UFABC Fenômenos Térmicos Prof. Germán Lugones. Aula 1: Hidrostática

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1 UFABC Fenômenos Térmicos Prof. Germán Lugones Aula 1: Hidrostática

2 Fluidos Um fluido é qualquer substância que pode escoar e alterar a forma do volume que ele ocupa. Ao contrário, um sólido tende a manter sua forma. Usamos o termo fluido para gases e líquidos. Principal diferença: um líquido tem coesão e um gás, não. As moléculas em um líquido estão próximas entre si podem exercer forças de atração umas sobre as outras tendem a permanecer juntas (ou seja, coesas) uma quantidade de líquido mantém o mesmo volume enquanto flui. As moléculas de gás são separadas na média por distâncias muito maiores que o tamanho de uma molécula as forças entre as moléculas são fracas há pouca ou nenhuma coesão, e um gás pode facilmente mudar de volume. Exemplo: Se você derramar 500 ml de água em uma tigela, a água ainda ocupará um volume de 500 ml. Se você abrir a válvula em um tanque de oxigênio comprimido que possui um volume de 500 ml, o oxigênio se expandirá para um volume muito maior.

3 Os fluidos desempenham papel vital na Natureza. Alguns exemplos: Biologia, Medicina: hemodinâmica Engenharia: aerodinâmica de aviões, carros, etc. Ciências Atmosféricas, Astrofísica/ Cosmologia.

4 Hidrostática e Hidrodinâmica Hidrostática: estudo de fluidos em repouso, em situação de equilíbrio. - analogamente a outras situações de equilíbrio, ela se pauta na primeira e na terceira leis de Newton. - Vamos analisar os conceitos básicos de densidade, pressão e empuxo. Hidrodinâmica ou dinâmica dos fluidos: estudo de fluidos em movimento. - é muito mais complexa; trata-se, na verdade, de um dos ramos mais complexos da mecânica. - Felizmente, podemos analisar muitas situações importantes utilizando modelos idealizados simples e princípios familiares, como as leis de Newton e a lei da conservação da energia. - Mesmo assim, trataremos apenas superficialmente deste vasto e interessante tópico.

5 Densidade Uma propriedade importante de qualquer material, fluido ou sólido, é sua densidade, definida como a massa por unidade de volume. Em português, um sinônimo de densidade é massa específica. Um material homogêneo, como o gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as suas partes. Para um material homogêneo: Densidade de um material homogêneo r = m V Massa do material Volume ocupado pelo material A unidade SI de densidade é o quilograma por metro cúbico (1 kg/m 3 ). A unidade CGS, grama por centímetro cúbico (1 g/cm 3 ), também é muito empregada.

6 Dois objetos feitos com o mesmo material possuem a mesma densidade, mesmo que tenham massas e volumes diferentes. Massas diferentes, mesma densidade: tanto a chave inglesa quanto o prego, por serem feitos de aço, possuem a mesma densidade (massa por unidade de volume). Isso acontece porque a razão entre a massa e o volume é a mesma para ambos os objetos. Chave inglesa de aço Prego de aço

7 Material Densidade (kg/m 3 )* Material Densidade (kg/m 3 )* Ar (1 atm, 20 C) 1,20 Ferro, aço 7, Etanol 0, Bronze 8, Benzeno 0, Cobre 8, Gelo 0, Prata 10, Água 1, Chumbo 11, Água do mar 1, Mercúrio 13, Sangue 1, Ouro 19, Glicerina 1, Platina 21, Concreto Estrela anã branca Alumínio 2, Estrela de nêutrons * Para obter a densidade em gramas por centímetro cúbico, simplesmente divida os valores por 10 3.

8 A densidade de alguns materiais varia de um ponto a outro no interior do material. Exemplo: o corpo humano possui gordura, com densidade cerca de 940 kg/m 3, e ossos com densidade entre e kg/m 3. Nesses casos a equação ρ=m/v descreve apenas a densidade média. Em geral, a densidade de um material depende de fatores ambientais, como a temperatura e a pressão.

9 Pressão Um fluido exerce uma força perpendicular sobre qualquer superfície que esteja em contato com ele, como a parede do recipiente ou um corpo imerso no fluido. Embora o fluido como um todo esteja em repouso, as moléculas que o constituem estão em movimento; as forças exercidas pelo fluido são oriundas das colisões moleculares com as superfícies vizinhas. Se pensarmos em uma superfície imaginária no interior do fluido, este exerce forças iguais e contrárias sobre os dois lados da superfície. Caso contrário, a superfície seria acelerada e o fluido não estaria em repouso.

10 Considere uma pequena superfície de área da centralizada em um ponto do fluido; a força normal exercida pelo fluido sobre cada lado da superfície é df. df # da df # A superfície não acelera, então o fluido circundante exerce forças normais iguais em ambos os lados da superfície. (O fluido não pode exercer qualquer força paralela à superfície, já que isso faria com que a superfície acelerasse.)

11 Definimos a pressão P nesse ponto como a força normal por unidade de área, ou seja, pela razão entre df e da: Quando a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana de área A, então: P = F # A onde F é a força normal resultante sobre um dos lados da superfície. A unidade SI de pressão é o pascal, onde 1 pascal 1 Pa 1 N/m 2 Duas unidades relacionadas, usadas principalmente em meteorologia, são o bar, igual a 10 5 Pa, e o milibar, igual a 100 Pa.

12 A pressão atmosférica P a é a pressão exercida pela atmosfera terrestre. Essa pressão varia com as condições do tempo e com a altitude. A pressão atmosférica normal ao nível do mar (um valor médio) é: (P a ) m 1 atm 1, Pa 1,013 bar millibar

13 Pressão, profundidade e lei de Pascal Quando desprezamos o efeito do campo gravitacional (negligenciamos o peso do fluido), a pressão no interior do fluido é a mesma em todos os pontos de seu volume. Porém, geralmente o efeito do campo gravitacional não é desprezível a pressão varia com a altura. Exemplos: - A pressão atmosférica em altitudes elevadas é menor que a pressão atmosférica ao nível do mar; por essa razão, a cabine de um avião deve ser pressurizada. - Quando você mergulha em águas profundas, seus ouvidos informam a você que a pressão está crescendo com o aumento da profundidade.

14 Agora vamos deduzir uma expressão para a variação da pressão no interior de um fluido em repouso em função da altura. Suponhamos que a densidade ρ e a aceleração da gravidade g sejam constantes em todos os pontos do fluido. Quando o fluido está em equilíbrio, qualquer elemento fino do fluido com espessura dy também está em equilíbrio (ver Figura). As superfícies inferior e superior possuem área A e estão em elevações y e y+dy acima de algum nível de referência, onde y=0. (a) O elemento de fluido tem: Volume: dv=ady Massa: dm=ρdv=ρady Peso: dp = dm g = ga dy. Um elemento de fluido em repouso com área A e altura dy A y dy 0

15 Quais são as forças que atuam sobre esse elemento de fluido? Seja P a pressão na superfície inferior A componente y da força resultante que atua sobre essa superfície é PA. A pressão na superfície superior é P+dP A componente y da força resultante que atua (de cima para baixo) sobre a superfície superior é (P+dP)A. Peso do elemento de fluido: dm g = ρdv g = ρady g. As forças sobre os lados do elemento de fluido se anulam.

16 O elemento de fluido está em equilíbrio o componente y da força total resultante, incluindo o peso e as outras forças mencionadas, deve ser igual a zero: gf y 0, logo PA (P dp) A rga dy 0 Dividindo pela área A e reagrupando os termos, obtemos dp dy =-rg Esta equação mostra que, quando y aumenta, P diminui; ou seja, à medida que subimos através do fluido, a pressão diminui, como era de se esperar. Se P 1 e P 2 forem, respectivamente, as pressões nas alturas y 1 e y 2, e se ρ e g permanecerem constantes, então: Diferença de pressão Densidade uniforme do fluido entre dois pontos em P 2 - P 1 = -rg(y 2 - y 1 ) Alturas dos um fluido de densidade dois pontos uniforme Aceleração decorrente da gravidade (g 7 0)

17 Às vezes é mais conveniente expressar a Equação anterior em termos da profundidade abaixo da superfície do fluido. Considere o ponto 1 em qualquer nível do fluido e seja P a pressão nesse nível. Considere o ponto 2 na superfície do fluido, onde a pressão é P 0 (subscrito 0 para a profundidade zero). A profundidade do ponto 1 abaixo da superfície do fluido é h = y 2 y 1, logo: P 0 P rg (y 2 y 1 ) rgh Fluido, densidade r P 2 = P 0 2 y 2 - y 1 = h P 1 = P 1 y 1 y 2 A uma profundidade h, a pressão P é igual à pressão de superfície P 0 mais a pressão rgh decorrente do fluido sobreposto: P = P 0 + rgh. Diferença de pressão entre os níveis 1 e 2: P 2 - P 1 = -rg(y 2 - y 1 ) A pressão é maior no nível mais baixo.

18 Portanto temos: A pressão P em uma profundidade h é maior que a pressão P 0 na superfície, e a diferença entre elas é ρgh. Observe que a pressão em qualquer dos dois pontos do fluido é sempre igual em todos os pontos no mesmo nível do fluido. A forma do recipiente não altera essa pressão (ver Figura no próximo slide).

19 A pressão no topo de cada coluna de líquido é a pressão atmosférica, P 0. h A pressão na base de cada coluna de líquido possui o mesmo valor P. A diferença entre P e P 0 é rgh, onde h é a distância do topo à base da coluna de líquido. Logo, todas as colunas apresentam a mesma altura.

20 A Equação P = P 0 + ρgh mostra que, se aumentarmos o valor da pressão P 0 no topo da superfície (por exemplo usando um pistão que empurra a superfície do fluido para baixo) a pressão P em qualquer profundidade do fluido aumenta de um valor exatamente igual ao do aumento da pressão. Esse fato é chamado de lei de Pascal. LEI DE PASCAL: a pressão aplicada a um fluido no interior de um recipiente é transmitida sem nenhuma diminuição a todos os pontos do fluido e para as paredes do recipiente.

21 Exemplo: elevador hidráulico Um elevador hidráulico ilustra a lei de Pascal. Um pistão, cuja seção reta possui pequena área A 1, exerce uma força F 1 sobre a superfície de um líquido como um óleo. A pressão aplicada P=F 1 /A 1 é transmitida integralmente através dos tubos até um pistão maior com área A 2. A pressão aplicada nos dois cilindros é a mesma, logo P = F 1 A 1 = F 2 A 2 e F 2 = A 2 A 1 F 1 Uma força pequena é aplicada a um pistão pequeno. F 1 F 2 Como a pressão P é a mesma em todos os pontos em determinada altura no fluido... PA 1 PA 2... um pistão com área maior na mesma altura experimenta uma força maior.

22 O elevador hidráulico é um dispositivo que multiplica o valor de uma força, e o fator de multiplicação é dado pela razão entre as áreas dos dois pistões. Cadeiras de dentista, elevadores de carro, macacos hidráulicos, diversos elevadores e freios hidráulicos são exemplos de aplicação desse princípio.

23 Exemplo: A força da água em uma represa Exemplo 02: A Força da Água em uma Represa Exemplo 02: A Força da Água em uma Represa Exemplo 02: A Força da Água em uma Represa A água preenche uma altura H A água preenche uma altura H de uma represa de uma represa A água preenche uma altura H de uma represa de largura w. Determine: de largura w. Determine: de largura w. Determine: (a) A força resultante sobre a represa (a) A força resultante sobre a represa (a) A força resultante sobre a represa Em uma dada altura y a pressão é: Em uma dada altura y a pressão é: Em uma dada altura y a pressão é: P = ρ gh = ρ g ( H y ) P = ρ gh = ρpg =Hρ gh y= ρ g ( H y ) A força df exercida em uma faixa de largura dy A força df exercida em uma faixa de largura dy A força df exercida em uma faixa de largura dy a uma altura y é: a uma altura y é: a uma altura y é: F = PA df = PdA df = ρ g ( H y ) wdy F == PA dfdf = PdA df = yρ gwdy H y ) wdy ( F = PA df PdA = ρ g H H H H H 1 21 H H F = df FF == df ρ gw H y dy = ρ gw H y dy F = ρ gwh 2 ( ) ( ) 1 F = ρ gw H y dy = ρ gw H y dy F = ρ gwh )0 H y dy ( )F 2= ρ gwh2 2 F = df F = 0 ρ gw H 0 y dy( = ρ gw (b) A pressão média (P) exercida sobre a represa (b) A pressão média (P) exercida sobre a represa (b) A pressão média (P) exercida sobre a represa ρ gwh ρ gwh FTotal 1 FTotal P= P = P = ρ gh P= P= P = ρ gh ρ gwh F 1 A wh 2 wh P = Total PA= 2 P = ρ gh 2 A wh 2 ( ) ( ( ) ) ( )

24 Medições da pressão: barômetro de mercúrio A figura ao lado mostra um barômetro de mercúrio, inventado por E. Torricelli. Ele consiste de um tubo cheio de mercúrio, que é colocado invertido num recipiente cheio de mercúrio. Pelo fato da extremidade superior ser fechada, forma-se uma coluna de mercúrio. Na porção superior sem mercúrio, formase praticamente um vácuo, onde P = 0. Como os pontos A e B estão no mesmo nível, P A = P B. Mas o ponto B se encontra na superfície aberta, logo P B é igual à pressão atmosférica, P atm (ou P 0 ). P A = ρ Hg gh ρ Hg gh = P atm h = P atm ρ Hg g P B = P atm h = 1, Pa 13, ,8 h = 760 mm 1 atm = 760 mm Hg medido a 0 Celsius b) Manômetro de tubo aberto:

25 Medições da pressão: Manômetro de tubo aberto O manômetro de tubo aberto, mostrado na figura ao lado, é um dispositivo para medir a pressão de um gás contido em um recipiente. Gás Uma extremidade do tubo em U, que contém líquido, está aberta, e a outra conectada com um tubo fechado com gás, a pressão P. Como os pontos A e B estão no mesmo nível, P A = P B. Logo, a pressão do gás deve ser igual à pressão em B. Líquido P B = P 0 + ρgh P = P 0 + ρgh

26 Princípio de Arquimedes Um corpo imerso na água parece possuir um peso menor que no ar. Quando o corpo possui densidade menor que a do fluido, ele flutua. O corpo humano normalmente flutua na água, e um balão cheio de hélio flutua no ar. Estes são exemplos de empuxo, um fenômeno descrito pelo princípio de Arquimedes: quando um corpo está parcial ou completamente imerso em um fluido, este exerce sobre o corpo uma força de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado pelo corpo.

27 Um material homogêneo, como o gelo ou o ferro, possui a mesma densidade em todas as suas partes. Porção qualquer de fluido de área da base A e altura h em equilíbrio. Pressão dependente da profundidade P Fundo > P Topo F = PA F Fundo > F Topo B Empuxo B = F Fundo F Topo B = P Fundo A P Topo A B = ΔPA ΔP = ρ fluido gh B = ρ fluido gha B = ρ fluido gv M fluido = ρ fluido V B = M fluido g B! = F!! Fg g peso do fluido contido no volume V

28 Exemplo: desafio de Arquimedes Eureka! (achei, em grego). Segundo lenda, Herão, rei de Siracusa, solicitou a Arquimedes descobrir se uma coroa feita para ele era de ouro puro. Arquimedes resolveu o problema pesando primeiro a coroa no ar e em seguida, imersa na água, conforme mostra a figura. Suponha que a balança tenha medido 7,84 N no ar e 6,84 N na água. A que conclusão Arquimedes chegou?

29 Solução: Equilíbrio de forças no ar (na direção vertical): T ar mg =0 T ar ρ c V c g = 0 (1) onde V c e ρ c são, respectivamente, o volume e a densidade da coroa. Equilíbrio de forças quando a coroa está mergulhada na agua: T agua + E mg =0 T agua + ρ agua V c g ρ c V c g =0 (2) Da Eq (1) isolamos o volume da coroa V c : V c = T ar / (ρ c g) Substituindo na Eq. (2) obtemos : T agua + ρ agua ρ c T ar T ar = 0 Portanto: T ar ρ c = ρ agua T ar T agua

30 Substituindo os valores dados das tensões e sabendo-se que ρ agua = kg/m 3, temos que a densidade da coroa é: ρ c =7, kg/m 3 Como a densidade do ouro é ρ Au =19, kg/m 3, existem duas possibilidades: a coroa não é de ouro puro ou que a coroa é de ouro puro, mas não deve ser maciça.