Análise de fiabilidade de estruturas com funções de estado limite implícitas

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1 Análise de fiabilidade de estruturas com funções de estado limite implícitas Jorge Miguel Pôla Miranda Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em Engenharia e Arquitectura Naval Júri Presidente: Professor Doutor Carlos António Pancada Guedes Soares Orientador: Professor Doutor Ângelo Manuel Palos Teixeira Vogal: Doutor Bruno Constantino Beleza de Miranda Pereira Gaspar Dezembro 2014

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3 Agradecimentos Ao Professor Ângelo Teixeira, pela disponibilidade constante, orientação e ensino ao longo de toda a dissertação. Ao Bruno Gaspar pela disponibilidade e importante conhecimento partilhado. A toda a minha família, em especial aos meus pais e irmã, pelo apoio demonstrado. À Iris, por todo o apoio e cumplicidade. A todos os meus amigos e colegas, que fizeram parte da minha vida académica. iii

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5 Resumo O objectivo desta dissertação é desenvolver aplicações e métodos de fiabilidade em linguagem MATLAB para a avaliação da segurança de elementos estruturais com funções de estado limite explícitas e implícitas. São efectuadas análises de fiabilidade FORM, Monte Carlo com amostragem directa e Monte Carlo com amostragem por importância. A avaliação baseia-se numa função de estado limite, constituída pela resistência do elemento e pelo carregamento aplicado. São abordadas funções de estado limite explícitas, definidas através de modelos semi-empíricos de equações de projecto. São ainda usadas funções de estado limite implícitas, que requerem uma ligação ao método dos elementos finitos para o cálculo da resistência do elemento. Os resultados obtidos pelas equações semi-empíricas e pelo método dos elementos finitos são comparados e, atendendo a essa comparação, é proposta uma nova equação semi-empírica baseada num dos modelos estudados, sendo avaliado o erro associado. É também adoptado o método de superfície de resposta de forma a converter funções de estado limite implícitas em explícitas. São obtidas superfícies de resposta representadas por polinómios de vários graus que prevêem a resistência do elemento, procedendo-se à avaliação da qualidade da previsão através do erro associado. É desenvolvido um código MATLAB que, com base em amostras aleatórias, permite obter as superfícies de resposta, sendo depois possível implementá-las como funções de estado limite explícitas. São então levadas a cabo análises de fiabilidade que empregam funções de estado limite explícitas, implícitas ou superfície de resposta. São desenvolvidos estudos de caso bem detalhados em que é usado um programa de fiabilidade comercial e onde é testado um programa de fiabilidade não-comercial, desenvolvido no âmbito de um projecto de investigação, aplicando os modelos estudados. Por fim, é desenvolvido um programa de fiabilidade em linguagem MATLAB, testado com os estudos de caso desenvolvidos que inclui as técnicas FORM, Monte Carlo com amostragem directa e com amostragem por importância. Palavras-chave: resistência de elementos estruturais, função de estado limite, equação de projecto semi-empírica, método dos elementos finitos, métodos de fiabilidade estrutural, método de superfície de resposta. v

6 Abstract The objective of this dissertation is to develop reliability applications and methods in MATLAB language for safety assessment of structural elements with implicit and explicit limit state functions. Reliability analyses using FORM, crude Monte Carlo and importance sampling Monte Carlo are carried out. The assessment is based in a limit state function, composed by the element strength and the applied load. Explicit limit state functions, defined through semi-empirical design equations are addressed. Implicit limit state functions are also used, requiring a connection to the finite element method aiming the numerical element strength calculation. The results obtained by the semi-empirical equations and by the finite element method are compared and, on the basis of this comparison, a new semi-empirical equation is proposed, derived from one of the studied models and then the associated error is assessed. The response surface method is also adopted in order to convert implicit limit state functions in explicit ones. Several response surfaces with polynomial representation are obtained, which predict the strength of the element. Then the quality of these predictions is assessed with the measure of the associated error. A MATLAB code is developed, which allows to obtain response surfaces, based in random samples. The response surfaces can be then implemented as explicit limit state functions. Reliability analyses are carried out, using explicit or implicit limit state functions or even response surfaces. Well detailed case studies are developed wherein a reliability commercial program is used and it is also tested a non-commercial program (developed within an investigation project), applying the studied models. Finally, a reliability program in MATLAB language is also developed and tested with the case studies developed. Keywords: strength of structural elements, limit state function, semi-empirical design equation, finite element method, structural reliability methods, response surface method. vi

7 Índice Agradecimentos... iii Resumo...v Abstract... vi Índice... vii Índice de Tabelas... ix Índice de Figuras... xi Nomenclatura e Abreviaturas... xiii Capítulo 1 Introdução Avaliação da segurança de elementos estruturais Objectivos Organização da Dissertação Capítulo 2 Estado da Arte Métodos de Fiabilidade Estrutural Desenvolvimentos Iniciais Índice de Fiabilidade de Cornell Métodos de Fiabilidade de Primeira Ordem (FORM) Simulação de Monte Carlo Amostragem por Importância Intervalo de Confiança Método de Superfície de Resposta Formulação básica Modelos lineares e regressão Polinómios de Primeira e Segunda Ordem Capítulo 3 Resistência Última de Elementos Estruturais Equações de projecto semi-empíricas Modelo de Placa (modelo numérico de elementos finitos) Equações Semi-Empíricas para a previsão da resistência da placa Capítulo 4 Avaliação Probabilística da Segurança de Elementos Estruturais vii

8 4.1. Análise de Fiabilidade com Funções de Estado Limite Explícitas Análise FORM com Função de Estado Limite Implícita (com ligação ao Ansys) Análise de Fiabilidade com Superfície de Resposta Modelos de Superfície de Resposta Análise FORM com Superfície de Resposta Simulação de Monte Carlo com Superfície de Resposta Capítulo 5 Desenvolvimento de código de Fiabilidade Estrutural em MATLAB Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem directa Algoritmo implementado para análise FORM Algoritmo usado na implementação da simulação de Monte Carlo com amostragem por importância Resultados obtidos Capítulo 6 Conclusões e Recomendações Conclusões Recomendações para trabalhos futuros Referências Bibliográficas Anexos Anexo A: Manual de Utilização do Programa Utilizado (ProRel) Anexo B: Superfície de Resposta Código MATLAB Anexo C: Análise de Fiabilidade FORM Código MATLAB viii

9 Índice de Tabelas Tabela 2.1 Valores de média e desvio padrão atribuídos às variáveis Tabela 2.2 Coordenadas dos pontos para regressão Tabela 2.3 Coeficientes de regressão e de determinação para regressão polinomial Tabela 3.1 Modelos estocásticos das variáveis aleatórias (X) Tabela 3.2 Modelo estocástico da amplitude das distorções iniciais das placas (wmax/t) com t = 20 mm e a/b = 1 ; b/t = Tabela 3.3 Erros relativos da resistência última obtida nas equações semi-empíricas abordadas.. 49 Tabela 4.1 Modelos estocásticos das variáveis aleatórias Tabela 4.2 Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes Soares Tabela 4.3 Análise de fiabilidade efectuada com o Comrel e o ProRel para a equação de Guedes Soares corrigida Tabela 4.4 Elasticidades da média e do desvio padrão referentes a cada uma das variáveis aleatórias para a equação de Guedes Soares original e corrigida Tabela 4.5 Codificação das variáveis do ficheiro de entrada do ProRel para ligação ao Ansys Tabela 4.6 Análise de fiabilidade da placa com função implícita e com função explícita Tabela 4.7 Modelos estocásticos e designação das variáveis aleatórias usadas na formulação das superfícies de resposta Tabela 4.8 Coeficientes das expressões de superfície de resposta e respectivos coeficientes de determinação Tabela 4.9 Erros relativos da resposta nas equações de superfície de resposta abordadas Tabela 4.10 Análise FORM com superfície de resposta Tabela 4.11 Análise de Fiabilidade por simulação de Monte Carlo com as superfícies de resposta desenvolvidas e para função de estado limite implícita FEM (gi) Tabela 4.12 Comparação dos valores de β calculados por elementos finitos e superfície de resposta Tabela 5.1 Comparação entre os valores obtidos pelo ProRel e MATLAB para as funções de GS, GS e η3 com N amostra = 500 para os métodos FORM, Monte Carlo com amostragem directa (MC1) e com amostragem por importância (MC2) ix

10 Tabela 5.2 Comparação entre os valores de α das variáveis aleatórias básicas para as funções g, g e η3 com N amostra = 500 calculadas através do ProRel e do MATLAB x

11 Índice de Figuras Figura 2.1 Distribuição da Margem de Segurança Z = R L Figura 2.2 Representação do problema de fiabilidade no espaço reduzido Figura 2.3 Funções de densidade de probabilidade original e transformada Figura 2.4 Relações entre as funções de distribuição cumulativa não-normal X, normalizada Y e normal equivalente U Figura 2.5 Método de simulação de Monte Carlo (Amostragem directa) Figura 2.6 Método de Simulação de Monte Carlo (Amostragem por importância) Figura 2.7 Representação gráfica do Intervalo de Confiança Figura 2.8 Exemplo de superfície de resposta com pontos de controlo Figura 2.9 Conjunto de pontos (dados) com funções polinomiais obtidas através de regressão Figura 2.10 Exemplo de alguns planos de regressão: (a) η = x1 + 7x2, (b) η = x1 + 7x2 + 5x1x2 e (c) η = x1 + 7x2 8.5x12 5x22 + 4x1x Figura 3.1 Diagrama de relação entre o carregamento e as várias alternativas de avaliação da resposta Figura 3.2 Condições de Fronteira e carregamento do modelo de placa Figura 3.3 Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica de Faulkner (Equação (3.5)) Figura 3.4 Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica de Guedes Soares (Equação (3.7)) Figura 3.5 Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pela expressão semi-empírica de Guedes Soares corrigida (Equação (3.11)) Figura 4.1 Valores de α das variáveis básicas aleatórias das funções usadas: (a) Função de Guedes Soares e (b) Função de Guedes Soares corrigida Figura 4.2 Valores da elasticidade da média das variáveis básicas Figura 4.3 Variação de β em função do carregamento aplicado para g e g Figura 4.4 Resistência última obtida por análise de elementos finitos não-linear e pelas expressões de superfície de resposta para: (a) N amostra=100 e (b) N amostra =

12 Figura 4.5 Valores de α das variáveis básicas aleatórias das expressões de superfície de resposta η1, η2, η3: (a) N amostra = 100 e (b) N amostra = xii

13 Nomenclatura e Abreviaturas R Resistência da estrutura L Carregamento aplicado X Variável aleatória X Vector de variáveis aleatórias g Função de estado limite μ Média de uma distribuição σ 2 Variância de uma distribuição σ Desvio padrão de uma distribuição β Índice de fiabilidade β C Índice de fiabilidade de Cornell Φ Função distribuição de probabilidade normal reduzida Φ U Função densidade de probabilidade normal reduzida conjunta de U U Vector de variáveis aleatórias no espaço normalizado β HL Índice de fiabilidade de Hasofer e Lind u* Ponto de projecto no espaço normalizado I[ ] Função indicadora h Função densidade de probabilidade de amostragem por importância η i Superfície de resposta de grau i R 2 Coeficiente de determinação 2 R adj Coeficiente de determinação ajustado φ Resistência última normalizada de uma placa xiii

14 λ Esbeltez de placa b Largura de placa t Espessura de placa E Módulo de Young do material φ F Resistência última normalizada de uma placa proposta por Faulkner φ GS Resistência última normalizada de uma placa proposta por Guedes Soares φ GS Correcção da expressão da resistência última normalizada de uma placa proposta por Guedes Soares σ y Tensão de cedência do material C a Variável aleatória que representa as características probabilísticas da tensão aplicada w max Amplitude máxima das imperfeições geométricas iniciais w 0 Amplitude das imperfeições geométricas iniciais σ u Resistência última P f Probabilidade de falha g i Função de estado limite implícita N amostra Número de amostras usadas na obtenção da superfície de resposta RSM FEM FORM Método de superfície de resposta (Response Surface Method) Método dos elementos finitos (Finite Element Method) Métodos de fiabilidade de primeira ordem (First Order Reliability Method) xiv

15 Capítulo 1 Introdução 1.1. Avaliação da segurança de elementos estruturais A avaliação probabilística da segurança de um determinado elemento estrutural é efectuada tendo por base uma função de estado limite, composta por duas componentes: o carregamento aplicado e a resistência do elemento. Para que este elemento seja considerado adequado (de modo a não se verificar a ocorrência de uma falha) a resposta estrutural deve ser sempre superior ao carregamento aplicado (Freudenthal et al. (1966)). A resistência estrututal do elemento pode ser obtida de diversas formas, sendo a mais simples e directa o recurso a uma equação de projecto explícita que caracterize o comportamento da estrutura relacionando as diferentes variáveis, definidas através de distribuições probabilísticas. No caso de não ser conhecida nenhuma função explícita capaz de definir o comportamento da estrutura, este pode ser obtido recorrerendo ao método dos elementos finitos. Este processo requer uma maior complexidade computacional, o que resulta num elevado consumo de tempo, que pode não estar disponível. No primeiro caso a função de estado limite usada para avaliar a segurança da estrutura é definida de uma forma explícita, enquanto que no segundo caso a função de estado limite é implícita. O processo de avaliação da segurança com funções implícitas pode ser simplificado, através da obtenção de uma função de estado limite explícita alternativa, que permitirá diminuír significativamente o tempo de cálculo da resistência do elemento. Esta função pode ser obtida através do Método da Superfície de Resposta e procura, com base nas observações de uma simulação de Monte Carlo (com recurso a uma função de estado limite implícita proveniente do método dos elementos finitos), construír uma resistência característica do elemento, aproximando uma superfície às várias observações efectuadas, para um conjunto de variáveis. Assim, serão abordadas três formas de obtenção da resistência: uma equação de projecto semiempírica (função de estado limite explícita), um modelo de elementos finitos (função de estado limite implícita) e, alternativamente, um modelo de superfície de resposta, obtido através de uma simulação de Monte Carlo, recorrendo às várias observações das variáveis e respectiva resistência, geradas com recurso ao método dos elementos finitos (função de estado limite explícita).

16 As formas de resposta acima referidas serão objecto de estudo com recurso a várias alternativas de cálculo: será testado o programa de fiabilidade ProRel, iniciado por Teixeira (2007) e posteriormente desenvolvido no âmbito de um projecto de investigação, será também desenvolvido um outro programa em MATLAB e usar-se-á ainda o programa comercial Comrel (Gollwitzer et al. (1988)). Posteriormente serão estabelecidas comparações entre os valores obtidos e avaliada a eficiência da superfície de resposta em substituição da função de estado limite implícita Objectivos Esta dissertação tem como objectivo o desenvolvimento de aplicações e métodos de fiabilidade em linguagem MATLAB para a avaliação da segurança de elementos estruturais. As funções de estado limite usadas nesta avaliação são explícitas, implícitas e modelos de superfície de resposta. Assim, os objectivos a atingir são: Testar programa de fiabilidade ProRel e comparar com programa comercial (Comrel); Desenvolvimento de estudos de caso aplicando funções de estado limite explícitas e implícitas (recorrendo ao ANSYS para a aplicação do método dos elementos finitos); Desenvolvimento em MATLAB de um programa que construa superfícies de resposta para avaliação da fiabilidade com funções de estado limite explícitas; Desenvolvimento de um programa de fiabilidade em MATLAB que utilize os métodos FORM e Monte Carlo com amostragem directa e com amostragem por importância; Avaliação sistemática da precisão das superfícies de resposta (número de pontos, grau do polinómio) Organização da Dissertação Além do presente capítulo introdutório, a dissertação está dividida em cinco capítulos adicionais. No Capítulo 2, referente ao estado da arte, é apresentada uma revisão bibliográfica de métodos de fiabilidade. Em seguida, o Capítulo 3 trata a resistência última de elementos estruturais. O Capítulo 4 incide no estudo relativo à avaliação probabilística da segurança de elementos estruturais. No Capítulo 5 é apresentado o desenvolvimento de um código de fiabilidade em linguagem MATLAB. Por fim, no Capítulo 6, são apresentadas as conclusões e recomendações para trabalhos futuros. 16

17 Capítulo 2 Estado da Arte Neste capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica dos métodos de fiabilidade usados ao longo do trabalho e é descrito o método de superfície de resposta. Alguns exemplos considerados úteis são também apresentados ao longo do texto, recorrendo alguns deles ao software comercial Comrel, nomeadamente nos exemplos relativos à fiabilidade estrutural Métodos de Fiabilidade Estrutural Desenvolvimentos Iniciais Segundo Freudenthal et al. (1966), o problema básico de fiabilidade estrutural considera apenas como variáveis o efeito de um carregamento (L) e a previsão da resistência da estrutura (R) que o suporta. Sendo estas variáveis descritas por funções densidade de probabilidade conhecidas f L ( ) e f R ( ) respectivamente. Como é referido em Melchers (1999), é assumido, por conveniência mas sem perda de generalidade, que apenas a segurança de um elemento estrutural será considerado, sendo que a presença de falha ocorre para o caso em que a resistência (R) é inferior à resultante da tensão aplicada. A probabilidade de ruína, p f, do elemento estrutural pode apresentar-se: p f = P(R L) = P(R L 0) = P ( R 1) (2.1) L na forma geral p f = P[g(R, L) 0] (2.2) em que g( ) é denominada função de estado limite e a probabilidade de ruína é idêntica à probabilidade de violação do estado limite. Para qualquer variável aleatória X a função de distribuição cumulativa é dada por: 17

18 F X (x) = P(X x) = x f X (x) dx (2.3) Assim, quando R e L são independentes, a probabilidade de ruína (probabilidade de, ao longo da vida da estrutura, ocorrer um carregamento superior à resistência) é dada por: l r p f = P(R L 0) = f R (r) f(l) dr dl = F R (l) f L (l)dl (2.4) em que f representa a função densidade de probabilidade e F corresponde à função de distribuição cumulativa. O integral (2.4) é também conhecido como integral de convulsão Índice de Fiabilidade de Cornell Esta abordagem ocorre para o caso de a função de estado limite ser linear e as variáveis aleatórias seguirem uma distribuição normal. O método proposto por Cornell (1969), utiliza como descrição probabilística das variáveis somente os seus dois primeiros momentos estatísticos (valor médio e desvio padrão), sendo a função de estado limite representada por uma aproximação em termos de uma série de Taylor de primeira ordem, linearizada num ponto correspondente aos valores médios das variáveis de projecto. Este método foi designado por método de valor médio, primeira ordem e de segundos momentos como é referido em Teixeira (2007). Em Melchers (1999) é referido que para diversas distribuições de R e L é possível resolver o integral de convulsão (2.4) analiticamente. O exemplo mais notável ocorre para quando ambas são distribuições 2 normais de variáveis aleatórias, de médias μ R e μ L e variâncias σ R e σ 2 L, respectivamente. A margem de segurança seria dada por: Z = R L (2.5) Sendo que a média e a variância seria obtida através de regras conhecidas de adição (subtracção) de variáveis aleatórias normais: μ Z = μ R μ L (2.6a) 18

19 σ Z 2 = σ R 2 + σ L 2 (2.6b) Substituindo na equação (2.1): p f = P(R L 0) = P(Z 0) = Φ ( 0 μ Z σ Z ) (2.7) em que Φ representa a função distribuição de probabilidade normal reduzida (com média nula e variância unitária). A variável aleatória Z é apresentada na Figura 2.1 em que a região de ruína Z 0 é mostrada a sombreado. Combinando as expressões (2.6) e (2.7) obtém-se (Cornell (1969)): p f = Φ ( (μ R μ L ) (σ 2 R + σ 2 L ) 1 ) 2 (2.8a) p f = Φ( β C ) (2.8b) em que o índice de fiabilidade de Cornell, β C, é dado por: β C = μ Z σ Z (2.9) As equações (2.8b) e (2.9) dão origem à probabilidade exacta de ruína p f quando R e L seguem uma distribuição normal. 19

20 Figura 2.1 Distribuição da Margem de Segurança Z = R L Este método é válido para o caso em que a função de estado limite é uma função linear constituída por mais de duas variáveis básicas com distribuição normal: g(x) = Z(X) = a 0 + a 1 X 1 + a 2 X a n X n (2.10) Em que g(x) = Z(X) segue um distribuição normal com média e desvio padrão calculados directamente. No caso R e L terem distribuições não-normais, definir p f desta forma implica obter apenas uma probabilidade de ruína nominal o que torna mais correcto a eliminação do termo probabilidade para simplesmente referir β C, o índice de fiabilidade de Cornell. Contudo, a função de estado limite g(x) = 0 é, geralmente, não linear. Neste caso, seria então necessário linearizar g(x) = 0 procedendo a uma expansão em série de Taylor em torno de um ponto x sendo que as aproximações que linearizam g(x) = 0 são considerados métodos de primeira ordem. A expansão em série de Taylor de primeira ordem em torno do valor médio μ X é comum na teoria da probabilidade, no entanto a melhor escolha é o ponto de máxima verosimilhança na função de estado limite. Os dois primeiros momentos de Z linearizados em torno do ponto x em vez de μ X são dados, respectivamente, por: μ Z g(x ) (2.11a) 20

21 σ Z 2 ( g X i ) 2 x 2 σ xi (2.12b) Há que ter em conta, nesta fase, que a escolha do ponto afecta directamente a estimativa do índice de fiabilidade, β C (Melchers (1999)), como demonstrado no Exemplo 2.1. Exemplo 2.1 Considerando a função não linear g(x) = X 1 X 2 X 3 com as variáveis X i independentes, assumindo que apresentam o mesmo desvio padrão, σ X1 = σ X2 = σ X3 = σ X e atendendo às derivadas parciais: g X 1 = X 2, g X 2 = X 1, g X 3 = 1 tem-se: O cálculo do índice de fiabilidade tendo como ponto de projecto os valores médios das variáveis μ Xi é calculado através das seguintes expressões: μ Z μ X = μ X1 μ X2 μ X3 σ Z 2 = μ 2 μ X X2 σ 2 X1 + μ 2 X1 σ 2 X2 + σ 2 X3 = σ 2 X (μ 2 X1 μ 2 X2 + 1) de onde se obtém o valor do índice de fiabilidade: μ X1 μ X2 μ X3 β C = μ X σ X (μ 2 X1 μ 2 X2 + 1) 1 2 No caso de o ponto de projecto ser, por exemplo, para os valores de x 1 = μ X1 2 os termos correspondentes são dados por: ; x 2 = μ X2 ; x 3 = μ X3 σ Z 2 μ Z μ X = μ X 1 2 μ X 2 μ X3 = μ 2 μ X X2 σ 2 X1 + ( μ 2 X 2 2 ) σ 2 X2 + σ 2 X3 = σ 2 X ( μ 2 X1 4 μ X ) de onde se traduz um índice de fiabilidade: β C x = 1 2 μ X 1 μ X2 μ X3 σ X ( 1 4 μ X 2 1 μ 2 X2 + 1)

22 Estabelecendo uma comparação entre os índices de fiabilidade de Cornell para ambos os casos estudados é notória a diferença entre ambos, de onde se conclui que o ponto de projecto seleccionado tem uma influência significativa no índice de fiabilidade obtido. Para uma verificação numérica deste exemplo, atribuem-se os valores para as variáveis que constam na Tabela 2.1: μ σ X X X Tabela 2.1 Valores de média e desvio padrão atribuídos às variáveis Dos dados da tabela resultam os valores de índice de fiabilidade de β C = e β μ X C x = Como se pode constatar, os índices de fiabilidade obtidos são significativamente diferentes entre si, o que invalida a utilização deste processo. Este aspecto é ainda reforçado atendendo ao valor obtido através do software Comrel (β FORM = 2.918), que utiliza um algoritmo baseado nos índices de fiabilidade seguidamente descritos Métodos de Fiabilidade de Primeira Ordem (FORM) Índice de Fiabilidade de Hasofer e Lind Esta abordagem trata o caso de a função de estado limite ser não linear e as variáveis aleatórias seguirem uma distribuição normal. O índice de fiabilidade proposto por Cornell varia no caso de a função de estado limite ser substituída por uma outra equivalente (Ditlevsen (1973)). Este é um problema designado por falta de invariância. Na resolução deste problema, um primeiro passo é a transformação de todas as variáveis básicas independentes e com distribuição de probabilidade normal X i num conjunto (U) de variáveis aleatórias reduzidas N(0,1) (média zero e variância unitária), usando a transformação (Hasofer & Lind (1974)): 22

23 U i = X i μ Xi σ Xi (2.12) Em que U i tem μ Xi = 0 e σ Xi = 1. Hasofer & Lind (1974) mostraram ainda que a superfície de estado limite no espaço reduzido ou normalizado g(u) = 0 deve ser linearizada não em torno do valor médio mas sim em torno do ponto de projecto, u* ponto da superfície de estado limite mais próximo da origem do espaço normalizado (localizada, normalmente, na região de segurança). O índice de fiabilidade proposto por Hasofer e Lind (β HL ) é definido como a distância mínima da origem à superfície de estado limite (Figura 2.2). Figura 2.2 Representação do problema de fiabilidade no espaço reduzido Após a operação de transformação, a probabilidade de ruína é então dada por: P f = f X (x)dx = φ U (u) du (2.13) g(x) 0 g(u) 0 onde φ U representa a função densidade de probabilidade normal reduzida conjunta de U: 1 φ U = (2π) n 2 exp [ 1 2 u 2 ] (2.14) 23

24 A função densidade de probabilidade φ U apresenta simetria rotacional e decai exponencialmente com o quadrado da norma de u. Logo, os pontos que mais contribuem para o integral são os que se encontram mais próximos da origem do espaço reduzido. Assim sendo, a probabilidade de ruína pode ser calculada de uma forma aproximada, proposta por Hasofer & Lind (1974): P f Φ( β HL ), com β HL = u* (2.15) em que u* representa o ponto de projecto obtido pela solução do problema de optimização com os seguintes constrangimentos: minimizar u { sujeito a g(u) = 0 O índice de fiabilidade proposto por Hasofer e Lind é invariante relativamente à escolha da função de falha uma vez que se baseia num processo de optimização cuja solução não depende da forma como é escrita a função de estado limite, desde que sejam equivalentes. Ainda assim, a transformação U i apenas se aplica no caso de as variáveis básicas serem estatisticamente independentes e seguirem uma distribuição normal. Na prática é possível que exista informação estatística suficiente para caracterizar não só o tipo de distribuição como também a dependência entre as variáveis básicas, sendo necessário incorporar essa informação adicional no cálculo do índice de fiabilidade (Teixeira (2007)). De facto, u* representa o ponto de densidade de probabilidade mais elevada ou ponto de máxima verosimilhança para o domínio de falha. A relação entre as coordenadas do ponto u* e β é dada por: u i * = α i β (2.16) onde α i é designado como coeficiente de sensibilidade da variável X i dado por α i = ( g ) U i n i=1 ( g 2 ) U i (2.17) onde as derivadas da função de estado limite são calculadas no espaço normalizado no ponto de projecto u*. 24

25 Um coeficiente de sensibilidade positivo indica que a função de estado limite no espaço normalizado aumenta com o aumento do valor da variável e portanto a sua contribuição para o nível de segurança ou índice de fiabilidade é positiva. Esta sensibilidade tem uma implicação prática importante: se o coeficiente de sensibilidade α i para u i é baixo, há pouca necessidade de ser demasiado preciso na determinação de u i sendo que, se necessário, este valor pode ser considerado como determinístico, em vez de uma variável aleatória, permitindo assim a redução da dimensão do espaço de variáveis aleatórias (Melchers (1999); Gaspar (2012)). Exemplo 2.2 Considerando a função de estado limite: g(y) = 4 25 (y 1 1) 2 y = 0 e assumindo que as variáveis aleatórias y seguem ambas uma distribuição normal padrão (com média μ = 0 e desvio padrão σ = 1), através do Comrel obteve-se o índice de fiabilidade β FORM = Aproximação de cauda normal Esta abordagem usa-se no caso de a função de estado limite ser não-linear e as variáveis aleatórias seguirem uma distribuição não-normal. Segundo Ditlevsen (1981), a transformação de uma variável aleatória básica independente X de uma distribuição não-normal para uma variável aleatória Y equivalente seguindo uma distribuição normal reduzida é apresentada esquematicamente na Figura 2.3 e pode ser expressa matematicamente na forma: p = F X (x) = Φ(u) ou u = Φ 1 [F X (x)] (2.18) 25

26 em que p representa uma probabilidade de conteúdo associado com X = x e U = u; F X ( ) é a função de distribuição cumulativa marginal de X e Φ( ) é a função de distribuição cumulativa para a variável aleatória U, seguindo uma distribuição normal reduzida. Na Figura 2.4 é apresentada, através das linhas a, b, c, d, e a transformação. Figura 2.3 Funções de densidade de probabilidade original e transformada Figura 2.4 Relações entre as funções de distribuição cumulativa não-normal X, normalizada Y e normal equivalente U Simulação de Monte Carlo O método de simulação de Monte Carlo pode ser aplicado a qualquer tipo de problema, independentemente do seu nível de complexidade (apesar de ser considerado ineficiente para casos com elevado número de variáveis aleatórias ou em que o cálculo da função de estado limite um modelo 26

27 numérico complexo). Uma vez que se trata de uma técnica bastante simples, esta tem sido usada em diversos estudos estruturais como a estimativa da probabilidade de ruína associada a um dado estado limite ou ainda a caracterização da variância da resposta de uma dada estrutura ou das acções que nela actuam. Como descrito por Melchers (1999), as técnicas de simulação de Monte Carlo envolvem uma amostragem num espaço aleatório, simulando de forma artificial um número considerável de experiências, com observação do resultado. Para o caso de análise de fiabilidade estrutural, isto é, na aproximação mais simples, cada amostragem (j) das variáveis aleatórias X dá origem a um vector x j de realizações de X. De seguida é necessário verificar a função de estado limite g(x j ) = 0 e assim, no caso de o estado limite ser violado (i.e. g(x j ) 0), é possível aferir se a estrutura ou o elemento estrutural registou uma falha. Esta experiência é então repetida por várias ocasiões (j = 1,.. N) sendo que, em cada uma delas (j), com um vector x j de valores X. Se forem realizadas N simulações, a probabilidade de falha é dada, aproximadamente, por: p f n(g(xj ) 0, j = 1, N) N (2.19) em que n(g(x j ) 0), representa o número de simulações em que para cada g(x j ) 0. O número N de simulações está, obviamente, relacionado com a precisão pretendida para p f. Torna-se então claro que no método de Monte Carlo é construída uma sucessão de realizações partindo de propriedades probabilísticas conhecidas, de modo a que o problema seja resolvido ao longo das várias simulações e, a partir daí, conseguir obter a probabilidade de falha. Os requisitos necessários para a aplicação de técnicas de simulação de Monte Carlo a problemas de fiabilidade estrutural são os seguintes: 1. Desenvolver métodos sistemáticos para amostragem numérica de variáveis básicas X; 2. Seleccionar uma técnica de simulação apropriada, económica e fiável, ou uma estratégia de amostragem ; 3. Considerar o efeito da complexidade de cálculo de g(x j ) e o número de variáveis básicas na técnica de simulação usada; 4. Para uma técnica de simulação dada, deve ser possível determinar a dimensão da amostra necessária para obter uma estimativa razoável de p f. A técnica acima descrita é a aproximação de Monte Carlo mais simples para problemas de fiabilidade mas não é a mais eficiente. Assim, são apresentadas de seguida duas técnicas: amostragem directa e amostragem por importância. O ponto de partida para ambas é a expressão (2.1), que pode ser escrita sob a forma de integral: 27

28 p f = P(R L 0) = f RL (r, l) dr dl R L (2.20) A generalização do integral (2.20), com a função de estado limite expressa como g(x), pode escreverse: p f = P[g(X) 0] = f X (x) dx (2.21) g(x) 0 Amostragem directa ( crude Monte Carlo) De acordo Melchers (1999), a probabilidade da violação do estado limite (2.21) pode ser expressa por: p f = J = I[g(x) 0] f X (x)dx (2.22) em que I[ ] é uma função indicadora que toma o valor 1 se [ ] for verdadeiro ou 0 no caso em que [ ] é falso e identifica o domínio de integração. A equação (2.22) representa o valor esperado de I[ ]. Se x j representar o j-ésimo vector de observações aleatórias de f X ( ), segue directamente da amostra estatística tal que N p f J 1 = 1 N I[g(xj ) 0] j=1 (2.23) seja um estimador não enviesado de J. Assim, da expressão (2.23) obtém-se um estimador directo de p f. No desenvolvimento deste processo, interessa referir três questões importantes: como obter maior informação dos pontos de simulação, quantos pontos de simulação são necessários para uma precisão pretendida, ou inversamente, como melhorar a técnica de amostragem para obter uma maior precisão para um número de pontos igual ou inferior. 28

29 Figura 2.5 Método de simulação de Monte Carlo (Amostragem directa) Amostragem por Importância É referido em Teixeira (2007), que a amostragem por importância tem como base uma função densidade de probabilidade diferente da inicial para gerar os valores de forma a aumentar o número de ocorrências na região de ruína do problema (Harbitz (1983) e Shinozuka (1983)). Em Melchers (1999) pode verificar-se que o integral múltiplo (2.21) pode ser escrito como (2.22) recorrendo à função indicadora I[ ], ou, de forma equivalente, como J = I[g(x) 0] f X(x) h v (x) h v(x)dx (2.24) em que h v ( ) é designado termo de função densidade de probabilidade de amostragem por importância (função de importância). Assim, a expressão (2.24) pode ser escrita como um valor esperado: J = E {I[g(v) 0] f X(v) h v (v) } = E (If h ) (2.25) 29

30 em que V corresponde a um vector aleatório com função densidade de probabilidade h v (v). Logo, é necessário que h v (v) exista para todos os valores válidos v e que f X (v) 0. Em comparação com a Amostragem Directa, é verificado que I[ ] é substituído por I[ ] f/h. Partindo da equação (2.23), é possível apresentar um estimador não enviesado de J, dado por: N p f J 2 = 1 N {I[g(v j) 0] f X(v j ) h v (v j ) } j=1 (2.26) em que v j é um vector de valores de amostra obtido da função de amostragem por importância h v ( ), sendo que, no caso óptimo, esta função pode escrever-se: h v (v) = I[g(v) 0] f X(x) J (2.27) Numa primeira apreciação, a expressão (2.27) não parece ser muito útil uma vez que é necessário conhecer o valor de J. Contudo há ferramentas que permitem encontrar um valor estimado para este parâmetro. A Figura 2.6 procura ilustrar a técnica de simulação de Monte Carlo por amostragem por importância, no caso mais simples de duas variáveis aleatórias no espaço normal reduzido. Figura 2.6 Método de Simulação de Monte Carlo (Amostragem por importância) 30

31 Intervalo de Confiança O conceito de intervalo de confiança (IC), segundo Montgomery & Runger (2003) procura estabelecer limites a futuras observações de uma determinada população. Esses limites são definidos com recurso à média da amostra aleatória (x ), à sua dimensão (n), de uma população que segue uma distribuição normal, com variância conhecida σ 2. Um IC de valor 100(1 α)% da média μ é obtido através da distribuição normal reduzida x μ z = σ/ n (2.28) De onde é possível escrever P { z α/2 x μ σ/ n z α/2} = 1 α P {x z α/2 σ n μ x + z α/2 σ n } = 1 α (2.29) obtendo-se o intervalo de confiança x z α/2 σ n μ x + z α/2 σ n (2.30) em que z α/2 é o maior valor 100α/2 % da distribuição normal reduzida. A representação gráfica deste IC é apresentada na Figura 2.7. Figura 2.7 Representação gráfica do Intervalo de Confiança 31

32 2.2. Método de Superfície de Resposta Em diversos problemas de fiabilidade estrutural de interesse prático em engenharia, a função de estado limite g(x) não é uma função que defina o estado limite do problema como uma função explícita de um vector de variáveis básicas X. Segundo Gaspar (2012), estes são problemas que surgem, tipicamente, quando a capacidade estrutural envolvida no problema de fiabilidade é definida através de um modelo numérico, como é o caso de um modelo estrutural de elementos finitos não-lineares. Em Gaspar et al. (2014) é referido que a solução de problemas de fiabilidade de sistemas estruturais realistas é, em geral, difícil de obter através de métodos de fiabilidade convencionais como os métodos de fiabilidade de primeira ordem (FORM) ou de segunda ordem (SORM) sendo que a principal razão prende-se com o facto de existir um número elevado de funções de estado limite e de variáveis aleatórias necessárias à definição do problema. O evento de falha do sistema num caso realista pode ser definido por uma combinação complexa de modos de falha, em geral, como combinação de sistemas em série e em paralelo. O critério de falha está normalmente associado ao comportamento estrutural não-linear, necessitando de aproximações numéricas exigentes do ponto de vista computacional como é o caso da análise de elementos finitos não-linear para avaliar com precisão a capacidade estrutural. A fiabilidade de sistemas estruturais complexos pode ser prevista com rigor através da simulação de Monte Carlo. Recorrendo a este método, o critério de falha do sistema é relativamente simples de avaliar, quase independente da complexidade do sistema e do número de variáveis aleatórias básicas. No entanto, como é referido em Bucher & Most (2008), a avaliação da fiabilidade estrutural requer uma previsão da probabilidade de falha que, em geral, é de pequena magnitude além de que a falha estrutural é normalmente avaliada através de ferramentas não-lineares, o que possibilita análises variantes no tempo de modelos estruturais complexos. Nestes casos o custo computacional despendido numa única análise, na avaliação da segurança da estrutura, pode ser bastante avultado. Como consequência, não se torna exequível a aplicação da simulação de Monte Carlo. No caso de serem usadas aproximações numéricas para avaliar a capacidade estrutural, o problema pode ser impossível de resolver se não forem usadas técnicas eficientes, como o método de superfície de resposta (Gaspar et al. (2014)). Assim, uma vez que nestas situações o custo computacional envolvido na avaliação da função de estado limite g(x) é suficientemente elevado para limitar a aplicação dos métodos de fiabilidade, tem sido proposto em literatura como Rackwitz (1982), Bucher & Bourgund (1990) e Bucher & Macke (2005) a utilização do método de superfície de resposta de forma a aliviar este custo. Este método usa uma série de submodelos de superfície de resposta para obter uma aproximação do ponto de projecto e a correspondente probabilidade de falha (Yu et al. (2002)). O Método da Superfície de Resposta surge com o objectivo de reduzir o tempo de cálculo da análise de fiabilidade através do uso de funções explícitas (Teixeira (2007)), transformando a função de estado limite numa função explícita das variáveis básicas do problema recorrendo-se, posteriormente, ao método de simulação de Monte Carlo ou aos métodos de fiabilidade de primeira ou segunda ordem na 32

33 previsão da probabilidade de ruína associada a esta nova função de estado limite (Bucher & Bourgund (1990), Rajashekhar & Ellingwood (1993)). A função de estado limite original é aproximada a uma expressão polinomial η(x) obtida por análise de regressão de um conjunto de resultados de análises determinísticas da resposta do modelo estrutural com valores aleatórios das variáveis Formulação básica Uma análise de regressão envolve, na maioria dos casos, mais do que uma variável (modelo de regressão múltiplo). Como é referido em Bucher (2009) é frequente surgir a necessidade de ajustar parâmetros de modelos matemáticos simples que descrevam uma relação física input-output de amostras de dados. O conceito geral de regressão visa minimizar o erro com base na sensibilidade de um valor esperado. Assumindo que a variável de saída z está relacionada com as n variáveis de entrada x 1,, x n (dispostas num vector x) através da função f: z = f(p, x) (2.31) em que a função f depende de um vector de parâmetros p = [p 1, p 2,, p v ] T cujos valores serão determinados posteriormente. Assume-se que as amostras disponíveis contêm pares (x (k), z (k) ), k = 1,, m de inputs e outputs correspondentes. É importante ter em conta que estas amostras podem conter variância aleatória que não é descrita na função (2.31). Ainda em Bucher (2009) é referido que a aproximação η(x) pode ser definida como um modelo matemático, conhecido como modelo de superfície de resposta, no qual um sistema com n factores experimentais ou variáveis de entrada x i ; i = 1,, n, associados num vector x = (x 1,, x n ) T, através da expressão: z (x) = η(p 1 p v ; x 1 x n ) + ε (2.32) sendo p = (p 1,, p n ) T o vector dos parâmetros da função de aproximação. Aplicando o valor esperado da aproximação da superfície de resposta, η = E[z] (2.33) obtém-se a superfície representada por: η(p 1 p v ; x 1 x n ) = η(p; x) (2.34) 33

34 denominada superfície de resposta (Figura 2.8). O vector dos parâmetros p = (p 1,, p n ) T teve de ser estimado a partir de dados experimentais de tal forma que a equação (2.33) seja cumprida. Figura 2.8 Exemplo de superfície de resposta com pontos de controlo Modelos lineares e regressão No caso anterior, os parâmetros p são determinados de maneira a que a soma dos quadrados das diferenças entre o valor da superfície de resposta η(p; x (k) ) e a resposta obtida z (k) nos m pontos experimentais x (k) = [x 1 (k),, x n (k) ] T, k = 1,, m (2.35) seja tão pequena quanto possível. Isto é, a soma da função m S 2 = [z (k) η(p; x (k) )] 2 k=1 (2.36) deve ser minimizada, o que corresponde à minimização da variância dos termos do erro aleatório ε. A escolha da minimização de p designa-se por estimativa de mínimos quadrados e é indicado por p. O sistema de equações (2.37) permite obter o vector de parâmetros p: Q p = q (2.37) em que a matriz Q e o vector q são definidos pelos seus elementos: m m Q ij = g i (x (k) ) g j (x (k) ) ; q j = z (k) g j (x (k) ); i, j = 1,, v k=1 k=1 (2.38) 34

35 O problema de regressão torna-se bastante simples no caso de o modelo de superfície de resposta ser linear nos seus parâmetros p. Assim, a estimativa de mínimos quadrados p do vector dos parâmetros é determinado através do sistema de equações lineares (2.37). Este estimador é não enviesado, isto é, E[p ] = p (2.39) Assumindo que a covariância das observações z (k) é dada por: C zz = [z] = E[(z E[z])(z E[z]) T ] = σ 2 I (2.40) então, a matriz de covariância dos parâmetros é dada por: C pp = E[(p p)(p p) T ] = σ 2 (Q T Q) 1 (2.41) em que Q é definido pela equação (2.38). Deve ser tido em conta que os parâmetros estimados p são estimativas de mínimos quadrados e, como tal, haverá para uma determinada verosimilhança do parâmetro p ter um valor diferente do estimado. Assim, é por vezes recomendável a determinação de intervalos de confiança para os parâmetros. Vários exemplos de regiões de confiança conjunta são dados, por exemplo, em Myers & Montgomery (2002). Consequentemente, quando utilizadas superfícies de resposta na avaliação da fiabilidade, deve ter-se em conta que todas as previsões (tanto a resposta estrutural num determinado projecto como a avaliação da fiabilidade) apresentam uma incerteza, reflectida nos intervalos de confiança. Uma vez que a superfície de resposta é apenas uma aproximação à relação funcional entre a resposta estrutural e as variáveis básicas, é natural que, em geral, se verifique alguma falta de ajustamento. Assim, uma etapa fundamental na utilização de superfícies de resposta é a validação do modelo desenvolvido, averiguando se a superfície de resposta alcançada se ajusta devidamente ou se é necessário efectuar correcções, substituindo-a por uma outra mais apropriada. Uma possibilidade para verificar se o modelo é adequado pode ser o cálculo do coeficiente de determinação R 2. Esta é uma medida estatística que descreve a correlação entre as variáveis de saída da previsão do modelo de regressão e os dados reais. De acordo com a definição de coeficiente de determinação, tem-se: 2 E[Y Z] R 2 = ρ 2 YZ = ( ) σ Y σ Z v ; y = p i g i (x) i=1 (2.42) 35

36 Um modelo é considerado adequado quando o valor de R 2 está próximo de 1. Uma forma alternativa de definir o coeficiente de determinação é definida por: R 2 = 1 S = S tot S (2.43) S tot S tot em que S representa o resíduo, como definido na equação (2.36) e S tot representa o total do somatório dos quadrados dos dados: m S tot = [z (k) ] 2 k=1 (2.44) O resíduo S pode também ser expresso em termos do coeficiente de determinação R 2 e do total da soma dos quadrados S tot, S = S tot (1 R 2 ) (2.45) No caso do número de dados da amostra ser praticamente o mesmo do número de parâmetros de regressão, é de esperar valores de R 2 demasiado optimistas no sentido de o modelo se ajustar a uma pequena amostra de dados, o que pode levar à existência de perturbações. Para evitar este problema é comum ajustar o valor de R 2 tendo em conta o limite da amostra (Wherry (1931)), obtendo-se o coeficiente de determinação ajustado: 2 R adj = R 2 v 1 m v (1 R2 ) (2.46) Em que m é a dimensão da amostra e v representa o número de parâmetros no modelo de regressão. O termo de ajuste da correcção desaparece com o aumento da dimensão da amostra m. No Exemplo 2.3 é aplicado o método de regressão a apenas uma variável x, o que resulta num modelo a duas dimensões (caso de regressão mais simples). Exemplo 2.3 Considerando a função f(x) = v 1 i=0 p i x i para um dado conjunto de 6 pontos com as coordenadas que constam na Tabela 2.2, fazendo corresponder y à imagem de f(x). 36

37 Variável y Variável y Variável y Variável y x y Tabela 2.2 Coordenadas dos pontos para regressão A representação dos pontos e respectivo traçando das linhas de regressão são apresentados na Figura 2.9. O valor de v varia de 2 (regressão linear) até 5 (regressão de quarto grau). Os coeficientes para cada uma das regressões são dados na Tabela 2.3. Uma regressão de quinto grau ajustar-se-ia perfeitamente ao longo de todos os pontos da amostra porém, o coeficiente de determinação de ajuste 2 não poderia ser calculado. Comparando os valores para R adj na Tabela 2.3, conclui-se que o modelo de regressão cúbico é o que se ajusta melhor aos dados da amostra. Linear Quadrática Variável x Variável x Cúbica Quarto Grau Variável x Variável x Figura 2.9 Conjunto de pontos (dados) com funções polinomiais obtidas através de regressão 37

38 v p 0 p 1 p 2 p 3 p 4 R 2 (R 2 adj ) Tabela 2.3 Coeficientes de regressão e de determinação para regressão polinomial Polinómios de Primeira e Segunda Ordem Como anteriormente referido, a utilização de superfícies de resposta prende-se com o facto de tornar uma relação complexa entre a resposta estrutural e as variáveis básicas num modelo matemático que seja o mais simples possível. No caso, o novo modelo deve ser contínuo nas suas variáveis básicas e ter um pequeno número de termos, cujos coeficientes possam ser estimados facilmente. Os modelos polinomiais de baixa ordem adequam-se às condições impostas. Assim, na área da análise estocástica estrutural (por exemplo para a avaliação da fiabilidade) os modelos de superfície de resposta mais usados são polinomiais de primeira e segunda ordem como descrito, por exemplo, em Rackwitz (1982), Bucher & Bourgund (1990), Kim & Na (1997), Zheng & Das (2000) e Bucher (2009). Como é referido em Bucher (2009), a forma geral de um modelo de primeira ordem de uma superfície de resposta η, linear nas suas n variáveis básicas x i é dada por: n η = p 0 + p i x i i=0 (2.47) com p i ; i = 0,1,, n como incógnitas (parâmetros a serem estimados dos dados experimentais). Este modelo possui um total de v = n + 1 parâmetros. O parâmetro p 0 é o valor da superfície de resposta na origem ou no ponto central do projecto experimental enquanto que os coeficientes p i podem ser interpretados como os gradientes da superfície de resposta na direcção das respectivas variáveis básicas x i. Como está patente na equação (2.47), o modelo de primeira ordem não se adequa à representação da interacção mais simples entre as variáveis de entrada. No caso de ser evidente que os dados experimentais não podem ser representados por um modelo cujas variáveis básicas não tenham efeitos mutuamente independentes, então o modelo de primeira ordem pode ser complementado com termos de interacção simples, obtendo-se: 38

39 n n 1 n η = θ 0 + p i x i + p ij x i i=1 i=1 j=i+1 x j (2.48) O número total de parâmetros a estimar é dado por v = 1 + n(n + 1)/2. No modelo de superfície de resposta da equação (2.48) está presente alguma curvatura, apenas resultante da torção dos planos das respectivas variáveis de entrada. No caso de ser também necessária uma curvatura acentuada, o modelo acima pode ser melhorado através de n termos quadráticos, completando o modelo de segunda ordem, na forma: n n 1 n n η = θ 0 + p i x i + p ij x i x j + p ii x i 2 i=1 i=1 j=i+1 i=1 (2.49) Neste caso o número total de parâmetros a ser estimado é v = 1 + n + n(n + 1)/2. Na maioria dos casos, ou o modelo de primeira ordem, ou o modelo de segunda ordem são utilizados como funções de superfície de resposta. Em Montgomery & Runger (2003) são exemplificadas graficamente as superfícies de resposta acima apresentadas, constituídas por duas variáveis (x 1 e x 2 ) e resultando nos planos de regressão η que constam na Figura 2.10 para um modelo de primeira ordem (a), um plano de primeira ordem com termos de interacção (b) e ainda um plano de segunda ordem (c). Figura 2.10 Exemplo de alguns planos de regressão: (a) η = x 1 + 7x 2, (b) η = x 1 + 7x 2 + 5x 1 x 2 e (c) η = x 1 + 7x 2 8.5x 1 2 5x x 1 x 2 39

40

41 Capítulo 3 Resistência Última de Elementos Estruturais Como é referido no Capítulo 1, a avaliação probabilística da segurança estrutural de um determinado elemento é baseada numa função de estado limite, dada pela diferença entre o carregamento aplicado e a resistência do elemento que, atendendo às respectivas variáveis (X R R 1,, X n no caso das variáveis relativas à resistência e X L L 1,, X m para as variáveis do carregamento), é possível escrever a função de estado limite como: g(x) = R(X 1 R,, X n R ) L(X 1 L,, X m L ) (3.1) Na equação (3.1), o parâmetro que define a resistência estrutural do elemento (R) pode ser obtido de várias formas, das quais três serão abordadas neste estudo: funções de estado limite explícitas (obtidas através de equações de projecto semi-empíricas), funções de estado limite implícitas (sendo necessário uma ligação ao Ansys para o cálculo da resistência do elemento através do método dos elementos finitos) e ainda o método de superfície de resposta, no qual se obtém uma função polinomial que procura definir a resistência do elemento, com base numa amostra obtida por simulação de Monte Carlo e que ajusta uma superfície aos valores da resistência última obtidos para cada realização. O diagrama da Figura 3.1 ilustra precisamente estas três alternativas e procura representar os vários passos de obtenção da superfície de resposta para n variáveis relativas à resposta (X R 1, X R 2,, X R n ) e m variáveis relativas ao carregamento (X L 1, X L 2,, X L m ). 41

42 Figura 3.1 Diagrama de relação entre o carregamento e as várias alternativas de avaliação da resposta Para que o elemento estrutural em estudo seja considerado adequado a probabilidade do carregamento ser inferior ao valor da resposta deve ser elevada. Os vários modelos de resposta abordados foram baseados em estudos de caso desenvolvidos. Este capítulo visa apresentar os estudos de caso relativos a equações de projecto semi-empíricas e ao modelo numérico de elementos finitos de placa. Procurar-se-á ainda relacionar ambos os modelos com o objectivo de melhorar uma das equações semi-empíricas, ajustando-a aos resultados de resistência obtidos pelo modelo numérico de placa estudado de forma a que a resistência seja definida com uma maior precisão. Para tal será necessário recorrer à simulação de Monte Carlo, levada a cabo pelo ProRel e com ligação ao Ansys no cálculo da resistência por elementos finitos, de onde se obterão os resultados que permitem ajustar os parâmetros dessa equação semi-empírica Equações de projecto semi-empíricas Teixeira et al. (2013) mostrou que a resistência última de placas de aço pode ser prevista através de diversas equações de projecto semi-empíricas (e.g. Guedes Soares & Guedes da Silva (1991)). As propostas iniciais foram construídas com base na tensão crítica elástica σ c de um elemento de placa, normalizada pela tensão de cedência σ y, 42