Estudo do movimento das luas de Júpiter.

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1 1 Estudo do movimento das luas de Júpiter. Manual para utilização do programa Introductory Astronomy Lab Exercice CLEA - Contemporary Laboratory Experiences in Astronomy Nelson Vani Leister Instituto de Astronomia, Geofísica e Ciências Atmosféricas Universidade de São Paulo

2 2 N.V.Leister Contents 1 Considerações iniciais 3 2 Introdução Plano de ação para o exercício de laboratório Passo a passo Procedimento Análise dos Dados Cálculo da Massa de Júpiter 9 5 Questões 9

3 Laboratório Luas de Júpiter 3 1 Considerações iniciais Foi somente com a ajuda de uma luneta, construída por Galileu no início do século XVII, que se produziram argumentos para por abaixo a noção de que a Terra estava no centro do Universo. Galileu descobriu a existência de pequenos objetos que orbitavam o planeta Júpiter. A descoberta mostrou que, se corpos podiam orbitar outro planeta, não haveria razão para que os planetas não pudessem orbitar o Sol. Kepler, por sua vez, baseado nas observações de Tycho Brahe, descobriu em 1609 a chave para a construção de um modelo heliocêntrico em que os planetas se moviam em elipses ao redor do Sol. Pouco tempo depois, em 1687, o físico inglês Isaac Newton mostrava que o movimento elíptico poderia ser explicado pela existência de uma força cuja intensidade é proporcional ao inverso da distância ao quadrado entre dois corpos. Newton formulou a lei da gravitação universal e, com ela, pela primeira vez, foi capaz de esclarecer o porquê de os corpos serem puxados para o centro da Terra. F = G m 1m 2 r 2 A interpretação física das leis de Kepler pode ser feita combinando-se as leis netonianas do movimento e da gravitação com as empíricas de Kepler. A terceira lei de Kepler é alvo deste exercício de laboratório. Podemos obter, pela combinação das leis de Newton, uma relação entre o período orbital e o semi-eixo maior da órbita de um planeta de massa m 2 ao redor de um corpo central de massa m 1 expressa por: P 2 a 3 = 4π 2 G(m 1 + m 2 ) Levando-se em conta que, de um modo geral, a massa do satélite é muito menor quando comparada à do corpo central (M = m 1 >> m 2 ), temos: P 2 a 3 = 4π2 GM Aplicando-se esta relação para o sistema solar, considerando a interação Sol( )-Terra ( ), e Júpiter(J)-satélites(sat),escrevemos: e P 2 a 3 = 4π2 GM Psat 2 a 3 = 4π2, sat GM J Dividindo-se uma expressão pela outra, temos: M J = a3 sat Psat 2 1 sendo: M J - a massa de Júpiter em unidade da massa solar. a - o comprimento do semi-eixo maior dos satélites em unidades astronômica (U A). É importante ressaltar que a órbita, aqui, é considerada circular. P - o período da órbita de cada satélite, em anos terrestres. O período é o tempo que o satélite requer para dar uma volta ao redor do corpo central.

4 4 N.V.Leister 2 Introdução Nosso trabalho consiste em realizarmos uma campanha observacional das principais luas de Júpiter, conforme efetuado por Galileu com sua pequena luneta. Se observarmos Júpiter com um pequeno telescópio, nós teremos uma imagem de acordo com o que vemos na capa deste fascículo. As luas de Júpiter parecem alinhadas devido ao fato de observarmos estas configurações pelo plano das órbitas. Uma vez que as luas se movem aproximadamente em órbitas circulares, podemos acompanhar a variação das distâncias projetadas perpendicularmente à linha que une Júpiter à Terra (Fig. 1). Figure 1: R ap é a distância aparente, vista a partir da Terra, entre a Lua e Júpiter. Na Fig. 1, podemos ver que a distância aparente projetada (R ap ) de uma lua varia em função do tempo segundo uma curva senoidal. Fazendo-se uma amostragem bem distribuida dessas posições, ao longo do tempo, podemos ajustar a curva formada por estes pontos a fim de obtermos o raio e o período orbital do satélite em questão (a amplitude e o período, melhores ajustados). Uma vez conhecidos o raio e o período orbital do satélite, podemos, convertendo em unidades adequadas, conhecer a massa de Júpiter (M J ) utilizando a terceira lei de Kepler conforme a equação 1. Determinaremos a massa de Júpiter Figure 2: Variação da posição aparente do movimento circular do satélite, em função do ângulo da linha de visada da lua e Júpiter. por meio das observações de seus quatro principais satélites, assim como avaliaremos os erros associados às determinações dos parâmetros que caracterizam as órbitas de cada satélite (discutiremos os resultados no final do exercício).

5 Laboratório Luas de Júpiter 5 O programa simulará automaticamente as operações de um telescópico munido de uma camera CCD que reproduzirá a configuração planetária em uma imagem na tela do computador. A partir desta, faremos as medidas das distâncias aparentes das quatro principais luas de Júpiter. Recursos adicionais permitem amplificar a imagem a fim de obtermos as medidas das posições mais precisamente. O programa simulará as posições das luas para diferentes datas, possibilitando que rapidamente possamos obter uma amostragem de dados convenientes para os nossos propósitos. 2.1 Plano de ação para o exercício de laboratório Inicie o programa e familiarize-se com o sistema de satélites de Júpiter. Ajuste o programa de observação. Efetue a medida das posições das luas de Júpiter para noites abertas (claras) sucessivas. Trace um gráfico das posições aparentes de cada lua, utilizando-se dos recursos disponíveis do programa. Você poderá, a partir deste programa, ajustar as curvas (senóides) das posições aparentes medidas em função da data para cada lua. Determine o período e o semi-eixo maior da órbita de cada lua a partir dos respectivos gráficos (o melhor ajuste) e converta em anos e UA os valores encontrados. Calcule a massa de Júpiter a partir das observações individuais das luas e determine o valor médio para o conjunto de resultados. 2.2 Passo a passo Iniciar o programa e selecionar Log In no file menu. Insira os nomes dos participantes do grupo de trabalho e identifique o seu computador. Uma nova tela será exibida e você deverá selecionar Run no file menu. Verifique se a data corresponde à do dia e, em caso afirmativo, selecione OK. Em seguida, você terá uma imagem de Júpiter e de suas quatro principais luas nas posições verdadeiras da data em questão. Proceda a escolha do intervalo de tempo entre as observações clicando na opção Timing do file menu. Esta escolha implicará a determinação dos períodos orbitais das luas. Um grande intervalo fará com que tenhamos dificuldades para estimar os períodos das luas mais próximas de Júpiter, em contrapartida, pequenos intervalos entre as observações criarão dificuldades para a cobertura orbital das luas mais distantes (você poderia explicar este fato?). Para nossos propósitos, é aconselhável a utilização de um intervalo de 12 horas (mantenha os valores dos outros parâmetros visualizados na tela). Atenção para o fato de que, por vezes, as luas podem estar eclipsadas ou passando pelo disco de Júpiter. No primeiro caso, será impossível observar a lua em questão. Todas as informações acerca do evento estarão do lado esquerdo e na parte de baixo da tela de observações.

6 6 N.V.Leister 3 Procedimento Figure 3: Tela de observações Uma série de dados que seja conveniente para os nossos propósitos deve cobrir 20 dias de observações, com um intervalo de 12 horas entre cada evento. É boa prática anotarmos alguns dados iniciais, caso haja necessidade. Complete a tabela a seguir com os dados do exercício: Tabela 1. Características do programa Observadores Ano... Mês... Dia... Fuso horário... Número de observações... Intervalo entre as obs... Algumas telas adicionais podem ser montadas, que facilitará o andamento do programa observacional. Selecione no File Menu a opção Features e escolha Show Top View. Para medir a posição de uma lua, mova o ponteiro com o mouse posicionando sobre a lua em questão e click o botão esquerdo. Na parte de baixo da tela principal, no lado direito, aparecerá o nome da lua (IV. Callisto, por exemplo) e as coordenadas X e Y da posição do pixel de sua tela. A coordenada X é expressa em diâmetros de Júpiter (Jup. Diam). A letra subseqüente ao valor da distância representa a posição da lua em

7 Laboratório Luas de Júpiter 7 relação ao planeta (E (Leste) ou W (Oeste)), conforme Fig. 4. Note que se o nome da lua não aparecer, deveremos repetir o apontamento. Podemos amplificar a figura para melhor visualizarmos o apontamento. Vamos agora utilizar o computador para gravar nossa medida para futura análise. Após realizar a medida individual da lua, click sobre a opção Record e surgirá a tela Record/Edit Measurement com a medida realizada (Fig. 4). Repita esta operação para todas as luas visíveis, e, no final, click o botão OK. O programa gerará o arquivo das observações que utilizaremos posteriormente. Neste momento, estaremos em condições de realizar a próxima observação. Click sobre o botão Next e repita o procedimento para a nova configuração, até completar todo o programa (vinte dias, conforme sugerido, o que significa cobrirmos 40 datas distintas). Figure 4: Tela de observação Parabéns, você concluiu uma parte importante de uma pesquisa científica, que é a coleta de dados. Vamos para o próximo passo. 3.1 Análise dos Dados Nesta parte do trabalho, podemos optar por utilizar um programa que possua recursos suficientes para traçar gráficos e ajustar funções sobre os pontos obtidos (por exemplo, o EXCEL) ou utilizar os próprios recursos de nosso programa. Duas hipóteses sobre o movimento das luas serão admitidas: 1 a - que as órbitas das luas são regulares, isto é, que as velocidades não variam entre dois períodos orbitais; 2 a - que o raio da órbita permanece constante. Estas hipóteses garantem que o ajuste de uma senóide será adequado para nossos propósitos.

8 8 N.V.Leister A utilização do programa far-se-á selecionando-se File > Data > Analyze. Uma nova tela surgirá para nossas análises. Escolha: Data > Select Moon > Callisto (IV). Iniciaremos com a lua mais distante, pois nossos dados não cobrirão toda sua órbita e, por conseguinte, a curva será mais fácil de ajustar. A tarefa seguinte será estimar alguns parâmetros importantes para iniciar o processo iterativo de obtenção do melhor ajuste. Escolha agora Data > Plot > Fit Sine Curve > Set Initial Parameters e preencha a tabela Sine Curve Parameters, conforme mostra a Fig. 5. Figure 5: Estimativa dos parâmetros O programa dispõe de vários recursos que podem facilitar as operações acima. Uma vez conseguida a primeira aproximação dos parâmetros de ajuste, passamos ao ajuste fino da curva, com a ajuda dos controles deslizantes. A operação pode ser controlada pela procura do menor valor para o parâmetro erro (RMS. Um vez encontrada a solução de menor erro, escreva na tabela 2 os valor encontrados para o período e para o semi-eixo maior. Tabela 2. Características do programa Luas Período Período Semi-eixo maior Semi-eixo maior (em dias) (em anos) (Diam. Jup.) (UA) IV. Callisto III. Ganymede II. Europa I. Io Dados importantes: UA = 1, 496x10 11 m Ano = 365, 25 dias DJ = 1, 374x10 8 m M = 5, 98x10 24 kg M = 1, 99x10 30 kg

9 Laboratório Luas de Júpiter 9 4 Cálculo da Massa de Júpiter Temos agora todas as informações necessárias para a aplicação da terceira lei de Kepler (Fórmula 1). Atenção para compatibilizar as unidades ao aplicar a expressão da lei. Tabela 3. Cálculo da massa de Júpiter IV. Callisto III. Ganymede II. Europa M J =...M M J =...M M J =...M I. Io M J =...M V alor médio M J =...M 5 Questões 1 a Questão. Expresse a massa de Júpiter em unidades de massa da Terra. Em seguida, calcule a massa da Terra em unidades de massa solar. Respostas: M J =...M M =...M (utilize o EXCEL, disponível no computador, para os cálculos) 2 a Questão. Existem outras luas além da órbita de Callisto. Compare seus respectivos períodos em relação ao período de Callisto. Comente sua resposta. Resposta: 3 a Questão. O satélite da Terra (a nossa Lua) tem período de 27,3 dias e raio (semi-eixo maior) de 2, 56x10 3 UA. A partir destes dados, calcule a massa da Terra. Em que unidade é obtido este valor? Resposta: