SÓLIDOS. Módulo de Young (Y) = T / D = (F/A)/ L/L (3)

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1 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo Tensão e Deformação SÓLIDOS Corpo elástico é aquele que volta a sua forma original quando as forças deformantes são removidas (ou deixam de atuar sobre o corpo). Os corpos, em geral, são elásticos se as forças envolvidas estiverem abaixo de um certo máximo, denominado de limite elástico. Definição de Tensão de tração (T): Por definição, tensão é a razão entre a força aplicada a um corpo e sua área perpendicular a força aplicada. Em termos de equação matemática, temos: T = F /A. (ver Figura 1). Unidade de tensão = Newton (N) / Área (m ). Fig. 1 (a) Barra sólida de seção reta A sujeita a uma força F. (b) Distribuição das forças sobre um elemento afastado das extremidades. Um corpo tende a aumentar (tração) ou diminuir (compressão) seu comprimento quando está submetido a uma força. Seja L a variação de seu comprimento, então: Deformação (D) = L/L (Parâmetro adimensional) () Módulo de Young (Y) = T / D = (F/A)/ L/L (3) O módulo de Young (coeficiente de elasticidade longitudinal) é uma característica de cada material. Ele representa a constante de proporcionalidade entre a tensão e a deformação de um corpo. Quando a relação entre a tensão e a deformação deixa de ser linear, esta constante não faz mais sentido, o corpo encontra-se numa situação em que ele já pode ter chegado ao limite elástico devido à tensão e pode até mesmo partir (ponto de ruptura). (ver Figura ) O Y do aço, e.g., é igual a 00 GN/m ( Tabela 1). Normalmente Y tensão = Y compressão, porém, no concreto a resistência a tração é 8,5 vezes maior que a resistência a compressão.

2 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo TABELA 1 Módulo de Young (Y) e Resistência à Tração e à Compressão* Material Y (GN/m ) Resistência à Tração (MN/m ) Resistência à Compressão (MN/m ) Alumínio Aço Bronze Chumbo 16 1 Cobre Ferro (forjado) Osso Tração Compressão 9 70 Concreto 3 17 Fig. Gráfico de tensão x Deformação. Se a tensão ultrapassar o ponto B, a barra não retornará ao seu comprimento original se a força sobre ela for removida. A figura acima mostra o comportamento de um material quando submetido a uma tensão. Até o ponto A, o módulo de Young é válido. Até B o corpo pode voltar a sua forma após a aplicação da força é, porém, acima disso, o corpo apresenta mudança permanente no seu formato pois um rearranjo molecular ocorreu quando a força foi aplicada. Entre B e o ponto de ruptura, o material tornar-se plástico não voltando mais a sua forma original caso a força sobre este seja retirada. O ponto máximo de tensão é denominado de limite de resistência a tração. Lei de Hooke: Dentro do limite elástico, F = k. l. A Tensão de Cisalhamento é definida da seguinte maneira: T s = F s /A, (4) onde F s é a força exercida sobre uma superfície de área A, como mostra a Figura 3. Deformação de Cisalhamento (D s ) = X/L D s = X/L = tg θ. (5)

3 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 3 Os parâmetros estão representados na Figura 3. Fig. 3 Aplicação da força horizontal F s sobre o livro provoca um cisalhamento. Módulo de Cisalhamento (M s ) = tensão de cisalhamento / deformação de cisalhamento. M s = (F s /A) / tg θ = T s / D s. (6) O módulo de cisalhamento também é conhecido como módulo de torção. Exercício resolvido: Um corpo de 500 kg é pendurado num cabo de aço com 3 m de comprimento e área da seção reta 0,15 cm. De quanto o cabo se alonga? O alongamento do cabo se calcula pelo módulo de Young utilizando a equação (3): F Y = A L = L L F L A Y A força que atua sobre o cabo é o peso da carga de 500 kg: F = mg = 500 x9,81 = 4,9x10 3 N Convertendo a área em m obtemos: A = 0,15 cm 5 = 1,5 x10 m Consultando a tabela 1 obtemos o módulo de Young para o aço: Y = = GN / m x10 N / m Substituindo os valores na primeira equação obtemos: L = 0, 49 cm

4 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 4 FLUIDOS Os fluidos compreendem os líquidos e os gases. Os líquidos escoam sob a ação da gravidade até ocuparem as regiões mais baixas possíveis dos vasos que os contêm. Os gases se expandem até ocuparem todo o volume do recipiente, qualquer que seja a forma. 1 Densidade de um Corpo também conhecida como densidade mássica ou massa específica Definição de densidade (ρ) ρ = m /V (1) onde m é a massa do corpo e V é o volume deste corpo. Para o Sistema Internacional de Unidade ( temos que a unidade de densidade é kg/m 3. Não esqueça que 1000 l = 1 m 3, que 1 kg = 1000 g e que o grama foi definido originalmente, como a massa de um centímetro cúbico de água. Exercício: Considerando que um núcleo tem uma massa de 1,67 x 10-7 kg e que o seu raio (considerando-o uma esfera) é da ordem de m, temos que a densidade desta partícula é ~ 4x10 14 kg/m 3. Obtenha este resultado. (A densidade de uma estrela de nêutron é da ordem de 1x10 15 g/cm 3 ou 1.000x10 15 kg/m 3 ) A Tabela 1 mostra alguns materiais e suas respectivas densidades. Tabela 1 Densidades de alguns materiais Substância (*) ρ (kg/m 3 ) Substância (*) ρ (kg/m 3 ) Substância (*) ρ (kg/m 3 ) Ósmio (s) 500 Alumínio (s) 700 Álcool (l, etanol) 806 Ouro (s) Vidro (s, comum) Gasolina (l) 680 Mercúrio (l) Osso (s) Madeira (s, carvalho) Chumbo (s) Tijolo (s) Ar atmosférico (g) 1,93 Cobre (s) 8930 Água do mar (l) 105 Água (Vapor a 100 C) 0,6 Ferro (s) 7960 Água (l) 1000 Hélio (g) 0,1786 Terra (s, média) 550 Gelo (s) 90 Hidrogênio (g) 0,08994 * (s) sólido; (l) líquido; (g) gás A densidade relativa (ρ r ) é definida como a razão entre a densidade de uma substância e a densidade da água. Densidade da água = 1000 kg/m 3 = 1 g/cm 3. (para T = 4 C e P = 1 atm)

5 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 5 Temperatura ( C) Densidade (g/cm 3 ) 0 (solid) (liquid) (gas) Problema Um picnômetro (frasco aferido destinado à medição de massa específica de sólidos ou líquidos) tem uma massa de,71 g. Cheio de água tem massa total igual a 153,38 g e cheio de leite tem massa total de 157,67 g. Ache o ρ do leite. Solução: ρ leite = massa do leite/volume do leite. Mas o volume do leite = volume da água. Volume da água = massa da água / densidade da água = (153,38,71)x10-3 /1000 = 130,67x10-6 m 3. ρ leite = (157,67,71)x10-3 / 130,67x10-6 = 103,4 kg/m 3 = 1,03 g/cm 3. - Pressão Num Fluido Fluido É um estado físico que permite fluir ou escoar. Suponha um corpo de espessura muito pequena e submerso num fluido (Figura 1). Podemos então definir pressão da seguinte maneira. Pressão (P) é a razão entre a força aplicada numa superfície e a sua área = F/A. No SI, a unidade de pressão é o Pascal (Pa) 1 Pa = 1 N/m. 1 atm = Pa. 1 bar=10 3 milibar=100 kpa (mais usada em meteorologia) Fig. 1 Força F exercida sobre um bloco de espessura infinitesimal e área A devido à pressão do fluido sobre esta superfície

6 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 6 Módulo de compressibilidade (B) Num fluido, B é definido da seguinte forma: F B = A. () V V Veja que se um corpo é submetido a uma variação de pressão (F/A), o seu volume diminui, logo a variação de volume é negativa, razão pela qual usamos o sinal negativo na Equação. V é o volume do corpo antes de ser submetido a uma variação de pressão. Quanto mais difícil for comprimir um corpo menor será a razão V, para uma certa variação de pressão, e maior V será o módulo de compressibilidade correspondente. Os líquidos e os sólidos são relativamente incompressíveis e têm valores elevados de B, que dependem pouco da pressão e da temperatura. Os gases por outro lado, são facilmente comprimidos e apresentam uma alta dependência da pressão e da temperatura. A Tabela mostra o módulo de compressibilidade para alguns materiais. Tabela Módulo de compressibilidade (GN/m ) de vários materiais Material B Material B Material B Diamante 60 Tungstênio 00 Aço 160 Cobre 140 Ferro 100 Alumínio 70 Mercúrio 7 Chumbo 7,7 Água Relação entre P e altura (h) No caso de um líquido como a água, cuja densidade é aproximadamente constante, a pressão aumenta linearmente com a profundidade (veja Figura ). O fluido tem massa m, conseqüentemente o peso do fluido exercerá uma pressão P no fundo da coluna de água, que deve ser maior do que no topo para suportar o peso da coluna de água. Seja mg o peso da água sobre o fundo da coluna, então a pressão no fundo devido à água é: P = mg/a = ρ.v.g/a = ρ.a.h.g/a = ρ.h.g. Logo, a pressão total sobre o fundo da coluna é: P = P o + P = P o + ρ.h.g. (3) Fig. Pressão sobre um fluido. Naturalmente esta relação só vale se a densidade do fluido for constante. Caso contrário, se faz necessário ter a relação entre densidade e altura. Princípio de Pascal A pressão aplicada a um líquido encerrado num vaso se transmite, sem qualquer diminuição, a todo ponto do fluido e às paredes do vaso. Pressão manométrica e pressão atmosférica

7 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 7 Pressão atmosférica é a pressão exercida num corpo devido à atmosfera Pressão manométrica é a diferença entre a pressão absoluta (total) e a pressão atmosférica. Exemplo: Elevador hidráulico. As pressões em ambas os êmbolos são dadas por: P 1 = F 1 / A 1 e P = F / A. Pelo Princípio de Pascal, temos que P 1 = P, então F = A F 1 / A 1 Considere o lado esquerdo da Figura 3. A pressão no reservatório de ar P é igual à pressão atmosférica mais a pressão devido à coluna de água. Ou seja: P = P atm + ρgh P atm = ρgh Fig. 3 Pressão manométrica P pode ser medida por um manômetro de tubo aberto (esquerda) e a pressão atmosférica pode ser medida por um barômetro de tubo em U (direita). Se P= 0 atm, então h 10 m para a água e 760 mm para o Hg. Obs. A atmosfera da Terra fica cada vez mais rarefeita à medida que a altitude aumenta. Conseqüentemente, em altitudes acima do nível do mar, menos ar fica sobre as nossas cabeças logo a pressão diminui. Para temos uma idéia da massa de ar que existe sobre a unha do dedão, podemos fazer o seguinte cálculo: Suponha que a área da unha do dedão seja de 1cm. Considere que estamos na superfície do mar, a pressão é de 1 atm (=10135 Pa). Logo, a força que o ar exerce sobre a unha é de 10135*1x10-4 = 10,13 N, ou seja, a massa de ar sobre a unha é de 10,13/9,8 = 1,03 kg! Você acredita?

8 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 8 A pressão do ar varia com a altitude de acordo com a seguinte expressão: Mg P( h) = P0 exp h, onde h é a altitude, M, g, R e T é a massa molecular da atmosfera, RT aceleração da gravidade, constante ideal dos gases e temperatura absoluta da atmosfera, respectivamente. Para se ter uma idéia do que isto significa basta informar que para h = 11 km (altitude de cruzeiro de vários aviões comerciais) a pressão é cerca ¼ da pressão na superfície do mar (P o ). Como a atmosfera fica mais rarefeita a medida que a altitude aumenta, é de se esperar que a densidade também diminua. Na Figura 4 é mostrado o perfil de densidade de alguns constituintes atmosféricos juntamente com o perfil de temperatura. Estes dados foram obtidos pelo modelo MSIS para a cidade de São João do Cariri, PB. Podemos ver que em altitudes abaixo de 10km as concentrações do O e do N aumentam com maior proporção. É nesta altitude que as naves espaciais e os meteoritos começam a deixar o claro característico devido ao atrito com a atmosfera. 00 TEMPERATURA ( C) TEMPERATURA ALTITUDE (km) COMPOSIÇÃO MODELO MSIS_90 O N O He Ar H E+4 1E+5 1E+6 1E+7 1E+8 1E+9 1E+10 1E+11 1E+1 1E+13 1E+14 1E+15 1E+16 1E+17 1E+18 1E+19 1E+0 N Hora Local: 1 h Data: 01/01/1997 Lat., Long.: -7, -36 Média Atividade Solar CONCENTRAÇÃO (cm ) F ig. 4 Perfil de concentração por cm 3 de alguns constituintes atmosféricos. a linha escura contínua representa a temperatura da atmosfera obtida pelo modelo MSIS para o dia 01/01/1997 sobre a cidade de S. J. do Cariri.

9 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 9 3 O Empuxo e o Princípio de Arquimedes Empuxo é a força exercida por um fluido sobre um corpo nele imerso. Princípio de Arquimedes Um corpo imerso, total ou parcialmente num fluido, sofre um empuxo que é igual ao peso do volume do fluido deslocado. Obs. Basicamente o que isto significa é que o peso de um corpo dentro de um fluido é menor do que fora deste. Na realidade, isto se deve ao fato de surgir uma força para cima denominada de empuxo. Quem determina a direção do empuxo é a direção onde ocorre variação de pressão, ou seja, a se a pressão está aumentando, e.g., da esquerda para direita, o empuxo apontará para a esquerda. No nosso dia-a-dia, quando entramos numa piscina, temos a sensação de estarmos mais leve, isto porque o empuxo atua de baixo para cima. Então, se temos uma massa de 60 kg e se o empuxo é de, e.g., 560 N (supondo densidade média do corpo igual a 1050kg/m 3 ), teremos, na prática, perdido uma massa equivalente a aproximadamente 57, kg caso estejamos completamente submerso. Ao sairmos da piscina teremos nossa massa original de volta. Peso de um corpo imerso num fluido ( A Figura 5 mostra um corpo imerso na água dependurado por uma mola e o diagrama de forças mostrando o peso e a força da mola F s. F 1 é a força do fluido sobre a superfície superior do corpo e F é a força provocada pela pressão do fluido na parte inferior do corpo. Temos então: F s + F = F 1 + W F F 1 = W F s (4) Fig. 6 Forças sobre um corpo imerso num fluido. Fig. 5 Decomposição de forças que atuam sobre um corpo imerso num fluido.

10 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 10 Se substituirmos o corpo por um volume do próprio fluido (Figura 6) e não levarmos mais em conta que existe algo segurando o corpo (F s =0), teremos: W f + F 1 = F (5) Ou seja, E = W f Este resultado, que é de extrema importância para o assunto abordado aqui, diz que o empuxo que um fluido exerce sobre um corpo imerso completamente ou não neste fluido, é igual ao peso do fluido deslocado por este corpo. Na Equação 4 vimos que W F s = E, então, em termos de densidades, temos: F s = W E = ρ.v.g ρ f.v.g = ρ.v.g.(1 - ρ f /ρ) = W(1 - ρ f /ρ). (6) Assim, segundo a equação anterior, a força medida pelo dinamômetro é sempre menor que o peso do corpo quando este está fora do fluido. Suponha que o fluido seja água: F s = W W/ρ r ρ r = W/(W- F s ) = W/E. Veja ótima demonstração das forças que atuam sobre um corpo quando este é introduzido dentro de um fluido Fluidos em Movimento e Equação de Bernoulli A Equação de Bernoulli descreve o comportamento de um fluido que está em movimento. Esta equação relaciona vários parâmetros físicos tais como velocidade e pressão. Inicialmente devemos considerar que o fluxo de massa é laminar não turbulento e incompressível. Equação de continuidade A porção do fluido que está em 1 (na extremidade esquerda), percorrerá uma distância v 1 t num intervalo de tempo t (Figura 7). Neste mesmo instante, o fluido que está em, percorrerá uma distância v t até atingir a outra extremidade. Se levarmos em conta que não existe sorvedouro ou sumidouro entre 1 e, então o volume deslocado em 1 é igual ao volume deslocado em. Ou seja: Fig. 8 Fluido escoando por uma região. Os volumes nas regiões destacadas são iguais.

11 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 11 V 1 = V A 1. v 1 t = A.v t A 1. v 1 = A.v ou A.v = constante (7) A grandeza A.v é denominada de vazão volumar I v e sua unidade é m 3 /s. Assim, I v = A.v é a equação da continuidade. A vazão mássica, por outro lado é dada por: I m = ρ.a.v. Equação de Bernoulli Considere a Figura 8. A porção do fluido de massa m que está entre 1 e 1 sofrerá uma variação de energia potencial ao chegar em, dado por: U = m.g.y m.g.y 1 = ρ.v.g (y y 1 ) (8) Fig. 7 Fluido em movimento num tubo que tem variável a altura e o diâmetro.

12 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 1 Enquanto que a variação de energia cinética é dada por: 1 ( mv mv ) = V ( v v ) 1 K = 1 ρ (9) 1 A força necessária para empurrar a massa m em A 1 se contrapõe a F que realiza um trabalho negativo, é dada por: F 1 = P 1.A 1 W 1 = P 1.A 1. x 1 e F = P.A W = - P.A. x Logo, o trabalho total é W T = P 1.A 1. x 1 - P.A. x = (P 1 P ).V Pelo Teorema da energia cinética, temos: W T = U + K, ou seja (P 1 P ) V = ρ.g.(y y 1 )V + ½ ρ.(v v 1 ) V P 1 + ρ.g.y 1 + ½ ρ.v 1 = P + ρ.g.y + ½ ρ.v ou P + ρ gh + 1 ρ v constante = (10) A Equação 10 é denominada de Equação de Bernoulli. Efeito Venturi Quando a velocidade do fluido aumenta, a pressão neste diminui. Prova: Considere o fluido escoando pelo tubo representado na Figura 11. Como a vazão é constante, temos: A 1.v 1 = A.v v = (A 1 / A ).v 1. Se A 1 > A, então v > v 1. Exercício: Prove que a pressão onde o tubo é mais estreito é menor. (Veja Figura 8) Fig. 8 Constrição de um tubo por onde flui um líquido.

13 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 13 Tubo de Pitot mede a velocidade de um avião com relação ao ar. Utilize a equação de Bernoulli para determinar a equação que relaciona a velocidade com a altura l do tubo. Fluxo de ar com velocidade igual a v 0 Fig. 9 Representação detalhada de um Tubo de Pitot (esquerda) e onde ele fica normalmente instalado num avião (direita) No ponto 1 (Fig. 9) o ar está parado, pois não tem como sair pela extremidade oposta. A pressão em é a mesma pressão do ar que passa dentro do tubo com velocidade v 0. Assim, a equação de Bernoulli fica da seguinte forma: P1 + ρ ar gh1 + ρ ar v1 = P + ρ ar gh + ρ ar v P1 P = ρ ar v 0. Aqui supomos que as alturas são iguais nos dois orifícios. Também trocamos v por v 0. Levando em conta que a diferença de nível das superfícies do líquido de densidade ρ é dada por P P = ρ g, obtemos: 1 l ρ gl v0 =. ρ ar A ~5500m de altitude, a densidade do ar é quase 50% da densidade no nível do mar, sendo assim, a correção deve ser feita para não haver erro de medição de velocidade. Exercícios:

14 Notas de aula Física II Profs. Amauri e Ricardo 14 1) A água flui através de uma mangueira de diâmetro igual a 3 cm a 0,65 m/s. O diâmetro do bocal da mangueira é 0,30 cm. (a) A que velocidade a água passa através do bocal? (b) Se a bomba numa extremidade da mangueira, e o bocal na outra estiverem na mesma altura, e se a pressão na saída do bocal for a atmosférica, qual será a pressão na saída da bomba? ) Um grande bloco de cortiça pesa 85N no ar. Quando o bloco é imerso em água, e preso a um dinanômetro no fundo, a leitura deste é 855N. Achar a densidade da cortiça. 3) Uma embarcação navegando em água salgada (densidade igual a 1030 kg/m 3 ) sofre um ligeiro afundamento ao entrar em um rio de água doce. Removendo-se 600 toneladas da carga da embarcação, o nível da linha d água retorna aa posição original. Determinar a massa da embarcação supondo que os costados são verticais. 4) Uma represa retangular, com 30 m de largura, suporta um corpo de água com uma altura de 5 m. (a) Desprezando a pressão atmosférica, achar a força total devida à pressão da água que atua sobre uma faixa horizontal da represa, com largura dy numa profundidade y. (b) Integrar o resultado de (a) para obter a força total. (c) Por que é razoável desprezar a pressão atmosférica. Exercícios para casa: Vide livro texto, 3 a edição. De 1 a 15, de 17 a 6, de 9 a 33, 37, 39, 41 e 44. Última atualização: agosto 008