRF ou nos parâmetros de orientação da Terra e modelar estas variações. - padrões, constantes e modelos, isto é, convenções, recomendados para serem adotados internacionalmente..8. Sistema de Referência Celeste Um sistema inercial é necessário a fim de descrever movimentos da Terra e de outros corpos celestes no espaço, inclusive satélites artificiais. Tal sistema é caracterizado pelas leis do movimento de Newton; pode estar em repouso ou em movimento linear uniforme sem rotação. Um sistema fixo ao espaço (sistema de referência celeste) representa uma aproximação a um sistema inercial e pode ser definido por convenções apropriadas: Conventional Inertial System (CIS - Sistema Inercial Convencional). As coordenadas da rede que materializam tal sistema são obtidas por Astronomia Esférica. A orientação espacial desta rede varia com o tempo e conseqüentemente é necessário modelar as oscilações. O Sistema de Referência Celeste Internacional ou International Celestial Reference System (ICRS), recomendado pelo IAU, é baseado na teoria geral da relatividade, com coordenadas referidas ao tempo atômico internacional. O ICRS aproxima-se de um sistema inercial convencional fixo ao espaço (Conventional Inertial System - CIS) com origem no baricentro do sistema solar. Assume-se que não existe rotação no sistema global..8.3 Sistema Equatorial As coordenadas do sistema de referência celeste são definidas pelo sistema de coordenadas equatoriais da Astronomia Esférica, mostrado na figura 8. Utiliza-se um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais com origem no centro de massa da

16 6 Terra (geocentro). O eixo Z coincide com o eixo de rotação da Terra. Os eixos X e Y estão no plano equatorial, com o eixo X apontando para o ponto vernal (γ) e o eixo Y formando um sistema dextrógiro. FIGURA 8 SISTEMA EQUATORIAL ASTRONÔMICO P N Z Esfera celeste r S γ O α δ Y X Plano equatorial P S As coordenadas do sistema equatorial são a ascensão reta e a declinação. A abscissa é a ascensão reta (α) que é o arco de equador celeste contado desde o ponto vernal até o meridiano do astro considerado. Varia de 0 h a 4 h. A ordenada é a declinação (δ) que é o arco de meridiano contado desde o plano do equador celeste até o astro considerado. Varia de 0 o a +/- 90 o, positiva no hemisfério norte e negativa no hemisfério sul. A posição de um corpo celeste S pode ser descrita também por suas coordenadas cartesianas X, Y, Z ou por suas coordenadas esféricas α, δ, r, sendo r a distância a partir da origem O. Tem-se a seguinte transformação: X cosα cosδ r = = Y r senα cosδ Z senδ (5)

17 7 Em Geodésia somente as direções para estrelas e fontes extragalácticas são importantes. Com r =, α e δ, descrevem a posição de S em uma esfera de raio unitário..9 DEFINIÇÃO E REALIZAÇÃO DE SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA Um sistema terrestre convencional (CTS - Conventional Terrestrial System) é um sistema cartesiano geodésico cuja origem está situada no centro de massa da Terra, portanto também pode ser chamado de global. Um sistema geodésico regional ou local não é geocêntrico e relaciona-se a um sistema terrestre convencional através de parâmetros de translação e rotação. Um Sistema Geodésico de Referência (SGR) é um CTS associado a constantes geométricas e físicas do campo da gravidade. A implantação de um SGR compreende etapas: a definição do sistema e a sua materialização. A definição do sistema de referência inclui a escolha de constantes, parâmetros (implícita a seleção do elipsóide de revolução) e convenções. O conjunto de parâmetros e convenções necessárias para definir em qualquer momento a origem e posição dos 3 eixos cartesianos no espaço, assim como parâmetros geométricos e físicos associados são referidos em inglês como system. A materialização do sistema é feita por um conjunto de coordenadas de estações, obtidas através de diferentes técnicas de posicionamento, criando a estrutura ou rede de referência (em inglês frame ). Nas redes de referência clássicas, a materialização da posição horizontal de pontos na superfície terrestre é feita através de métodos tradicionais como poligonação, triangulação, trilateração e o posicionamento altimétrico através de nivelamento geométrico ou trigonométrico. Como os posicionamentos horizontal e vertical, de precisão, não ocorrem simultaneamente, adotam-se duas redes geodésicas de referência, uma horizontal, que fornece a referência para coordenadas horizontais como latitude e longitude e outra vertical, referência para a altimetria.

18 8 A Geodésia tridimensional consiste no tratamento conjunto do posicionamento horizontal e vertical dentro do mesmo modelo matemático, e foi proposto por Bruns em 878 (TORGE, 00, p. ). Na prática, cálculos de posições tridimensionais não eram efetuados devido à baixa exatidão de desníveis obtidos trigonometricamente e ao desconhecimento da ondulação geoidal, necessária ao tratamento apropriado do nivelamento trigonométrico. A Geodésia tetradimensional iniciou com o descobrimento do movimento do pólo e com as primeiras observações de marés terrestres, tornando o posicionamento dependente do tempo (TORGE, 00, p. 3). Atualmente, variações na rotação da Terra e movimentos de placas tectônicas são regularmente observadas através de redes geodésicas globais e regionais. Nos sistemas de referência terrestres modernos, a materialização das coordenadas de pontos na superfície terrestre é feita através de técnicas espaciais de posicionamento de alta precisão, que fornecem medidas relacionadas a um sistema cartesiano tridimensional, com origem definida como geocêntrica. Estas coordenadas podem ser facilmente convertidas em coordenadas geodésicas: latitude, longitude e altitude, se adotada uma superfície de referência elipsóidica. Da mesma maneira que nas redes de referência clássicas, com posicionamento horizontal e vertical não simultâneos, para a maior parte das aplicações é necessário o conhecimento da ondulação geoidal N g (separação entre o Geóide e o elipsóide) ou a utilização de métodos independentes, como operações de nivelamento geométrico ou trigonométrico, para referenciar as altitudes relativamente ao Geóide..0 SISTEMAS GEODÉSICOS DE REFERÊNCIA GEOCÊNTRICOS E DE ORIENTAÇÕES LOCAIS.0. Datum Astro-Geodésico Horizontal Um exemplo de sistema de referência clássico é o Datum Astro-Geodésico Horizontal (DGH), definido através da escolha do elipsóide de revolução e do

19 9 posicionamento e orientação do referencial através de 6 parâmetros topocêntricos (COSTA, 999, p. 7): as duas coordenadas horizontais do ponto origem, um azimute inicial, a ondulação geoidal (N g ) e as duas componentes do desvio da vertical, sendo ξ a componente meridiana e a η a componente primeiro vertical. Chama-se datum astrogeodésico devido à determinação astro-geodésica da latitude e longitude da origem do sistema e do azimute de partida. A realização ou materialização do referencial é feita através do cálculo de coordenadas de pontos a partir de observações geodésicas de distâncias, ângulos e azimutes..0.. SAD 69 (South American Datum 969) O Sistema Geodésico SAD 69 (South American Datum 969) é realizado a partir de um conjunto de pontos geodésicos implantados na superfície do país e constituía-se até o início de 005, no referencial geodésico oficial para a determinação de coordenadas no território brasileiro. Para o SAD 69, a imagem geométrica da Terra é definida pelo Elipsóide de Referência Internacional de 967, aceito pela Assembléia Geral da Associação Geodésica Internacional, que ocorreu em 967, cujo semi-eixo maior a é m e o achatamento f é /98, aproximado para o valor /98,5 (IBGE, 983, p. ). O referencial altimétrico coincide com a superfície equipotencial que contém o nível médio do mar, definido pelas observações maregráficas tomadas no Porto de Imbituba, no litoral do Estado de Santa Catarina, no período de 949 a 957. Existe uma sub-rede altimétrica no Amapá, vinculada ao marégrafo de Santana. O SAD 69 foi estabelecido antes das técnicas espaciais de posicionamento, sendo portanto um sistema de referência clássico, de caráter regional ou local devido sua orientação topocêntrica no Datum de Chuá, não existindo coincidência entre o centro do elipsóide e o centro de massa da Terra, distantes aproximadamente 77 m. Anteriormente à implantação do SAD 69, utilizava-se no Brasil o Sistema

20 0 Geodésico Hayford/Córrego Alegre, ainda empregado em muitas cartas disponíveis no país, sendo definido com base no elipsóide internacional de 930, cujos parâmetros são f =/97 e a = m, sendo o ponto origem em Córrego Alegre, Minas Gerais. A transformação de coordenadas de um Sistema Geodésico em outro é feita utilizando-se as equações simplificadas de Molodenskii, conforme formulação apresentada em IBGE (983, p. 0). Naturalmente, estas transformações são afetadas em precisão pela precisão das realizações dos sistemas e distorções das redes..0. Sistemas de Referência Terrestres Como ênfase ao discutido na seção.8., destaca-se que a definição de um sistema de referência terrestre é feita através da adoção de um SGR fundamentando-se em um CTS. Deriva-se de observações do campo da gravidade terrestre a partir de observações a satélites e definido por modelos, parâmetros e constantes. De tempos em tempos é adotado um novo SGR pela IUGG/IAG, baseado nas últimas informações sobre o campo gravitacional terrestre e em aspectos geodinâmicos como a tectônica de placas. A XVII Assembléia Geral da IUGG, realizada em dezembro de 979, adotou o GRS80 (Geodetic Reference System 980), atualmente em vigor, definido pelas constantes (DGFI, 003): raio equatorial terrestre (equivalente ao semi-eixo maior a do elipsóide de referência), o coeficiente -C 0 = J do desenvolvimento em harmônicos esféricos do geopotencial (potencial da gravidade da Terra), vinculado ao achatamento terrestre (f), constante gravitacional geocêntrica GM (sendo M a massa da Terra), e a velocidade de rotação da Terra (ω). Destaque-se que a imposição dos coeficientes do geopotencial de grau e ordens 0 e como iguais a zero (estes coeficientes são associados aos momentos de primeira ordem ou coordenadas do baricentro) estabelece a condição de orientação geocêntrica. O GRS80 é compatível com as constantes astronômicas do sistema 976 IAU (International Astronomical Union). Maiores detalhes sobre os valores das constantes podem ser encontrados em TORGE (00). A materialização de um sistema de referência terrestre geocêntrico também é

21 feita através de redes geodésicas. Os métodos utilizados no estabelecimento de coordenadas são as técnicas espaciais de posicionamento e orientação, como o VLBI, o SLR, o GPS, o LLR (Lunar Laser Ranging) e o DORIS. Estas técnicas possuem duas vantagens em relação às terrestres: o posicionamento tridimensional de uma estação geodésica e a alta precisão fornecida às coordenadas, surgindo como conseqüência uma quarta componente associada, a época t de obtenção das coordenadas. Assim as coordenadas das estações que compõem a materialização de um sistema de referência terrestre geocêntrico, possuem quatro componentes, três de definição espacial e uma de definição temporal. Um exemplo de um sistema de referência terrestre geocêntrico é o ITRS (IERS Terrestrial Reference System) que é realizado para certas épocas (por exemplo, 99, 994, 997, 000) através do ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame)..0.. ITRS (IERS Terrestrial Reference System) SAD 69. O ITRS deve atender as condições de um CTS. A tabela apresenta os parâmetros definidores do SGR80, do WGS 84 e do TABELA PARÂMETROS DEFINIDORES DO SGR80, WGS 84 E SAD 69 Parâmetros Abrev. SGR80/SIRGAS WGS 84 SAD 69 Semi-Eixo Maior (m) a Achatamento /f 98,570 98, ,5 Velocidade Angular (rad/s) x 0 - ω 795,0 795, Constante Gravitacional Geocêntrica (m 3 /s ) x 0 8 GM 0, , , Esferopotencial (Gal.m x 0 3 = u.g.p. = 0m /s ) U , , Coeficiente Harmônico do Segundo Grau J FONTES: adaptado de DGFI (003); NIMA (003); IBGE (983).

22 .0.. ITRF (IERS Terrestrial Reference Frame) O ITRS é materializado periodicamente por sucessivos ITRF, devido à variação temporal das coordenadas das estações, com isso sua denominação vem sempre acompanhada do ano em que foi estabelecido (IBGE, 000, p. 0). A materialização do ITRS consiste de um conjunto de coordenadas cartesianas e velocidades das estações, e a MVC (matriz variância-covariância) completa destes parâmetros. Os parâmetros de posição (coordenadas e velocidades) são produzidos a partir de uma combinação de um conjunto de coordenadas e velocidades através das mais precisas técnicas de posicionamento, por VLBI, SLR, LLR, GPS ou DORIS, provenientes de vários centros de análises. O motivo de combinar os resultados de várias técnicas diferentes é evitar erros sistemáticos oriundos de uma técnica específica, sendo a combinação a única maneira de se obter confiabilidade e precisão. Atualmente as soluções ITRFyy são publicadas no Technical Notes IERS. A mais recente materialização do ITRS, é o ITRF000, que consiste de um conjunto de coordenadas cartesianas, acompanhadas de suas respectivas velocidades. Fazem parte desta realização aproximadamente 800 estações, em cerca de 400 localidades no globo, cujas coordenadas foram determinadas por uma ou mais técnicas espaciais: DORIS, GPS, LLR, SLR e VLBI. Os subconjuntos das posições ajustadas do ITRF000 (997,0) e suas velocidades estão disponíveis aos usuários na internet pelo endereço Um dos objetivos da solução ITRF000 foi a sua densificação. As redes regionais de densificação no ITRF000 são Alaska, CORS (Continuosly Operating Reference System), EUREF (EUropean REference Frame), REGAL (REseau GPS permanent dans lês ALpes), RGP (Reseau GPS Permanent), SCAR (Scientific Committee on Antarctic Research) e SIRGAS (SIstema de Referência Geocêntrico para as AméricaS). A rede geodésica européia EUREF consiste em um conjunto de estações cujas coordenadas são determinadas por GPS, DORIS, LLR, SLR e VLBI. Desde a semana yy especifica os dois últimos dígitos do último ano cujos dados contribuíram para a realização em consideração, sendo exceção a versão do ano 000, o ITRF000.

23 3 GPS 834 (jan. 996) a EUREF proporciona um ajustamento semanal da rede européia, com coordenadas expressas no sistema ITRF (GATTI; STOPPINI, 000, p. 5). O NGS (National Geodetic Survey) coordena a rede CORS (NGS, 00), e contribui com 80 estações cujas posições são determinadas por GPS, nos Estados Unidos da América e seus territórios. Novas estações são avaliadas para inclusão, mensalmente, conforme critérios de seleção pré-estabelecidos. A rede SCAR (SCAR, 00) colabora com um conjunto de 53 estações de diferentes países, na região Antártica. A rede REGAL (IGN, 00) é mantida com a colaboração científica das Universidades de Nice, Grenoble, Chambéry, Montpellier, além do IGN (Institut Géographique National) e IPSN (Institut de Protection et de Sürete Nucléaire). É constituída por estações GPS em operação permanente, instaladas nos Alpes francoitalianos, com a finalidade de medir deformações e determinar estruturas tectônicas, para melhor compreensão de relações sísmicas, da qual 8 estações participam do ITRF000. A RGP (LAREG, 00) é uma rede de estações distribuídas regularmente sobre o território francês, coletando dados GPS continuamente, sendo que 30 integram o ITRF000. Iniciou em 998 no LAREG (LAboratoire de REcherche em Géodésie) e desde novembro de 000 conta com o auxílio do SGN (Service de Géodésie et de Nivellement) do IGN. O Projeto SIRGAS, estabelecido em outubro de 993, em uma reunião realizada em Assunção, Paraguai, teve por objetivos iniciais a definição e realização de um sistema de referência geocêntrico para as Américas, bem como realizar ações para a manutenção da rede de referência. A estes objetivos foram incorporados os de dar consistência da rede SIRGAS com um sistema global de altitudes, vinculando as diversas redes altimétricas sul-americanas. Desde a sua criação o projeto contou com o apoio de várias instituições internacionais e contribuição de todos os países sulamericanos. Nesta reunião, decidiu-se adotar inicialmente o ITRF93 e o elipsóide GRS80, além de estabelecer e manter uma rede de referência e um Datum Geocêntrico.

24 4 Nos meses de maio e junho de 995 foi realizada a primeira parte do projeto, estabelecendo-se uma rede GPS de alta precisão com 58 estações (rede SIRGAS) na América do Sul, cujas coordenadas estão referidas ao ITRF94, época 995,4 (IBGE, 000, p. 0). A campanha GPS SIRGAS 000 estabeleceu a extensão da rede às três Américas, com 87 estações, incluindo entre estas estações GPS pontos próximos aos marégrafos de referência das redes verticais sul-americanas, bem como pontos de conexão de redes altimétricas na América do Sul. O processamento foi efetuado nos centros de processamento SIRGAS no IBGE (Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística) e no DGFI (Deutsches Geodätisches Forschungsinstitut). A adoção do SIRGAS no Brasil veio garantir a qualidade dos levantamentos, principalmente àqueles baseados em técnicas do GPS. Deve-se ter em mente que a manutenção do referencial SAD 69, cuja precisão é pelo menos 0 vezes inferior que a fornecida pelo GPS, causa no mínimo desperdício de recursos. Para aplicações cartográficas, a realização atual do WGS 84 (G50) pode ser considerada coincidente com as realizações do ITRS, os ITRFyy, bem como com o SIRGAS 000, que enfatiza-se ser uma densificação do ITRF000 na América do Sul para a época 000,4 (IBGE, 005, p. 3). A transformação de coordenadas entre o ITRF000 e outras materializações deve ser feita com a utilização de parâmetros de transformação e tratando-se de referenciais de alta precisão referidos a uma mesma época, utiliza-se a transformação de Helmert. No caso dos referenciais possuírem épocas distintas, existe a necessidade de considerar a taxa de variação das coordenadas com relação ao tempo. Neste caso a transformação de Helmert não é suficiente e aplica-se a transformação de Helmert generalizada, que em sua forma completa envolve 4 parâmetros de transformação (os sete parâmetros da transformação de similaridade e suas respectivas variações temporais). A aplicação da transformação de Helmert generalizada toma as coordenadas de um ponto P associadas a um referencial ITRFyy, numa época de

25 5 referência (t 0 ), permitindo a obtenção das coordenadas deste ponto referenciadas a um ITRFzz numa outra época de referência (t). Para a aplicação da transformação de Helmert generalizada também deve ser conhecida a velocidade da estação. De acordo com MONICO (000, p. 9), nos casos em que uma realização particular não proporcionar as componentes da velocidade da estação, deve-se fazer uso da teoria de placas tectônicas, conforme ilustra a figura 9, utilizando o modelo recomendado pelo IERS. Atualmente, o modelo recomendado é o NNR-NUVEL-A (No Net Rotation Northwestern University VELocity model A), que apesar de apresentar deficiências, impõe a condição de não existir rotação na rede global, com respeito à crosta da Terra. Na atualidade os modelos geodésicos observacionais passaram a predominar na realização das redes globais em substituição aos modelos geofísicos. FIGURA 9 PLACAS TECTÔNICAS FONTE:< As diferenças entre as diferentes versões ITRFyy situam-se na ordem do centímetro, que são irrelevantes para fins cartográficos (IBGE, 000, p. ). A tabela mostra as coordenadas ITRF97 e ITRF000 das estações GPS FORT, localizada em Fortaleza e GPS BRAZ, em Brasília, Distrito Federal.

26 6 TABELA COMPARAÇÃO ENTRE ALGUMAS COORDENADAS NO ITRF97 E ITRF000 Estação Y (m) X (m) Z (m) GPS FORT ITRF , , ,584 GPS FORT ITRF , , ,587 GPS BRAZ ITRF , , ,53 GPS BRAZ ITRF , , ,53 Fonte: adaptado de WGS 84 (World Geodetic System 984) O WGS 84 é o sistema de referência utilizado pelo GPS (MONICO, 000, p. 77). Na época da sua criação o sistema fornecia precisão métrica em função da limitação fornecida pela técnica de observação utilizada, o Doppler. Posteriormente foram realizadas três atualizações para melhorar a sua precisão, a primeira recebeu a denominação WGS 84 (G730), onde a letra G indica o uso da técnica GPS e 730 refere-se a semana GPS da solução. A segunda versão chama-se WGS 84 (G873). A terceira e atual versão apresentada pelo NIMA National Imagery and Mapping Agency (003) é denominada WGS 84 (G50). A definição do WGS 84 (Tabela ) é a mesma do ITRS, a menos do modelo global de maré gravimétrica que considera o efeito da maré permanente, implicando em ligeira diferença no achatamento (/f = 98,573563), sendo portanto um CTS. Para o usuário o WGS 84 é materializado pelos satélites, com todos os erros variáveis no tempo Atual sistema geodésico brasileiro: SIRGAS000 Em fevereiro de 005 (IBGE, 005), o IBGE, responsável pela definição, implantação e manutenção do Sistema Geodésico Brasileiro (SGB) estabeleceu o SIRGAS em sua realização do ano 000 (SIRGAS000) como novo sistema de referência geodésico para o SGB. A adoção do SIRGAS000 no Brasil garante a qualidade dos levantamentos GPS, devido à necessidade de um sistema de referência geocêntrico compatível com a

27 7 precisão dos métodos e técnicas de posicionamento atuais e com os demais sistemas adotados em outros países. O SIRGAS000 apresenta as seguintes características: a) Definições de base: as do ITRS. b) Figura geométrica para a Terra: Elipsóide do GRS80 com a = m, f = /98,570, além dos parâmetros físicos já apresentados na tabela. c) Origem: centro de massa da Terra. d) Orientação: pólos e meridiano de referência consistentes em +/- 0,005 com as direções definidas pelo então BIH (Bureau International de l Heure) em 984,0. e) Estações de Referência: as estações da rede continental SIRGAS, estabelecidas no Brasil e a estação SMAR, pertencente à Rede Brasileira de Monitoramento Contínuo GPS (RBMC), cujas coordenadas estão disponíveis no endereço f) Época de referência: 000,4. g) Materialização: estabelecida por meio de todas as estações que compõem a Rede geodésica Brasileira, implantadas a partir das estações de referência. h) Velocidades das estações: em aplicações científicas, para atualizar as coordenadas de uma estação da época de referência 000,4 para outra época e vice-versa, deve-se utilizar o campo de velocidades disponibilizado para a América do Sul, no endereço devido a variações provocadas pelo deslocamento da placa tectônica da América do Sul. i) Referencial altimétrico: coincide com a superfície equipotencial do campo da gravidade da Terra que contém o nível médio do mar definido pelas observações maregráficas tomadas no porto de Imbituba, no litoral de Santa Catarina, de 949 a 957. A figura 0 ilustra a rede da campanha SIRGAS em 000.

28 8 FIGURA 0 A REDE SIRGAS000 Fonte: TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS EM DIFERENTES SISTEMAS GEODÉSICOS A transformação de coordenadas em um Sistema Geodésico para outro pode ser efetivada através da transformação de similaridade, afim geral, etc. Naturalmente, estas transformações estarão afetadas em precisão devido à qualidade das realizações dos sistemas e distorções das redes. A resolução PR nº., de de julho de 983 apresenta as especificações e normas gerais e estabelece tolerâncias e critérios para a execução de Levantamentos Geodésicos no território brasileiro. Conforme esta resolução a transformação de coordenadas em diferentes sistemas geodésicos deve ser feita segundo as equações simplificadas de Molodenskii. Um exemplo prático de aplicação dessas equações é a transformação de coordenadas referidas ao WGS 84, obtidas através de observações GPS, em coordenadas referidas ao SAD 69. Tanto a resolução PR nº., como a resolução nº. 3, de de fevereiro de 989, apresentam os parâmetros de transformação entre alguns sistemas geodésicos. A

29 9 resolução n o. 3, de de fevereiro de 989, do IBGE, apresenta também uma seqüência de cálculo para transformação de coordenadas em diferentes sistemas geodésicos de referência a partir de coordenadas cartesianas tridimensionais. Um grande conjunto de parâmetros de transformação entre sistemas nacionais e o WGS84 está disponível em: TRANSPORTE DE COORDENADAS GEODÉSICAS Chama-se de Problema Direto, ao transporte de coordenadas no elipsóide de revolução, quando são dadas as coordenadas de um ponto P do elipsóide (φ, λ), a distância (s) a um segundo ponto P e o respectivo azimute (A g ) e deseja-se obter as coordenadas do segundo ponto (φ, λ ) e o azimute da direção P -P (A g ). Para tanto, requer o cálculo de Δφ, Δλ e ΔA g que somados às quantidades conhecidas do ponto P, resultarão nas quantidades procuradas do ponto P : φ, λ e A g. A figura ilustra os elementos do Problema Direto. FIGURA ELEMENTOS DO PROBLEMA DIRETO Meridiano de P Meridiano de P A g P(φ,λ) s P (φ, λ ) =? A g O Problema Inverso (figura ) é aquele em que são conhecidas as coordenadas de dois pontos P e P do elipsóide, respectivamente (φ, λ) e (φ, λ ) e deseja-se calcular a distância geodésica entre os mesmos (s) e os respectivos azimutes (A g e A g ).

30 30 Existem várias propostas para as soluções dos problemas direto e inverso da Geodésia, dentre elas: Puissant, Sodano, Integrais Elípticas, etc.. Uma visão bastante abrangente de propostas para solução destes problemas pode ser obtida de BOMFORD (97). FIGURA ELEMENTOS DO PROBLEMA INVERSO Meridiano de P Meridiano de P A g P(φ,λ) s =? P (φ, λ ) A g =? As fórmulas de Puissant são assim chamadas em homenagem ao matemático francês que as demonstrou. Sua demonstração está baseada sobre uma esfera auxiliar tangente ao elipsóide, com raio coincidindo com o raio de curvatura da seção primeiro vertical. De acordo com BOMFORD (97, p. 34) essas fórmulas são consideradas com precisão de ppm (parte por milhão) em até 80 km. Em 958, Emmanuel Sodano apresentou fórmulas que fornecem uma solução não iterativa para os problemas direto e inverso da Geodésia, de fácil programação computacional, além de equações auxiliares que visam garantir alto grau de acurácia para qualquer linha geodésica, não importando seu comprimento. SANTOS Jr. (00) mostra que a utilização de integrais elípticas para a solução dos problemas direto e inverso da Geodésia conduz a soluções matematicamente rigorosas, com discrepâncias insignificantes do ponto de vista geométrico, entre a solução direta e a inversa, para qualquer distância. Exemplos para linhas com comprimento de até 60 km podem ser obtidos em Série de Ciências Geodésicas v. e

31 3 exemplos para quaisquer distâncias em (SANTOS Jr, 00)..3 REDUÇÕES A SEREM APLICADAS NAS MEDIDAS GEODÉSICAS Em Geodésia, entende-se por redução o transporte de grandezas (ângulos e distâncias) medidas na superfície da Terra a seus correspondentes valores para a superfície de referência, que normalmente é o elipsóide de revolução (ZAKATOV, 98, p. 43). Algumas vezes tem-se o procedimento inverso, a obtenção de valores de grandezas conhecidas na superfície de referência para a superfície terrestre. O problema será mais complexo na proporção que a superfície terrestre se afaste da superfície de referência. Se as superfícies forem próximas e aproximadamente paralelas, as grandezas calculadas na superfície de referência serão próximas dos valores medidos na superfície terrestre, e conseqüentemente as reduções serão menores e de menor complexidade..4 REDUÇÕES A SEREM APLICADAS NAS DISTÂNCIAS A evolução dos medidores eletrônicos de distâncias (MED) não só simplificou as medições de precisão, como as tornaram práticas e economicamente viável. As reduções a serem aplicadas nas medidas de distâncias com MED são de 3 tipos: as correções devidas ao instrumental; as correções atmosféricas;e as correções ou reduções geométricas. As correções devidas ao instrumental são aquelas devidas à constante de adição e a de escala causada pelo desvio de freqüência do oscilador eletrônico do MED. As correções atmosféricas são aquelas devidas à velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas em função de temperatura, pressão do ar e índice de refração, e a correção de curvatura dos raios (considerada somente em distâncias maiores que 50 km). As correções ou reduções geométricas são: a redução da distância inclinada ao elipsóide, a correção de curvatura e as distorções devidas ao sistema de projeção.

32 3 Tanto as correções instrumentais como as correções atmosféricas possuem características próprias para cada MED, sendo dadas usualmente por equações ou ábacos fornecidos pelo fabricante, e por este motivo este trabalho se atém nas reduções geométricas. Maiores detalhes sobre as duas primeiras correções podem ser vistas em FAGGION (00) ou RÜEGER (996)..4. Redução da Distância Inclinada ao Elipsóide Para efetuar a redução da distância inclinada medida na superfície física ao elipsóide é necessário conhecer as altitudes geométricas dos pontos. A redução, ilustrada na figura 3, pode ser dada diretamente pela equação (6) ou pelas equações (7) e (8) (SCHERRER, 99?, p. 6): D 0 D ( ΔH ) = (6) H A H B ( + )( + ) R R m m Onde: D 0 = distância ao nível do elipsóide D = distância inclinada medida na superfície H A, H B = altitudes geométricas dos pontos A e B ΔH = H A - H B R m = raio médio de curvatura ou D m 4 ΔH ΔH = D ( ) (7) 3 D 8D D 0 H m = Dm ( ) (8) R + H m m

33 33 Sendo: D m = distância na altitude geométrica média de A e B H m = altitude geométrica média FIGURA 3 - REDUÇÃO DA DISTÂNCIA INCLINADA AO ELIPSÓIDE D B A H B H A D 0.4. Correção da Curvatura Como a Terra tem uma superfície curva deve-se reduzir a distância D 0 que está ao nível do elipsóide a uma superfície curva (SCHERRER, 99?, p. 7), conforme figura 4. FIGURA 4 CORREÇÃO DA CURVATURA D E D 0 D0 D E = D0 ( + ) (9) 4R Onde: D E = distância na superfície do elipsóide

34 34.5 REDUÇÕES A SEREM APLICADAS NAS MEDIDAS DE ÂNGULOS A medida de ângulos horizontais também passou por uma evolução com o surgimento dos teodolitos eletrônicos, tornando-se muito mais rápida. As principais reduções a serem aplicadas nos ângulos medidos sobre a superfície terrestre são as devidas à convergência meridiana e ao desvio da vertical..5. Correção para Passar da Seção Normal à Linha Geodésica O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de reta, na esfera, um arco de circunferência máxima e no elipsóide de revolução a linha geodésica. Geodésica é a linha jacente em uma superfície, tal que em todos os seus pontos, o plano osculador é normal à superfície, ou em todos os seus pontos a normal principal coincide com a normal à superfície (GEMAEL, 987). Duas seções normais recíprocas sobre a superfície do elipsóide de revolução formam entre si um ângulo θ. Se fosse possível instalar um teodolito sobre a superfície do elipsóide as medidas angulares se refeririam às seções normais. Mas é necessário transformar as medidas correspondentes às seções normais em medidas angulares correspondentes à linha geodésica. A figura 5 mostra duas seções normais recíprocas e a correspondente geodésica. A linha geodésica s divide o ângulo θ formado entre duas seções normais recíprocas na razão :. Portanto, o ângulo formado pela linha geodésica e a seção normal direta de P para P corresponde a /3 do ângulo formado pelas seções normais recíprocas. E, o ângulo formado pela linha geodésica e a seção normal recíproca de P para P é /3 do ângulo formado pelas seções normais recíprocas.

35 35 FIGURA 5 SEÇÕES NORMAIS RECÍPROCAS E A LINHA GEODÉSICA N θ/3 θ/3 A g A S Linha geodésica Seção normal direta de para θ/3 θ/3 O ângulo θ entre a seção normal e a linha geodésica é dado por: θ e' ( s) senassenφ = ( sena cos ) s φ (0) 3 4b 4b Sendo: e = segunda excentricidade do elipsóide de revolução; b = semi-eixo menor do elipsóide de revolução; φ = latitude geodésica; s = comprimento da geodésica; A s = azimute da seção normal direta. A transformação do azimute de uma seção normal direta (A s ) no azimute da correspondente geodésica (A ) é fornecida pela equação, considerando-se o azimute contado a partir do Norte, no sentido horário: θ A g = A s () 3

36 36.5. Convergência Meridiana Convergência meridiana (γ) é a variação do azimute de uma geodésica em relação a dois meridianos, devido à convergência destes para os pólos. A figura 6 ilustra azimute e contra-azimute de uma direção na superfície do elipsóide de revolução. FIGURA 6 AZIMUTE E CONTRA-AZIMUTE DE UMA DIREÇÃO P N Ag Ag Existem diferentes fórmulas para o cálculo da convergência meridiana, em função de coordenadas geodésicas, UTM ou plano-retangulares do sistema topográfico local, definido pela NBR 466 Rede de Referência Cadastral Municipal Procedimento. O cálculo da convergência meridiana a partir das coordenadas geodésicas é feito pelas seguintes equações (ABNT, 998, p. 6): Δφ 3 γ = [ Δλsenφ m sec + F( Δλ) ] ()

37 37 Onde: Δ λ = λ' λ (3) Δ φ = φ' φ (4) F senφ m cos φ sen '' = m (5) Sendo: γ = convergência meridiana no ponto P considerado; φ = latitude geodésica do ponto P; φ = latitude geodésica do ponto P ; λ = longitude geodésica do ponto P; λ = longitude geodésica do ponto P ; φ m = latitude média entre os dois pontos considerados P e P. Considerando-se latitudes negativas no Hemisfério Sul e longitudes negativas a oeste de Greenwich a convergência meridiana assume valores positivos para azimutes maiores que 80º, o que indica que o segundo ponto está a oeste do primeiro; para azimutes menores que 80º a convergência meridiana será negativa. Conhecendo-se a convergência meridiana obtém-se o contra-azimute de uma direção, e com o ângulo horizontal entre as duas direções consecutivas envolvidas, calcula-se o azimute da direção seguinte, conforme as equações: A = A γ (6) g g A A α (7) g 3 = g Sendo: A g = azimute da direção -; A g = contra-azimute da direção -;

38 38 A g3 = azimute da direção -3; γ = convergência meridiana entre os pontos e ; α = ângulo horizontal no sentido anti-horário entre as direções - e -3. A figura 7 ilustra como se obtém o azimute de uma direção, a partir do contraazimute da direção anterior. FIGURA 7 CÁLCULO DO AZIMUTE DE UMA DIREÇÃO A PARTIR DO CONTRA-AZIMUTE DA DIREÇÃO ANTERIOR Tangente em Meridiano em Tangente em Meridiano em γ Paralela tangente em A g 3 A g α A g Desvio da Vertical Todos os corpos na Terra acham-se sujeitos à força da gravidade, que é resultante da força de atração exercida pelas massas terrestres e da força centrífuga decorrente do movimento de rotação. O campo da gravidade é um campo conservativo, dotado de geopotencial ou potencial da gravidade W, resultante da soma do potencial de atração gravitacional e do potencial centrífugo.

39 39 As superfícies equipotenciais (potencial da gravidade W = constante) do campo da gravidade, são denominadas geopes, e o geóide tem como uma de suas definições a de ser o geope melhor ajustado ao nível médio dos mares em todo o globo. Como a distribuição de massas não é homogênea, os geopes são superfícies suavemente irregulares, e perpendiculares em todos os seus pontos às linhas de força do campo da gravidade. Em cada ponto, o vetor gravidade é tangente à linha de força do campo da gravidade. A direção do vetor gravidade determina a vertical do ponto que é utilizada como referência física nos equipamentos de medição utilizados em Topografia e Geodésia. Denomina-se desvio da vertical (i) ao ângulo formado, em certo ponto, pelas normais à superfície equipotencial que passa pelo ponto e ao elipsóide, isto é, o ângulo entre a vertical e a normal (figura8). As coordenadas astronômicas estão relacionadas com a vertical em um ponto. As coordenadas geodésicas são obtidas utilizando os dados de observação, GPS por exemplo. FIGURA 8 - DESVIO DA VERTICAL i Vertical do ponto Superfície física Geóide Linha de campo Elipsóide normal

40 40 Os cálculos geodésicos para obtenção das coordenadas dos vértices são efetuados sobre o elipsóide. Porém, as observações são executadas com um aparelho colocado em uma estação, que se refere à direção da vertical astronômica, que não é normal ao elipsóide. O cálculo do desvio da vertical não é feito diretamente, mas sim através de suas componentes ξ e η chamadas respectivamente de componente meridiana e componente º vertical (GEMAEL, 999, p. 9). Segundo FEATHERSTONE e RÜEGER (000, p. 50) o desvio da vertical possui seis utilizações principais em levantamentos de campo: a) transformação entre coordenadas astronômicas e geodésicas; b) transformação de azimutes astronômicos ou azimutes determinados com giroteodolito em azimutes geodésicos; c) redução de direções horizontais e ângulos medidos ao elipsóide; d) redução de ângulos zenitais medidos ao elipsóide; e) redução de distâncias inclinadas medidas eletronicamente ao elipsóide, através de ângulos zenitais; f) determinação de diferenças de altura a partir de ângulos zenitais e distâncias inclinadas. A determinação do desvio da vertical ainda requer esforços relativamente grandes, tanto pelo trabalho, como pelo tempo despendido, conduzindo a um alto custo por ponto. Atualmente, são usualmente aplicados quatro métodos de determinação do desvio da vertical. O primeiro, e mais conhecido, é o método astro-geodésico, onde as componentes do desvio da vertical são determinadas através de coordenadas astronômicas e geodésicas em um mesmo ponto. Inicialmente restrito a áreas continentais e relativo, na medida em que as coordenadas geodésicas eram vinculadas a um Datum local e uma dada superfície de referência. O desenvolvimento da tecnologia em sensores de imagem (CCD) permitiu a revitalização do método astrogeodésico. Usando esta moderna tecnologia de visualização de estrelas e um receptor GPS é possível determinar o desvio da vertical através de um procedimento totalmente

41 4 automatizado, em tempo-real, através de uma câmera digital zenital, como por exemplo a TZK-D (HIRT, 004). Com esta configuração, o método pode ser entendido como apto a fornecer resultados absolutos. Outro método é o gravimétrico (GEMAEL, 999, p. 49), onde o desvio da vertical é obtido em função de anomalias da gravidade, através da fórmula de Venning-Meinesz. Um terceiro método de determinação do desvio da vertical é o método astro-gravimétrico (GEMAEL, 999, p. 77), que conjuga determinações astro-geodésicas com gravimétricas. Um quarto método de obtenção do desvio é através de medidas GPS/LPS, utilizando-se do Problema Procrustes simples (GRAFAREND e AWANGE, 000) para o cálculo. Deve ainda ser enfatizado que os métodos podem ser absolutos ou relativos a um ponto origem, na medida em que os SGRs tenham caráter global ou local. No presente trabalho serão apenas abordadas formas relativas de determinação. O desvio da vertical pode ser classificado em absoluto quando se refere a um elipsóide geocêntrico e relativo quando se refere a um elipsóide local. Dependendo da orientação, forma e tamanho do elipsóide utilizado o desvio da vertical pode chegar a 0 em planícies e 70 em regiões acidentadas (FEATHERSTONE e RÜEGER, 000, p. 47) Método astro-geodésico de determinação do desvio da vertical No método astro-geodésico as componentes do desvio da vertical são determinadas através de coordenadas astronômicas e geodésicas obtidas em um mesmo ponto. Demonstra-se que (GEMAEL, 999, p. 9): ξ = Φ φ (8) η = ( Λ λ) cosφ (9) η = ( A A ) cot gφ (0) a g

42 4 Tem-se em (8), (9) e (0) que: ξ = componente meridiana η = componente o vertical Φ = latitude astronômica φ = latitude geodésica Λ = longitude astronômica λ = longitude geodésica A a = azimute astronômico A g = azimute geodésico As equações (8) e (9) permitem transformar grandezas astronômicas em geodésicas, conhecidas as componentes do desvio da vertical, ou possibilitam a determinação das componentes do desvio da vertical, desde que sejam conhecidas as coordenadas astronômicas e geodésicas em uma mesma estação, pelo método astrogeodésico. Para obter-se o desvio da vertical i faz-se: i =η +ξ () Através das equações (9) e (0) obtém-se: A = A ( Λ λ senφ () g a ) A equação () é a Equação simplificada de Laplace e permite transformar um azimute astronômico em azimute geodésico. Os vértices geodésicos em que são efetuadas determinações astronômicas de azimute e longitude recebem o nome de Pontos de Laplace. A equação de Laplace era utilizada em vértices das redes geodésicas clássicas de triangulação, para controlar a suas orientações.

43 43 O método astro-geodésico determina o desvio da vertical necessário ao cálculo da ondulação geoidal N g, comparando coordenadas geodésicas com coordenadas astronômicas. É restrito às áreas continentais, além de conduzir a valores relativos que dependem das coordenadas do datum e dos parâmetros elipsoidais, como já destacado Determinação do desvio da vertical através de câmera zenital digital Recentemente, o desenvolvimento de nova tecnologia em sensores de imagem permitiu aperfeiçoamentos em instrumentos para observações astro-geodésicas conseguindo-se eficiência, automação, acurácia e capacidade de determinação em tempo-real, a custos razoáveis. Com o desenvolvimento em sensores de imagem CCD, no início dos anos 90, os filmes fotográficos de altos custos foram substituídos por imagens digitais. Um sistema que utiliza moderna tecnologia CCD para visualização de estrelas integrado com um receptor GPS, permite a determinação do desvio da vertical através de um processo totalmente automatizado e em tempo-real (HIRT, C. e BÜRKI, B., 006). Trata-se do sistema câmera digital zenital, que contém os seguintes elementos: a) uma lente direcionada para o zênite; b) um sensor CCD usado para visualização de estrelas; c) um receptor GPS para determinação do tempo e das coordenadas geodésicas; d) dois níveis eletrônicos de alta resolução que referenciam o sistema à vertical; e) um computador usado como dispositivo de direção e processamento de dados on-line através de software próprio. Existem dois sistemas relevantes para descrição neste trabalho, já que existe a possibilidade de em futuro próximo serem utilizadas no Brasil. São as câmaras zenitais desenvolvidas no IFE (Institut für Erdemessung) na Universidade de Hannover e em uso atualmente: a câmera zenital TZK-D; e a câmera TZK 000, que foi adquirida e complementada pelo GGL (Geodesy and Geodynamics Laboratory) do Instituto de Tecnologia Federal da Suíça. As maiorias das partes óticas e mecânicas dos dois sistemas são idênticas contudo existem algumas diferenças:

44 44 a) o nivelamento da câmera digital TZK-D, utilizada pelo IFE, é feito manualmente por 3 parafusos calantes em níveis eletrônicos, assim como a mudança da orientação para a segunda posição da câmera; b) o sistema TZK 000, operado pelo GGL, possui nivelamento, controle azimutal, compensação de foco e aquisição de tempo por GPS automaticamente monitorados por computador. Para isto cinco motores foram acoplados ao sistema, três na posição vertical acima dos parafusos calantes, realizam o nivelamento automático por meio do computador. Os outros dois motores são utilizados para o foco automático e rotação azimutal entre a primeira e segunda posição da câmera durante a observação. A figura 9 ilustra a câmera digital TZK-D. FIGURA 9 CÂMERA DIGITAL TZK-D Fonte: O corpo da câmera TZK-D é composto por uma estrutura inferior fixa e acoplada ao tripé, e uma estrutura superior que contém as lentes, o sensor CCD e os níveis eletrônicos, sendo separada da estrutura inferior por uma esfera especial que permite uma rotação azimutal de 80º, para a realização de medidas em duas posições opostas da câmera. A principal vantagem da utilização da tecnologia CCD é a disponibilidade instantânea da imagem, permitindo o processamento digital, imediatamente após a

45 45 aquisição dos dados. Devido à alta sensibilidade dos sensores CCD é possível visualizar estrelas com magnitude 4, sendo que com uma versão fotográfica da câmera zenital eram possíveis observações de estrelas com magnitude até 0. Considerando-se os Parâmetros de Orientação da Terra, obtém-se o TU, que é a escala de tempo acoplado ao Tempo Sideral Médio de Greenwich (GMST) e ao Tempo Sideral Aparente de Greenwich (GAST) utilizado em Astronomia. Devido à alta acurácia dos sinais de tempo GPS, estes são utilizados para determinar as épocas das exposições. O sistema de tempo do GPS está relacionado ao TUC (Tempo Universal Coordenado). O TUC pode ser facilmente convertido no TU. Adicionalmente às medidas de tempo os receptores GPS fornecem as coordenadas geodésicas, por método relativo. As coordenadas astronômicas (Φ, Λ) descrevem posições na superfície da Terra e as coordenadas equatoriais (α, δ) definem posições de estrelas na esfera celeste. Ambos os sistemas estão unidos pelo GAST (ângulo Θ entre o meridiano de Greenwich e o ponto vernal) referidos ao eixo de rotação. A Astronomia usa a equivalência entre coordenadas astronômicas (Φ, Λ) e as coordenadas equatoriais (α, δ), para uma estrela localizada do zênite do observador, dados por: Φ = δ Λ = α Θ (3) Com isso se uma estrela é localizada no zênite, no tempo Θ, determinam-se as coordenadas astronômicas do observador. A direção do zênite, que coincide com a direção da linha vertical local, é interpolada por imagens de estrelas zenitais próximas. As coordenadas equatoriais das estrelas são extraídas de catálogos digitais como Tycho-, GSC ou UCAC. Devido à alta sensibilidade da câmera digital, que permite visualizar aproximadamente 4 milhões de estrelas com magnitude acima de 4 são necessários extensos catálogos estelares.

46 Determinação do desvio da vertical através de medidas GPS/LPS utilizando os fundamentos do Problema Procrustes simples Chama-se problema de orientação tri-dimensional a determinação da matriz de rotação (3 x 3) cujos parâmetros são a longitude astronômica Λ, a latitude astronômica Φ e a orientação horizontal Σ no plano horizontal. O relacionamento entre coordenadas no sistema astronômico local e coordenadas no sistema global geocêntrico, SIRGAS000 por exemplo, pode ser obtido a partir de medidas de posicionamento GPS e medidas de direções horizontais e verticais efetuadas por um teodolito em uma estação a pelo menos três alvos. Através do Problema Procrustes simples, ou Problema Procrustes parcial, obtém-se o relacionamento entre (Λ - λ) e (Φ - φ), e com isso as componentes do desvio da vertical. O Problema Procrustes simples só envolve rotações, e consiste de uma simplificação do Problema Procrustes geral que envolve rotações, translações, escala e reflexão. A partir de um levantamento GPS, obtêm-se as coordenadas cartesianas (X, Y, Z) da estação base e as coordenadas cartesianas (X i, Y i, Z i ) das estações alvo, no Sistema Global, formando um conjunto de vetores F, F, ], fixos ao centro de [ F3 massa da Terra. Adicionalmente, um levantamento efetuado com teodolito proporciona coordenadas cartesianas a partir de coordenadas esféricas, que formam um conjunto de vetores [, F F ] F fixos à superfície física da Terra. * *, 3* Tem-se então ( F ) formado por coordenadas do sistema global e ( F * ) formado por coordenadas no sistema astronômico local. A figura 0 ilustra os dois sistemas de coordenadas envolvidos. O relacionamento entre ( F ) e ( F * ) é dado por: T T T T [ F F, F ] = [ F, F, F ] R ( Λ, Φ, Σ) = [ F, F, F ] R ( Λ) R ( Φ) R ( ) *, * 3* 3 E Σ π (4)

47 47 Sendo: cos( Λ) sen( Λ) 0 R 3( Λ) = sen( Λ) cos( Λ) 0 (5) 0 0 π π cos( Φ) 0 sen( Φ) ( π R Φ = ) 0 0 (6) π π sen( Φ) 0 cos( Φ) cos( Σ) sen( Σ) 0 R 3( Σ) = sen( Σ) cos( Σ) 0 (7) 0 0 FIGURA 0 RELACIONAMENTO ENTRE SISTEMA GLOBAL E SISTEMA ASTRONÔMICO LOCAL F 3* F 3 π φ F * Σ Λ F Λ Σ F π φ F * FONTE: Adaptado de GRAFAREND (987). A transformação de coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas é feita utilizando a seguinte igualdade:

48 48 { } n i z z y y x x senb B sent T B S F i i i i i i i i i,...,, cos cos cos = = (8) Sendo que T i representa a direção horizontal medida, B i a direção vertical medida e S i a distância espacial, fornecida por: ) ( ) ( ) ( ), ( Z Z Y Y X X X X S S i i i i i + + = = (9) F i i i E F i i i Z Z Y Y X X R z z y y x x Φ Σ Λ = ),, ( (30) F n n n F n n n Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X R z z z z z z y y y y y y x x x x x x = M M M L L L (3) = F n n n z z z z z z y y y y y y x x x x x x Y L L L (3) F n n n Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Z Z Y Y X X Y = M M M (33) As matrizes Y e Y são as matrizes de observações, sendo a matriz Y levógira e a matriz Y dextrógira. A matriz de rotação incógnita R T, designada por X, é um conjunto de parâmetros desconhecidos. Com essas considerações tem-se:

49 49 T Y = Y X (34) Onde não estão considerados os erros de observação e sendo: T X = R (35) À matriz de rotação (R) deve ser imposta uma injunção dada por: X T X = (36) I 3 Sendo E a matriz dos erros das medidas coletadas, então a equação (34) pode ser reescrita como: T Y = Y X + E (37) O Problema Procrustes simples consiste em encontrar uma solução para o sistema matricial de equações lineares, fornecido pela equação (37). R = R Σ) R π ( Φ) R 3( 3 ( Λ) = cosσsenφ cosλ senσsenλ = senσsenφ cosλ cosσsenλ cosφ cosλ Com: cosσsenφsenλ + senσcosλ senσsenφsenλ + cosσcos Λ cosφsenλ cosσcosφ senσcosφ senφ (38) 0 Λ π π π < Φ < + 0 Σ π

50 50 A partir das pseudo-observações {Y, Y } e do ajustamento das equações das pseudo-observações Y =Y X + E com respeito às injunções X T X=I 3, calcula-se os três parâmetros de orientação (longitude astronômica Λ, latitude astronômica Φ e orientação horizontal desconhecida Σ) a partir de R: tan Λ = r r 3 3 r Λ = arctan 3 (39) r 3 tan Φ = r r r 3 r 33 Φ = arctan (40) r3 + r3 tan r r 3 3 Σ = = arctan( ) 3 r Σ (4) r 3 Desta maneira chega-se aos valores da longitude astronômica Λ, da latitude astronômica Φ e da orientação desconhecida Σ. As observações GPS fornecem a latitude elipsóidica φ e a longitude elipsóidica λ. As componentes do desvio da vertical, componente meridiana e componente primeiro vertical podem então ser calculadas pelas equações (8) e (9)..6 CÁLCULO DO DESNÍVEL ENTRE DUAS ESTAÇÕES SEM CONSIDERAR A ALTURA DO INSTRUMENTO Pode-se errar facilmente 5 mm na medida da altura do instrumento com uma trena que apresenta graduação milimétrica. Visando eliminar este erro é possível determinar o desnível entre duas estações sem medir a altura do instrumento (FREITAS e FAGGION, 00). Considerando-se a estação total instalada na estação e os refletores nas estações e 3 com alturas iguais, o desnível entre as estações e 3 é calculado pela equação:

51 5 Δ H D (4) 3 = Z cos D Z 3 cos 3 Sendo: Z = ângulo zenital entre as estações e ; Z 3 = ângulo zenital entre as estações e 3; D = distância entre as estações e ; D 3 = distância entre as estações e 3;.7 AJUSTAMENTO DE POLIGONAL GEODÉSICA ENQUADRADA PELO MÉTODO DAS EQUAÇÕES DE CONDIÇÃO Para o ajustamento da poligonal geodésica enquadrada foi utilizado o método das equações de condição ou dos correlatos. Segundo GEMAEL (994, p. 37) o modelo matemático natural, do método das equações de condição ou dos correlatos, envolve apenas os valores observados ajustados (incógnitas) e é dado por: F ( a ) = 0 (43) n L Sendo o modelo matemático linearizado igual a: r B + = (44) n n V r W r 0 Onde: a n L = vetor dos valores observados reduzidos ajustados, formado por ângulos e distâncias reduzidas ao elipsóide; r B n = matriz das derivadas parciais das equações de condição; n V = vetor dos resíduos obtido do ajustamento para correção das observações; r W = vetor erro de fechamento;

52 5 condição: De acordo com MORAES (997, p. 0), estabelecem-se três equações de a) equação de condição de azimute: f p+ p a = ai + ik f 0 + i= i= a Δα ( α α ) p80 = 0; i =,..., p; k = i ; (45) b) equação de condição de diferença de latitude: f p = ik p+ + i= a Δφ ( φ φ) = 0; i =,..., p; k = i ; (46) c) equação de condição de diferença de longitude: f p 3 = ik p+ + i= a Δλ ( λ λ) = 0; i =,..., p; k = i. (47) O vetor erro de fechamento inicial r Wo, na primeira iteração, é obtido substituindo o vetor dos valores observados reduzidos ( L b ), formado pelos ângulos e distâncias, nas equações de condição (45), (46) e (47) tal que: r ε α b Wo = F( L ) = εφ (48) ε λ As equações normais em sua forma matricial são dadas por: r r r M K + = (49) K r r r W r 0 r M r rw = (50) M = B P B (5) r r n n n n T r

53 53 Sendo a matriz n r B : L b A n r L f B = (5) Para r = 3 tem-se: = , ,, p p p p p p p p p p n S f S f a f a f a f S f S f a f a f a f S f S f a f a f a f a f B (53),... a a a f p p Δ + + Δ + = + α α, (54) p p p a p a f Δ + = +, α, (55) = a p+ f. (56) Onde a Δ α é a derivada parcial da convergência meridiana ( ik α Δ ) correspondente aos pontos e em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivando-se a equação (57). i i ik ik m ik ik sen sen φ φ λ φ φ λ α 3 cos ) ( sec Δ + Δ = Δ Δ (57)

54 54 Δα a = Δλ a Δφ senφm sec ( Δλ) + 4 senφ cos φ + Δφ Δλ Δφ Δφ + senφm sec tg (58) a f Δ Δα = S S S α p, p +... f Δα = S p S, p+ p, p+ p, p+ (59) (60) E Δα S é a derivada parcial da convergência meridiana correspondente aos pontos e em relação à distância, obtida derivando-se a equação (57): Δα S = Δλ S Δφ senφm sec ( Δλ) + 4 senφ cos φ + Δφ Δλ Δφ Δφ + senφm sec tg (6) S f Δφ = a a a Δφ p, p +... f φ p, p + Δ = a p a p (6) (63)

55 55 f = a p+ 0 (64) Onde Δφ a é a derivada parcial da diferença de latitude ( Δ φ ) correspondente aos pontos e em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivando-se a equação (65): Δ Sik cosα ik Sik sen α iktgφi 3e senφi cosφisik cos α ik φ ik = + + M N M ( e sen φ M i i i ) i + ( + 3tg φ ) S cosα sen α 3 i ik ik ik (65) 6Ni M i Δφ a S = sen( α + a ) S + sen( α + a )cos( α + a ) M N M tgφ + 3e S sen( α + a )cos( α + a 0 0 ( e sen φ) M ) senφ cosφ S ( + 3tg φ)[cos ( α 0 + a) sen( α 0 + a) sen ( α 0 + 6N M Δφ = S S S f Δφ p, p + a )] (66) (67) f Δφ = S p S, p+ p, p+ p, p+ (68)

56 56 Δφ S é a derivada parcial da diferença de latitude ( Δ φ ) correspondente aos pontos e em relação a distância, obtida derivando-se a equação (65): Δφ S = cos( α + a 0 M ) S + sen ( α + a N 0 M ) tgφ 3e S + cos ( α + a 0 ( e sen φ ) senφ cosφ ) M + φ α α S ( + 3tg )cos( 0 + a) sen ( 0 + N M a )] (69) f3 Δλ p, p + a = a... f λ 3 p, p + Δ = a p a p Δλ a (70) (7) f 3 a p+ = 0 (7) Onde Δλ a é a derivada parcial da diferença de longitude correspondente aos pontos e, em relação ao ângulo da estação inicial, obtida derivando-se a equação (73). 3 3 tg φisik sen α ik Δλ ik = ( Sik senα ik + N cosφ 6N k k i + 4, Sik senα ik cos α ) ik (73)

57 57 Δλ a = N { S cosφ cos( α 0 + a S ) + sen ( α 0 + a )cos( α N 0 + a ) tg φ ,095 0 S [cos ( α 0 + a) sen ( α 0 + a)cos( α 0 + a)]} (74) f3 Δλ p, p + S =... S f Δλ 3 = S p S, p+ Δλ S p, p+ p, p+ (75) (76) Onde Δλ S é a derivada parcial da diferença de longitude correspondente aos pontos e em relação à distância, obtida derivando a equação (73): Δλ S = N cos { sen( α 0 + a φ S ) + 3 sen ( α + a ) tg 0 N φ + 4,85 0 S sen( α 0 + a)cos ( α 0 + a)} (77) Para a segunda linha geodésica da poligonal acrescenta-se ao termo α ik a expressão da convergência meridiana relativa aos pontos da extremidade da linha geodésica anterior e assim sucessivamente. A matriz dos pesos é dada por: n P = I (78) n n n O vetor dos resíduos é dado por:

58 58 T nv n Pn n Br r K = (79) A variância da unidade de peso a posteriori é dada por: T T K r rw V n n Pn nv ˆ σ 0 = = (80) r r E obtém-se o vetor dos valores observados reduzidos ajustados por: a b n L n L + nv = (8) A partir da segunda iteração (DALMOLIN, 004, p. 3) o vetor erro de fechamento é obtido por : b a( i W i = Bi L L ) ( ) + Wo i (8) São realizadas iterações até que se verifique a igualdade da equação (44), pois o vetor dos valores observados ajustados L a n depende de n V e os azimutes e coordenadas ajustadas, latitudes e longitudes geodésicas, dependem de a n L..8 TESTE DE QUI-QUADRADO (χ ) DE ADERÊNCIA Todo teste estatístico exige o conhecimento do valor de um parâmetro populacional, mas este é desconhecido. Em seu lugar é utilizada uma estatística de teste amostral, ou um valor baseado em dados amostrais (estatística de teste). Utilizase uma estatística de teste para tomar a decisão sobre a rejeição da hipótese nula (TRIOLA, 999, p. 74). O teste estatístico qui-quadrado (χ ) de aderência é aplicado para verificar se um modelo matemático genérico se ajusta bem aos dados observados, ou, é uma

59 59 maneira de medir a discrepância existente entre as freqüências observadas e esperadas (ajustadas), conforme o modelo exposto. É bem conhecido que o valor da estatística de χ é obtido por: = n ( Oi Ei ) χ estimado (83) E i= i Sendo: - O i : valor observado; - E i : valor esperado; - n : número de valores observados. Segundo SOARES (006, p. 56) quando χ = 0, as freqüências observadas e esperadas concordam exatamente e quando χ > 0, pode não existir concordância entre as variáveis. Segundo um nível de significância, quanto maior o valor de χ, maior será a diferença entre as freqüências e menor será a aderência entre os valores observados e esperados de acordo com o modelo. Na aplicação do teste de χ supõem-se uma hipótese H 0, que se contrapõe a uma hipótese alternativa H. A hipótese H 0, denominada por hipótese nula, pode ser rejeitada ou não ser rejeitada, considerando um determinado nível de significância α 0. Se H 0 for não for rejeitada, considera-se que a aderência é boa. Se a hipótese H 0 for rejeitada, o modelo testado é inadequado para representar a distribuição da população. A decisão sobre a não rejeição ou rejeição da hipótese H 0, é feita pela comparação da estatística de teste, obtida pela equação (8), com a estatística teórica, denominada por computacionais. χ crítico, obtida por meio de tabelas estatísticas ou de programas O χ crítico é função do nível de significância fixado e do número de graus de liberdade (ν) da estatística.

60 60 O número de graus de liberdade, ν, corresponde a: ν = n (84) Onde n : número de freqüências (ou número de variáveis aleatórias); ν : número de graus de liberdade. Se χ, a hipótese H 0 para o caso unilateral não é rejeitada, com estimado χ crítico probabilidade de tomada da decisão correta igual ao nível de confiança de (-α), onde α é o nível de significância fixado. Ao se aplicar o teste, deve-se escolher, a priori, um nível de significância, o qual corresponde à probabilidade de erro que se admite rejeitar uma hipótese H 0 verdadeira. Neste trabalho, quando da aplicação deste teste estatístico, adotou-se o nível de confiança de 95% ( - α = 0,95), sendo portanto o nível de significância igual a 5% (α = 0,05). Se o valor obtido da estatística de teste, equação (8), pertencer ao intervalo [0, χ crítico ] tem-se 95% de confiança em que o valor do parâmetro populacional (valor verdadeiro) também pertence a este intervalo, o que corresponde a não rejeição da hipótese nula H 0..9 A NBR 466 REDE DE REFERÊNCIA CADASTRAL MUNICIPAL PROCEDIMENTO A NBR Rede de Referência Cadastral Municipal Procedimento, fixa as normas para implantação de uma Rede de Referência Cadastral no território nacional. Segundo esta Norma, os pontos desta rede de referência devem estar referenciados a um sistema topográfico local, apresentado a seguir. O Sistema de Coordenadas Topográfico Local, é definido pela NBR 466, por:

61 6 Sistema de representação, em planta, das posições relativas de pontos de um levantamento topográfico com origem em um ponto de coordenadas geodésicas conhecidas, onde todos os ângulos e distâncias de sua determinação são representados em verdadeira grandeza sobre o plano tangente à superfície de referência (elipsóide de referência) do sistema geodésico adotado, na origem do sistema, no pressuposto de que haja, na área de abrangência do sistema, a coincidência da superfície de referência, com a do plano tangente, sem que os erros decorrentes da abstração da curvatura terrestre ultrapassem os erros inerentes às operações topográficas de determinação dos pontos do levantamento. Segundo a Norma, a origem do Sistema Topográfico Local deve estar posicionada de modo que nenhuma coordenada plano-retangular, isenta do seu termo constante, tenha valor superior a 50 km, sendo que em regiões com desníveis superiores a 50 m a área de abrangência do sistema deve ser reduzida, sem contudo, mencionar quanto. No Sistema Topográfico Local (STL) os eixos X e Y estão no plano do horizonte local ou plano topográfico ou plano tangente (plano tangente ao elipsóide de referência) e adota-se para efeito de cálculos a esfera de adaptação de Gauss como superfície de referência o eixo Y coincide com a meridiana (linha norte-sul) geográfica, orientado positivamente para o norte geográfico; o eixo X coincide com a linha leste-oeste orientado positivamente para leste. Observe-se que o Sistema Astronômico Local, definido na seção.5, também possui origem em um ponto P na superfície física, porém, trata-se de um sistema levógiro, onde o eixo z coincide com a direção da vertical local com sentido positivo na direção do zênite, o eixo x é perpendicular ao eixo z e está contido no plano do meridiano astronômico do ponto P, com sentido positivo para o Norte astronômico e o eixo y é perpendicular aos eixos x e z e é contado positivamente para o leste astronômico. Este fato está bem configurado no tratamento do Problema Procrustes simples. O plano topográfico (ou plano do horizonte local ou plano tangente), é elevado à altitude ortométrica média (H t ), da área de abrangência do sistema, passando a se chamar plano topográfico local. A figura ilustra os elementos do STL. As coordenadas cartesianas plano-retangulares (x i, y i ) definem a posição planimétrica de pontos medidos no terreno e representados no plano topográfico (ou

62 6 plano do horizonte local ou plano tangente) do STL. O plano topográfico é a superfície definida pelas tangentes, no ponto origem do STL, ao meridiano que contém este ponto e a geodésica normal a este meridiano. O sistema de coordenadas cartesianas plano-retangulares tem a mesma origem do STL. FIGURA ELEMENTOS DO SISTEMA TOPOGRÁFICO LOCAL Vertical Plano topográfico local Superfície do nível médio do terreno altitude ortométrica média do terreno Plano do horizonte local ou Plano tangente ou Plano topográfico Superfície física da Terra Superfície de nível zero O (centro da esfera de adaptação de Gauss) A fim de se evitar valores negativos para as coordenadas plano-retangulares, são adicionadas as constantes 50000,00 m a x e 50000,00 m a y, com isso todas as abscissas iniciam com o algarismo e todas as ordenadas com o algarismo. Aplica-se nas coordenadas plano-retangulares dos pontos do apoio geodésico do sistema, definidoras do plano topográfico (ou plano do horizonte local ou plano tangente) o fator de elevação (c), que eleva este plano ao nível médio do terreno da área de abrangência do sistema caracterizando o Sistema Topográfico Local. c ( R + H ) R m t = (85) m Onde:

63 63 c = fator de elevação; H t = altitude ortométrica média do terreno em metros; R m = raio médio de curvatura. De acordo com a NBR 466, na estruturação de uma Rede de Referência Cadastral, os marcos geodésicos de apoio imediato podem ter suas coordenadas (geodésicas) determinadas por rastreamento de satélites do NAVSTAR-GPS. E, segundo esta Norma, as coordenadas geodésicas do STL devem estar referidas ao SAD 69, que é um sistema pretensamente definido para a América do Sul por meios clássicos, não sendo global. Este fato deve merecer consideração em vista da recente adoção do SIRGAS000 como Sistema Geodésico Brasileiro. Com isso, as coordenadas geodésicas do STL determinadas por GPS, originalmente em WGS 84 (sistema global), deveriam ser transformadas em SAD 69, para posteriormente serem transformadas em coordenadas plano-retangulares, através do formulário adaptado do Problema Geodésico Inverso, apresentado no Anexo A da NBR 466. Os parâmetros de transformação ΔX, ΔY e ΔZ do WGS original, obtidos pelo sistema TRANSIT, possuíam de a m de erro, e a rede base SAD 69 utilizada para determinar esses parâmetros, tinha precisão relativa entre : e : Com isso, tais parâmetros carregam todas essas limitações e a rede original tem distorções da ordem assinalada. As fórmulas de Puissant, para o cálculo do Problema Geodésico Inverso, são consideradas com precisão de ppm (parte por milhão) em até 80 ou 00 km. Existem outros métodos como o da integral elíptica, que apresentam resultados mais rigorosos. A integração entre medidas efetuadas com GPS no sistema geodésico espacial (WGS 84, por exemplo) e medidas de ângulos e distâncias, referenciadas ao sistema astronômico local deve considerar o desvio da vertical..0 EXEMPLOS DE SISTEMAS CADASTRAIS EM OUTROS PAÍSES países. Cita-se a seguir alguns exemplos de sistemas cadastrais adotados em outros

64 64 A Suécia adotou a rede de referência SWEREF 99, baseada no ITRF 97, época 999,5 a partir de observações GPS de estações permanentes na Suécia, Noruega, Finlândia e Dinamarca. A SWEREF 99 será a nova rede de referência nacional (ENGBERG e LILJE, 00, p. ). Propõe-se que o país adote em mapas nacionais, de escala pequena, a projeção Transversa de Mercator, com meridiano central de longitude igual a 5 e fator de redução de escala k 0 = 0,9996. Para levantamentos locais recomenda-se um sistema de zonas com 30 entre os meridianos centrais e k 0 =. Na Alemanha todos os estados concordaram em adotar o ETRS89 (European Terrestrial Reference System 989), derivado do ITRF, em levantamentos nacionais e cadastrais, e a projeção Universal Transversa de Mercator (UTM) como sistema de projeção (HAWERK, 00, p. 5). Em Kosovo (VALSTAD et al., 00, p. 0) decidiu-se estabelecer uma nova rede baseada na projeção de existente de Gauss-Krüger, com fator de escala no meridiano central igual a 0,9999, adotando o elipsóide de referência GRS80, e o ETRS89, que está conectado a EUREF Permanent Network (EPN). A implementação de sistemas cadastrais nos países acima, adota como sistema de referência os sistemas globais, com origem no geocentro e projeção UTM ou variações desta. Tal fato deve ser considerado para rediscussão da NBR 466.

65 65 3 COLETA DE DADOS E EXPERIMENTOS PROPOSTOS Os experimentos realizados objetivaram a confrontação dos resultados obtidos na realização de base de referência terrestre via integração GPS/LPS com aqueles obtidos pelas técnicas da Topografia com Sistemas Topográficos Locais (STL) de acordo com as Normas Brasileiras vigentes. O experimento proposto para estudos relativos à compatibilização de referencial local com global, conforme abordado na seção 3., teve por base a coleta de dados referentes à realização de uma poligonal topográfica em uma região de desnível acentuado e posicionamento por GPS em algumas estações desta poligonal, aí incluídos os pontos inicial e final. 3. COLETA DE DADOS Anteriormente à coleta de dados, fez-se necessário o estabelecimento da poligonal, que contou com as seguintes fases: a) seleção do local do levantamento: inicialmente foi escolhida a Estrada da Graciosa, sendo esta hipótese abandonada ainda na fase de reconhecimento devido a grande quantidade de visadas muito curtas, o que acarretaria um número muito elevado de estações. Optou-se então pela BR77, no intervalo que compreende os km 30 e 60, entre os municípios de Morretes e São José dos Pinhais. O reconhecimento do local comprovou a viabilidade para a realização do trabalho. Foi necessária a autorização da Concessionária Ecovia Caminho do Mar S/A, responsável pelo trecho e o atendimento de algumas restrições impostas pela Concessionária; b) reconhecimento dos marcos: no trecho selecionado existem marcos de concreto anteriormente implantados, cuja descrição foi cedida pela Concessionária Ecovia Caminho do Mar S/A, fato que muito auxiliou o trabalho, pois evitou-se a materialização das estações, optando-se pela utilização de piquetes intermediários quando necessário. A coleta de dados incluiu o levantamento topográfico e o posicionamento através de GPS.

66 66 A poligonal implantada possui 57 estações, ao longo de aproximadamente 30 km e desnível de 940 m, sendo que o levantamento topográfico foi executado com uma estação total robotizada, minimizando a ocorrência de erros grosseiros, proporcionando dados de qualidade para análises e comparações. No apêndice está representada a poligonal levantada e a respectiva codificação dos pontos. O apêndice apresenta o arquivo com todas as leituras efetuadas com a estação total na estação 3. A figura apresenta o local onde os dados de campo foram coletados. FIGURA LOCAL ONDE FOI REALIZADA A COLETA DE DADOS KM 60 KM 30 POLIGONAL FONTE: < > O levantamento topográfico foi realizado nos dias 3, 5, 30 e 3 de maio de 005, com a estação total robotizada TPS00 Leica, cuja precisão angular é de 5 e precisão linear, com prisma padrão, de mm + ppm e compreendeu as seguintes etapas: