MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA PARA AS FINANÇAS ESTOCÁSTICAS

Transcrição

1 MESTRADO EM MATEMÁTICA APLICADA PARA AS FINANÇAS ESTOCÁSTICAS (Versão de 3/04/2000) Áreas de Especialização: Modelos Estocásticos para Produtos Financeiros Derivados Modelos para Acontecimentos Extremos na Gestão do Risco Modelos Computacionais para Derivados e Gestão do Risco UL & UTL & UNL & BVLP At the first glance at financial Mathematics and engineering, when one makes an emphasis on the game aspect ( investor versus market ), one can get an impression that it is the main aim of financial mathematics to work out recommendations and develop financial tools enabling the investor to gain over markets ; at any rate, not to lose very much. However, the role of financial theory, (including financial mathematics) and financial engineering is much more prominent: they must help investors with the solution of a wide range of problems relating to rational investment by taking account of the risks unavoidable given the random character of the economic environment and the resulting uncertainties of prices, trading volumes, or activities of market operators. in Essentials of Stochastic Finance, A. N. Shiryaev, World Scientific, 1999, p. 69. Insurers and bankers are interested in assessing, pricing and hedging their risks. They calculate premiums and price financial instruments including coverage against major risks. The probable maximal loss of a risk or investment portfolio is determined by extremal events. The problem we want to solve may therefore be described in its broadest terms as how to make statistical inference about the extreme values in a population or a random process. in Modelling Extremal Events, P. Embrechts, C. Klüppelberg, T. Mikosch, Springer Verlag, 1997, p

2 1 Descrição O Mestrado em Matemática Aplicada destina-se, sobretudo, a licenciados com forte formação de base em Matemática, sendo de especial relevância a teoria da medida e os processos estocásticos. Tem por fim propiciar uma iniciação à investigação, preparando os interessados para o exercício de funções nos seguros, banca, bolsas e corretoras e, para o exercício da docência, em actividades, de apoio técnico, ligadas à gestão do risco dos activos financeiros. Com efeito, são cada vez mais procurados técnicos com preparação que lhes permita estudar, propôr, aplicar, parametrizar, implementar usando as ferramentas informáticas disponíveis, calibrar, aferir e testar, modelos matemáticos e computacionais, para os problemas relacionados com activos financeiros com risco, produtos derivados, e gestão de riscos com esses activos e produtos, complementando assim o trabalho dos executivos e gestores. A par de uma sólida formação teórica procurar-se-à facultar um treino efectivo na resolução dos problemas de análise, cálculo e implementação, com que se defrontam as actividades mencionadas acima. O Mestrado em Matemática Aplicada terá três áreas de especialização: Modelos Estocásticos para Produtos Financeiros Derivados (MEPFD) Modelos para Acontecimentos Extremos na Gestão do Risco (MAEGR) Modelos Computacionais para Derivados e Gestão do Risco (MCDGR). 2 Direcção Científica O Mestrado em Matemática Aplicada terá a direcção científica do Professor Doutor Albert Shiryaev da Academia das Ciências da Russia. 3 Organização O Mestrado em Matemática Aplicada é uma organização conjunta da Universidade de Lisboa (UL) através da sua Faculdade de Ciências (FC) e do Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais da Universidade de Lisboa (CMAF-UL), da Universidade Técnica de Lisboa (UTL) através do Instituto Superior de Economia e Gestão (ISEG) e do Instituto Superior Técnico (IST), da Universidade Nova de Lisboa (UNL) através da Faculdades de Economia (FE) e da Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT) e, da Bolsa de Valores de Lisboa e Porto (BVLP). 4 Calendarização da edição (provisória) Data limite para a candidatura às inscrições: 1 de Setembro; Aceitação das Inscrições: 6 e 7 de Setembro; Inscrições e pagamentos: de 10 a 15 de Setembro; Início da preparação: 15 de Setembro; Fim da preparação: 27 de Outubro; Exames da preparação; 28, 29 e 30 de Outubro; Início do primeiro semestre: 2 de Novembro; Fim do primeiro semestre: 25 de Fevereiro (2000); Primeira sessão de exames: 1 a 12 de Março; Início do segundo semestre:13 de Março; Fim do segundo semestre: 8 de Julho; Segunda sessão de exames: 17 a 29 de Julho; Resultados Finais e conclusão do curso: 1 a 8 de Setembro. 5 Plano Curricular A parte escolar do Mestrado em Matemática Aplicada, consistindo num curso de especialização, terá a duração de dois semestres de 15 semanas, com 10 a 12 horas de aulas por semana, antecedidos por um mês de preparação. Terá disciplinas nas áreas da: Informática e Computação, 2

3 Análise ou Análise e Probabilidade, Probabilidades, Equações Diferenciais, Estatística, Análise Numérica, Investigação Operacional, Modelos Matemáticos, Economia e. Área Preparação H. Área Preparação H. Informática e Programação em 20 Análise e Teoria da Medida 15 Computação C ++ Probabilidade e da Probabilidade Estatística Estatística Matemática 15 Probabilidade Processos Estocásticos 20 Matemática Semestre I 60 Matemática Semestre II 60 Equações Equações com 30 Análise Análise Numérica 35 Diferenciais derivadas parciais Numérica das EDP Probabilidade Equações Diferen- 30 Análise e Martingalas em tempo 25 ciais Estocásticas Probabilidade contínuo (MEPFD) 30 Análise Cálculo das 25 Variações (MAEGR) 30 Informática Disciplina a 25 Definir V (MCDGR) MEPFD Semestre I 95 MEPFD Semestre II 95 Estatística Métodos Estatísticos 35 Estatística Estatística das 35 para Crono-Séries Difusões Modelos Modelos Discretos de 20 Modelos Modelos Contínuos e 10+ Matemáticos Mercados Financeiros Matemáticos Black-Scholes 10 Modelos Teoria da Arbitragem 10+ Modelos Modelos para Taxas de 10+ Matemáticos em tempo contínuo 15 Matemáticos Juro e Risco de Crédito 15 Economia e Disciplina a definir I 15 Economia e Disciplina a definir VI 15 MAEGR Semestre I 95 MAEGR Semestre II 95 Estatística Métodos Estatísticos 35 Estatística Estatística de 35 para Crono-Séries Valores Extremos Modelos Modelos Discretos de 20 Modelos Modelos para Taxas de 10+ Matemáticos Mercados Financeiros Matemáticos Juro e Risco de Crédito 15 Modelos Teoria da Arbitragem 10+ Investigação Optimização 20 Matemáticos em tempo contínuo 15 Operacional Economia e Disciplina a definir II 15 Economia e Disciplina a definir VII 15 MCDGR Semestre I 95 MCDGR Semestre II 95 Informática Disciplina a definir III 35 Informática Disciplina a definir VIII 35 Modelos Modelos Discretos de 20 Modelos Modelos para Taxas de 10+ Matemáticos Mercados Financeiros Matemáticos Juro e Risco de Crédito 15 Modelos Teoria da Arbitragem 10+ Informática Disciplina a definir IX 20 Matemáticos em tempo contínuo 15 Economia e Disciplina a definir IV 15 Economia e Disciplina a definir X 15 II Ano Semestre III e IV II Ano Semestre III e IV Especialidade Seminário e Tese 30 Especialidade Seminário e Tese 30 No ano escolar seguinte ao da conclusão com sucesso do curso de especialização e a par da realização da tese terá lugar um seminário com a participação de profissionais da indústria onde serão propostos para resolução pelos alunos problemas práticos relevantes. O seminário 3

4 concretizar-se-á com a realização, por cada aluno, de um relatório e respectiva apresentação sobre a solução encontrada para o problema escolhido. 4

5 6 Propostas para programas das disciplinas Apresentamos em seguida uma descrição para os programas resumidos e bibliografia indicativa para as disciplinas do mestrado baseada em contactos com especialistas nas respectivas matérias. Estes programas resumidos representam uma indicação para a orientação científica das disciplinas. Em cada edição do Mestrado em Matemática Aplicada, os programas serão da responsabilidade da Comissão Científica em funções para essa edição. 1. Preparação Este periodo, com a duração de 6 semanas, destina-se a facultar uma preparação de base nas técnicas essenciais de programação, nos conceitos de medida, probabilidade e processos estocásticos. (a) Programação em C ++ Conceitos de programação; algoritmos. Exemplos de probabilidades, estatística e simulação em C ++ ; exemplos de programas de cálculo e gráficos. P. Guerreiro, Programação em C (Veja-se a página T. Cormen, C. Leiserson, R. Rivest, Introduction to Algorithms, MIT Press, Cambridge MA 1990; R. E. Neapolitan, K. Naimipour, Foundations of Algorithms, D. C. Heath and Company, Lexington Massachusets Toronto 1996; G. Buzzi-Ferraris, Scientific C ++ Addison-Wesley Publishing Company (b) Teoria da Medida e Probabilidade Teoria da medida e das probabilidades. David Williams, Probability and Martingales, Cambridge University Press (c) Processos Estocásticos David Williams, Probability and Martingales, (d) Estatística Matemática Noções básicas de amostragem; Estimação de parâmetros desconhecidos de uma distribuição; Testes de Hipóteses; Hipóteses paramétricas; Regressão linear e método dos mínimos quadrados; Teoria da decisão elementar, análise discriminante. G. Ivchenko, Yu. Medvedev Mathematical Statistics, Mir Publishers Moscow 1990; D. Dacunha-Castelle, M. Duflo, Problèmes à tempps mobile, Tome I, Masson Paris 1982; D. Dacunha-Castelle, M. Duflo, Problèmes à tempps mobile, Tome II, Masson Paris 1983; 2. Semestre I (a) Análise Numérica das EDP Espacos normados; Teoria de erros; Condicionamento e Estabilidade. Derivação Numérica; Equações às Diferenças. Equações Diferenciais Ordinárias (revisão). Métodos Numéricos para Equações Diferenciais Ordinárias; (Métodos de Taylor, Runge- Kutta, Multipasso, Problemas Rígidos). Equações às Derivadas Parciais Lineares de Segunda Ordem; Problemas Elípticos, Parabólicos e Hiperbólicos; Modelo de Black- Scholes. Métodos Numéricos para EDP s; Diferenças Finitas (Crank-Nicholson, Lax- Wendroff, Condição CFL). P. Willmott, J. N. Dewynne, S.D. Howison Option Pricing: Mathematical Methods and Computation, Oxford Financial Press 1993 (livro de texto); R. Kress, Numerical Analysis, Springer Verlag 1998; J. L. Lions, R. Dautray, Analyse Mathématique et Calcul Numérique, Masson, 1988; D. Euvrard, Résolution numérique des équations aux dérivées partielles, Masson, Y. K. Kwok, Mathematical Models of Financial Derivatives, Springer Verlag 1998; L. C. G. 5

6 Rogers, D. Talay, Numerical Methods in Financial Mathematics, Cambridge University Press, 1997; J. W. Thomas, Numerical Partial Differential Equations, Springer Verlag 1995; S. C. Brenner, L. Ridgway Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Method, Spinger Verlag (b) Integrais e Equações Diferenciais Estocásticas O integral de Ito das funções elementares. O integral de Ito geral; construção e principais propriedades. Martingalas. Extensões do integral de Ito. Processos de Ito e Fórmula de Ito: Processos de Ito (integrais estocásticos). Fórmula de Ito uni-dimensional. Fórmula de Ito multi-dimensional. O teorema de representação das martingalas. Equações Diferenciais Estocásticas: Existência e unicidade para as equações diferencias estocásticas. Soluções fortes e fracas. Teorema de Girsanov. Teorema de representação de martingalas. B. Oksendal, Stochastic Differential Equations, 5th edition, Springer Verlag 1998; I. Karatzas, E. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus second edition, Springer Verlag, 1991; D. Revuz, M. Yor, Continuous Martingales and Brownian Motion, Springer Verlag 1991; K. L. Chung, R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration; N. Ikeda, S. Watanabe, Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes, North-Holland Kodansha Lda., Tokyo 1981; A. Friedmann Stochastic Differential Equations and Applications, Vol. 1, Academic Press N. Y. 1975; L. Arnold, Stochastic Differential Equations: Theory and Applications, J. Wiley and Sons N. Y. 1973; I. I. Gihman, A. V. Skorohod, Stochastic Differential Equations, Springer Verlag (c) Equações com derivadas parciais Distribuições, transformação de Fourier, transformação de Laplace; Introdução às equações com derivadas parciais; Problemas bem e mal postos; Equações de difusão; O princípio do máximo; Problemas de valores na fronteira. Métodos para a resolução das equações de difusão; separação de variáveis, séries de funções ortogonais, função de Green e identidade de Green. Problemas gerais de valores próprios; Problemas de fronteira livre. G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, second edition, Princeton University Press 1996; N. V. Krylov, Lectures on Elliptic and Parabolic Equations in Holder Spaces, American Mathematical Society 1996; E. H. Lieb, M. Loss, Analysis, American Mathematical Society (d) Modelos Discretos de Mercados Financeiros Introdução à teoria dos produtos financeiros derivados. O modelo de Cox-Ross-Rubinstein. Formalismo para os mercados a tempo discreto; martingalas e oportunidades de arbitragem; mercados completos e apreçamento de direitos contingentes; novo estudo do modelo de Cox, Ross e Rubinstein. O problema da paragem óptima e apreçamento de opções americanas. D. Lamberton B. Lapeyre, Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance Chapman & Hall 1996 (capítulos 1 e 2); R. J. Elliott, P. E. Kopp, Mathematics of Financial Markets, Springer 1999 (capítulos 1 a 5); A. N. Shiryaev, Essentials of Stochastic Finance, World Scientific, 1998; S. R. Pliska, Introduction to Mathematical Finance: Discrete Time Models, Blackwell Publishers, Oxford (e) Disciplina a definir I: Aplicadas O Mercado de Capitais Português; Os Mercados à Vista; Os Mercados Derivados. A avaliação dos Instrumentos Financeiros; Obrigações; Forwards; Futuros; Opções; Swaps. A Gestão de Carteiras de Investimento; Os Instrumentos de Investimento Colectivo; A Gestão de Carteiras; Gestão de Carteiras de Acções; Gestão de Carteiras de Obrigações; A Avaliação da Gestão de Activos Financeiros. Mercados Eficientes? CMVM- Comissão do Mercado de Valores Mobiliários A Situação Geral dos Mercados de Valores Mobiliários 1991,..., 98, Lisboa; Decreto- 6

7 Lei 142-A/91 de 10 de Abril, 1991 e respectivas alterações, Código do Mercado de Valores Mobiliários; E. J. Elton, M. J. Gruber, Modern Portfolio Theory and Investment Analysis, 5th Edition, 1995, John Wiley & Sons, Inc, New York; R. A. Haugen, Modern Investment Theory, 4th Edition, 1997, Prentice-Hall International Editions, London; J. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, Prentice Hall International, 1997, 3rd edition. (f) Disciplina a definir II; (g) Disciplina a definir III; (h) Disciplina a definir IV; 3. Semestre II (a) Estatística de Difusões; Estimadores, função de um número finito de observações, para processos estocásticos. Normalidade assimptótica. Parâmetros multi-dimensionais. Funções de estimação martingalas para difusões observadas num número finito de pontos. Funções de estimação lineares. Funções de estimação quadráticas. Funções de estimação baseadas em funções próprias. Métodos não paramétricos. U. Kuchler, M. Sorensen, Exponential Families of Stochastic Processes, Springer Verlag, 1997; C. C. Heyde, Quasi-Likelihood and its Applications, Springer Verlag (b) Métodos Estatísticos para Crono-Séries; Introdução: sucessão cronológica, definição e decomposição; metodologia de análise; generalidades sobre métodos de previsão. Modelos lineares univariados de Box-Jenkins: estacionaridade, funções autocorrelação parcial; transformações de sucessões cronológicas; processos estacionários: médias móveis (MA), autoregressivos (AR), mistos (ARMA), estritamente sazonais, multiplicativos; processos não estacionários: ARIMA e SARIMA; estimação de parâmetros; avaliação do diagnóstico: análise da qualidade estatística do modelo, análise da qualidade do ajustamento do modelo, selecção de modelos: critérios AIC e BIC; pre visão: previsão na representação equação às diferenças, intervalos de confiança para previsões, previsão de sucessões logaritmizadas. Modelos multivariados: modelos de função de transferência, modelos de intervenção. Modelos estruturais: modelo estrutural básico; modelos em espaço de estados; estimação recursiva e filtro de Kalman; previsão. Modelos de heterocedasticidade: modelos ARCH, definição e propriedades, estimação e testes de hipóteses; modelo GARCH, definição e propriedades, estimação e testes de hipóteses; previsão. G. E. P. Box, G. M. Jenkins, Time Series Analysis, Forecasting and Control, second edition, Holden-Day San Francisco 1976; A. A. Costa, Introdução à Análise e Previsão de Sucessões Cronológicas, Textos de Apoio 1, CE- MAPRE/ISEG/UTL 1990; A. A. Costa, Modelos Estruturais para Sucessões Cronológicas: uma apresentação Textos de Apoio 7, CEMAPRE/ISEG/UTL 1993; J. D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994; A. C. Harvey Forecasting, Structural Time Series Models and Kalman Filter Cambridge University Press 1989; B. J. F. Murteira, D. A. Muller, K. F. Turkman, Análise de Sucessões Cronológicas McGraw-Hill Lisboa, 1993; W. W. S. Wei, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Addison-Wesley,

8 (c) Martingalas em tempo contínuo Processos estocásticos em tempo contínuo; teorema de existência de Kolmogorov, propriedades, o processo Browniano e de Poisson. Filtrações, tempos de espera, martingalas e martingalas locais. Difusões e martingalas. A formulação nas martingalas dos problemas de difusão. Movimento Browniano e equações às derivadas parciais; Funções Harmónicas e Problema de Dirichlet; A equação do calor uni-dimensional; As fórmulas de Feynman e Kac. R. Durrett, Stochastic Calculus: A Practical Introduction, CRC Press 1996; D. W. Stroock, Lectures on Stochastic Analysis: Diffusion Theory, Cambridge University Press 1987; R. F. Bass, Diffusions and Elliptic Operators, Springer Verlag 1998; M. Freidlin, Functional Integration and Partial Differential Equations, Princeton University Press, 1985; I. Karatzas, E. E. Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus second edition, Springer Verlag, (d) Cálculo das Variações Origens históricas; Exemplos de modelos matemáticos de diversas ciências conduzindo a problemas de cálculo das variações; Breve ideia dos métodos de resolução. Cálculo das variações: Instrumentos matemáticos básicos: espaços de Sobolev e análise convexa; Métodos indirectos clássicos:equação de Euler -Lagrange, formulação hamoiltoniana, equação de Hamilton-Jacobi, teoria dos campos. Introdução ao método directo para tratar o caso convexo coercivo envolvendo funções escalares de variável vectorial ou vectoriais de variável escalar. Tratamento do caso não convexo por relaxação. Contrôlo Óptimo: Motivação: problema geral de contrôlo e sua formulação matemática; Controlabilidade: o caso linear, o caso não linear, contrôlos especiais, contrôlos bang-bang; Problemas de tempo mínimo lineares autónomos: teoremas de existência para problemas de contrôlo óptimo gerais: classes especiais de contrôlos, problemas convexos, problemas lineares no estado; Condições necessárias: o princípio do máximo de Pontriaguine e exemplos de aplicação. Problemas Actuais: Técnicas recentes para problemas não convexos: o teorema de Liapunov sobre as imagens de medidas vectoriais, o teorema da categoria de Baire o teorema de Vitali, as medidas parametrizadas; Técnicas recentes para tratar problemas não suaves e não coercivos: a análise não suave (gradientes de Clarke, Murdokhovich e proximais), condições necessárias envolvendo inclusões diferenciais, a função valor. B. Dacorogna, Introduction au Calcul des Variations, Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1992 (livro de texto); J. Macki, A. Strauss, Introduction to Optimal Control Theory, Springer Verlag, 1982 (livro de texto). I. Ekeland, T. Turnbull, Infinite-dimensional optimization and convexity, The University of Chicago Press 1983; J.-P. Aubin L Analyse non linéaire et ses motivations économiques, Masson Paris (e) Modelos Contínuos e Black-Scholes Modelos estocásticos em tempo contínuo; Teoria da arbitragem em modelos financeiros estocásticos; Teoria do apreçamento em modelos financeiros estocásticos. O Modelo de Black-Scholes: Spot Market. Estratégias auto-financiadoras. A medida de martingala para o spot-market. A fórmula de apreçamento de opções de Black-Scholes. A paridade Put-Call para opções spot. A equação às derivadas parciais de Black-Scholes. O método da carteira sem risco. Análise de sensitividade. Modificações do Modelo de Black-Scholes: Mercado de Futuros. Estratégias auto-financiadoras. A medida de martingala para o mercado de futuros. A fórmula de Black para o apreçamento de opções sobre futuros. Opções sobre contratos a prazo. Opções sobre acções pagando dividendos. A volatilidade dos preços das acções. A. N. Shiryaev, Essentials of Stochastic Finance 8

9 , World Scientific, 1998; M. Musiela, M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer Verlag 1997; I. Karatzas, Lectures on Mathematics of Finance, AMS I. Karatzas, S. E. Shreve, Methods of Mathematical Finance, Springer Verlag (f) Modelos para Taxas de Juro e Risco de Crédito (Programa facultado pelo Professor Marek Rutkowski encarregado da leccionação deste curso em língua inglesa.) Interest rates and related linear derivative contracts: pure discount bonds and coupon bearing bonds, yield-to-maturity, forward rates, forward rate agreements, valuation of forward swaps. Market conventions. Forward measure approach to the valuation of interest rate contracts. Valuation of options on pure discount bonds and coupon bearing bonds: (1) classical approach: diffusion type models of short-term interest rate (PDEs approach), examples: Vasiceks model, Cox-Ingersoll-Ross model, Longstaffs model, (2) Heath-Jarrow-Morton (HJM) methodology: valuation and hedging of bond options in the Gaussian HJM model. Cross-currency derivatives. Forward LIBOR rates and related contracts: caps and swaptions. Modelling of forward LIBOR rates: Brace-G atarek-musiela model, Musiela-Rutkowski method, Jamshidians approach. Valuation and hedging of caps and bond options in the lognormal model of forward LIBOR rates. Jamshidians model of forward swap rates: valuation and hedging of swaptions. Overview of credit risk derivatives. Introduction to point processes: default times, hazard processes, and associated martingales. Basic approaches to the modelling of defaultable bonds: (1) the value of the firm method, (2) the intensity based method (3) models with credit ratings. Markov model of defaultable term structure (Jarrow-Lando-Turnbull). Defaultable HJM term structure model with multiple ratings (Bielecki-Rutkowski). Bielecki, T. and Rutkowski, M. Credit risk modeling: a multiple ratings case Working paper, 1999; Brace, A., G atarek, D., and Musiela, M. (1997) The market model of interest rate dynamics, Mathematical Finance 7, ; Das, S. (1998) Credit derivatives - instruments, In: Credit Derivatives: Trading and Management of Credit and Default Risk, S. Das, ed., J.Wiley, Singapore, pp.7 77; Heath, D., Jarrow, R., and Morton, A. (1992) Bond pricing and the term structure of interest rates: A new methodology for contingent claim valuation, Econometrica 60, ; Jamshidian, F. (1997) LIBOR and swap market models and measures, Finance and Stochastics 1, ; Jarrow, R. A., Lando, D. and Turnbull, S.M.(1997) A Markov model for the term structure of credit risk spreads, Review of Financial Studies 10, ; Miltersen, K., Sandmann, K., and Sondermann, D. (1997) Closed form solutions for term structure derivatives with log-normal interest rates, Journal of Finance 52, ; Musiela, M., and Rutkowski, M. (1997) Martingale Methods in Financial Modelling, Springer, Berlin Heidelberg New York. Musiela, M., and Rutkowski, M. (1997) Continuous-time term structure models: Forward measure approach, Finance and Stochastics 1, (g) Disciplina a definir VI: Teoria Financeira Introdução: conceitos básicos de uma economia financeira: estados, agentes, instituições, equilíbrio. 2. Teoria da decisão em contexto de incerteza (consumidores e firmas). 2.1 Estática. 2.2 Em dois períodos. 2.3 Grande número de períodos. 3. Equilíbrio geral em economias financeiras. 3.1 Em um período e com um espaço de estados finito. 3.2 Sequencial, com um espaço de estados finitos (em mercados completos e incompletos) 3.3. A economia financeira estocástica com um número de estados e períodos finitos Economias financeiras com tempo-espaço contínuos. 3.5 Economias financeiras incompletas. 4. Equilíbrio geral e valorização dos activos financeiros. 5. Introdução 9

10 da moeda. D. Duffie, Security Markets. Stochastic Models, Academic Press 1988; D. Duffie, Dynamic Asset Pricing Theory, second edition, Princeton University Press 1996; D. Lamberton, B. Lapeyre Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall 1996; R. Merton, Continuous Time Finance, Blackwell 1990; Ch.-F.Huang e R. Litzenberger, Foundations of Finance, Prentice- Hall 1988; J. Ingersoll, The Theory of Financial Decision Making, Rowan e Littlefield, Mas-Collel, Whinston e Green, Microeconomic Theory, Oxford, Magill e Quinzii, The Theory of Incomplete Markets, Oxford, (h) Optimização Extremos de funções reais: multiplicadores de Lagrange, as segundas derivadas, a convexidade; o método de Newton. Métodos do gradiente e do gradiente conjugado; métodos de relaxação, do gradiente e de penalização. Programação não linear: o lema de Farkas Minkowski; as relações de Kuhn e Tucker; lagrangeanos e pontos sela: introdução à dualidade; o método de Uzawa. Programação linear: o método do simplex; dualidade e programação linear. P. G. Ciarlet, Introduction à l analyse numérique matricielle et à l optimisation, Masson Paris 1982; V. G. Karmanov, Mathematical Programming, Mir Publishers, Moscow (i) Disciplina a definir V ; (j) Disciplina a definir VII ; (k) Disciplina a definir VIII ; (l) Disciplina a definir IX ; 7 Disciplinas do PDM da FE/UNL O Programa de Mestrado e Doutoramento em Economia da Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa oferece(veja-se[1]), entre outras, as seguintes disciplinas particularmente bem adaptadas para inclusão como disciplinas formativas na área da Economia e. Teoria Microeconómica I Teoria Microeconómica II Teoria Microeconómica III Teoria Macroeconómica I Teoria Macroeconómica II Teoria Macroeconómica III 10

11 8 Possíveis elementos do corpo docente Apresentamos seguidamente uma lista de possíveis docentes para o Mestrado em Matemática Aplicada com a indicação das disciplinas que poderão, em princípio, leccionar. 1. Professor Doutor João Tiago Mexia, Professor Catedrático da FCT-UNL; Disciplinas: 3a, 1d. 2. Professor Doutor Daniel Muller, Professor Catedrático no ISEG-UTL; Disciplina: 3b. 3. Professor Doutor Albert Shiryaev, Academia das Ciências da Rússia; Disciplina: 3e. 4. Professor Doutor Tomas Björk, Stocholm School of Economics; Professor Marek Rutkowski, Institute of Mathematics, Technical University of Warsaw, Warszawa, Poland: 3f 5. Professora Doutora Ana Bela Cruzeiro, Professora Associada na FC-UL; Disciplina: 3c. 6. Professor Doutor António Ornelas, Professor Associado na UE; Disciplina: 3d. 7. Professora Doutora Maria do Rosário Grossinho, Professora Associada do ISEG-UTL; Disciplina: 2c. 8. Professor Doutor João Duque, Professor Associado do ISEG-UTL; Disciplina 2e. 9. Professor Doutor Paulo Menezes de Brito, Professor Associado do ISEG-UTL; Disciplina 3g 10. Professor Doutor Pedro Guerreiro, Professor Associado do DI da FCT-UNL; Disciplina 1a. 11. Professora Doutora Isabel Simão, Professora Auxiliar da FC-UL; Disciplina: 2b. 12. Professora Doutora Fernanda Veiga de Oliveira, Professora Auxiliar da FCT-UNL; Disciplina: 2c 13. Professor Doutor Carlos Alves, Professor Auxiliar do IST; Disciplina: 2a. 14. Professor Doutor Manuel L. Esquível, Professor Auxiliar da FCT-UNL; Disciplinas: 1b, 1c 2d. 15. Professor Doutor Augusto Brandão, Professor Auxiliar da FC-UL; Disciplina: 2b. Referências [1] [PDMFE] Brochura Programa de Doutoramento e Mestrado em Economia, Universidade Nova de Lisboa, Faculdade de Economia