Mecânica dos Fluidos

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE FÍSICA Mecânica dos Fluidos Prof. Nelson Luiz Reyes Marques

2 Hidrostática Estuda o comportamento dos líquidos em equilíbrio. Teorema de STEVIN Pressão atmosférica Princípio de PASCAL Teorema de ARQUIMEDES Experimento: tensão superficial e mov. browniano

3 Primórdios da Hidrostática A hidrostática, estudo do equilíbrio dos líquidos, é inaugurada por Arquimedes. Diz a lenda que Hierão, rei de Siracusa, desafia Arquimedes a encontrar uma maneira de verificar sem danificar o objeto, se era de ouro maciço uma coroa que havia encomendado. Arquimedes soluciona o problema durante o banho. Percebe que a quantidade de água deslocada quando entra na banheira é igual ao volume de seu corpo. Ao descobrir esta relação sai gritando pelas ruas "Eureka, eureka!" (Achei, achei!). No palácio, mede então a quantidade de água que transborda de um recipiente cheio quando nele mergulha sucessivamente o volume de um peso de ouro igual ao da coroa, o volume de um peso de prata igual ao da coroa e a própria coroa. Este, sendo intermediário aos outros dois, permite determinar a proporção de prata que fora misturada ao ouro. Bom, apesar da ilustração, dizem que o fundador da matemática aplicada quase nunca tomava banho. Era gênio, mas também era porco.

4 Densidade Consideremos um corpo de massa m e volume V. A densidade (d) do corpo é definida por: d = m V No Sistema Internacional a unidade de densidade é : kg / m 3 (ou kg. m -3 ) Na prática são também, usadas: g / cm 3 (ou g. cm -3 ) e kg / L (ou kg. L -1 ) Experimento: mercúrio e água densidade parafina

5 Densidade - exemplo Um corpo em forma de cubo de aresta a = 2,0 m tem massa m = 40 kg. Qual a densidade do corpo? Resolução: O volume do corpo é: V = a 3 = (2,0 m) 3 = 8,0 m 3 Como a massa é m = 40 kg, a densidade do corpo é: d = m V d = 40 kg 8,0 m 3 d = 5,0 kg/ m 3 d = 5,0 kg / m 3 = 5,0 kg. m -3

6 Massa específica Quando o corpo for maciço (sem partes ocas) e constituído de um único material, a densidade é chamada de massa específica do material. Na tabela a seguir temos as massa específicas de alguns materiais e as densidade de alguns corpos. Substância Massa específica (g/cm 3 ) Água 1,0 Ar 0,0013 Mercúrio 13,6 Corpo Humano 1,07

7 Densidade ou massa específica? A diferença entre densidade e massa específica fica bem clara quando falamos de objetos ocos. Neste caso a densidade leva em consideração o volume completo e a massa específica apenas a parte que contêm substância

8 Relação entre unidades As unidades mais usadas para a densidade são kg / m 3 e g / cm 3. Vamos então verificar qual é a relação entre elas. Sabemos que: 1 m = 10 2 cm ou 1 cm = 10-2 m Assim: 1 m 3 = 10 6 cm 3 ou 1 cm 3 = 10-6 m 3 Portanto: 1 kg / m 3 = 10-3 g / cm 3 ou 1 g / cm 3 = 10 3 kg/m 3 Experimento: Cálculo da densidade usando a proveta

9 Pressão Suponhamos que sobre uma superfície plana de área A, atuem forças perpendiculares cuja resultante é F. Definimos a pressão média P m sobre a superfície por: P F A No Sistema Internacional, a unidade de pressão é o pascal (Pa): Pa = 1 pascal = 1 N / m 2 Quando a força se distribui uniformemente sobre a superfície, a pressão é a mesma em todos os pontos e coincide com a pressão média.

10 Pressão exemplo: Sobre uma mesa está apoiado um bloco de massa m = 3,2 kg e que tem a forma de um cubo de aresta a = 20 cm. g = 10 m /s 2 F = P = m.g = 3,2 kg. 10 m/s 2 = 32 N a = 20 cm = 0,2 m A = a 2 =( 0,2 m) 2 = 0,04 m 2 P = F A = 32 N 0,04 m 2 = 800 N m 2 (Pa)

11 Pressão exemplo: - cama de pregos Experimento: cama de pregos

12 Pressões no cotidiano: O rastro de objetos e animais Qualquer objeto exerce uma pressão sobre a superfície na qual ele repousa. O rastro deixado pelos pneus de um veículo ou pelas patas dos animais resulta da pressão exercida sobre o solo. As impressões digitais resultam da pressão que os dedos exercem sobre os objetos ao pegá-los.

13 Pressão no interior de um líquido d = m V m = d. v V = A. h P = F A = m. g A d. v. g = A d. g. A. h = A P = d. g. h

14 Pressão no interior de um líquido Pressão relativa ou efetiva PLÍQ d. g. h Pressão absoluta ou total P P d. g. h ABS ATM

15 Princípio de Stevin Simon Stevin (1548/ )) Consideremos um líquido homogêneo, cuja densidade é d, em equilíbrio sob a ação da gravidade, sendo a aceleração da gravidade. Sendo p A a pressão em um ponto A e p B a pressão em um ponto B, temos: P P P d. g. h B A

16 Consequências do Teorema de Stevin 1 ) a pressão aumenta com a profundidade 2 ) num mesmo nível as pressões são iguais 3 ) a superfície livre de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal 4 ) Paradoxo Hidrostático: A força exercida pelo líquido no fundo de cada recipientes são iguais. P S A A P S B B P C S C F A F B F C Experimento: nanômetro de tubo aberto

17 Pressão no fundo do mar À medida que descemos no mar a profundidades cada vez maiores, a pressão da água aumenta. O aumento da pressão força os escafandristas a utilizarem roupas muito especiais. O que acarreta o aumento da pressão é o aumento do peso do fluido que está acima do mergulhador. Quanto maior for a profundidade tanto maior será o peso do líquido e, portanto, maior será a pressão.

18 Pressão atmosférica Evangelista Torricelli ( ) O físico e matemático italiano Evangelista Torricelli construiu o primeiro barômetro que é um aparelho que mede a pressão atmosférica.

19 Pressão atmosférica exp. De Torricelli Primeiramente ele encheu com mercúrio um tubo de vidro, até aproximadamente a altura de 1 metro (Fig. 1), e fechou a extremidade. Em seguida ele virou o tubo e mergulhou sua extremidade num recipiente contendo mercúrio (Fig. 2). Ao destampar a extremidade do tubo a coluna baixou um pouco (Fig.3), ficando com uma altura de aproximadamente 76 centímetros acima da superfície do mercúrio no recipiente.

20 Pressão atmosférica exp. De Torricelli Na parte superior do tubo formou-se um vácuo quase perfeito. Na realidade existe ali a formação de uma pequena quantidade de vapor de mercúrio. No entanto a pressão desse vapor pode ser desprezada. Assim, no ponto A a pressão é praticamente nula: P A 0

21 Pressão atmosférica exp. De Torricelli Pela lei de Stevin temos: P P d. g. h d. g. h ABS 0 Os pontos C e B pertencem ao mesmo líquido e estão no mesmo nível; assim: p C = p B A mas a pressão no ponto C é a pressão atmosférica: p C = p atm temos: p atm = d.g.h onde d é a densidade do mercúrio e h = 76 cm = 0,76 m Supondo g = 9,8 m/s 2 e sabendo que a densidade do mercúrio é de 13, Kg/m 3, temos: P Atm = 13, kg m 3 9,8 m s 2 0,76 m = 1, N/m 2

22 Pressão atmosférica hemisférios de Magdeburgo Otto Von Guericke e o Vácuo Experimento dos hemisférios de Magdeburg em Leia mais: Experimento: hemisférios, bomba de vácuo (balão)

23 Unidades de pressão: No Sistema Internacional de Unidades a unidade de pressão é o pascal (Pa):1 Pa = 1 pascal = 1 N/m 2 No entanto na prática são usadas outras unidades, inspiradas no experimento de Torricelli. Uma delas é a atmosfera (atm). Uma atmosfera é o valor da pressão normal: 1 atm = 1, Pa Pa (N/m 2 ) Outra é o centímetro de mercúrio (cm Hg) que é a pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 1 cm, num local em que a gravidade tem seu valor normal (9,8 m/s 2 ). Assim: 1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg

24 Pressão atmosférica A enorme massa de ar existente acima de nós exerce uma pressão sobre todos os seres vivos na superfície terrestre. À medida que subimos uma montanha, a pressão exercida pelo ar se torna menor, pois o peso do ar se reduziu (a quantidade ar acima de nós é menor). Por isso, a grandes altitudes a pressão é bastante reduzida, forçando os escaladores de montanha a tomar precauções.

25 Pressão atmosférica ALTITUDE (m) PRESSÃO ATMOSFÉRICA (cm Hg)

26 Pressão atmosférica Como o líquido sobe pelo canudinho? Ao "chuparmos" o líquido, o que fazemos é diminuir a pressão no interior de nosso pulmão. Com isso, a pressão atmosférica fica maior do que a pressão no interior de nossa boca e desse modo, a pressão atmosférica "empurra" o líquido pelo canudinho. Experimento: pipeta, bebedouro, vaso de tântalo

27 Pressão atmosférica Na água (d=1 g/cm 3 ), a cada 10m de profundidade a pressão aumenta 1 atm ( N/m 2 ). P = dgh P atm = N m 2 ; d = 1 g kg = 1000 cm3 m 3 ; g = 10 m s 2 ; h =? = h h = = 10 m

28 Vasos comunicantes EXEMPLO: Os pedreiros, para nivelar dois pontos em uma obra, costumam usar uma mangueira transparente, cheia de água.

29 Vasos comunicantes com líquidos imiscíveis P 1 2 atm P P d gh P d gh d h atm 2 2 d h Experimento: tubo em U com líquidos imiscíveis d h d h 2

30 Princípio de Pascal Blaise Pascal ( ) O matemático e físico francês Blaise Pascal estabeleceu o seguinte princípio: O acréscimo (ou diminuição) de pressão, produzido em um ponto de um líquido em equilíbrio, se transmite integralmente para todos os pontos do líquido. Experimento: pressão grandeza escalar

31 Princípio de Pascal Como aplicação desse princípio temos o mecanismo hidráulico empregado em elevadores de automóveis nos postos de gasolina. P 1 = P 2 F1 S 1 F S 2 2

32 Princípio de Pascal multiplicador de força Uma força de intensidade F 1 aplicada em um pequeno pistão de área A 1, produz uma pressão P que é aplicada no pistão de área A 2, que sustenta o automóvel. Desse modo, aplicando-se uma força de pequena intensidade no pistão menor, obteremos uma força de grande intensidade no pistão maior. Experimento: prensa hidráulica

33 Princípio de Pascal multiplicador de força

34 Princípio de Arquimedes Arquimedes (298 a.c a.c.) Quando um corpo se encontra imerso num fluido (num líquido, por exemplo), fica sujeito a uma força vertical, dirigida de baixo para cima, de valor igual ao peso do volume de fluido que é deslocado pela presença do corpo. Esta lei, conhecida por Princípio de Arquimedes, já tem mais de dois mil anos! A força deve-se à diferença de pressão exercida na parte de baixo e na parte de cima do objeto.

35 Princípio de Arquimedes Quando um corpo está total ou parcialmente imerso em um fluido em equilíbrio, este exerce sobre o corpo uma força, denominada EMPUXO, que tem as seguintes características: 1 ª ) Sentido oposto ao peso do corpo ; 2 ª ) Intensidade dada por E = P onde P é o peso do fluido deslocado.

36 Princípio de Arquimedes No caso da figura A o volume deslocado é o volume da região hachurada. No caso da Figura B o volume deslocado é o próprio volume do corpo. Sendo d F a densidade do fluido, g a aceleração da gravidade e V F o volume de fluido deslocado, temos: E = p F = m F. g = (d F. V F ). g E = d F. V F. g Experimento: empuxômetro, ludião, submarino

37 Princípio de Arquimedes Quando um corpo é colocado totalmente submerso (imerso) em um líquido, distinguem-se três casos: 1 ) peso do corpo maior que o empuxo (P E). O corpo desce com aceleração constante (d c d L )

38 Princípio de Arquimedes Quando um corpo é colocado totalmente submerso (imerso) em um líquido, distinguem-se três casos: 2 ) peso do corpo menor que o empuxo (P E). O corpo sobe com aceleração constante até flutuar na superfície do líquido. Quando o corpo flutua o peso torna-se igual ao empuxo (P=E e d c d L )

39 Princípio de Arquimedes Quando um corpo é colocado totalmente submerso (imerso) em um líquido, distinguem-se três casos: 3 ) o peso do corpo é igual ao empuxo (P=E). O corpo fica em equilíbrio, qualquer que seja o ponto em que tenha sido colocado. (d c =d L )

40 Princípio de Arquimedes - exemplos 1. Objetos com densidade uniforme flutuam Objetos com densidade menor do que a do líquido no qual estão imersos flutuam. Uma bola de isopor flutua. Se a submergirmos num líquido ela tende a subir. Os dois efeitos resultam do empuxo

41 Princípio de Arquimedes - exemplos 2. Objetos "ocos" flutuam Um objeto oco tem mais facilidade de flutuar. Um navio só flutua porque ele não é todo de ferro. As partes ocas ou vazias do navio reduzem sua densidade em relação àquela do ferro maciço. Um navio é tão oco que a sua densidade média é bem menor do que a densidade da água. Tigela boiando Garrafa boiando

42 Princípio de Arquimedes - exemplos 3. Facilitando a flutuação As pessoas têm facilidade para boiar na água. O mesmo vale para os animais. Isso demonstra que a densidade média dos seres vivos é praticamente igual à densidade da água. Quando você estiver de barriga para cima na água, inspire uma certa quantidade de ar a mais. Você perceberá que o seu corpo passará a flutuar com mais facilidade.

43 Princípio de Arquimedes - exemplos 3. Facilitando a flutuação No mar Morto, na Palestina, uma pessoa pode flutuar facilmente, com parte de seu corpo fora da água.

44 Princípio de Arquimedes - exemplos 4. Objetos mais leves que o ar Os gases também são fluidos. Eles diferem dos líquidos por possuírem uma densidade menor do que estes. A Terra é envolta por uma mistura de gases (a atmosfera terrestre). A Terra está, portanto, envolta por uma camada de fluido. Objetos cuja densidade seja menor do que a densidade da atmosfera tendem a flutuar (dizemos que esses objetos são mais leves do que o ar). Novamente aqui isso pode ser explicado pelo princípio de Arquimedes. Você já deve ter visto os dirigíveis ou balões, que são grandes objetos (relativamente leves) contendo no seu interior gases mais leves do que o ar (especialmente hidrogênio). A ascensão de um dirigível é facilitada ao inflarmos o mesmo. Esvaziá-lo facilita a sua descida.

45 Princípio de Arquimedes - exemplos 5. Os icebergs Os icebergs são grandes massas de água no estado sólido, que se deslocam seguindo as correntes marítimas nos oceanos. Em geral, a ponta do iceberg corresponde a menos de 10% do volume total do mesmo. O gelo tem uma densidade ligeiramente menor do que a água, próxima do ponto de fusão da mesma. Assim, os icebergs flutuam devido à menor densidade do gelo.